Численный метод решения начально-краевой задачи для многомерного нагруженного параболического уравнения общего вида с условиями третьего рода

Обложка
  • Авторы: Бештокова З.В.1,2
  • Учреждения:
    1. Северо-Кавказский центр математических исследований, Северо-Кавказский федеральный университет
    2. Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова
  • Выпуск: Том 26, № 1 (2022)
  • Страницы: 7-36
  • Раздел: Дифференциальные уравнения и математическая физика
  • Статья получена: 28.02.2022
  • Статья одобрена: 04.04.2022
  • Статья опубликована: 31.03.2022
  • URL: https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/103401
  • DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1908
  • ID: 103401


Цитировать

Полный текст

Аннотация

Исследуется начально-краевая задача для многомерного нагруженного параболического уравнения общего вида с краевыми условиями третьего рода. Для численного решения строится локально-одномерная разностная схема А. А. Самарского с порядком аппроксимации Oh2+τ. Методом энергетических неравенств получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках, откуда следуют единственность, устойчивость, а также сходимость решения локально-одномерной разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи в L2-норме со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы. Построен алгоритм численного решения и проведены численные расчеты тестовых примеров, иллюстрирующие полученные в данной работе теоретические выкладки.

Полный текст

Введение. Нагруженными дифференциальными уравнениями в литературе принято называть уравнения, содержащие функции от решения на многообразиях меньшей размерности, чем размерность области определения искомой функции [1]. Краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений возникают при изучении движения подземных вод в задачах управления качеством водных ресурсов, когда в водоем поступает из n источников загрязняющее вещество определенной интенсивности, при построении математической модели переноса дисперсных загрязнений в пограничном слое атмосферы.

Среди таких задач наиболее сложными с точки зрения численной реализации считаются многомерные (по пространственным переменным) задачи. Сложность заключается в значительном увеличении объема вычислений, возникающем при переходе от одномерных задач к многомерным. В этой связи актуальное значение приобретает задача построения экономичных разностных схем для численного решения многомерных задач, обладающих возможностью достаточно эффективной стабилизации решений (устойчивостью) и требующих при переходе со слоя на слой затраты числа арифметических операций Q, пропорционального числу узлов сетки, так что Q=O(hp), где h=1iphi, p — размерность области,  — шаг сетки по направлению xi.

Настоящая работа посвящена построению локально-одномерных (экономичных) разностных схем для численного решения начально-краевой задачи для многомерного нагруженного параболического уравнения общего вида с краевыми условиями третьего рода, суть которой состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению ряда одномерных задач по каждому из координатных направлений. При этом каждая из вспомогательных задач может не аппроксимировать исходную задачу, но в совокупности и в специальных нормах такая аппроксимация имеет место [2-4].

В разработку теории нагруженных дифференциальных уравнений большой вклад внесли идеи работ [5, 6]. Отметим также, что в обзорных работах A. M. Нахушева на многочисленных примерах показана практическая и теоретическая важность исследований нагруженных дифференциальных уравнений. Одним из методов приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений является предложенный A. M. Нахушевым метод редукции интегро-дифференциальных уравнений к нагруженным дифференциальным уравнениям. В его работе [1] впервые указана связь нелокальных задач с нагруженными уравнениями. Нелокальные задачи типа Бицадзе–Самарского для уравнений Лапласа и теплопроводности эквивалентно редуцированы к локальным задачам для нагруженных дифференциальных уравнений.

1. Постановка задачи. В цилиндре Q¯T=G¯×[0tT], основанием которого является p-мерный прямоугольный параллелепипед

G¯={x=(x1,x2,,xp):0xαlα,α=1,2,,p}

с границей Γ, G¯=GΓ, рассматривается задача

ut=Lu+f(x,t),(x,t)QT, (1)

kα(x,t)uxα=βαuμα(x,t),xα=0,0tT,10ptkα(x,t)uxα=β+αuμ+α(x,t),xα=lα,0tT, (2)

u(x,0)=u0(x),xG¯, (3)

где

Lu=α=1pLαu,Lαu=xα(kα(x,t)uxα)+rα(x,t)uxα

s=1mqsα(x,t)u(x1,,xα1,xαs,xα+1,,xp,t),

kα(x,t)C3,1(Q¯T);rα(x,t),qsα(x,t),f(x,t)C2,1(Q¯T);

0<c0kα(x,t)c1;

|rα(x,t)|,|kxα(x,t)|,|rxα(x,t)|,|qsα(x,t)|,|β±α(x,t)|c2;

xαs — фиксированная точка интервала (0,lα), s=1,2,,m; c0, c1, c2 — положительные постоянные; QT=G×(0<tT]; μ±α(x,t) — непрерывные функции.

В дальнейшем будем предполагать, что коэффициенты уравнения и граничных условий из задачи (1)–(3) удовлетворяют необходимым по ходу изложения условиям, обеспечивающим нужную гладкость решения u(x,t) в цилиндре Q¯T.

С помощью выбора коэффициентов qsα(x,t) можно регулировать интенсивность источников (стоков) в точках xαs.

Далее через Mi, i=1,2,, будем обозначать положительные постоянные, зависящие только от входных данных исходной дифференциальной задачи (1)–(3).

Допуская существование регулярного решения задачи (1)–(3) в цилиндре Q¯T, получим априорную оценку для ее решения. Для получения априорной оценки воспользуемся методом энергетических неравенств. Умножим уравнение (1) скалярно на u и получим энергетическое тождество:

(ut,u)=(α=1pxα(kα(x,t)uxα),u)+(α=1prα(x,t)uxα,u)

(α=1ps=1mqsα(x,t)u(x1,,xα1,xαs,xα+1,,xp,t),u)+(f(x,t),u). (4)

Воспользуемся скалярным произведением и нормой:

ux2=α=1puxα2,uL2(0,lα)2=0lαu2(x,t)dxα,

(u,v)=Guvdx,(u,u)=u02,u02=Gu2dx.

Справедлива следующая [7]

Теорема 1. Пусть Ω — область с гладкой границей Ω. Для элементов u(x) из W21(Ω) определены следы на областях Γ гладких гиперповерхностей как элементы L2(Γ), и они непрерывно меняются Для них справедливы неравенства вида

Γ[u(x+le1)u(x)]2dsu(x+le1)u(x)2,Γ2clQl(Γ)ux2dx,0lδ,

и

u(x)2,Γ2c[1δu(x)2,Qδ(Γ)2+δux(x)2,Qδ(Γ)2],

где e1 — единичный вектор нормали к Γ в точке x, а Ql(Γ) — криволинейный цилиндр образованный отрезками этих нормалей длины l (δ— наибольшая из тех длин l, при которых Ql(Γ)Ω), c — постоянная не зависящая от функции u(x).

Для всех элементов u(x) из W21(Ω) с "кусочно-гладкой границей" справедлива оценка

Ωv2dsc¯1Ω(|v||vx|+v2)dxc¯1Ω[εc¯1vx2+(c¯14ε+1)v2]dx

Ω(εvx2+cεv2)dx,ε>0.

Преобразуем интегралы, входящие в тождество (4), с учетом теоремы 1:

(ut,u)=12tu02, (5)

(α=1pxα(kα(x,t)uxα),u)=

=α=1pG'kα(x,t)uuxα|0lαdx'α=1pGkα(x,t)(uxα)2dx. (6)

 Далее для оценки слагаемых в правой части применим ε-неравенство Коши:

(α=1prα(x,t)uxα,u)α=1p(rα(x,t)uxα,u)εux02+M1(ε)u02, (7)

(α=1ps=1mqsα(x,t)u(x1,,xα1,xαs,xα+1,,xp,t),u)=

=α=1ps=1mu(x1,,xα1,xαs,xα+1,,xp,t)(qsα(x,t),u)

12α=1ps=1m(u2(x1,,xα1,xαs,xα+1,,xp,t)+(qsα(x,t),u)2)

12α=1ps=1m(εux02+c(ε)u02+M2(1,u2))εM3ux02+M4(ε)u02, (8)

(f(x,t),u)12f02+12u02, (9)

 где G'={x'=(x1,x2,,xα1,xα+1,,xp):0<xk<lk,k=1,2,,α1, α+1,,p}, dx'=dx1dx2dxα1dxα+1dxp, c(ε)=1/lα+1/ε, ε>0.

Учитывая преобразования (5)–(9), из (4) получаем неравенство

12tu02+α=1pGkα(x,t)(uxα)2dx

α=1pG'ukα(x,t)uxα|0lαdx'+εM5ux02+M6(ε)u02+12f02. (10)

Первое слагаемое в правой части (10) с учетом (2) оценим следующим образом:

α=1pG'ukα(x,t)uxα|0lαdx'=α=1pG'(kα(lα,x',t)uxα(lα,x',t)u(lα,x',t)

kα(0,x',t)uxα(0,x',t)u(0,x',t))dx'=

=α=1pG'(μ+α(lα,x',t)u(lα,x',t)β+α(lα,x',t)u2(lα,x',t)

βα(0,x't)u2(0,x',t)+μα(0,x',t)u(0,x',t))dx'. (11)

Из (11), пользуясь теоремой 1 и ε-неравенством Коши, получим оценку

α=1pG'ukα(x,t)uxα|0lαdx'

εM7ux02+M8(ε)u02+12α=1pG'(μα2+μ+α2)dx'. (12)

Тогда из неравенства (10) с учетом (12) находим

12tu02+α=1pGkα(x,t)(uxα)2dx

εM9ux02+M10(ε)u02+12α=1pG'(μα2+μ+α2)dx'+12f02. (13)

Проинтегрируем (13) по τ от 0 до t, тогда получим

u02+0tux02dτεM110tux02dτ+M12(ε)0tu02dτ+

+M13(0t(f02+G'(μα2+μ+α2)dx')dτ+u0(x)02). (14)

Выбирая ε=1/M11, из (14) находим

u02M140tu02dτ+M15(0t(f02+G'(μα2+μ+α2)dx')dτ+u0(x)02). (15)

На основании леммы Гронуолла [7] из (15) получаем неравенство

u02M(0t(f02+G'(μα2+μ+α2)dx')dτ+u0(x)02), (16)

где M зависит только от входных данных задачи (1)–(3).

Из априорной оценки (16) следует единственность решения исходной задачи (1)–(3), а также непрерывная зависимость решения задачи от входных данных на каждом временном слое в L2-норме.

2. Построение локально-одномерной разностной схемы (ЛОС). Пространственную сетку выберем равномерной по каждому направлению Oxα с шагом hα=lα/Nα, α=1,2,,p:

ω¯h=α=1pω¯hα,ω¯hα={xα(iα)=iαα:iα=0,1,,Nα,α=1,2,,p},

α=hα,iα=1,2,,Nα1,hα/2,iα=0,Nα.

По аналогии с [8] на отрезке [0,T] также введем равномерную сетку

ω¯τ={tj=jτ,  j=0,1,,j0}

с шагом τ=T/j0. Каждый из отрезков [tj,tj+1] разобьем на p частей, введя точки tj+α/p=tj+τα/p, α=1,2,,p1, и обозначим через Δα=(tj+(α1)/p,tj+α/p] полуинтервал, где α=1,2,,p.

Уравнение (1) перепишем в виде

£u=utLuf=0,

или

α=1p£αu=0,£αu=1putLαufα,

где fα(x,t)α=1,2,,p, — произвольные функции, обладающие той же гладкостью, что и f(x,t), удовлетворяющие условию нормировки α=1pfα=f.

На каждом полуинтервале Δα, α=1,2,,p, будем последовательно решать задачи

£αϑα=1pϑ(α)tLαϑ(α)fα=0,xG,tΔα,α=1,2,,p, (17)

kαϑ(α)xα=βαϑ(α)μα(x,t),xα=0,kαϑ(α)xα=β+αϑ(α)μ+α(x,t),xα=lα, (18)

полагая при этом [8, с. 522]

ϑ(1)(x,0)=u0(x),ϑ(α)(x,tj+(α1)/p)=ϑ(α1)(x,tj+(α1)/p),α=2,3,p,

ϑ(1)(x,tj)=ϑ(p)(x,tj),j=0,1,,j0.

Аналогично [8, c. 401] получим для уравнения (17) номера α монотонную схему второго порядка аппроксимации по hα. Для этого рассмотрим последнее уравнение при фиксированном α с возмущенным оператором L~α:

1pϑ(α)t=L~αϑ(α)+f(α),tΔα,α=1,2,,p, (19)

где

L~αϑ(α)=χαxα(kα(x,t)ϑ(α)xα)+rα(x,t)ϑ(α)xαs=1mqsαϑ(α)(x1,,xα1,xαs,xα+1,,xp,t),

χα=11+RαRα=12hα|rα|kα — разностное число Рейнольдса,

rα+=12(rα+|rα|)0,rα=12(rα|rα|)0,bα+=rα+kα,bα=rαkα,

rα=rα++rα,a(1α)=aiα+1,aα=kα(xiα1/2,t¯),φαj+α/p=fα(x,t¯),

α=hα,iα=1,2,,Nα1,hα/2,iα=0,Nα,dsα=qsα(xiα,t¯),t¯=tj+1/2.

Аппроксимируем каждое уравнение (18), (19) номера α двухслойной неявной схемой на полуинтервале (tj+(α1)/p,tj+α/p], тогда получим цепочку из p одномерных разностных уравнений:

yj+α/pyj+(α1)/pτ=Λ~αyj+α/p+φαj+α/p,α=1,2,,p,xαωhα, (20)

Λ~αy=χα(aαyx¯αj+α/p)xα+bα+aα(+1α)yxαj+α/p+bαaαyx¯αj+α/ps=1mdsα(yiαs(α)xiαs+yiαs+1xiαs+),

К уравнению (20) надо присоединить граничные и начальное условия. Запишем разностный аналог для граничных условий (2):

aα(1α)yxα,0j+α/p=βαy0j+α/pμα,xα=0,aα(Nα)yx¯α,Nαj+α/p=β+αyNαj+α/pμ+α,xα=lα. (21)

Условия (21) имеют порядок аппроксимации O(hα). Повысим порядок аппроксимации до O(hα2) на решениях уравнения (17) при каком-либо α:

aα(1α)ϑxα,0j+α/p=βαϑ0j+α/pμα+O(hα),

aα(1α)=k1/2(α)=k0+k'0hα2+k0''hα28+O(hα3),

ϑ(α)1ϑ(α)0hα=ϑ(α)xα,0=ϑ'(α)+ϑ''(α)hα2+O(hα2),

aα(1α)ϑxα,0j+α/p=k(α)ϑ'(α),0+(k(α)ϑ'(α))'hα2+O(hα2),

k(α)ϑ'(α),0=aα(1α)ϑxα,0j+α/p12hα(k(α)ϑ'(α))'+O(hα2)=

=aα(1α)ϑxα,0j+α/p12hα(1pϑj+α/ptrαϑ(α)xα+

+s=1mqsαϑ(α)(x1,,xα1,xαs,xα+1,,xp,t)fα)+O(hα2).

Итак,

aα(1α)ϑxα,0j+α/p12hα(1pϑt¯j+α/prαϑ(α)xα,0+

+s=1mqsαϑ(α)(x1,,xα1,xαs,xα+1,,xp,t)fα)=

=βαϑ0j+α/ps=1mqsαϑ(α)(x1,,xα1,xαs,xα+1,,xp,t)μα+O(hα2)+O(hατ). (22)

В (22) отбросим величины порядка малости O(hα2) и O(hατ), заменим ϑ(α) на y(α)=yj+α/p, тогда (22) перепишется так:

(aα(1α)+12hαrα(0))yxα,0j+α/p12hαpyt¯j+α/p=βαy0j+α/p+12hαdα0(yiα0(α)xiα0+yiα0+1(α)xiα0+)μα12hαfα,0,xα=0,

или

12hαy0j+α/py0j+(α1)/pτ=χ-αaα(1α)yxα,0j+α/pβαy0j+α/p

12hαs=1mdsα(0)(yiαs(α)xiαs+yiαs+1(α)xiαs+)+μ¯α,

12hαyNαj+α/pyNαj+(α1)/pτ=χ+αaα(Nα)yx¯α,Nαj+α/pβ+αyNαj+α/p

12hαs=1mdsα(Nα)(yiαs(α)xiαs+yiαs+1(α)xiαs+)+μ¯+α,

где

μ¯α=μα+12hαfα,0,μ¯+α=μ+α+12hαfα,Nα,μ±α=μ±α(tj);

χ-α=(1+12hα|rα(0)|kα(1/2))1,  rα(0);χ+α0;=(1+12hα|rα(Nα)|kα(Nα1/2))1,  rα(Nα)0.

Таким образом, приходим к цепочке одномерных схем с нелокальными граничными условиями при каждом α=1,2,,p:

yj+α/pyj+(α1)/pτ=Λ~αyj+α/p+φαj+α/p,α=1,2,,p,xαωhα, (23)

12hαyj+α/pyj+(α1)/pτ=Λαy(α)+μ¯α,xα=0,12hαyj+α/pyj+(α1)/pτ=Λα+y(α)+μ¯+α,xα=lα, (24)

y(x,0)=u0(x), (25)

где

Λ~αy(α)=χα(aαyxα(α))xα+bα+aα(+1α)yx¯α(α)+bαaαyx¯α(α)s=1mdsα(yiαs(α)xiαs+yiαs+1(α)xiαs+);

Λαy(α)=χαaα(1α)yxα,0(α)βαy0(α)12hαs=1mdsα(0)(yiαs(α)xiαs+yiαs+1(α)xiαs+),xα=0;

Λα+y(α)=χ-αaα(Nα)yx¯α,Nα(α)β+αyNα(α)12hαs=1mdsα(Nα)(yiαs(α)xiαs+yiαs+1(α)xiαs+),xα=lα;

1pyt¯(α)=yj+α/pyj+(α1)/pτ.

Задачу (23)–(25) перепишем в операторном виде

yj+α/pyj+(α1)/pτ=Λ¯αy(α)+Φαj+α/p,α=1,2,,p,xω¯hα, (26)

y(x,0)=u0(x),

где

Λ¯αy(α)=Λ~αy(α),xαωhα,10.5hαΛαy(α),xα=0,10.5hαΛα+y(α),xα=lα,Φα=φα,xαωhα,10.5hαμ¯α,xα=0,10.5hαμ¯+α,xα=lα.

3. Погрешность аппроксимации ЛОС. Характеристикой точности решения локально-одномерной схемы является разность zj+α/p=yj+α/puj+α/p, где uj+α/p — решение исходной задачи (1)–(3). Подставляя yj+α/p=zj+α/p+uj+α/p в разностную задачу (23)–(25), получим задачу для погрешности zj+α/p:

zj+α/pzj+(α1)/pτ=Λ~αzj+α/p+ψαj+α/p, (27)

 где ψαj+α/p=Λ~αuj+α/p+φαj+α/puj+α/puj+(α1)/pτ.

Обозначив через

ψα=(Lαu+fα1put)j+1/2

и замечая, что α=1pψα=0, если α=1pfα=f, представим погрешность в (27) в виде суммы ψαj+α/p=ψα+ψα*:

ψαj+α/p=Λ~αuj+α/p+φαj+α/puj+α/puj+(α1)/pτ+ψαψα=

=(Λ~αuj+α/pLαuj+1/2)+(φαj+α/pfαj+1/2)(uj+α/puj+(α1)/pτ1p(ut)j+1/2)+ψα=ψα+ψα*.

Очевидно, что

ψα*=O(hα2+τ),ψα=O(1),α=1pψαj+α/p=α=1pψα+α=1pψα*=O(|h|2+τ).

Запишем граничное условие xα=0 так:

12hαy0j+α/py0j+(α1)/pτ=χ-αaα(1α)yxα,0j+α/pβαy0j+α/p12hαs=1mdsα(0)(yiαs(α)xiαs+yiαs+1(α)xiαs+)+12hαfα,0+μα.

Пусть zj+α/p=yj+α/puj+α/p, где u — решение исходной дифференциальной задачи (1)–(3). Подставляя yj+α/p=zj+α/p+uj+α/p, получим

12hαz0j+α/pz0j+(α1)/pτ=χ-αaα(1α)zxα,0j+α/pβαz0j+α/p12hαs=1mdsα(0)(ziαs(α)xiαs+ziαs+1(α)xiαs+)+

+χ-αaα(1α)uxα,0j+α/pβαu0j+α/p12hαs=1mdsα(0)(uiαs(α)xiαs+uiαs+1(α)xiαs+)12hαu0j+α/pu0j+(α1)/pτ+12hαfα,0+μα.

К правой части полученного выражения добавим и вычтем

12hαψα=12hα[xα(kαuxα)+rα(x,t)uxαs=1mqsαu(x1,,xαs,,xp,t)+fα1put]xα=0j+1/2.

Тогда

ψα=12hα(fα,0u0j+α/pu0j+(α1)/pτ)+χ-αaα(1α)uxα,0j+α/pβαu0j+α/p

12hαs=1mdsα(0)(uiαs(α)xiαs+uiαs+1(α)xiαs+)+μα12hα[xα(kαuxα)+rα(x,t)uxα

s=1mqsαu(x1,,xαs,,xp,t)+fα1put]xα=0j+1/2+12hαψα=

=12hα(fα,0u0j+α/pu0j+(α1)/pτ)+aα(1α)uxα,0j+α/p+12hαrα(0)uxα,0j+α/p

βαu0j+α/p12hαs=1mdsα(0)(uiαs(α)xiαs+uiαs+1(α)xiαs+)+μα

12hα[xα(kαuxα)]j+1/212hα(fα,01put)j+1/2+

+12hαs=1mqsαu(x1,,xαs,,xp,t)12hαrα(0)uxα,0j+1/2+12hαψα+O(hατ)=

=aα(1α)uxα,0j+α/p+12hαrα(0)uxα,0j+α/pβαu0j+α/p+μα

12hα[xα(kαuxα)]j+1/212hαrα(x,t)uj+1/2xα+12hαψα+

+O(hα2)+O(hατ)=kαuj+α/pxα+12hα[xα(kαuxα)]0j+α/pβαu0j+α/p

12hα[xα(kαuxα)]j+1/2+μα+12hαψα+O(hα2)+O(hατ)=

=(kαuj+α/pxαβαu0j+α/p+μα)xα=0+12hαψα+O(hα2)+O(hατ).

В силу граничных условий (2) выражение, стоящее в скобках, есть ноль. Поэтому

ψα=12hαψα+ψα*,ψα*=O(hα2+τ)+O(hατ),

имеем

12hαz0j+α/pz0j+(α1)/pτ=χ-αaα(1α)zxα,0j+α/pβαz0j+α/p12hαs=1mdsα(0)(ziαs(α)xiαs+ziαs+1(α)xiαs+)+12hαψα+ψα*,

12hαzNαj+α/pzNαj+(α1)/pτ=χ+αaα(Nα)zx¯α,Nαj+α/pβ+αzNαj+α/p12hαs=1mdsα(Nα)(ziαs(α)xiαs+ziαs+1(α)xiαs+)+12hαψ+α+ψ+α*.

Итак, задачу для погрешности zj+α/p запишем в виде

zj+α/pzj+(α1)/pτ=Λ~αzj+α/p+ψαj+α/p,xαωhα, (28)

12hαzj+α/pzj+(α1)/pτ=Λαz(α)+ψα,xα=0,

12hαzj+α/pzj+(α1)/pτ=Λα+z(α)+ψ+α,xα=lα,

z(x,0)=0,

где

ψα=ψα+ψα*,ψα=O(1),ψα*=O(hα2+τ),α=1pψα=0,

ψα=12hαψα+ψα*,ψ+α=12hαψ+α+ψ+α*,

ψ±α=O(hα2+τ),ψ±α=O(1),α=1pψ±α=0.

4. Устойчивость локально-одномерной схемы. Умножим уравнение (26) скалярно на y(α)=yj+α/p:

[1pyt¯(α),y(α)]α[Λ¯αy(α),y(α)]α=[Φ(α),y(α)]α, (29)

где

[u,v]=xω¯huvH,H=α=1pα,[u,v]α=iα=0Nαuiαviαα,

α=hα,iα=1,2,,Nα1,hα/2,iα=0,Nα,y(α)L2(α)2=iα=0Nαy2α,

y(α)L2(ω¯h)2=iβiαy(α)L2(α)2H/α.

Преобразуем каждое слагаемое тождества (29):

[1pyt¯(α),y(α)]α=12p(y(α)L2(α)2)t¯+τ2pyt¯L2(α)2, (30)

где L2(α) означает, что норма берется по переменной xα при фиксированных значениях остальных переменных.

[Λ¯αy(α),y(α)]α=(Λ~αy(α),y(α))α+Λαy(α)y0(α)+Λα+y(α)yNα(α)=

=(Nα(aαyx¯α(α))xα,y(α))α+(bα+aα(+1α)yxα(α),y(α))α+(bαaαyx¯α(α),y(α))α

[s=1mdsα(yiαs(α)xiαs+yiαs+1(α)xiαs+),y(α)]α+(χαaα(1α)yxα,0(α)βαy(α))y0(α)

(χ+αaα(Nα)yx¯α,Nα(α)+β+αyNα(α))yNα(α). (31)

Так как

χα=11+Rα=10.5h|rα|kα+O(h2),

χα заменим на 10.5h|rα|kα. Тогда выражение (31) перепишем в виде

[Λ¯αy(α),y(α)]α=(χ1aα,yx¯α2]α+(bα+aα(+1α)yxα(α),y(α))α+

+(bαaαyx¯α(α),y(α))α[s=1mdsα(yiαs(α)xiαs+yiαs+1(α)xiαs+),y(α)]α

(aαyx¯α(α),χx¯y(α)]αβαy02β+αyNα2, (32)

[Φ(α),y(α)]α=(φ(α),y(α))α+μ¯αy0(α)+μ¯+αyNα(α)=

=(φ(α),y(α))α+(μα+12hαfα,0)αy0(α)α+(μ+α+12hαfα,Nα)yNα(α)α=

=[φ(α),y(α)]α+μαy0(α)+μ+αyNα(α). (33)

C помощью леммы 1 из [9] находим оценки для слагаемых, входящих в правую часть (32):

(χ1aα,yx¯α2]αM1yx¯α]|L2(α)2,

(aαyx¯α(α),χx¯y(α)]α+(bα+aα(+1α)yxα,y(α))α+(bαaαyx¯α,y(α))αM2(εyx¯α]|L2(α)2+14εy(α)L2(α)2),

[s=1mdsα(yiαs(α)xiαs+yiαs+1(α)xiαs+),y(α)]α(yiαs(α)xiαs+yiαs+1(α)xiαs+)[s=1mdsα,y(α)]α

12(yiαs(α)xiαs+yiαs+1(α)xiαs+)2+12[s=1mdsα,y(α)]α2M3(εyx¯α]|L2(α)2+c(ε)y(α)L2(α)2),

βαy02β+αyNα2c2(y02+yN2)c2(εyx¯α]|L2(α)2+c(ε)yL2(α)2),

[φ(α),y(α)]α12φ(α)L2(α)2+12y(α)L2(α)2,

μαy0(α)+μ+αyNα(α)μα22+μ+α22+12[(y0(α))2+(yNα(α))2]12(μα2+μ+α2)+εyx¯α(α)]|L2(α)2+c(ε)y(α)L2(α)2,

где ε>0, c(ε)=1/lα+1/ε.

Подставляя (30), (33) и все полученные оценки после суммирования по iβiα, β=1,2,,p, в тождество (29), находим

12p(yj+α/pL2(ω¯h)2)t¯+M1yx¯α]|L2(ω¯h)2

εM4yx¯α(α)]|L2(ω¯h)2+M5(ε)y(α)L2(ω¯h)2+

+12(φ(α)L2(ω¯h)2+iβiα(μα2+μ+α2)H/α).

Выбирая εM12M4, из последнего находим

12p(yj+α/pL2(ω¯h)2)t¯+M12yx¯α(α)]|L2(ω¯h)2M6y(α)L2(ω¯h)2+

+12(φ(α)L2(ω¯h)2+iβiα(μα2(tj)+μ+α2(tj))H/α). (34)

Просуммируем (34) сначала по α=1,2,,p:

12τyj+1L2(ω¯h)212τyjL2(ω¯h)2+M12α=1pyx¯αj+α/p]|L2(ω¯h)2

M6α=1py(α)L2(ω¯h)2+12α=1p(φj+α/pL2(ω¯h)2+iβiα(μα2+μ+α2)H/α), (35)

а затем, умножая обе части на 2τ и суммируя по j' от 0 до j, получаем

yj+1L2(ω¯h)2+j'=0jτα=1pyx¯αj'+α/p]|L2(ω¯h)2M7j'=0jτα=1pyj'+α/pL2(ω¯h)2+

+M8(j'=0jτα=1p(φj'+α/pL2(ω¯h)2+iβiα(μα2+μ+α2)H/α)+y0L22). (36)

Из (36) имеем

yj+1L2(ω¯h)2M7j'=0jτα=1pyj'+α/pL2(ω¯h)2+M8Fj, (37)

Fj=j'=0jτα=1p(φj'+α/pL2(ω¯h)2+iβiα(μα2+μ+α2)H/α)+y0L2(ω¯h)2.

Покажем, что имеет место неравенство

1αpyj+α/pL2(ω¯h)2ν1j'=0j1τ1αpyj'+α/pL2(ω¯h)2+ν2Fj,

где ν1, ν2 — известные положительные постоянные.

Перепишем неравенство (35) в следующем виде:

yj+α/pL2(ω¯h)2yj+(α1)/pL2(ω¯h)2+2τM6yj+α/pL2(ω¯h)2+τ(φj+α/pL2(ω¯h)2+iβiα(μα2+μ+α2)H/α). (38)

Просуммируем (38) по α' от 1 до α, тогда получим

yj+α/pL2(ω¯h)2yjL2(ω¯h)2+2τM6α'=1αyj+α'/pL2(ω¯h)2+τα'=1α(φj+α'/pL2(ω¯h)2+iβiα'(μα'2+μ+α'2)H/α)

yjL2(ω¯h)2+2τM6α=1pyj+α/pL2(ω¯h)2+τα=1p(φj+α/pL2(ω¯h)2+iβiα(μα2+μ+α2)H/α). (39)

Не нарушая общности, можно считать, что

max1α'pyj+α'/pL2(ω¯h)2=yj+α/pL2(ω¯h)2,

в противном случае (38) будем суммировать до такого α, при котором yj+α/pL2(ω¯h)2 достигает максимального значения при фиксированном j. Тогда (39) перепишем в виде

max1αpyj+α/pL2(ω¯h)2yjL2(ω¯h)2+2pτM6max1αpyj+α/pL2(ω¯h)2+

+τα=1p(φj+α/pL2(ω¯h)2+iβiα(μα2+μ+α2)H/α). (40)

Так как из (37) следует, что

yjL2(ω¯h)2M7j'=0j1τmax1αpyj'+α/pL2(ω¯h)2+M8Fj, (41)

из (40) с учетом (41) имеем

(12pτM6)max1αpyj+α/pL2(ω¯h)2M7j'=0j1τmax1αpyj'+α/pL2(ω¯h)2+M9Fj.

Выбирая ττ0=14pM6, из последнего находим

max1αpyj+α/pL2(ω¯h)2ν1j'=0j1τmax1αpyj'+α/pL2(ω¯h)2+ν2Fj.

Вводя обозначение gj+1=max1αpyj+α/pL2(ωh)2, последнее соотношение можно переписать в виде

gj+1ν1k=1jτgk+ν2Fj, (42)

где ν1, ν2 — известные положительные постоянные.

Применяя к (42) лемму 4 [10, с.171], получаем априорную оценку

yj+1L2(ω¯h)2M[y0L2(ω¯h)2+j'=0jτα=1pφj'+α/pL2(ω¯h)2+

+j'=0jτα=1piβiα(μα2(0,x',tj')+μ+α2(lα,x',tj'))H/α], (43)

где M=const>0 не зависит от hα и x'=(x1,x2,,xα1,xα+1,,xp).

Итак, справедлива

Теорема 2. Локально-одномерная схема (23)–(25) устойчива по начальным данным и правой части, так что для решения разностной задачи (23)–(25) при ττ0 справедлива оценка  (43).

5. Сходимость локально-одномерной схемы. По аналогии с [8, с. 528] представим решение задачи (28) в виде суммы z(α)=υ(α)+η(α), z(α)=zj+α/p, где определяется условиями

η(α)η(α1)τ=ψα,xωhα+γh,α,α=1,2,,p, (44)

η(x,0)=0,

где

ψα=ψα,xαωhα,ψα,xα=0,ψ+α,xα=lα.

Из (44) следует ηj+1=η(p)=ηj+τ(ψ1+ψ2++ψp)=ηj==η0=0, так как η0=0.

Тогда для ηα имеем

η(α)=τ(ψ1+ψ2++ψα)=τ(ψα+1++ψp)=O(τ).

Функция υ(α) определяется условиями

υ(α)υ(α1)τ=Λ~αυ(α)+ψ~α,ψ~α=Λ~αη(α)+ψα*,xωhα, (45)

12hαυ(α)υ(α1)τ=Λαυ(α)+ψ~α,ψ~α=Λαη(α)+ψα*,xα=0, (46)

12hαυ(α)υ(α1)τ=Λα+υ(α)+ψ~+α,ψ~+α=Λα+η(α)+ψ+α*,xα=lα, (47)

υ(x,0)=0. (48)

Если существуют непрерывные в замкнутой области Q¯T производные

2ut2,4uxα2xβ2,3uxα2t,3kxαxβ2,2kxαt,2rxβ2,

rt,2qsxβ2,qst,2fxβ2,ft,1α,βp,αβ,

то Λαη(α)=τΛα(ψα+1++ψp)=O(τ), Λα±η(α)=O(τ).

Решение задачи (45)–(48) оценим с помощью теоремы 2:

υj+1L2(ω¯h)2M(T)[j'=0jτα=1pψ~αj'+α/pL2(ω¯h)2+j'=0jτα=1piβiα(ψ~α2(0,x',tj')+ψ~+α2(lα,x',tj'))H/α]. (49)

Так как ηj=0,η(α)=O(τ),zjυj, из оценки (49) следует

Теорема 3. Пусть задача (1)–(3) имеет единственное непрерывное в Q¯T решение u(x,t) и существуют непрерывные в Q¯T производные

2ut2,4uxα2xβ2,3uxα2t,3kxαxβ2,2kxαt,2rxβ2,

rt,2qsxβ2,qst,2fxβ2,ft,1α,βp,αβ,

тогда локально-одномерная схема (23)–(25) сходится к решению дифференциальной задачи (1)–(3) со скоростью O(|h|2+τ), так что при достаточно малом τ имеет место оценка

yj+1uj+1L2(ω¯h)M(|h|2+τ),0<ττ0,

где |h|2=h12+h22++hp2.

6. Алгоритм численного решения задачи. Для решения сеточных уравнений, получающихся при разностной аппроксимации нагруженных уравнений, удобно использовать метод параметрической прогонки (см. [11, c. 131]).

Перепишем задачу (1)–(3) при 0xαlα, α=2, p=2, s=1,2:

ut=x1(k1(x1,x2,t)ux1)+x2(k2(x1,x2,t)ux2)+

+r1(x1,x2,t)ux1(x1,x2,t)+r2(x1,x2,t)ux2(x1,x2,t)

q11(x1,x2,t)u(x11,x2,t)q12(x1,x2,t)u(x12,x2,t)

q21(x1,x2,t)u(x1,x21,t)q22(x1,x2,t)u(x1,x22,t)+f(x1,x2,t), (50)

k1(x,t)ux1=β1uμ1(x,t),x1=0,0tT,10ptk1(x,t)ux1=β+1uμ+1(x,t),x1=l1,0tT,10ptk2(x,t)ux2=β2uμ2(x,t),x2=0,0tT,10ptk2(x,t)ux2=β+2uμ+2(x,t),x2=l2,0tT, (51)

u(x1,x2,0)=u0(x1,x2). (52)

Для решения задачи (50)–(52) рассмотрим сетку

xα(iα)=iαhα,α=1,2,tj=jτ,

где iα=0,1,,Nα, hα=lα/Nα, j=0,1,,m, τ=T/m. Вводится один дробный шаг tj+1/2=tj+τ/2. Обозначим сеточную функцию:

yi1,i2j+α/p=yj+α/p=y(i1h1,i2h2,(j+α/2)τ),α=1,2.

Напишем локально-одномерную схему

yj+1/2yjτ=Λ~1yj+1/2+φ1,yj+1yj+1/2τ=Λ~2yj+1+φ2, (53)

y0,i2j+1/2=(i2h2,tj+1/2)y1,i2j+1/2+(i2h2,tj+1/2)yi11,i2j+1/2+ (54)

yi1,i20=u0(i1h1,i2,h2), (55)

Λ~αy=χα(aαyx¯αj+α/p)xα+bα+aα(+1α)yxαj+α/p+bαaαyx¯αj+α/p

s=1mdsα(yiαs(α)xiαs+yiαs+1(α)xiαs+),

φα=12f(x1,x2,tj+α/2)или φ1=0,φ2=f(x1,x2,tj+1),α=1,2.

Приведем расчетные формулы для решения задачи (53)–(55).

На первом этапе находим решение yi1,i2j+1/2. Для этого при каждом значении i2=1,N21¯ решается следующая задача:

A1(i1,i2)yi11,i2j+1/2C1(i1,i2)yi1,i2j+1/2+B1(i1,i2)yi1+1,i2j+1/2

s=12ds1(i1,i2)(yi1s(1)xi1s+yi1s+1(1)xi1s+)=F1(i1,i2)j+1/2,0<i1<N1, (56)

y0,i2j+1/2=χ11(i2h2,tj+1/2)y1,i2j+1/2+χ1111(i2h2,tj+1/2)yi11,i2j+1/2+

+χ1121(i2h2,tj+1/2)yi12,i2j+1/2+χ1112(i2h2,tj+1/2)yi11+1,i2j+1/2+

+χ1122(i2h2,tj+1/2)yi12+1,i2j+1/2+μ11(i2h2,tj+1/2),

yN1,i2j+1/2=χ12(i2h2,tj+1/2)yN11,i2j+1/2+χ1211(i2h2,tj+1/2)yi11,i2j+1/2+

+χ1222(i2h2,tj+1/2)yi12,i2j+1/2+χ1212(i2h2,tj+1/2)yi11+1,i2j+1/2+

+χ1222(i2h2,tj+1/2)yi12+1,i2j+1/2+μ12(i2h2,tj+1/2),

где

A1(i1,i2)=(χ1)i1,i2(a1)i1,i2h12(b1)i1,i2(a1)i1,i2h1,

B1(i1,i2)=(χ1)i1,i2(a1)i1+1,i2h12+(b1+)i1,i2(a1)i1+1,i2h1,

C1(i1,i2)=A1(i1,i2)+B1(i1,i2)+1τ,F1(i1,i2)j+1/2=1τyi1,i2j+φ1(i1,i2).

χ11(i2h2,tj+1/2)=(χ1a1)1,i2h1(χ1a1)1,i2h1+β1,i2j+1/2+0.5h1τ,

χ12(i2h2,tj+1/2)=(χ+1a1)N1,i2h1(χ+1a1)N1,i2h1+β+1,i2j+1/2+0.5h1τ,

χ11S1(i2h2,tj+1/2)=12h1ds1(0)xi1s(χ1a1)1,i2h1+β1,i2j+1/2+0.5h1τ,

χ12S1(i2h2,tj+1/2)=12h1ds1(N1)xi1s(χ+1a1)N1,i2h1+β+1,i2j+1/2+0.5h1τ,

χ11S2(i2h2,tj+1/2)=12h1ds1(0)xi1s+(χ1a1)1,i2h1+β1,i2j+1/2+0.5h1τ,

χ12S2(i2h2,tj+1/2)=12h1ds1(N1)xi1s+(χ+1a1)N1,i2h1+β+1,i2j+1/2+0.5h1τ,

μ11(i2h2,tj+1/2)=μ¯1(i2h2,tj+1/2)+0.5h1τy0j(χ1a1)1,i2h1+β1,i2j+1/2+0.5h1τ,

μ12(i2h2,tj+1/2)=μ¯+1(i2h2,tj+1/2)+0.5h1τyN1j(χ+1a1)N1,i2h1+β+1,i2j+1/2+0.5h1τ.

Решение системы (56) будем искать в виде [11]:

yi1,i2=αi1+1,i2yi1+1,i2+β1,i1+1,i2yi11+β2,i1+1,i2yi11+1+β3,i1+1,i2yi12+

+β4,i1+1,i2yi12+1+δi1+1,i2,i1=0,N11¯. (57)

Найдем теперь αi1,i2, βk,i1,i2, k=1,2,3,4, i1=1,N1¯. Из (57) следует, что

α1,i2=χ11,β1,1,i2=χ1111,β2,1,i2=χ1112,

β3,1,i2=χ1111,β4,1,i2=χ1112,δ1,i2=μ11.

Подставляя

yi1,i2=αi1+1,i2yi1+1,i2+β1,i1+1,i2yi11+β2,i1+1,i2yi11+1+

+β3,i1+1,i2yi12+β4,i1+1,i2yi12+1+δi1+1,i2,

yi11,i2=αi1,i2yi1,i2+β1,i1,i2yi11+β2,i1,i2yi11+1+

+β3,i1,i2yi12+β4,i1,i2yi12+1+δi1,i2

 в (57), получим

αi1+1,i2=B1(i1,i2)C1(i1,i2)A1(i1,i2)αi1,i2,δi1+1,i2=F1(i1,i2)j+A1(i1,i2)δi1,i2C1(i1,i2)A1(i1,i2)αi1,i2.

β1,i1+1,i2=A1(i1,i2)β1,i1,i2d11(i1,i2)xi11C1(i1,i2)A1(i1,i2)αi1,i2,

β2,i1+1,i2=A1(i1,i2)β2,i1,i2d11(i1,i2)xi11+C1(i1,i2)A1(i1,i2)αi1,i2

β3,i1+1,i2=A1(i1,i2)β3,i1,i2d12(i1,i2)xi12C1(i1,i2)A1(i1,i2)αi1,i2,

β4,i1+1,i2=A1(i1,i2)β4,i1,i2d12(i1,i2)xi12+C1(i1,i2)A1(i1,i2)αi1,i2,

Выразим неизвестные yi1,i2, i1=0,N1¯, через yi11, yi12, yi11+1, yi12+1 следующим образом:

yi1,i2=H1,i1,i2yi11+H2,i1,i2yi11+1+H3,i1,i2yi12+H4,i1,i2yi12+1+Φi1,i2. (58)

H1,N1,i2=χ12β1,N1,i2+χ12111χ12αN1,i2,H2,N1,i2=χ12β2,N1,i2+χ12121χ12αN1,i2,

H3,N1,i2=χ12β3,N1,i2+χ12211χ12αN1,i2,H4,N1,i2=χ12β4,N1,i2+χ12221χ12αN1,i2,

Φi1,N2=χ12δN1,i2+μ121χ12αN1,i2.

Найдем теперь Hk,i1,i2, k=1,2,3,4, Φi1,i2. Тогда, подставляя (58) в (57), получим

Hk,i1,i2=αi1+1,i2Hk,i1+1,i2+βk,i1+1,i2,

Φi1,i2=αi1+1,i2Φi1+1,i2+δi1+1,i2,i1=N11,0¯. (59)

 Выразим yi11, yi12, yi11+1, yi12+1 через Hk,i1,i2, k=1,2,3,4, Φi1,i2. Для этого рассмотрим систему уравнений

yi11,i2=H1,i11,i2yi11+H2,i11,i2yi11+1++H3,i11,i2yi12+H4,i11,i2yi12+1+Φi11,i2,yi12,i2=H1,i12,i2yi11+H2,i12,i2yi11+1++H3,i12,i2yi12+H4,i12,i2yi12+1+Φi12,i2,yi11+1,i2=H1,i11+1,i2yi11+H2,i11+1,i2yi11+1++H3,i11+1,i2yi12+H4,i11+1,i2yi12+1+Φi11+1,i2,yi12+1,i2=H1,i12+1,i2yi11+H2,i12+1,i2yi11+1++H3,i12+1,i2yi12+H4,i12+1,i2yi12+1+Φi12+1,i2,

решая которую, находим значения следующих функций:

yi11,i2,yi12,i2,yi11+1,i2,yi12+1,i2.

Подставляя полученные значения в (58), с учетом (59) находим решение  системы yi1,i2(56).

На втором этапе находим решение yi1,i2j+1. Для этого, как и в первом случае, при каждом значении i1=1,N11¯ решается задача

A2(i1,i2)yi1,i21j+1C2(i1,i2)yi1,i2j+1+B2(i1,i2)yi1,i2+1j+1

s=12ds2(yi2s(2)xi2s+yi2s+1(2)xi2s+)=F2(i1,i2)j+1,0<i2<N2, (60)

yi1,0j+1=χ21(i1h1,tj+1)yi1,1j+1+χ2111(i1h1,tj+1)yi1,i21j+1+χ2121(i1h1,tj+1)yi1,i22j+1+

+χ2112(i1h1,tj+1)yi1,i21+1j+1+χ2122(i1h1,tj+1)yi1,i22+1j+1+μ21(i1h1,tj+1),

yi1,N2j+1=χ22(i1h1,tj+1)yi1,N21j+1+χ2211(i1h1,tj+1)yi1,i21j+1+χ2221(i1h1,tj+1)yi1,i22j+1+

+χ2212(i1h1,tj+1)yi1,i21+1j+1+χ2222(i1h1,tj+1)yi1,i22+1j+1+μ22(i1h1,tj+1),

A2(i1,i2)=(χ2)i1,i2(a2)i1,i2h22(b2)i1,i2(a2)i1,i2h2,

B2(i1,i2)=(χ2)i1,i2(a2)i1,i2+1h22+(b2+)i1,i2(a2)i1,i2+1h2,

C2(i1,i2)=A2(i1,i2)+B2(i1,i2)+1τ,F2(i1,i2)j+1/2=1τyi1,i2j+φ2(i1,i2).

χ21(i1h1,tj+1)=(χ2a2)i1,1h2(χ2a2)i1,1h2+β2,i1j+1+0.5h2τ,

χ22(i1h1,tj+1)=(χ+2a2)i1,N2h2(χ+2a2)i1,N2h2+β+2,i1j+1+0.5h2τ,

χ21S1(i1h1,tj+1)=12h2ds2(0)xi2s(χ2a2)i1,1h2+β2,i1j+1+0.5h2τ,

χ22S1(i1h1,tj+1)=12h2ds2(N2)xi2s(χ+2a2)i1,N2h2+β+2,i1j+1+0.5h2τ,

χ21S2(i1h1,tj+1)=12h2ds2(0)xi2s+(χ2a2)i1,1h2+β2,i1j+1+0.5h2τ,

χ22S2(i1h1,tj+1)=12h2ds2(N2)xi2s+(χ+2a2)i1,N2h2+β+2,i1j+1+0.5h2τ,

μ21(i1h1,tj+1)=μ¯2(i1h1,tj+1)+0.5h2τy0j(χ2a2)i1,1h2+β2,i1j+1+0.5h2τ,

μ22(i1h1,tj+1)=μ¯+2(i1h1,tj+1)+0.5h2τyN2j(χ+2a2)i1,N2h2+β+2,i1j+1+0.5h2τ.

Решение системы (60) будем искать в виде

yi1,i2=αi1,i2+1yi1,i2+1+β1,i1,i2+1yi21+β2,i1,i2+1yi21+1+β3,i1,i2+1yi22+

+β4,i1,i2+1yi22+1+δi1,i2+1,i2=0,N21¯. (61)

Найдем теперь αi1,i2,βk,i1,i2,k=1,2,3,4,i2=1,N2¯. Из (61) следует, что

αi1,1=χ21,β1,i1,1=χ2111,β2,i1,1=χ2112,

β3,i1,1=χ2121,β4,i1,1=χ2122,δi1,1=μ21.

Подставляя

yi1,i2=αi1,i2+1yi1,i2+1+β1,i1,i2+1yi21+β2,i1,i2+1yi21+1+

+β3,i1,i2+1yi22+β4,i1,i2+1yi22+1+δi1,i2+1,

yi1,i21=αi1,i2yi1,i2+β1,i1,i2yi21+β2,i1,i2yi21+1+

+β3,i1,i22yi22+β4,i1,i2yi22+1+δi1,i2        

в (61), получим

αi1,i2+1=B2(i1,i2)C2(i1,i2)A2(i1,i2)αi1,i2,δi1,i2+1=F2(i1,i2)j+A2(i1,i2)δi1,i2C2(i1,i2)A2(i1,i2)αi1,i2.

β1,i1,i2+1=A2(i1,i2)β1,i1,i2d21(i1,i2)xi21C2(i1,i2)A2(i1,i2)αi1,i2,

β2,i1,i2+1=A2(i1,i2)β2,i1,i2d21(i1,i2)xi21+C1(i1,i2)A2(i1,i2)αi1,i2,

β3,i1,i2+1=A2(i1,i2)β3,i1,i2d22(i1,i2)xi22C2(i1,i2)A2(i1,i2)αi1,i2,

β4,i1,i2+1=A2(i1,i2)β4,i1,i2d22(i1,i2)xi22+C2(i1,i2)A2(i1,i2)αi1,i2,

Выразим неизвестные yi1,i2, i2=0,N2¯, через yi21, yi22, yi21+1, yi22+1 следующим образом:

yi1,i2=H1,i1,i2yi21+H3,i1,i2yi22+H2,i1,i2yi21+1+H4,i1,i2yi22+1+Φi1,i2. (62)

H1,i1,N2=χ22β1,i1,N2+χ22111χ22αi1,N2,H2,i1,N2=χ22β2,i1,N2+χ22121χ22αi1,N2,

H3,i1,N2=χ22β3,i1,N2+χ22211χ22αi1,N2,H4,i1,N2=χ22β4,i1,N2+χ22221χ22αi1,N2,

Φi1,N2=χ22δi1,N2+μ221χ22αi1,N2.

Найдем теперь Hk,i1,i2, k=1,2,3,4, Φi1,i2. Тогда, подставляя (62) в (61), получим

Hk,i1,i2=αi1,i2+1Hk,i1,i2+1+βk,i1,i2+1,

Φi1,i2=αi1,i2+1Φi1,i2+1+δi1,i2+1,i2=N21,0¯. (63)

Выразим yi21,yi22,yi21+1,yi22+1 через Hk,i1,i2,k=1,2,3,4,Φi1,i2. Для этого рассмотрим систему уравнений

yi1,i21=H1,i1,i21yi21+H2,i1,i21yi21+1+H3,i1,i21yi22++H4,i1,i21yi22+1+Φi1,i21,yi1,i22=H1,i1,i22yi21+H2,i1,i22yi21+1+H3,i1,i22yi22+H4,i1,i22yi22+1+Φi1,i22,yi1,i21+1=H1,i1,i21+1yi21+H2,i1,i21+1yi21+1+H3,i1,i21+1yi22++H4,i1,i21+1yi22+1+Φi1,i21+1,yi1,i22+1=H1,i1,i22+1yi21+H2,i1,i22+1yi21+1+H3,i1,i22+1yi22++H4,i1,i22+1yi22+1+Φi1,i22+1,

решая которую, находим значения следующих функций:

yi1,i21,yi1,i22,yi1,i21+1,yi1,i22+1.

Подставляя полученные значения в (62), с учетом (63) находим решение yi1,i2 системы (60).

Каждая из задач (56), (60) решается, как видно, методом параметрической прогонки (см. [11, с. 131]).

7. Тестовая задача и численные результаты. Коэффициенты уравнения и граничных условий исходной дифференциальной задачи (1)–(3) подбираются таким образом, чтобы точным решением при p=2 была функция

u(x,t)=t3(x14l1x13)(x24l2x23).

Ниже в табл. 1, 2 при уменьшении размера сетки приведены максимальное значение погрешности (z=yu) и вычислительный порядок сходимости (ПС) в нормах L2(whτ) и C(whτ), где yC(whτ)=max(xi,tj)whτ|y|, когда h¯=h1=h2=τ. Погрешность уменьшается в соответствии с порядком аппроксимации O(h2+(τ)2).

Вычислительный порядок сходимости определяется по следующей формуле:

ВПС=logh¯1h¯2||z1||||z2||=log2||z1||||z2||,

где zi — погрешность, соответствующая h¯i.

 

Таблица 1. Изменение погрешности в норме L2(w¯hτ) при уменьшении размера сетки на t=1, когда h¯=h1=h2=τ [The maximum value of the error (z=yu) and the computational order of convergence (CO) in the norm L2(w¯hτ) when the grid size is reduced by t=1, if h¯=h1=h2=τ]

h¯

max0<j<mzjL2(w¯hτ)

CO in L2(w¯hτ)

/20

 0.001858105

 

/40

 0.000592952

 1.6478

/80

 0.000163636

 1.8574

/160

 0.000044111

 1.8913

 

Таблица 2. Изменение погрешности в норме C(w¯hτ) при уменьшении размера сетки на t=1, когда h¯=h1=h2=τ. [The maximum value of the error (z=yu) and the computational order of convergence (CO) in the norm C(w¯hτ) when the grid size is reduced by t=1, if h¯=h1=h2=τ]

h¯

zC(w¯hτ)

CO in C(w¯hτ)

/20

 0.007805524

 

/40

 0.002882977

 1.4369

/80

 0.000857080

 1.7501

/160

 0.000226344

 1.9209

 

Конкурирующие интересы. В публикации статьи отсутствуют конкурирующие финансовые или нефинансовые интересы.

Авторский вклад и ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

×

Об авторах

Зарьяна Владимировна Бештокова

Северо-Кавказский центр математических исследований, Северо-Кавказский федеральный университет; Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова

Автор, ответственный за переписку.
Email: zarabaeva@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-8020-4406
SPIN-код: 4704-0910
Scopus Author ID: 57195928671
ResearcherId: AAH-9338-2020

научный сотрудник отд. вычислительных методов; аспирант

Россия, 355017, Ставрополь, ул. Пушкина, 1; Нальчик, ул. Чернышевского, 173

Список литературы

  1. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их приложения // Диффер. уравн., 1983. Т. 19, № 1. С. 86–94.
  2. Дьяконов Е. Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для нестационарных уравнений // Докл. АН СССР, 1962. Т. 144, № 1. С. 29–32.
  3. Самарский А. А. paper Об одном экономичном разностном методе решения многомерного параболического уравнения в произвольной области // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1962. Т. 2, № 5. С. 787–811.
  4. Самарский А. А. Локально-одномерные разностные схемы на неравномерных сетках // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1963. Т. 3, № 3. С. 431–466.
  5. Будак В. М., Искендеров А. Д. Об одном классе обратных краевых задач с неизвестными коэффициентами // Докл. АН СССР, 1967. Т. 176, № 1. С. 20–23.
  6. Krall A. M. The development of general differential and general differential boundary systems // Rocky Mountain J. Math., 1975. vol. 5, №. 4. pp. 493–542. https://doi.org/10.1216/RMJ-1975-5-4-493.
  7. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.
  8. Самарский A. A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 616 с.
  9. Андреев В. Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1968. Т. 8, № 6. С. 1218–1231.
  10. Самарский A. A., Гулин A. B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. 415 с.
  11. Воеводин А. Ф., Шугрин С. М. Численные методы расчета одномерных систем. Новосибирск: Наука, 1981. 208 с.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML

© Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет), 2022

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах