Характеристическая задача Коши стандартного вида для описания истечения политропного газа в вакуум с косой стенки
- Авторы: Понькин Е.И.1
-
Учреждения:
- Снежинский физико-технический институт НИЯУ МИФИ
- Выпуск: Том 26, № 2 (2022)
- Страницы: 322-338
- Раздел: Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
- Статья получена: 26.04.2022
- Статья одобрена: 29.06.2022
- Статья опубликована: 30.06.2022
- URL: https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/106771
- DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1922
- ID: 106771
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Начально-краевая задача для системы уравнений газовой динамики, решение которой описывает разлет политропного газа в вакуум с косой стенки в пространстве автомодельных переменных x/t, y/t в общем несогласованном случае, приведена к характеристической задаче Коши стандартного вида в пространстве новых независимых переменных ϑ, ζ. Уравнение ϑ=0 задает характеристическую поверхность, через которую двойная волна примыкает к известному решению — центрированной волне Римана. Уравнение ζ=0 означает, что за новую координатную ось выбирается косая стенка, на которой выполняется условие непротекания. Для этой новой начально-краевой задачи в отличие от известного решения аналогичной задачи, полученного С. П. Баутиным и С. Л. Дерябиным в пространстве специальных переменных, доказана теорема существования и единственности решения системы уравнений газовой динамики в пространстве физических автомодельных переменных в виде сходящегося бесконечного ряда. Описан алгоритм построения коэффициентов ряда.
Полный текст
Введение. В настоящее время в мире проводятся интенсивные исследования в области лазерного управляемого термоядерного синтеза (ЛТС). Перспективность данного научного направления связана с тем, что при успешной реализации ЛТС человечество получает неисчерпаемый источник относительно дешевой энергии. В отличие от зарядов, где зажигание термоядерных реакций осуществляется ядерным взрывом, в ЛТС инициация «горения» легких ядер реализуется за счет воздействия лазерного излучения на DT-мишень. Математическое описание подобных экспериментов привело к возникновению целого направления, объединяющего класс задач, описывающих сжатие мишеней или истечение газа в вакуум [1-4].
Еще в 50-е годы прошлого века стало понятно, что вложение энергии в мишень необходимо осуществлять безударным способом без образования ударной волны (сильного разрыва), что дает существенный энергетический выигрыш. Данную схему пытаются реализовать в экспериментах по ЛТС. Для получения безударной волны сжатия, которая будет сжимать газ до бесконечной плотности, разрабатывают специальные мишени [5, 6], которые имеют сферически или цилиндрически симметричную геометрию. Это связано с тем, что наибольшее количество результатов в области построения аналитических решений было получено для одномерных течений (плоско-, цилиндрически-, сферически симметричные мишени).
Для построения аналитических решений двумерных течений используемый математический аппарат приводил к сложного вида дифференциальным уравнениям, что давало возможность построить только частные решения рассматриваемых уравнений. Так, в 1963 году В. А. Сучков опубликовал работу «Истечение в вакуум на косой стенке» [7]. В ней получено частное точное решение системы уравнений газовой динамики (СУГД), описывающее двумерное течение газа — двойная волна (ДВ) — при выполнении конкретного соотношения между показателем политропы газа и тангенсом угла наклона косой стенки:
(1)
Метод решения задачи состоял в том, что СУГД сводилась к одному дифференциальному уравнению для функции потенциала , где , ; , — компоненты вектора скорости газа в прямоугольной системе координат. Затем с помощью преобразования Лежандра осуществлялся переход к уравнению для функции , для которой и строилось одно конкретное частное решение. Полученное таким образом решение и связанная с ним функция — скорость звука газа — определялись в пространстве годографа, то есть в пространстве независимых переменных , . Для нахождения значений газодинамических параметров , , в пространстве физических переменных , , необходимо выполнять обратное преобразование Лежандра, которое в общем случае выполнить в явном виде затруднительно.
Связь между задачами сжатия конкретных мишеней и соответствующего истечения газа в вакуум была показана в работе А. Ф. Сидорова [8]. Так, двумерное истечение газа в вакуум с косой стенки в работе [8] было интерпретировано для описания сильного сжатия газа, заполняющего специальный призматический объем, и была установлена принципиально большая степень кумуляции газа, чем при неограниченном сжатии плоских, цилиндрических и сферических объемов газа.
С. П. Баутиным и С. Л. Дерябиным [9, c. 196-214] в пространстве специальных независимых переменных рассмотрена задача об истечении газа в вакуум при произвольном значении угла ( ) — наклона косой стенки, не связанном со значением . Доказано существование и единственность локально-аналитических решений соответствующих начально-краевых задач. В случае общих течений связь задач об истечении газа в вакуум и задач о неограниченном сжатии газа в конечный момент времени установлена С. П. Баутиным [3].
В настоящей работе исходная начально-краевая задача для системы уравнений газовой динамики, решение которой описывает истечение политропного газа в вакуум с косой стенки в пространстве физических автомодельных переменных , для несогласованного случая, т. е. когда не выполняется равенство (1), сводится в результате двух невырожденных замен к характеристической задаче Коши стандартного вида (ХЗК). Для этой новой начально-краевой задачи доказана теорема существования и единственности решения СУГД в виде сходящихся бесконечных рядов. Описан алгоритм построения коэффициентов ряда.
Необходимо отметить следующий момент. В работе [9] решалась точно такая же задача, что и в данной работе, только решение строилось для функции в пространстве годографа. То есть рассматривалось одно уравнение, а не вся СУГД, и для этого уравнения задача сводилась к ранее доказанной теореме существования и единственности решения. Выполнить переход от функции в пространстве годографа , к значениям функций , и в пространстве физических автомодельных переменных , в аналитическом виде не представляется возможным. При этом проверить отличие от нуля якобиана преобразования независимых переменных из пространства годографа в пространство физических переменных затруднительно, так как решение в явном виде в работе [9] не построено. Следовательно, для рассматриваемой задачи теорема существования и единственности решения СУГД в пространстве физических автомодельных переменных не доказана.
Положительный опыт построения аналитических решений СУГД [10, 11] как решения характеристической задачи Коши стандартного вида без сведения СУГД к одному ДУ для функции потенциала дает надежду на получение новых аналитических результатов для задачи истечения газа в вакуум на косой стенке. Ценность полученного результата заключается также в том, что он переносится на случай сжатия призматического объема газа в несогласованном случае [12].
1. Постановка задачи об истечении газа в вакуум с косой стенки. Пусть в момент времени политропный газ со скоростью звука , равной единице, покоится в клиновидной области плоскости , затемненной на рис. 1, a и ограниченной двумя прямыми непроницаемыми стенками: вертикальная стенка (при ), и косая стенка .
В момент времени вертикальная стенка мгновенно убирается, после чего начинается истечение газа в вакуум (помечено цифрой 3 на рис. 1) вдоль косой стенки .
Рисунок 1. Начальная конфигурация в момент t = 0 (a) и конфигурация потока в момент t > 0 (b): 0 — область, в которой находится покоящийся газ; 1 — область течения в виде центрированной волны; 2 — область течения в виде ДВ; 3 — область вакуума
[Figure 1. (a) Initial configuration t = 0; (b) the flow configuration at t > 0: quiescent gas region (0), the flow region in the form of a centered wave (1), the flow region in the form of a double wave (2), and the vacuum region (3)]
На рис. 1, b приведена конфигурация течения, имеющего место при истечении газа в вакуум вдоль косой стенки в момент времени . В области, помеченной цифрой 0, находится покоящийся однородный газ. Этот покоящийся газ отделен звуковой характеристикой — вертикальной прямой [13]
от области известного течения, то есть от области центрированной волны (ЦВ) Римана, задаваемой следующими формулами [13]:
.
Течение ЦВ расположено в области, помеченной цифрой 1 (см. рис. 1, b). С другой стороны ЦВ примыкает к вакууму через свободную границу, являющуюся вертикальной прямой и распростаняющуюся в вакуум по закону [13]
В области, помеченной цифрой 2 (см. рис. 1, b), находится ДВ — искомое двумерное течение. Это течение отделено от ЦВ звуковой характеристикой , которая в общем случае известна в пространстве годографа [3, 9]. В согласованном случае [7] звуковая характеристика является прямой в плоскости переменных . Область ДВ примыкает к вакууму через свободную границу, обозначенную на рис. 1, b как линия . Эта свободная граница в согласованном случае (когда выполняется соотношение (1)) есть прямая в плоскости переменных , перпендикулярная непроницаемой стенке . Поскольку стенка является непроницаемой, вектор скорости газа направлен вдоль нее, и поэтому на этой стенке выполняется соотношение (условие непротекания):
В рассматриваемой задаче требуется найти звуковую характеристику и параметры течения газа ДВ.
2. Начально-краевая задача для СУГД, описывающей истечение газа с косой стенки в переменных , . Исходная начально-краевая задача для СУГД, описывающей истечение газа в вакуум с косой стенки, в физических автомодельных переменных , для вектора имеет вид [12]:
(2)
Матрицы и задачи (2) следующие:
Здесь неизвестная звуковая характеристика задается функцией . Для упрощения записи введено обозначение . Входные данные (начальные и граничные условия, коэффициенты матриц и ) задачи (2) предполагаются аналитическими функциями.
3. Первая замена переменных. Для сведения задачи (2) к ХЗК стандартного вида делается первая замена переменных
(3)
где линия , то есть линия , задает звуковую характеристику . Якобиан замены (3) равен единице:
При выполнении условия замена (3) невырожденная. При введенной замене производные в (2) заменяются по следующим формулам:
В результате исходная начально-краевая задача (2) будет иметь вид
(4)
При этом вид матрицы следующий:
4. Нахождение звуковой характеристики После приравнивания к нулю определителя матрицы
функция определяется в явном виде. Найдем определитель матрицы при , :
Здесь .
Определитель матрицы тождественно равен нулю, если удовлетворяется одно из уравнений:
Найдем неизвестную звуковую характеристику как решение нелинейного дифференциального уравнения:
(5)
После раскрытия скобок в уравнении (5) и приведения подобных слагаемых получим следующее уравнение:
. (6)
Справедливо соотношение , тогда (6) после замены преобразуется к виду
(7)
Получим решение (7) методом вариации постоянной. Вначале построим решение однородного уравнения
Решением последнего уравнения будет выражение
(8)
где .
Получим решение неоднородного уравнения (7), полагая константу неотрицательной функцией независимой переменной , то есть . Подставляя выражение для в исходное уравнение (7), получим
С учетом второе и третье слагаемые в уравнении сокращаются. После сокращения оставшихся слагаемых на окончательно получим дифференциальное уравнение для функции :
(9)
При решением (9) будет выражение
(10)
Подставим выражение (10) в (8), с учетом замены получим выражение для характеристики:
Для функции область определения :
- при скорость звука на характеристике принимает значение , что задает границу газа с вакуумом;
- при скорость звука на характеристике принимает значение , что задает границу газа с покоем.
Из данных условий определим константу интегрирования .
В результате получим окончательное выражение для характеристики при :
(11)
Здесь . В рассматриваемом диапазоне изменения подкоренное выражение в (11) всегда положительно.
Рассмотрим случай, когда . Тогда уравнение (9) имеет вид
В результате интегрирования дифференциального уравнения получим
(12)
где .
Подставим выражение (12) в (8), с учетом замены получим выражение для характеристики:
(13)
Здесь . При этом , т. е. функции и являются аналитическими в некоторой окрестности точки .
Константу в (13) определим из условий на границе с вакуумом и покоем . Окончательное выражение для звуковой характеристики при :
(14)
Функции (11) и (14) также являются аналитическими в некоторой окрестности точки .
5. Вторая замена переменных. Далее делается новая замена переменных. Вместо переменных и по формулам
(15)
берутся новые независимые переменные и .
Уравнение косой стенки , или , отсюда . С учетом замен (3) и (15) эта прямая в переменных и имеет вид , то есть при замене (15) косая стенка берется за новую координатную ось.
Якобиан последней замены переменных (15) следующий:
Чтобы замена (15) была невырожденной, необходимо выполнение следующего неравенства:
(16)
то есть наклон косой стенки не равен наклону звуковой характеристики, разделяющей ЦВ и ДВ.
Производную функции можно выразить из уравнения (5):
(17)
Докажем неравенство (16) методом от противного. Пусть тогда с учетом (17) получим
. (18)
Знаменатель дроби (18) не равен нулю, отсюда получим квадратное уравнение для функции :
(19)
Решением (19) будет выражение для функции :
.
Видно, что выражение для функции не совпадает с полученным ранее (14) и (11), следовательно, неравенство (16) выполняется, что и требовалось доказать.
Из соотношения
(20)
неявно задающего с учетом неравенства (16) функцию от , однозначно определяется равенство
(21)
Однако дальше для простоты записи будем сохранять обозначения , , , естественно, подразумевая наличие связи (21).
При второй замене производные заменяются по следующим формулам:
В результате система уравнений с частными производными задачи (4) будет иметь следующий вид:
,
где штрих у переменной опущен. Отсюда начально-краевая задача (4) будет иметь вид
(22)
При этом вид матрицы следующий:
6. Приведение начально-краевой задачи к ХЗК стандартного вида. Приведем начально-краевую задачу (22) к ХЗК стандартного вида. Для этого построим две невырожденные матрицы, элементы которых есть функции независимой переменной :
СУГД из задачи (22) слева умножается на матрицу , а вектор заменяется новым вектором , который определяется следующим образом:
Эти преобразования невырожденные. Для вектора записывается начально-краевая задача — задача (22), приведенная к ХЗК стандартного вида:
(23)
Входные данные задачи (23) являются аналитическими функциями в некоторой окрестности точки .
Далее используется двойной индекс. Первый из них обозначает номер искомой функции, второй — номер коэффициента в разложении этой функции в степенной ряд по . Отсюда определяется вектор :
Построим краевое условие для задачи (23) через компоненты вектора . Поскольку
можно записать, что
Краевое условие (условие непротекания)
записывается таким образом:
то есть
или
Запишем краевое условие задачи (23) с учетом неявной связи между переменными , и , задаваемой соотношениями (20) и (21):
Множитель, стоящий перед коэффициентом , обозначим следующим образом:
(24)
Окончательно начально-краевая задача имеет вид
(25)
Входные данные задачи (25), включая краевое условие, также являются аналитическими функциями в некоторой окрестности точки .
Система из задачи (25) на плоскости имеет вид
(26)
Проверим необходимое условие разрешимости системы (26). Для этого распишем третье уравнение системы:
(27)
С учетом явного вида , , будем иметь
Для второго слагаемого будем иметь
Так как , последнее слагаемое уравнения (27) равно нулю, и уравнение (27) обращается в тождество — необходимое условие разрешимости выполняется.
Таким образом, для системы из задачи (26) вид матриц удовлетворяет условиям аналога теоремы Ковалевской [14]:
- матрица размерностью 3x3 при векторе производных на плоскости в левом верхнем углу имеет ненулевой минор размерностью :
остальные элементы матрицы равны нулю;
- в матрице, стоящей перед вектором производных , элемент из третьей строки и третьего столбца
не равен 0, т. к. справедливо неравенство .
Следовательно, получившаяся задача (25) является ХЗК стандартного вида [14]. Таким образом, доказана
Теорема. Поставленная задача (25) при найденной функции является характеристической задачей Коши стандартного вида и поэтому у нее в некоторой окрестности точки существует единственное локально-аналитическое решение, представимое в виде сходящегося ряда
(28)
7. Алгоритм построения решения рассматриваемой ХЗК. Коэффициенты ряда (28) с номером ноль , , определяются из начальных условий.
Для определения коэффициентов ряда с номером один в системе из задачи (25) полагается . Тогда из первых двух уравнений системы задачи (25) как из системы линейных алгебраических выражений (СЛАУ) для , находятся в виде аналитических функций коэффициенты ряда (28) с номером один для двух первых искомых функций: , .
А третье уравнение из системы задачи(25) при становится необходимым условием разрешимости рассматриваемой ХЗК — дополнительным соотношением на коэффициенты , , . В данной задаче эти необходимые условия выполняются автоматически, поскольку начальные условия в задаче (25) являются ее частным решением, и это напрямую проверено предыдущими выкладками.
После этого третье уравнение из задачи (25) дифференцируется по и полагается . В полученном соотношении коэффициенты перед коэффициентами , , равны нулю. В оставшихся слагаемых величины , и их производные по известны, а неизвестным является коэффициент и его производная по .
Это соотношение рассматривается как обыкновенное дифференциальное уравнение для с производной этой искомой функции по переменной (транспортное уравнение). Для однозначной разрешимости этого уравнения требуются два условия:
- коэффициент перед соответствующей производной , то есть коэффициент , отличен от нуля при , поскольку ;
- для функции задано начальное условие при .
Выше показано, что оба условия выполняются. Начальное условие для транспортного уравнения получается следующим образом: краевое условие из задачи (25) дифференцируется по и в получившемся соотношении
полагается
(29)
Здесь и — значения функции (24) и ее производной по при .
Поскольку коэффициенты и известны, а значит известны их значения при , последнее соотношение (29) и дает начальное условие для обыкновенного дифференциального уравнения для коэффициента , которое имеет единственное аналитическое решение.
Построение следующих коэффициентов ряда (28) производится следующим образом.
Первые два уравнения системы из задачи (25) дифференцируются раз по и полагается . Из этих двух получившихся соотношений как из СЛАУ с отличным от нуля определителем находятся коэффициенты , в виде аналитических функций.
После этого третье уравнение системы из задачи (25) дифференцируется раз по и полагается . В получившемся соотношении коэффициенты перед величинами , , равны нулю и это последнее соотношение становится обыкновенным дифференциальным уравнением для искомой функции . Коэффициент перед соответствующей производной отличен от нуля, то есть функция при отлична от нуля. Поэтому при задании для этого обыкновенного дифференциального уравнения начального условия функция определится однозначно в виде аналитической функции. Требуемое начальное условие получится после дифференцирования раз по краевого условия из задачи (25) и после подстановки в получившееся соотношение значения . Все коэффициенты , к этому моменту известны.
Построение решения задачи (25) в виде ряда (28) закончено.
Заключение
- В данной работе поставлена начально-краевая задача для СУГД, решение которой описывает движение газа при истечении в вакуум с косой стенки в пространстве физических автомодельных переменных , .
- В результате двух невырожденных замен исходная задача приведена к виду стандартной ХЗК в пространстве переменных , , где значение означает, что за новую координатную ось выбирается звуковая характеристика, а значение означает, что за новую координатную ось выбирается косая стенка.
- Из анализа элементов матриц системы, стоящих перед производными и в системе с частными производными, доказана теорема существования и единственности решения начально-краевой задачи для СУГД, решение которой описывает истечение газа с косой стенки в вакуум.
Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею.
Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.
Благодарность. Автор выражает благодарность и признательность своему научному руководителю профессору С. П. Баутину и рецензентам рукописи статьи за внимание, помощь и поддержку.
Об авторах
Евгений Игоревич Понькин
Снежинский физико-технический институт НИЯУ МИФИ
Автор, ответственный за переписку.
Email: epnk@rambler.ru
ORCID iD: 0000-0002-7848-3167
SPIN-код: 5566-8860
Scopus Author ID: 57222760792
http://www.mathnet.ru/person186131
аспирант
Россия, 456776, Снежинск, Комсомольская ул., 8Список литературы
- Courant R., Hilbert D. Methods of Mathematical Physics. vol. 2: Partial Differential Equations. New York, London: John Wiley & Sons, 1962. xxii+830 pp.
- Станюкович К. П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.: ГИТТЛ, 1955. 804 с.
- Баутин С. П. Математическое моделирование сильного сжатия газа. Новосибирск: Наука, 2007. 312 с.
- Забабахин Е. И., Забабахин И. Е. Явления неограниченной кумуляции. М.: Наука, 1988. 177 с.
- Долголева Г. В., Забродин А. В. Кумуляция энергии в слоистых системах и реализация безударного сжатия. М.: Физматлит, 2004. 69 с. EDN: UGLKZR.
- Bernstein L. A. Reactions on Excited States using the National Ignition Facility. Nuclear Astrophysics using NIF: Preprint No. UCRL PRES-233342. Livermore: Lawrence Livermore Nat. Lab., 2007.
- Сучков В. А. Истечение в вакуум на косой стенке // ПММ, 1963. Т. 27, № 4. С. 739–740.
- Сидоров А. Ф. Некоторые оценки степени кумуляции энергии при плоском и пространственном безударном сжатии газа // Докл. АН СССР, 1991. Т. 318, № 3. С. 548–552.
- Баутин С. П., Дерябин С. Л. Математическое моделирование истечения идеального газа в вакуум. Новосибирск: Наука, 2005. 390 с. EDN: QJPIDD.
- Кубанова А. К. Об одной форме аналитического решения истечения газа в пористой среде // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2003. № 19. С. 38–41. EDN: EBRVIL. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu137.
- Дерябин С. Л. Одномерное истечение самогравитирующего идеального газа в вакуум // Вычислительные технологии, 2003. Т. 8, № 4. С. 32–44. EDN: KZAREX.
- Баутин С. П., Понькин Е. И. Автомодельные решения задачи об истечении политропного газа в вакуум с косой стенки // ПМТФ, 2021. Т. 62, № 1. С. 32–40. EDN: KCQUYF. DOI: https://doi.org/10.15372/PMTF20210104.
- Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. М., Ижевск: Ин-т компьютер. исслед., 2003. 335 c. EDN: QJPLMV.
- Баутин С. П. Характеристическая задачи Коши и ее приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 2009. 368 с.
Дополнительные файлы
![](/img/style/loading.gif)