Связанная нестационарная осесимметричная задача термоэлектроупругости для круглой пьезокерамической шарнирно закрепленной пластины

Полный текст

Введение

Для бесконтактного определения температуры широкое применение получили тепловые датчики [1, 2], основным элементом в которых является пьезокерамический элемент. Для описания их работы и повышения функциональных возможностей возникает необходимость углубленного анализа нестационарных процессов, без которого невозможно понять взаимодействие температурных, электрических и упругих полей. При решении данной проблемы используются различные теории термоэлектроупругости [3, 4], в которых математическая формулировка включает систему несамосопряженных дифференциальных уравнений в частных производных.

Для наиболее точного учета эффекта связанности термоэлектроупругих полей на первый план выходят методы, позволяющие получить замкнутые решения нестационарных краевых задач в трехмерной постановке. При этом для преодоления математических трудностей в случае интегрирования исходной системы уравнений используются различные упрощения: исследуются стационарные задачи, рассматриваются в несвязанной постановке или анализируются конструкции с вырожденной геометрией.

В частности, в статье [5] рассматривается несвязанная стационарная осесимметричная задача для длинного электроупругого цилиндра. В работе [6] изложен подход к решению трехмерных статических задач для изотропного тела и систематизированы решения для пьезокерамических тел канонической формы.

В работе [7] в несвязанной постановке рассматривается толстостенный шар с короткозамкнутыми электродированными поверхностями при наличии на его внутренней поверхности осесимметричной механической и температурной (граничные условия теплопроводности 1-го рода) нагрузки. В статьях [8, 9] исследуется нестационарная задача радиально поляризованного функционально градуированного пьезоэлектрического полого цилиндра. Исследования [10, 11] посвящены построению решения несвязанных задач для пьезокерамической оболочки и круглой пластины при удовлетворении на лицевых поверхностях граничных условий теплопроводности 1-го и 3-го рода.

Связанные нестационарные задачи термоэлектроупругости для однородного и неоднородного пьезокерамического слоя рассматривались в работах [12–14], а в статьях [15, 16] объектом исследования являлась неограниченная среда. Работы [17, 18] посвящены анализу связанных нестационарных полей в длинном пьезокерамическом цилиндре. В статье [19] рассмотрена нелинейная одномерная задача термоэлектроупругости с термической релаксацией.

Целью настоящей работы является построение нового замкнутого решения нестационарной осесимметричной задачи термоэлектроупругости для шарнирно закрепленной круглой пьезокерамической пластины с учетом связанности механических, электрических и температурных полей при удовлетворении граничных условий теплопроводности 1-го рода. При этом ограничение по скорости изменения температуры на ее лицевой поверхности [11] позволяет использовать в расчетных соотношениях уравнения равновесия.

1. Постановка задачи

Круглая сплошная однородная шарнирно закрепленная пьезокерамическая пластина в цилиндрической системе координат $( r_\ast ,\theta ,z_\ast )$ занимает область $\Omega: \{ 0\leqslant r_\ast \leqslant b, 0\leqslant \theta \leqslant 2\pi ,0\leqslant z_\ast \leqslant h^\ast \}$, где $b$, $h^\ast$ — радиус и толщина. Рассматривается случай нестационарного изменения температуры $\omega _1^\ast (r_\ast ,t_\ast )$, $\omega_2^\ast (r_\ast ,t_\ast )$, $\omega_3^\ast (t_\ast )$ соответственно на ее верхней ($z_\ast =0$) и нижней ($z_\ast =h^\ast$) лицевых плоскостях, а также на цилиндрической ($r_\ast =b$) поверхности; $t_\ast$ — время. Лицевые электродированные поверхности пластины подключены к измерительному прибору с большим входным сопротивлением (рис. 1), при этом нижний электрод заземлен. Пренебрежимо малая толщина электродного металлопокрытия по сравнению с высотой пластины позволяет учитывать его только при формировании электрических граничных условий.

Рис. 1. Расчетная схема для закрепленной пьезокерамической пластины
[Figure 1. Calculation scheme for a fixed piezoceramic plate]

Математическая формулировка рассматриваемой задачи термоэлектроупругости включает в себя систему дифференциальных уравнений для аксиально поляризованного трансверсально-изотропного пьезокерамического материала с гексагональной кристаллической решеткой и следующие краевые условия даннной задачи в безразмерной форме [21]:
\[ \begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\frac{\partial }{\partial r}\nabla U+a_1 \frac{\partial ^2U}{\partial 
z^2}+a_2 \frac{\partial ^2W}{\partial r\partial z}+a_3 \frac{\partial ^2\phi 
}{\partial r\partial z}-\frac{\partial \Theta }{\partial r}=0,
\\
\displaystyle
a_1 \nabla \frac{\partial W}{\partial r}+a_4 \frac{\partial ^2W}{\partial 
z^2}+a_2 \nabla \frac{\partial U}{\partial z}+a_5 \nabla \frac{\partial \phi 
}{\partial r}+a_6 \frac{\partial ^2\phi }{\partial z^2}-a_7 \frac{\partial 
\Theta }{\partial z}=0,
\\
\displaystyle
-\nabla \frac{\partial \phi }{\partial r}-a_8 \frac{\partial ^2\phi 
}{\partial z^2}+a_9 \nabla \frac{\partial U}{\partial z}+a_{10} \nabla 
\frac{\partial W}{\partial r}+a_{11} \frac{\partial ^2W}{\partial 
z^2}+a_{12} \nabla \Theta +a_{13} \frac{\partial \Theta }{\partial z}=0,
\\
\displaystyle
\nabla \frac{\partial \Theta }{\partial r}+\frac{\partial ^2\Theta 
}{\partial z^2}-\frac{\partial }{\partial t}\Bigl[ \Theta +a_{14} \Bigl( 
\nabla U+\frac{\partial W}{\partial z} \Bigr)-a_{15} \frac{\partial \phi 
}{\partial z} \Bigr]=0;
\end{array}
\end{equation} \tag{1} \]
\[ \begin{equation}
\begin{array}{c}
\bigl\{ U,W,\phi ,\Theta \bigr\}\big|_{r=0} <\infty,
\quad
\big\{ W,\phi \big\} \big|_{r=1} =0, \quad \Theta \big|_{r=1} =\omega _3,
\\
\Bigl\{\dfrac{\partial U}{\partial r}+a_{16} \dfrac{U}{r}+a_{17} 
\dfrac{\partial W}{\partial z}+\dfrac{\partial \phi }{\partial z}-\Theta \Bigr\}\Big|_{r=1} =0;
\end{array}
\end{equation} \tag{2} \]
\[ \begin{equation}
\begin{array}{c}
\Bigl(a_{17} \nabla U + a_4 \dfrac{\partial W}{\partial z} + a_6 \dfrac{\partial \phi 
}{\partial z}-a_7 \Theta\Bigr)\Big|_{z=0,h} =0,
\quad
\Bigl(\dfrac{\partial W}{\partial r}+\dfrac{\partial U}{\partial z}\Bigr)\Bigr|_{z=0,h}=0,
\\
\Bigl(-a_8 \dfrac{\partial \phi }{\partial z}+\dfrac{a_{10} }{a_5 }\nabla 
U+a_{11} \dfrac{\partial W}{\partial z}+a_{13} \Theta \Bigr)\Big|_{z=0} =0,
\\
\phi \big|_{z=h} =0, \quad
\Theta \big|_{z=0} =\omega _1, \quad
\Theta\big|_{z=h} =\omega _2;
\end{array}
\end{equation} \tag{3} \]
\[ \begin{equation}
\big\{U,W,\phi ,\Theta \big\}\big|_{t=0}=0, \quad
\frac{\partial \{U,W,\phi \}}{\partial t}\Big|_{t=0} =0,
\quad
\frac{\partial \Theta }{\partial t}\Big|_{t=0} =\dot {\Theta }_0.
\end{equation} \tag{4} \]

В равенствах (1)–(4) использованы следующие обозначения:
\[ \begin{equation*}
\nabla =\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r};
\quad 
\{ U,W,r,z \}= \frac1b \{ U^\ast ,W^\ast ,r_\ast ,z_\ast \} , \quad
\phi =\frac{e_{31} }{C_{11} b}\phi ^\ast,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
t=\frac{\Lambda }{kb^2}t_\ast , \quad \Theta =\frac{\gamma _{11} }{C_{11} }\Theta ^\ast , \quad 
\Theta ^\ast =T-T_0 , \quad 
 \{\omega _1 ,\omega _2 ,\omega _3 \}=\frac{\gamma _{11} }{C_{11} } [ \{ \omega _1^\ast 
,\omega _2^\ast ,\omega _3^\ast \}-T_0 ];
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
a_1 =\frac{C_{55} }{C_{11} } ,\quad a_2 =\frac{C_{13} +C_{55} }{C_{11} }, \quad 
a_3 =\frac{e_{15} +e_{31} }{e_{31} } , \quad a_4 =\frac{C_{33} }{C_{11} },\quad a_5 
=\frac{e_{15} }{e_{31} },
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
a_6 =\frac{e_{33} }{e_{31} },\quad a_7 =\frac{\gamma _{33} }{\gamma _{11} }, \quad 
a_8 =\frac{\varepsilon _{33} }{\varepsilon _{11}},\quad 
a_9 =\frac{e_{31} (e_{15} +e_{31} )}{C_{11} \varepsilon _{11} },\quad 
a_{10} =\frac{e_{15} e_{31} }{C_{11} \varepsilon _{11} },
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
a_{11} =a_{10} \frac{e_{33} }{e_{15} },\quad 
a_{12} =\frac{g_{11} e_{31} }{\gamma _{11} \varepsilon _{11} },\quad 
a_{13} =a_{12} \frac{g_{33} }{g_{11} },\quad 
a_{14} =T_0 \frac{\gamma _{11} \gamma _{33} }{C_{11} k} ,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
a_{15} =T_0 \frac{g_{33} \gamma _{11} }{e_{31} k},\quad 
a_{16} =\frac{C_{12} }{C_{11} },\quad 
a_{17} =\frac{C_{13} }{C_{11} },
\end{equation*} \]
где $\nabla $ — дифференциальный оператор; $U^\ast (r_\ast ,z_\ast ,t_\ast )$, $W^\ast (r_\ast ,z_\ast ,t_\ast )$, $\phi ^\ast (r_\ast ,z_\ast ,t_\ast )$, $\Theta ^\ast (r_\ast ,z_\ast ,t_\ast )$ — компоненты вектора перемещений, потенциал электрического поля и приращение температуры в размерной форме; $C_{ms}$, $e_{ms}$, $\varepsilon _{11}$, $\varepsilon _{33}$ — модули упругости, пьезомодули и коэффициенты диэлектрической проницаемости электроупругого материала, $m, s=\overline {1,3}$; $\gamma _{11}$, $\gamma _{33}$ — компоненты тензора температурных напряжений, $\gamma _{11} =C_{11} \alpha_t$, $\gamma _{33} =C_{33} \alpha _t$; $\Lambda$, $k$, $\alpha _t$ — коэффициенты теплопроводности, объемной теплоемкости и линейного температурного расширения материала; $g_{11}$, $g_{33}$ — компоненты тензора пирокоэффициентов; $T$, $T_0$ — соответственно текущая температура и температура первоначального состояния тела; $\dot {\Theta }_0$ — известная в начальный момент скорость изменения температуры.

Последнее условие (2) и первые две зависимости (3) соответственно учитывают отсутствие механических напряжений на цилиндрической и лицевых поверхностях. Равенство $\phi |_{r=1} =0$ учитывает отсутствие свободных электрических зарядов вследствие аксиальной поляризации материала. Условия (4) предполагают, что в начальный момент времени конструкция имеет температуру $T_0$ и находится в недеформированном состоянии.

Напряжение холостого хода $V (t_\ast )$ определяется зависимостью
\[ \begin{equation*}
V^\ast (t_\ast )=\frac{2}{b^2}\int _0^b \phi^\ast 
 (r_\ast , 0, t_\ast ) r_\ast dr
\end{equation*} \]
с учетом заземления нижней лицевой поверхности пьезокерамического элемента.

2. Построение общего решения

Для использования преобразования Ханкеля по радиальной координате необходимо принять $C_{11} =C_{12}$ $(a_{16} =1)$ и привести неоднородное граничное условие (2) на цилиндрической поверхности к однородному путем введения новых функций $u (r,z,t )$, $\Phi ( r,z,t )$, связанных с $U (r,z,t )$, $\Theta (r,z,t )$ следующими зависимостями:
\[ \begin{equation}
\Theta (r,z,t ) = \omega _3 ( t ) + \Phi (r,z,t ),
\quad
U ( r,z,t )=\frac{r}{2}\omega _3 ( t ) + u (r,z,t ).
\end{equation} \tag{5} \]

В результате подстановки (5) в (1)–(4) получаем новую краевую задачу относительно функций $u$, $W$, $\phi$, $\Phi$. При этом второе и третье уравнения (1), а также граничные (2) и начальные условия (4), включающие функции $U$, $\Theta$, становятся неоднородными соответственно с правыми частями $F_1$, $F_2$, $B_1, \dots, B_4$, $u_0$, $\dot {u}_0$, $\Phi _0$, $\dot{\Phi }_0$ следующего вида:
\[ \begin{equation*}
F_1 =-a_{12} r^{-1}\omega _3, 
\quad 
F_2 = (1+a_{14} ) \frac{d\omega _3 }{dt}, 
\quad
B_1 = (a_7 -a_{17} )\omega _3, 
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
 B_2 =-\Bigl( a_{13} +\frac{a_{10} }{a_5 } \Bigr)\omega _3, 
 \quad 
B_3 =\omega _1 -\omega _3 , 
\quad 
B_4 =\omega _2 -\omega _3, 
\quad 
u_0 =-\frac{r}{2}\omega _3 ( 0 ),
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\dot {u}_0 =-\frac{r}{2}\frac{d\omega _3 }{dt} \Big|_{t=0},
\quad 
\Phi _0 =-\omega _3 ( 0 ), \quad \dot {\Phi }_0 =\dot {\Theta }_0 -\frac{d\omega _3 }{dt} \Big|_{t=0},
\end{equation*} \]
а граничные условия (2) принимают вид
\[ \begin{equation*}
\{ u, W,\phi ,\Phi \} |_{r=0} <\infty,
\quad
 \{ W, \phi, \Phi \} |_{r=1}=0,\quad
\Bigl\{ \nabla u+a_{17} \frac{\partial W}{\partial z}+\frac{\partial \phi 
}{\partial z}-\Phi \Bigr\} \Big|_{r=1}=0.
\end{equation*} \]

Введем на сегменте $[0, 1]$ однокомпонентное интегральное 
преобразование Ханкеля с конечными пределами по переменной $r$ при 
использовании следующих трансформант: 
\[ \begin{equation*}
u_H (n,z,t )=\int _0^1 u (r,z,t ) r J_1 (j_n r ) dr,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
 \{ w_H (n,z,t ), \phi _H (n,z,t ), \Theta _H (n,z,t ) \}=\int _0^1 \{ W (r,z,t ), \phi (r,z,t ), \Phi ( r,z,t ) 
 \} r J_0 ( j_n r ) dr, 
\end{equation*} \]
и формул обращения
\[ \begin{equation*}
u ( r,z,t ) = 2\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{u_H ( n,z,t )} {J_1 ( j_n )^2} J_1 ( j_n r ),
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation}
\{ W ( r,z,t ), \phi ( r,z,t ), \Phi (r,z,t ) \}=2\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{ \{ w_H ( n, z, t ), \phi _H ( n, z, t ), \Theta _H ( n,z,t ) \}}
{J_1 ( j_n )^2} J_0 ( j_n r ),
\end{equation} \tag{6} \]
где $j_n$ — положительные нули (корни) функции $J_0 ( j_n )$, $J_v ({}\cdot{})$ — функции Бесселя первого рода порядка $v$.

В результате использования алгоритма преобразования получается начально-краевая задача относительно трансформант Ханкеля:
\[ \begin{equation}
\begin{array}{l}
-j_n^2 u_H +a_1 \dfrac{\partial ^2 u_H }{\partial z^2}-a_2 j_n \dfrac{\partial 
w_H }{\partial z}+a_3 j_n \dfrac{\partial \phi _H }{\partial z}+j_n \Theta _H =0,
\\
-a_1 j_n^2 w_H +a_4 \dfrac{\partial ^2w_H }{\partial z^2}+a_2 j_n 
\dfrac{\partial u_H }{\partial z}-a_5 j_n^2 \phi _H +a_6 \dfrac{\partial 
^2\phi _H }{\partial z^2}-a_7 \dfrac{\partial \Theta _H }{\partial z}=0,
\\
j_n^2 \phi _H {-}a_8 \dfrac{\partial ^2\phi _H }{\partial z^2}{+}a_9 j_n 
\dfrac{\partial u_H }{\partial z}{-}a_{10} j_n^2 w_H {+}a_{11} \dfrac{\partial 
^2w_H }{\partial z^2}{+}a_{12} j_n \Theta _H {+}a_{13} \dfrac{\partial \Theta _H 
}{\partial z}=F_{1H},
\\
-j_n^2 \Theta _H +\dfrac{\partial ^2\Theta _H }{\partial z^2}-\dfrac{\partial 
}{\partial t}
\Bigl[ \Theta _H +a_{14} \Bigl( j_n u_H +\frac{\partial w_H 
}{\partial z} \Bigr)-a_{15} \frac{\partial \phi _H }{\partial z} \Bigr]=F_{2H};
\end{array}
\end{equation} \tag{7} \]
\[ \begin{equation*}
\Bigl(
a_{17} j_n u_H +a_4 \frac{\partial w_H }{\partial z}+a_6 \frac{\partial 
\phi _H }{\partial z}-a_7 \Theta _H \Bigr)\Big|_{z=0, h}\!\!\! =B_{1H},
\quad
\Bigl(\frac{\partial u_H}{\partial z}-j_n w_H \Bigr)\Big|_{z=0, h}\!\!\! =0,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation}
\Bigl( -a_8 \frac{\partial \phi_H }{\partial z}+\frac{a_{10} }{a_5 }j_n 
u_H +a_{11} \frac{\partial w_H }{\partial z}+a_{13} \Theta _H \Bigr) \Big|_{z=0} =B_{2H},
\\
\phi _H |_{z=h} =0, \quad \Theta_{H} |_{z=0} =B_{3H}, \quad \Theta_{H} |_{z=h} = B_{4H};
\end{equation} \tag{8} \]
\[ \begin{equation}
\begin{array}{c}
u_H|_{t=0} =u_{0H}, \quad \Theta_H |_{t=0} =\Theta_{0H}, \quad \{w_H ,\phi _H \} |_{t=0}=0,
\quad
\dfrac{\partial u_H }{\partial t}\Big|_{t=0} =\dot {u}_{0H},
\\
\dfrac{\partial \{u_H , w_H \}}{\partial t} \Big|_{t=0} =0,
\quad
\dfrac{\partial \Theta _H}{\partial t}\Big|_{t=0} =\dot {\Theta }_{0H},
\end{array} 
\end{equation} \tag{9} \]
где
\[ \begin{equation*}
 \{ u_{0H} ,\dot {u}_{0H} \}=\int _0^1 \{ u_0,\dot {u}_0 \} r J_1 (j_n r )dr,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
 \{F_{1H} ,F_{2H} ,B_{1H} ,B_{2H} ,B_{3H} ,B_{4H} ,\Theta _{0H} ,\dot 
{\Theta }_{0H} \}=\int _0^1 \{ F_1 ,F_2 ,B_1 ,B_2 ,B_3 ,B_4 ,\Phi _0 ,\dot \Phi_0 \} r J_0 ( j_n r ) dr.
\end{equation*} \]

На следующем этапе решения выполняется процедура приведения расчетных соотношений (7)–(9) к виду, позволяющему в дальнейшем использовать метод конечных биортогональных интегральных преобразований [24]. Для этого вводятся новые функции $U_H ( n,z,t)$, $W_H (n,z,t)$, $\varphi _H (n,z,t)$, $\Phi _H (n,z,t)$, связанные с $u_H (n,z,t)$, $w_H (n,z,t)$, $\phi _H (n,z,t)$, $\Theta _H (n,z,t)$ следующими соотношениями:
\[ \begin{equation}
\begin{array}{l}
u_H (n,z,t)=H_1 (n,z,t){+}U_H (n,z,t), \;
w_H (n,z,t)=H_2 (n,z,t){+}W_H (n,z,t),
\\
\phi _H (n,z,t)=H_3 (n,z,t){+}\varphi _H (n,z,t), \;
\Theta _H (n,z,t)=H_4 (n,z,t){+}\Phi _H (n,z,t),
\end{array}
\end{equation} \tag{10} \]
где
\[ \begin{multline*}
 \{H_1 ,H_2 ,H_3 ,H_4 \}= \{f_1 ( z ), f_2 ( z ), f_3 ( z ), f_4 ( z ) \} B_{1H} (0,t)+
\{ f_5 ( z ), f_6 ( z ), f_7 ( z ), f_8 ( z ) \} B_{1H} (h,t)+
\{f_9 ( z ), f_{10} ( z ), f_{11} ( z ), f_{12} ( z ) \} B_{2H} (0,t)+ {} \\ {} +
\{f_{13} ( z ), f_{14} ( z ), f_{15} ( z ), f_{16} ( z ) \} B_{3H} (0,t)+ \{f_{17} ( z ), f_{18} ( z ), f_{19} ( z ), f_{20}
( z ) \}B_{4H} (h,t),
\end{multline*} \]
$f_1 ( z ), \dots, f_{20} (z)$ — дважды дифференцируемые функции.

Подстановка (10) в (7)–(9) при удовлетворении условий для случая ${z=0, h}$:
\[ \begin{equation}
\begin{array}{c}
\Bigl(
a_{17} j_n H_1 +a_4 \dfrac{\partial H_2 }{\partial z}+a_6 \dfrac{\partial H_3 }{\partial z}-a_7 H_4 \Bigr)\Big|_{z=0, h} =B_{1H},
\quad 
j_n H_2 -\dfrac{\partial H_1}{\partial z}=0,
\\
H_3 |_{z=h} =0, \quad
\Bigl(-a_8 \dfrac{\partial H_3 }{\partial z}+\dfrac{a_{10}}{a_5} j_n H_1 
+a_{11} \dfrac{\partial H_2}{\partial z}+a_{13} H_4 \Bigr)\Big |_{z=0}=B_{2H},
\\
H_{4} |_{z=0} =B_{3H},\quad
H_{4} |_{z=h} =B_{4H}
\end{array}
\end{equation} \tag{11} \]
позволяет получить начально-краевую задачу относительно функций $U_H (n,z,t)$, $W_H (n,z,t)$, $\varphi _H (n,z,t)$, $\Phi _H (n,z,t)$ с однородными граничными условиями:
\[ \begin{equation}
\begin{array}{l}
-j_n^2 U_H +a_1 \dfrac{\partial^2 U_H }{\partial z^2}-a_2 j_n \dfrac{\partial 
W_H }{\partial z}+a_3 j_n \dfrac{\partial \varphi _H}{\partial z}+j_n \Phi 
_H =F_{1H}^\ast,
\\
-a_1 j_n^2 W_H +a_4 \dfrac{\partial ^2 W_H}{\partial z^2}+a_2 j_n 
\dfrac{\partial U_H}{\partial z}-a_5 j_n^2 \varphi _H + 
a_6 \dfrac{\partial ^2\varphi _H}{\partial z^2}-a_7 \dfrac{\partial \Phi _H }{\partial z}=F_{2H}^\ast,
\\
j_n^2 \varphi _H -a_8 \dfrac{\partial^2 \varphi_H }{\partial z^2}+
a_9 j_n \dfrac{\partial U_H }{\partial z}-a_{10} j_n^2 W_H +a_{11} \dfrac{\partial ^2W_H }{\partial z^2}
+a_{12} j_n \Phi _H +a_{13} \dfrac{\partial \Phi _H }{\partial z}=F_{3H}^\ast,
\\
-j_n^2 \Phi _H +\dfrac{\partial ^2 \Phi_H}{\partial z^2}-\dfrac{\partial }{\partial t}\Bigl[\Phi _H +a_{14} \Bigl(j_n U_H +\dfrac{\partial W_H }{\partial z} \Bigr)-a_{15} \dfrac{\partial \varphi _H }{\partial z} 
\Bigr]=F_{4H}^\ast;
\end{array}
\end{equation} \tag{12} \]
\[ \begin{equation*}
\Bigl( a_{17} j_n U_H +a_4 \frac{\partial W_H }{\partial z}+a_6 \frac{\partial \varphi _H }{\partial z}-a_7 \Phi _H \Bigr)\Big|_{z=0,h} =0, \; \;
\Bigl( \frac{\partial U_H}{\partial z}-j_n W_H \Bigr)\Big|_{z=0,h}=0,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation}
\Bigl( -a_8 \frac{\partial \varphi _H }{\partial z}+\frac{a_{10} }{a_5 }j_n 
U_H +a_{11} \frac{\partial W_H }{\partial z} \Bigr) \Big|_{z=0} =0,
\end{equation} \tag{13} \]
\[ \begin{equation*}
\varphi_{H} |_{z=h} =\Phi _{H} |_{z=0} =\Phi _{H} |_{z=h} =0;
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
U_H|_{t=0} =U_{0H},\quad W_H |_{t=0} =W_{0H}, \quad \varphi_H |_{t=0} =\varphi_{0H}, \quad \Phi _H |_{t=0} =\Phi_{0H},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation}
\frac{\partial U_H }{\partial t}\Big|_{t=0} =\dot {U}_{0H},
\quad
\frac{\partial W_H }{\partial t}\Big|_{t=0} =\dot {W}_{0H},
\end{equation} \tag{14} \]
\[ \begin{equation*}
\frac{\partial \varphi _H }{\partial t}\Big|_{t=0} =\dot {\varphi }_{0H},
\quad
\frac{\partial \Phi _H }{\partial t}\Big|_{t=0} =\dot {\Phi }_{0H};
\end{equation*} \]
где 
\[ \begin{equation*}
F_{1H}^\ast =j_n^2 H_1 -a_1 \frac{\partial ^2H_1 }{\partial z^2}+a_2 
j_n \frac{\partial H_2 }{\partial z}-a_3 j_n \frac{\partial H_3 }{\partial 
z}-j_n H_4,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
F_{2H}^\ast =a_1 j_n^2 H_2 -a_4 \frac{\partial ^2H_2}{\partial z^2}-a_2 j_n 
\frac{\partial H_1 }{\partial z}+a_5 j_n^2 H_3 -a_6 \frac{\partial ^2H_3 
}{\partial z^2}+a_7 \frac{\partial H_4 }{\partial z},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
F_{3H}^\ast =F_{1H} -j_n^2 H_3 +a_8 \frac{\partial^2 H_3}{\partial z^2}-a_9 
j_n \frac{\partial H_1 }{\partial z}+a_{10} j_n^2 H_2
-a_{11} \frac{\partial ^2H_2 }{\partial z^2}-a_{12} j_n H_4 -a_{13} \frac{\partial H_4 }{\partial z},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
F_{4H}^\ast =F_{2H} +j_n^2 H_4 -\frac{\partial^2 H_4 }{\partial z^2}+
\Bigl(\frac{\partial }{\partial t}+\beta \frac{\partial ^2}{\partial t^2} 
\Bigr)\cdot
\Bigl[ H_4 +a_{14} \Bigl(j_n H_1 +\frac{\partial H_2 }{\partial z} \Bigr)-a_{15} \frac{\partial H_3 }{\partial z} \Bigr];
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
U_{0H} =u_{0H} -H_{1} |_{t=0},
\quad
W_{0H} =-H_{2} |_{t=0},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\varphi _{0H} =-H_{3} |_{t=0},
\quad 
\Phi _{0H} =\Theta _{0H} -H_{4} |_{t=0}, 
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\dot {U}_{0H} =\dot {u}_{0H} -\frac{\partial H_1 }{\partial t}\Big|_{t=0} ,
\quad 
\dot {W}_{0H} =-\frac{\partial H_2 }{\partial t}\Big|_{t=0},\\
\dot {\varphi }_{0H} =-\frac{\partial H_3 }{\partial t}\Big|_{t=0},
\quad
\dot {\Phi }_{0H} =\dot {\Theta }_{0H} -\frac{\partial H_4 }{\partial 
t}\Big|_{ t=0} .
\end{equation*} \]

Начально-краевую задачу (12)–(14) решаем, используя структурный алгоритм вырожденного биортогонального конечного интегрального преобразования (КИП) [24]. Для этого вводим на сегменте $[ 0{,} h ]$ КИП с неизвестными компонентами собственных вектор-функций ядер преобразований $K_m (\lambda _{in} , z )$, $N_m ( \mu _{in} ,z )$, $m=\overline{1, 4}$:
\[ \begin{equation*}
G (n,\lambda _{in} ,t )=\int _0^h \Bigl[ \Phi _H +a_{14} \Bigl( j_n U_H +\frac{\partial W_H }{\partial z} \Bigr)-a_{15} \frac{\partial \varphi _H }{\partial z} \Bigr] K_4 (\lambda _{in} ,z )dz,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation}
 \{ U_H ,W_H ,\varphi _H ,Y_H \}=\sum\limits_{i=1}^\infty 
G (n,\lambda _{in} ,t ) \frac{ \{ N_1 (\mu _{in} ,z ), N_2 (\mu _{in} ,z ), N_3 (\mu _{in} ,z ), 
N_4 (\mu _{in} ,z ) \}} { \| K_{in} \|^2},
\end{equation} \tag{15} \]
\[ \begin{equation*}
\|K_{in} \|^2=\int _0^h K_4 (\lambda _{in} ,z ) N_4 (\mu_{in} ,z ) dz,
\end{equation*} \]
где $\lambda _{in}$, $\mu _{in}$ — собственные значения соответствующих однородных линейных краевых задач относительно сопряженных $K_k (\lambda _{in} ,z )$ и инвариантных $N_k (\mu _{in} ,z )$ компонент вектор-функций ядер КИП, $k= \overline{ 1, 4}$.

Особенность данного преобразования заключается в том, что трансформанта и формулы обращения (15) содержат различные ядровые вектор-функции $K_4 
(\lambda _{in} ,z )$, $N_k (\mu _{in} ,z )$.

Согласно процедуре преобразования формируется счетное множество задач для трансформанты $G (n,\lambda _{in} ,t )$ вида
\[ \begin{equation*}
\Bigl(\frac{d}{dt}+\lambda _{in}^2 \Bigr) G (n,\lambda _{in} ,t )=
-F_H (n,\lambda _{in} ,t ),\quad i=\overline {1,\infty }, \; n=\overline {0,\infty };
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
 G (\lambda _{in} , n, t ) |_{t=0}=G_{0H},
\end{equation*} \]
решение которых имеет вид
\[ \begin{equation}
G (n,\lambda _{in} )=G_0 \exp ( -\lambda _{in}^2 t )- \int _0^t F_H (n,\lambda _{in} ,\tau ) 
\exp [ \lambda _{in}^2 (\tau -t) ] d\tau,
\end{equation} \tag{16} \]
и две однородные задачи относительно компонент ядра преобразования $K_k (\lambda _{in} ,z )$, $k=\overline{1, 4}$:
\[ \begin{equation}
\begin{array}{l}
-j_n^2 K_{1in} +a_1 \dfrac{d^2K_{1in} }{dz^2}-a_2 j_n \dfrac{dK_{2in}}{dz}-a_9 j_n \dfrac{dK_{3in} }{dz}+\lambda _{in}^2 a_{14} j_n K_{4in} =0,
\\
-a_1 j_n^2 K_{2in} +a_4 \dfrac{d^2K_{2in} }{dz^2}+a_2 j_n \dfrac{dK_{1in} 
}{dz}-a_{10} j_n^2 K_{3in} +a_{11} \dfrac{d^2K_{3in} }{dz^2}-\lambda _{in}^2 a_{14} \dfrac{dK_{4in} }{dz}=0,
\\
j_n^2 K_{3in} -a_8 \dfrac{d^2K_{3in} }{dz^2}-a_3 j_n \dfrac{dK_{1in} }{dz}-a_5 
j_n^2 K_{2in} +a_6 \dfrac{d^2K_{2in} }{dz^2}+\lambda _{in}^2 a_{15} \dfrac{dK_{4in}}{dz}=0,
\\
( \lambda _{in}^2 -j_n^2 )K_{4in} +\dfrac{d^2K_{4in}}{dz^2}+j_n K_{1in} +
a_7 \dfrac{dK_{2in} }{dz}+a_{12} j_n K_{3in} -a_{13} \dfrac{dK_{3in} }{dz}=0;
\end{array}
\end{equation} \tag{17} \]
\[ \begin{equation}
\begin{array}{c}
\Bigl( a_{17} j_n K_{1in} +a_4 \dfrac{dK_{2in} }{dz}+a_{11} \dfrac{dK_{3in} }{dz}\Bigr)\Big|_{z=0, h}=0,\\
\Bigl(\dfrac{dK_{1in} }{dz}-j_n K_{2in} -\dfrac{a_{10} }{a_1 }j_n K_{3in} \Bigr)\Big|_{z=0, h} =0,
\\
\Bigl( -a_8 \dfrac{dK_{3in} }{dz}-a_3 j_n K_{1in} +a_6 \dfrac {dK_{2in} }{dz} \Bigr)\Big|_{z=0} =0,
\\
K_{3in} |_{z=h} =K_{4in} |_{z=0} =K_{4in} |_{z=h} =0
\end{array}
\end{equation} \tag{18} \]
и компонент $N_k (\mu _{in} ,z )$, $k=\overline{1, 4}$:
\[ \begin{equation}
\begin{array}{l}
-j_n^2 N_{1in} +a_1 \dfrac{d^2N_{1in} }{dz^2}-a_2 j_n \dfrac{dN_{2in}}{dz}+a_3 j_n \dfrac{dN_{3in} }{dz}+j_n N_{4in} =0,
\\
-a_1 j_n^2 N_{2in} +a_4 \dfrac{d^2N_{2in} }{dz^2}+a_2 j_n \dfrac{dN_{1in} }{dz}-a_5 j_n^2 N_{3in} +a_6 \dfrac{d^2N_{3in} }{dz^2}-a_7 \dfrac{dN_{4in}}{dz}=0,
\\
j_n^2 N_{3in} -a_8 \dfrac{d^2N_{3in} }{dz^2}+a_9 j_n \dfrac{dN_{1in} }{dz}-a_{10} j_n^2 N_{2in} +
a_{11} \dfrac{d^2N_{2in} }{dz^2}+a_{12} j_n N_{4in} +a_{13} \dfrac{dN_{4in} }{dz}=0,
\\
-j_n^2 N_{4in} +\dfrac{d^2N_{4in} }{dz^2}+\mu _{in}^2 
\Bigl( N_{4in} +a_{14} j_n N_{1in} +a_{14} \dfrac{dN_{2in} }{dz}-a_{15} \dfrac{dN_{3in} }{dz} \Bigr)=0;
\end{array}
\end{equation} \tag{19} \]
\[ \begin{equation}
\begin{array}{c}
\Bigl( a_{17} j_n N_{1in} +a_4 \dfrac{dN_{2in} }{dz}+a_6 \dfrac{dN_{3in} }{dz}\Bigr)\Big|_{z=0,h}=0,
\\
\Bigl( \dfrac{\partial N_{1in} }{\partial z}-j_n N_{2in}\Bigr)\Big|_{z=0,h}=0,
\\
\Bigl( -a_8 \dfrac{dN_{3in} }{dz}+\dfrac{a_{10} }{a_5 }j_n N_{1in} +a_{11} 
\dfrac{dN_{2in} }{dz} \Bigr)\Big|_{z=0} =0,
\\
N_{3in} |_{z=h} = N_{4in} |_{z=0} = N_{4in} |_{z=h} =0,
\end{array}
\end{equation} \tag{20} \]
где 
\[ \begin{equation*}
F_H (n,\lambda _{in} ,t )=\int _0^h (F_1 K_{1in} +F_2 K_{2in} +F_3 K_{3in} +F_4 K_{4in} )dz,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
G_{0H} =\int _0^h \Bigl[ \Phi _{0H} +a_{14} \Bigl( j_n U_{0H} + \frac{dW_{0H} }{dz} \Bigr)-a_{15} \dfrac{d\varphi _{0H} }{dz} \Bigr] 
K_{4in} dz.
\end{equation*} \]

Построенная однородная задача (19), (20) относительно функций $N_k (\mu _{in} ,z )$, $k=\overline{1, 4}$, является сопряженной по отношению к исходным расчетным соотношениям (12), (13).

Системы (17), (19) приводятся к следующим дифференциальным уравнениям относительно $K_2 (\lambda _{in} ,z )$, $N_2 (\mu _{in},z )$:
\[ \begin{equation}
\Bigl( \frac{d^8}{dz^8}+e_{1in} \frac{d^6}{dz^6}+e_{2in} 
\frac{d^4}{dz^4}+e_{3in} \frac{d^2}{dz^2}+e_{4in} \Bigr) \{ K_{2in}, N_{2in} \}=0,
\end{equation} \tag{21} \]
левые части которых можно разложить на следующие коммутативные сомножители:
\[ \begin{equation}
\Bigl( \frac{d^2}{dz^2}-A_{1in}^2 \Bigr)\Bigl( \frac{d^2}{dz^2}+A_{2in}^2 \Bigr)\Bigl(\frac{d^4}{dz^4}+m_{3in}^2 \frac{d^2}{dz^2}+m_{4in}^2 \Bigr) \{ K_{2in} , N_{2in} \}=0,
\end{equation} \tag{22} \]
где 
\[ \begin{equation*}
A_{1in} =\sqrt {B_{1in}},\quad A_{2in} =\sqrt {S_{1in}},\quad 
m_{3in}^2 =e_{1in} +B_{1in} +S_{1in},\quad m_{4in}^2 =\frac{e_{4in} }{B_{1in} S_{2in}};
\end{equation*} \] 
$B_{1in}$, $S_{1in}$ — действительные положительные корни следующих характеристических уравнений:
\[ \begin{equation*}
\begin{array}{l}
B_{in}^4 +e_{1in} B_{in}^3 +e_{2in} B_{in}^2 +e_{3in} B_{in} +e_{4in} =0,\\
S_{in}^3 - (e_{1in} +B_{1in} ) S_{in}^2 + ( e_{1in} B_{1in} + B_{1in}^2 +e_{2in} )S_{in} - 
\dfrac{e_{4in}}{B_{1in} }=0; 
\end{array}
\end{equation*} \]
величины $e_{1in}, \ldots, e_{4in}$ определяются различными комбинациями коэффициентов $a_1, \ldots, a_{15}$.

Общий интеграл уравнений (22) при исследовании пластины из пьезокерамического материала имеет вид
\[ \begin{multline}
\{K_{2in} ,N_{2in} \}= \{D_{1in} ,E_{1in} \} \exp (A_{1in} z ) + \{D_{2in} , E_{2in} \} \exp (-A_{1in} 
z ) + \{D_{3in} ,E_{3in} \} \sin (A_{2in} z )+ \{D_{4in} , E_{4in} \} \cos (A_{2in} z )+ 
{}
\\
{} +
 \{D_{5in} , E_{5in} \}\sin (A_{3in} z ) 
+ \{D_{6in} ,E_{6in} \}\cos (A_{3in} z )+ \{D_{7in} ,E_{7in} \}\sin (A_{4in} z ) + \{D_{8in} ,E_{8in} \}\cos (A_{4in} z ),
\end{multline} \tag{23} \]
где коэффициенты 
\[ \begin{equation*}
A_{3in} =\Bigl( \frac{m_{3in}^2 + ({m_{3in}^4 -4m_{4in}^2 })^{1/2}}{2} \Bigr)^{1/2},
\; \;
A_{4in} =\Bigl( \frac{m_{3in}^2 - ({m_{3in}^4 -4m_{4in}^2 })^{1/2}}{2} \Bigr)^{1/2}.
\end{equation*} \]

Здесь следует отметить, что условия о действительных положительных значениях коэффициентов $B_{1in}$, $S_{1in}$, $A_{1in}, \ldots, A_{4in}$ выполняются для большинства конструкций, изготовленных из пьезокерамического материала. В противном случае меняется структура формул (22), (23).

Принимая во внимание связи, полученные в результате приведения (17), (19) к (21), получаем выражения для функций $K_1 (\lambda _{in} ,z )$, $K_3 (\lambda _{in} ,z )$, $K_4 (\lambda _{in} ,z )$, $N_1 (\lambda _{in} ,z )$, $N_3 (\lambda _{in} ,z )$, $N_4 (\lambda _{in} ,z )$. Их подстановка в граничные условия (18), (20) позволяет сформировать две системы алгебраических уравнений, решение которых позволяет определить постоянные интегрирования $D_{kin}$, $E_{kin}$, $k=\overline{1,8}$, и собственные значения $\lambda _{in}$, $\mu _{in}$.

Окончательные выражения функций $U(r,z,t)$, $W (r,z,t)$, $\phi (r,z,t)$, $\Theta (r,z,t)$ получим, последовательно применяя к трансформанте (16) формулы обращения (15), (6). В результате с учетом (5), (10) имеем
\[ \begin{equation*}
U(r,z,t) = \frac{r}{2}\omega _3 ( t ) + 2\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{J_1 (j_n r )}{J_0 ( j_n )^2} \cdot \biggl[ H_1 (n,z,t)
+\sum\limits_{i=1}^\infty G (n,\lambda _{in} ,t ) N_1 (\mu _{in} ,z ) \| K_{in} \|^{-2} \biggr],
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
W(r,z,t)=2\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{J_0 (j_n r )} {J_0 (j_n )^2} 
\biggl[ H_2 ( n,z,t ) + \sum\limits_{i=1}^\infty G (n,\lambda _{in} ,t ) N_2 (\mu_{in} ,z \big) 
 \| K_{in} \|^{-2} \biggr],
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\phi ( r,z,t)=2\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{J_0 ( j_n r )}{J_0 ( j_n )^2} 
\biggl[ H_3 (n,z,t)+\sum\limits_{i=1}^\infty G (n,\lambda _{in} ,t ) N_3 (\mu_{in} ,z ) 
 \| K_{in} \|^{-2} \biggr],
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\Theta (r,z,t)=\omega _3 ( t ) + 2\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{J_0 (j_n r )}{J_0 (j_n )^2} \cdot \biggl[ H_4 (n,z,t) + \sum\limits_{i=1}^\infty
G (n,\lambda _{in} ,t ) N_4 (\mu_{in} ,z ) \| K_{in} \|^{-2} \biggr].
\end{equation*} \]

Заключительным этапом исследования является определение функций $f_1 ( z ), \ldots, f_{20} ( z )$ из условия упрощения правых частей дифференциальных уравнений (12) и удовлетворения граничных условий (11).

3. Вычислительный эксперимент и анализ результатов

Рассмотрим круглую пластину ($b=0.014$ м) из пьезокерамики состава PZT–5А со следующими термоэлектроупругими характеристиками [25]: 
\[ \begin{equation*}
\begin{array}{c}
 \{C_{11} ,C_{12} ,C_{13} ,C_{33} ,C_{55} \}= \{ 9.92, 5.4, 5.08, 8.69, 1.6 \}\times 10^{10} \,\text{Па},
\\
 \{ \varepsilon _{11} ,\varepsilon _{33} \}=\{ 15.3, 15.0 \}\times 10^{-9} \,\text{Ф/м},
\end{array}
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
 \{ e_{15} ,e_{31} ,e_{33} \}= \{12.3, -7.2, 15.1\} \,\text{Кл/м}^{2},
\quad 
\Lambda =1.8 \,\text{Вт/(м}{}\cdot{}\text{K)},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\alpha _t =0.33\cdot 10^{-5} \,\text{К}^{-1}, \quad 
k=3\cdot 10^6 \,\text{Дж/(м}^{3}{}\cdot{}\text{К)},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
g_{11} =g_{33} =-2\cdot 10^{-4} \,\text{Kл/(м}^{2}{}\cdot{}\text{К)},
\quad 
\{\gamma _{11} ,\gamma _{33} \}= \{3.31, 2.89\}\times 10^5 \,\text{Па/К}.
\end{equation*} \]

Изменение температуры на верхней лицевой плоскости ($z_\ast =0$) задается в виде
\[ \begin{equation*}
\omega _1^\ast (r_\ast , t_\ast )=\Bigl( 1-\frac{r_\ast }{b}\Bigr)
T_{\max}^\ast \Bigl[ \sin \Bigl( \frac{\pi }{2t_{\max }^\ast }t_\ast \Bigr)
H ( t_{\max }^\ast -t_\ast ) + H ( t_\ast-t_{\max }^\ast ) \Bigr]
\end{equation*} \]
при отсутствии приращения температуры на нижней лицевой и цилиндрической поверхности:
\[ \begin{equation*}
\omega _2^\ast ( r_\ast ,t_\ast )=\omega _3^\ast (t_\ast )=0.
\end{equation*} \]
Здесь $H ({}\cdot{})$ — функция Хевисайда; $T_{\max }^\ast$, $t_{\max }^\ast$ — максимальное значение внешнего температурного воздействия и соответствующее ему время в размерной форме:
\[ \begin{equation*}
T_{\max }^\ast =373\,\text{K } (100\text{°C}),\quad 
T_0=293\,\text{K } (20\text{°C}), \quad 
t_{\max }^\ast =0.1 \text{с}.
\end{equation*} \]

На рис. 2 представлены графики изменения температуры $\Theta^\ast (0,z,t)$ по высоте пластины ($b=0.014$ м, $h^\ast =0.001$ м) в различные моменты времени: 1 — $t=t_{\max }$, 2 — $t=2\, t_{\max }$, 3 — $t=10 \,t_{\max }$, где $t_{\max }= {\Lambda t_{\max }^\ast}/( {kb^2})$.

Результаты вычислительного эксперимента подтверждают, что установившийся температурный режим в пьезокерамической пластине формируется достаточно быстро при $t_\ast =1$ c (см. рис. 2) за счет высокого коэффициента теплопроводности, ее небольшой толщины и отсутствия приращения температуры на ее нижней лицевой поверхности ($\omega _2^\ast (r_\ast, t_\ast )=0$).

Анализ результатов, связанный с определением функции $\Theta^\ast (r,z,t)$, показал, что при исследовании пьезокерамических конструкций можно пренебречь влиянием на температурное поле скоростями изменения объема тела и напряженности вследствие небольших значений коэффициентов $a_{14}$, $a_{15}$ ($a_{14} = 9.24 \cdot 10^{-5}$, $a_{15} =0.89\cdot 10^{-5}$), т.е. в расчетах можно использовать только уравнение теплопроводности.

Рис. 2. Изменение функций $\Theta^*(0,z,t)$ по высоте пластины $z=z_*/b$: 1 — $t=t_{\max}$, 2 — $t=2t_{\max}$, 3 — $t=10t_{\max}$; $t_{\max}=\Lambda t_{\max}^*/(kb^2)$
[Figure 2. Change of functions $\Theta^* (0,z,t)$ along the plate height $z= z_*/b$:} 1 — $t=t_{\max}$, 2 — $t=2\, t_{\max}$, 3 — $t=10\, t_{\max }$; $ t_{\max }= {\Lambda t_{\max }^\ast}/( {kb^2})$]

Рис. 3. Изменение перемещений $W^*(z,r,t_{\max})$, $U^*(z,r,t_{\max})$ по координате $r$: 1 — $z=0$, 2 — $z=h$; $r=r_*/b$, $h=h^*/b$
[Figure 3. Changе of displacements $W^\ast(z,r,t_{\max})$, $U^\ast (z,r,t_{\max})$ along the coordinate $r$: 1 — $z=0$, 2 — $z=h$; $r=r_*/b$, $h=h^*/b$]

На рис. 3, 4 представлены графики перемещений $W^\ast(z,r,t)$, $U^\ast (z,r,t)$ и радиальной компоненты нормальных механических напряжений $\sigma _{rr} (r,z,t)$ по радиальной координате $r$ в момент времени $t=t_{\max}$. Здесь сплошной, штрих-пунктирной и штриховой линиями соответственно обозначены результаты для $z=0$, $h/2$, $h$.

Рис. 4. Изменение напряжений $\sigma_{rr}(r,z,t_{\max})$ по координате $r$: 1 — $z=0$, 2 — $z=h/2$; $r=r_*/b$, $h=h^*/b$
[Figure 4. Changе of streses $\sigma _{rr} (r,z,t_{\max})$ along the coordinate $r$: 1 — $z=0$, 2 — $z=h/2$; $r=r_*/b$, $h=h^*/b$]

Рис. 5. Изменение потенциала электрического поля $\phi(r,0,t)$ по координате $r$: 1 — $t=t_{\max}$, 2 — $t=2t_{\max}$, 3 — $t=10t_{\max}$; $t_{\max}=\Lambda t_{\max}^*/(kb^2)$
[Figure 5. Change of the electric field potential $\phi (r,0,t)$ along the coordinate $r$: 1 — $t=t_{\max}$, 2 — $t=2\, t_{\max}$, 3 — $t=10\, t_{\max }$; $ t_{\max }= {\Lambda t_{\max }^\ast}/( {kb^2})$]

Рис. 6. Разность потенциалов электрического поля $V(t)=e_{31}V^*(t)/(C_{11}b)$, где $t=\Lambda t/(kb^2)$
[Figure 6. The potential difference of the electric field $V ( t ) =e_{31} V^\ast ( t ) /(C_{11} b)$, where $t = {\Lambda t }/( {kb^2})$]

Таблица 1

$\varphi _H (0,t)=\sum\limits_{i=1}^N (\ldots)$	$t= {t_{\max}}/{2}$, $N=8$	$t= {t_{\max}}/{2}$, $N=7$	$\Delta$, %	$t=t_{\max }$, $N=8$	$t=t_{\max }$, $N=7$	$\Delta$, %
$n=1$	$\phantom{-}1.049 \cdot 10^{-7}$	$\phantom{-}1.045 \cdot 10^{-7}$	$0.38$	$\phantom{-}1.150 \cdot 10^{-7}$	$\phantom{-}1.147\cdot 10^{-7}$	$0.26$
$n=2$	$-0.593\cdot 10^{-7}$	$-0.590\cdot 10^{-7}$	$0.51$	$-0.649\cdot 10^{-7}$	$-0.645\cdot 10^{-7}$	$0.62$

Таблица 2

$\phi(0,0,t)=2\sum\limits_{n=1}^M (\ldots)$	$t= {t_{\max}}/{2}$, $M=10$	$t= {t_{\max}}/{2}$, $M=9$	$\Delta$, %	$t= {t_{\max}}$, $M=10$	$t= {t_{\max}}$, $M=9$	$\Delta$, %
	$-6.69 \cdot 10^{-7}$	$-6.59\cdot 10^{-7}$	$0.86$	$-11.8\cdot 10^{-7}$	$-11.69\cdot 10^{-7}$	$0.95$

Представленные на рис. 3, 4 зависимости позволяют сделать вывод, что при $t=t_{\max}$ наблюдается изгиб пластины с увеличением верхнего и уменьшением нижнего радиуса лицевых поверхностей пластины. При этом за счет характера изменения $\omega _1^\ast (r_\ast,t_\ast)$ по радиальной координате во всех ее точках образуются сжимающие механические напряжения $\sigma _{rr} (r,z,t)$, за исключением нижней лицевой поверхности, которая является нейтральной (здесь $\sigma _{rr} (r,h,t)=0$). Дальнейший прогрев конструкции качественно не влияет на картину напряженно-деформированного состояния конструкции.

На рис. 5 показано изменение потенциала электрического поля $\phi (r,0,t)$ по радиальной координате $r$ в различные моменты времени: 1 — $t=t_{\max}$, 2 — $t=2\,t_{\max}$, 3 — $t=10\,t_{\max }$, а на рис. 6 представлена зависимость разности потенциалов электрического поля $V ( t ) =e_{31} V^\ast ( t ) /(C_{11} b) $, где $ t = {\Lambda t }/( {kb^2})$.

Здесь следует отметить, что изменение температурного поля пластины (см. рис. 2) приводит к росту по абсолютной величине потенциала $\phi (r,0,t)$ (см. рис. 5) на верхней лицевой поверхности и разности потенциалов $V( t )$ (см. рис. 6).

Для оценки сходимости рядов при определении потенциала электрического поля в табл. 1, 2 приведены численные значения $\varphi _H (0,t)$, $\phi (0,0,t)$ при учете различного количества их членов в моменты времени $t= t_{\max }/{2}$, $t_{\max}$.

Результаты расчета показывают, что при определении составляющей потенциала $\varphi _H (0,t)$ и потенциала $\phi (0,0,t)$ учет соответственно 8 и 10 членов рядов $\varphi _H ( 0,t)=\sum\limits_{i=1}^\infty {(\ldots)}$, $\phi (0,0,t)=2\sum\limits_{n=1}^\infty (\ldots)$ обеспечивает их сходимость.

4. Заключение

Разработанный алгоритм решения позволяет точно, в рамках используемой математической модели, определить термоэлектроупругое поле в круглой пьезокерамической пластине, что существенно повышает теоретический уровень инженерных расчетов и позволяет улучшить технические характеристики разрабатываемых температурных пьезокерамических преобразователей. При этом основное преимущество построенного замкнутого решения связанной осесимметричной задачи термоэлектроупругости перед аналогичными результатами для несвязанной постановки, заключается в том, что полученные расчетные соотношения дают возможность точно определить влияние нестационарного температурного поля на напряженно-деформированное состояние и электрическое поле пьезокерамической круглой пластины.

Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи; все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.

Об авторах

Дмитрий Аверкиеевич Шляхин

Самарский государственный технический университет

Email: d-612-mit2009@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-0926-7388
SPIN-код: 7802-5059
Scopus Author ID: 26028953500

доктор технических наук, доцент; зав. кафедрой; каф. строительной механики, инженерной геологии, оснований и фундаментов

Россия, 443100,г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Елена Владимировна Савинова

Самарский государственный технический университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: Slenax@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-7155-2281

аспирант; старший преподаватель; каф. строительной механики, инженерной геологии, оснований и фундаментов

Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Список литературы

Дополнительные файлы