Численное исследование взаимодействия ударной волны с проницаемым деформируемым гранулированным слоем

Полный текст

Введение. Перспективным элементом, защищающим конструкции от импульсных воздействий, являются насыпные слои [1-3]. В научной литературе существует ряд работ, посвященных исследованию деформируемых пористых преград [4-22], где показано, что размещение слоя пористых насыпных слоев перед стенкой мишени уменьшает величины остаточного напряжения и энергии мишени и существенно снижает скорость приложенной нагрузки. Полученные результаты ограничиваются малыми нагрузками, которые не вызывают развитое пластическое течение или разрушение материала шариков [14, 15]. При этом предполагалось, что проницаемые элементы в процессе взаимодействия с ударными волнами испытывают малые деформации и их проницаемость не изменяется. В данной статье рассматривается процесс взаимодействия плоских ударных волн с деформируемыми упругопластическими гранулированными слоями, которые могут испытывать большие деформации, влияющие на их проницаемость.

1. Уравнения в одномерном приближении. Динамическое поведение гранулированного слоя с содержащимся поровым газом описывается на основе уравнений динамики двух взаимопроникающих континуумов, каждый из которых имеет свои скорости, напряжения (давления) и температуры. Одномерные уравнения динамики порового газа в форме законов сохранения массы, импульса и энергии имеют вид:

$\frac{\partial \left({\alpha }_1{\rho }_1^0\right)}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial х}\left(\beta {\rho }_1^0{u}_1\right)=\mathrm{0,}\frac{\partial \left({\alpha }_1{\rho }_1^0{u}_1\right)}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial х}\left(\beta \right(p_1+{\rho }_1^0{u}_1^2\left)\right)=\mathrm{0,}$

$\frac{\partial }{\partial t}\left({\alpha }_1{\rho }_1^0\right(e_1+\frac{u_1^2}{2}\left)\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left\{\beta \right({\rho }_1^0{u}_1(e_1+\frac{u_1^2}{2})+p_1{u}_1\left)\right\}=\mathrm{0,}$

$p_1=(\gamma -1){\rho }_1^0{e}_1,T_1=e_1/c_{v_1}\left(T_1\right).$

Здесь и далее нижний индекс 1 относится к газу; 2 — к твердой компоненте; $t$ — время; $x$ — координата; ${\rho }_1^0$ — истинная плотность газа; $u$ — скорость; $e$ — внутренняя энергия; $c_{v_1}$ — удельная теплоемкость; $\gamma$ — показатель адиабаты газа; $f$, $q$ — межфазные силы и тепловой поток, действующие на "элементарный узел" твердой компоненты со стороны порового газа; $n$ — количество таких узлов в единице объема смеси; ${\alpha }_i$ — объемные концентрации компонент; $\beta$ — коэффициент проницаемости сечений. Коэффициент проницаемости принимается в виде отношения площади пор к общей площади элемента среды. Из системы (1) при ${\alpha }_1=\beta =1$ и $n=0$ следуют уравнения газовой динамики для однородной среды.

Уравнения динамического деформирования гранулированного слоя в одномерном приближении как скелета двухфазной среды имеют вид [14, 23]:

$\frac{\partial \left({\rho }_2\right)}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x}\left({\rho }_2{u}_2\right)=\mathrm{0,}$

$\frac{\partial \left({\rho }_2{u}_2\right)}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x}\left({\rho }_2{u}_2^2\right)=nf,$

$\frac{\partial \sigma }{\partial t}+u_2\frac{\partial \sigma }{\partial x}=\frac{\partial f_n}{\partial \epsilon }\frac{\partial u_2}{\partial x}.$ (2)

Здесь $\sigma$, $\epsilon$ — напряжение и деформация, ${\rho }_2$ — приведенная плотность гранулированного слоя ( ${\rho }_2={\alpha }_2{\rho }_2^0$, ${\alpha }_1+{\alpha }_2=1$). Закон связи между напряжением и деформацией имеет вид $\sigma =f_n(\epsilon ,{\sigma }^{*})$. Параметры, отмеченные верхним индексом , представляют собой максимальные значения, достигнутые частицей при нагружении в соответствующем направлении, они необходимы для описания разгрузки частиц среды, испытывающей необратимые деформации. Конкретный вид уравнения состояния определяется по результатам экспериментальных исследований сжатия гранулированных слоев. При взаимодействии твердого и газового компонентов в качестве межфазных сил учитываются: силы сопротивления частичек твердой фазы при их обтекании поровым газом; силы Стокса вязкого трения, а также конвективный теплообмен через межфазную поверхность [23]. Твердая фаза как скелет высокопористой среды может сильно сжиматься в процессе деформации, поэтому параметры ${\alpha }_1$, $\beta$ будут зависеть от степени ее сжатия. Конкретный вид этих зависимостей определяется численными исследованиями деформирования фрагментов гранулированного слоя в трехмерной постановке [24].

Поверхности контакта чистого газа с пористым гранулированным слоем являются поверхностью разрыва пористости и проницаемости. Как показали исследования [25-27], на контактных границах "чистый газ" – "поровый газ" должны выполняться специальные условия, как на скачке пористости:

${\rho }_5^0{u}_5=\beta {\rho }_4^0{u}_4,$

${\rho }_5^0{u}_5^2+\beta p_5=\beta ({\rho }_4^0{u}_4^2+p_4)$

${\rho }_5^0{u}_5(\frac{\gamma }{\gamma -1}\frac{p_5}{{\rho }_5^0}+\frac{u_5^2}{2})=\beta {\rho }_4^0{u}_4(\frac{\gamma }{\gamma -1}\frac{p_4}{{\rho }_4^0}+\frac{u_4^2}{2}).$ (3)

Уравнения (3) отражают законы сохранения массы, импульса и энергии на скачке. Индекс 5 относится к параметрам со стороны "чистого газа", индекс 4 — к параметрам со стороны порового газа.

Построенная нелинейная математическая модель описывает процессы взаимодействия проницаемых деформируемых гранулированных слоев с ударными волнами. Модель учитывает изменение пористости среды и ее проницаемости от степени деформации гранулированного слоя. Численное решение уравнений (1), (2) производится с помощью схемы С. К. Годунова [28], адаптированной к задачам динамики взаимопроникающих сред. Численная реализация контактных условий (3) производится на основе решения задачи распада разрыва на скачке пористости [25, 27].

2. Постановка задачи. Постановка задачи показана на рис. 1. Расчетная область включает в себя три подобласти: воздух, гранулированный слой, воздух. Подвижный деформируемый гранулированный слой размещается в подобласти 2 от $x=x_2$ до $x=x_3$, таким образом, начальная толщина гранулированного слоя составляет $H=x_3-x_2=0.017$ м. Коэффициент проницаемости слоя принимается равным $\alpha =0.215$, начальные параметры порового газа $p_0=0.1$ МПа, ${\rho }_0=1.23$ кг/м , $u_0=0$.

 

Рис. 1. Постановка задачи численного моделирования

 

Координаты границ подобластей имеют следующие значения: $x_1=-0.2$ м, $x_2=0$ м, $x_3=0.017$ м, $x_4=0.217$ м. В первой подобласти задаются параметры, соответствующие параметрам газа (воздуха) за фронтом набегающей плоской ударной волны. На искусственных границах подобластей газа $x=x_1$ и $x=x_4$ ставятся условия по давлению, соответствующие начальным условиям по этим подобластям. Размеры расчетных областей (подобласти 1 и 2) выбраны из условий, чтобы волновые возмущения от гранулированного слоя не отразились от искусственных границ и не исказили численное решение в течение интервала времени 0.4 мс, когда уже сформированы отраженные и прошедшие ударные волны в газе.

Коэффициент проницаемости принимается в виде отношения площади пор к общей площади элемента среды. В третьей подобласти — покоящийся газ с начальными параметрами, как и во второй подобласти. Показатель адиабаты газа во всех подобластях $\gamma =1.4$. Решение получено на разностной сетке с размером ячеек 0.0005 м. Гранулированный слой предполагается деформируемым. Кривые одноосного сжатия имеют вид, характерный для пористых материалов [29], и в переменных "давление – плотность" показаны на рис. 2. Пунктиром показана разгрузочная ветвь, принимаемая в виде прямой линии, с тангенсом угла наклона (квадрат скорости звука) равным $2.9\cdot {10}^5$ м /с . В начальный момент времени слой покоится, деформации слоя отсутствуют, его начальная плотность равна 680 кг/м , давление — 0.1 МПа. Уменьшение проницаемости слоя при его сжатии с начального значения $\alpha =0.215$ происходит по линейному закону (рис. 3). Вид зависимости изменения проницаемости от плотности установлен по результатам численного моделирования трехмерных задач упругопластического сжатия симметричных фрагментов гранулированных слоев [30].

 

Рис. 2. Изменение плотности относительно давления

 

Рис. 3. Изменение проницаемости

 

В области $x<0$ в качестве начальных условий задаются постоянные параметры за фронтом набегающей плоской ударной волны (УВ) в направлении оси $Ox$. Эти параметры определяются числом Маха ударного фронта $M_0$ и вычисляются согласно формулам [31]:

$\frac{p_{sw}}{p_0}=\frac{2\gamma M_0^2-(\gamma -1)}{\gamma +1},\frac{{\rho }_{sw}}{{\rho }_0}=\frac{(\gamma +1)M_0^2}{(\gamma -1)M_0^2+2},$

$\frac{T_{sw}}{T_0}=\frac{(2\gamma M_0^2-(\gamma -1\left)\right)\left(\right(\gamma -1)M_0^2+2)}{{(\gamma +1)}^2{M}_0^2},$

$\frac{u_{sw}}{a_0}=\frac{2}{\gamma +1}(M_0-\frac{1}{M_0}),$

где $\gamma$ — показатель адиабаты, $M_0=u_0/a_0$, $a_0$ — скорость звука перед УВ.

Рассматривались три варианта задания интенсивности набегающей УВ. В первом варианте полагалось $p_{sw}=0.3$ МПа, ${\rho }_{sw}=2.596$ кг/см , $u_{sw}=292.5$ м/с. На рис. 4–6 представлены распределения давлений, плотностей и скоростей в газе по расчетной области задачи ($-0.1м<x<0.1м$) в момент времени $t=0.2$ мс, когда формируются отраженные и проходящие через гранулированный слой ударные волны. Видно, что амплитуда давления отраженной волны в газе (кривые 1) более чем в 2 раза превышает амплитуду падающей ударной волны. Проходящая волна также является нелинейной с амплитудой 0.136 МПа (кривая 3). Наибольшие давления образуются в поровом газе гранулированной среды с амплитудами, на порядок превышающими амплитуду набегающей, отраженной и проходящей волны (кривая 2). Распределения скорости и плотности подтверждают нелинейный характер протекающих процессов (рис. 5, 6). Хорошо видны характерные скачки всех параметров на границах гранулированного слоя, что соответствует физике протекающих явлений [14].

 

Рис. 4. Распределение давления по расчетной области при $t=0.2$мс

 

Рис. 5. Распределение скорости по расчетной области при $t=0.2$мс

 

Рис. 6. Распределение плотности по расчетной области при $t=0.2$мс

 

На рис. 7, 8 представлены распределения давлений и плотностей по гранулированному слою (твердой фазе) в моменты времени $t=\{0.1;0.2;0.3\}$ мс. Здесь цифрой 1 отмечено распределение полей в момент времени $t=0.1$ мс; цифрой 2 — $t=0.2$ мс; цифрой 3 — $t=0.3$ мс.

 

Рис. 7. Распределение давления по расчетной области в твердой фазе слоя

 

Рис. 8. Распределение плотности по расчетной области в твердой фазе слоя

 

Процессы волнообразования в твердой фазе также носят нелинейный характер. Скорости распространения возмущений по твердой фазе значительно меньше, чем по поровому газу. Вследствие нелинейности происходит некоторое усиление амплитуды, распространяющейся по слою волны (кривые 3). В распространяющейся по твердой фазе волне наблюдается уплотнение слоя в 1.76 раза, что приводит к существенному изменению его проницаемости (рис. 3). Для оценки влияния изменения проницаемости при сжатии гранулированного слоя на параметры проходящих и отраженных волн ниже приводится сравнительный анализ численных решений с учетом и без учета изменения его проницаемости вследствие деформирования.

Для этого проведены расчеты взаимодействия гранулированного слоя с набегающими УВ различной амплитуды: $p_{sw}=0.3$ МПа, $p_{sw}=0.2$ МПа, $p_{sw}=0.15$ МПа.

На рис. 9, 10 представлены временные зависимости давлений проходящих (рис. 9) и отраженных (рис. 10) волн в точках на удалении  и  от границ слоя.

 

Рис. 9. Изменение давления проходящих волн

 

Рис. 10. Изменение давления отраженных волн

 

Цифрами 1 и 1' отмечено решение, полученное при параметрах газа за фронтом плоской ударной волны: $p_{sw}=0.3$ МПа. Цифрами 2 и 2' — решение, полученное при параметрах газа за фронтом плоской ударной волны: $p_{sw}=0.2$ МПа. Цифрами 3 и 3' — решение, полученное при параметрах газа за фронтом плоской ударной волны: $p_{sw}=0.2$ МПа. Сплошные линии (1, 2, 3) соответствуют решению с учетом изменения коэффициента проницаемости, пунктирные линии (1', 2', 3') "— решению с постоянным коэффициентом проницаемости 0.215. Влияние учета изменения проницаемости особо заметно на параметрах отраженных волн, и это влияние возрастает с ростом амплитуды набегающей волны. Эта же закономерность проявляется и для проходящих волн, но в меньшей мере.

Заключение. Численные исследования процессов нелинейного взаимодействия ударных волн с деформируемыми проницаемыми гранулированными слоями показали, что параметры проходящих и отраженных волн зависят от степени обжатия гранулированных слоев, более существенна эта зависимость для проходящих волн. Поэтому оценку защитных свойств проницаемых преград при воздействии сильных ударных волн следует проводить с учетом изменения их проницаемости вследствие деформирования. Разработанные математическая и численная модели позволяют получать параметры отраженных и проходящих волн через проницаемые гранулированные слои с учетом изменения проницаемости от степени деформационного сжатия слоя.

Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем.

Авторский вклад и ответственность. И. А. Модин — проведение численных расчетов и экспериментальных исследований, обработка и анализ результатов, работа с черновиком и переработанным вариантом рукописи. А. В. Кочетков — идея исследования, формулировка целей и задач исследования, визуализация и верификация результатов Е. Г. Глазова — проведение численных расчетов, визуализация и верификация результатов, работа с черновиком и переработанным вариантом рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.

Финансирование. Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Российского научного фонда (РНФ № 20–79–00108).

Об авторах

Иван Александрович Модин

Научно-исследовательский институт механики Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского

Email: mianet@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-3561-4606
SPIN-код: 4839-8129
Scopus Author ID: 57192279101
ResearcherId: E-9088-2019
http://www.mathnet.ru/rus/person138504

кандидат технических наук; научный сотрудник; лаб. моделирования физико-механических процессов

Россия, 603022, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корпус 6

Анатолий Васильевич Кочетков

Научно-исследовательский институт механики Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского

Автор, ответственный за переписку.
Email: kochetkov@mech.unn.ru
ORCID iD: 0000-0001-7939-8207
SPIN-код: 9964-3450
Scopus Author ID: 23004869700
http://www.mathnet.ru/person32889

доктор физико-математических наук; профессор; каф. теоретической, компьютерной и экспериментальной механики

Россия, 603022, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корпус 6

Елена Геннадьевна Глазова

Научно-исследовательский институт механики Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского

Email: glazova@mech.unn.ru
ORCID iD: 0000-0003-4351-889X
SPIN-код: 5314-3012
Scopus Author ID: 55248346700
http://www.mathnet.ru/person163935

кандидат физико-математических наук; старший научный сотрудник; лаб. динамики многокомпонентных сред

Россия, 603022, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корпус 6

Список литературы

Дополнительные файлы