Обратная задача для интегро-дифференциального уравнения гиперболического типа с дополнительной информацией специального вида в ограниченной области

Полный текст

Введение и постановка задачи

Обратные задачи возникают во многих областях прикладной науки, таких как электродинамика, акустика, квантовая теория рассеяния, геофизика, астрономия и др. К интегро-дифференциальным уравнениям приводят задачи распространения упругих электромагнитных волн в средах, где состояние среды в данный момент времени зависит от ее состояния во все предыдущие моменты времени. При этом такие интегро-дифференциальные уравнения строятся добавлением в правые части соответствующих классических уравнений интегралов типа свертки, которые описывают явление запаздывания.

Первые результаты в теории обратных задач для интегро-дифференциальных уравнений представлены в работах итальянских математиков A. Lorenzi, E. Sinestrari, E. Paporonii [1-3]. В настоящее время изучением одномерных и многомерных обратных задач определения ядра интегрального члена интегро-дифференциальных уравнений занимаются многие исследователи.

В работах [4-8] рассматривались одномерные задачи нахождения ядра, входящего в интегро дифференциальное уравнение с дельта-функцией в правой части либо на граничном условии. Для поставленных в этих работах задач доказаны теоремы существования, единственности и получены оценки устойчивости на основе принципа сжимающих отображений. Подобные задачи с распределенными источниками возмущений изучены в работах [9-11].

В работах [12-15] для многомерных обратных задач нахождения ядра в гиперболических интегро-дифференциальных уравнениях второго порядка доказаны теоремы однозначной локальной разрешимости в классе аналитических функций по пространственным переменным и непрерывных по временной переменной. В работах [16-17] доказаны теоремы глобальной однозначной разрешимости двумерных обратных задач, когда ядро интегрального члена слабо зависит от горизонтальной переменной. Глобальная однозначная разрешимость многомерной обратной задачи определения ядра доказана в работе [18].

В приложениях важны задачи с сосредоточенными источниками, локализованными в окрестности фиксированной точки или на поверхности рассматриваемой области. Именно к такому типу задач относится рассматриваемая в настоящей работе задача.

Рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения колебания струны с памятью в ограниченной по переменной $x$ области $D=\{(x,t): {0<x<l}$, ${t\in \mathbb R}\}$:
\[ \begin{equation}
u_{tt}-u_{xx}-\int_0^tk(\tau)u_{xx}(x,t-\tau)d\tau=0, \quad (x,t)\in D,
\end{equation} \tag{1} \]
с начальным
\[ \begin{equation}
 u\big|_{t<0}\equiv0
\end{equation} \tag{2} \]
и граничными условиями
\[ \begin{equation}
u\big|_{x=0}=\delta(t),\quad u_x\big|_{x=l}=0,\quad t\in \mathbb R,
\end{equation} \tag{3} \]
где $\delta(t)$ — дельта-функция Дирака.

Уравнение (1) возникает в теории вязкоупругих сред с постоянной плотностью и постоянными коэффициентами Ламе в одномерном случае [19].

Нахождение обобщенной функции $u(x,t)\in D'(D)$, удовлетворяющей уравнению (1) и условиям (2), (3) (в обобщенном смысле), назовем прямой задачей, при этом условие (2) является начальным условием в обобщенной постановке задачи (1)–(3) [23, с. 224–225].

Определение 1. Решением прямой задачи (1)–(3) называется функция $u(x,t)\in D'(D)$, которая удовлетворяет всем условиям задачи (1)–(3) в смысле обобщенных функций.

Обратная задача заключается в определении неизвестной функции $k(t)$, $t>0$, если задано дополнительное условие
\[ \begin{equation}
u_x(0,t)+\int_0^tk(\tau)u_x(0,t-\tau)d\tau=f(t),
\end{equation} \tag{4} \]
где $f(t)$ — заданная при $t>0$ функция.

Задание дополнительной информации в таком специальном виде использовалось в работах [11, 20] для определения функции памяти среды, входящей в гиперболическое и параболическое уравнения. Прямая задача представлена начально-краевой задачей для уравнений с распределенными источниками в ограниченных областях.

Исследование задачи с сосредоточенным источником, локализованным в окрестности граничной точки, ограниченной по переменной $x$ области, является отличительной чертой настоящей работы.

Определение 2. Функция $k(t)\in C^2[{0}, \infty)$ называется решением обратной задачи (1)–(4), если соответствующее ей решение задачи (1)–(3) $u(x,t)\in D'(D)$ (из класса обобщенных функций) удовлетворяет условию (4).

1. Исследование прямой задачи

Исследуем прямую задачу. Введем в рассмотрение новую функцию $v(x,t)$, определив ее равенством
\[ \begin{equation*}
v(x,t)=\biggl[u(x,t)+\int_{0}^{t}k(t-\tau)u(x,\tau)d\tau\biggr]\exp \bigl(-k(0)t/2 \bigr).
\end{equation*} \]
Тогда, как нетрудно проверить [21], функция $u(x,t)$ через $v(x,t)$ выражается формулой
\[ \begin{equation}
u(x,t)=\exp\bigl(k(0)t/2\bigr)v(x,t)+\int_{0}^{t}h(t-\tau)\exp\bigl(k(0)\tau/2\bigr)v(x,\tau)d\tau,
\end{equation} \tag{5} \]
где $h(t)$ — решение следующего интегрального уравнения Вольтерра:
\[ \begin{equation}
h(t)=-k(t)-\int_0^tk(t-\tau)h(\tau) d\tau,\quad t>0.
\end{equation} \tag{6} \]

Задача (1)–(3) относительно функции $v(x,t)$ примет вид
\[ \begin{equation}
v_{tt}-v_{xx}+h_0v+\int_0^tH(t-\tau)v(x,\tau)d\tau=0,
\end{equation} \tag{7} \]
\[ \begin{equation}
v\big|_{x=0}=\delta(t)+k(t)\exp\bigl(h(0)t/2\bigr)\theta(t),\quad v_x\big|_{x=l}=0,
\end{equation} \tag{8} \]
\[ \begin{equation}
v\big|_{t<0}\equiv0,
\end{equation} \tag{9} \]
а дополнительное условие (4) запишется в виде
\[ \begin{equation}
v_x(0,t)=f(t)\exp\bigl(h(0)t/2\bigr),
\end{equation} \tag{10} \]
где
\[ \begin{equation}
H(t)=h''(t)\exp\bigl(h(0)t/2\bigr),
\quad h_0=h'(0)- {h^2(0)}/{4}.
\end{equation} \tag{11} \]

Лемма 1. Пусть $k(t)\in C^2 [0, \infty )$, $D_1 = \{(x,t): 0< x < l, 0< t < x \}$.
Тогда
\[ \begin{equation}
v(x,t)\equiv 0
\end{equation} \tag{12} \]
для всех $(x,t)\in D_1$.

Доказательство. Рассмотрим пучок характеристик оператора ${\partial}/{\partial t}+ {\partial}/{\partial x}$, проходящий через отрезок $[0, l]$ оси $x$. Он высекает на правой границе области $D$ отрезок $[0, l]$. Представляя волновой оператор в виде $({\partial}/{\partial t} + {\partial}/{\partial x}) ({\partial }/{\partial t}-{\partial }/{\partial x})$ и интегрируя равенство (7) вдоль отрезка фиксированной характеристики пучка, заключенного в $D$, используя условие (9), получим
\[ \begin{multline*}
\Bigl(\frac{\partial } {\partial t}-\frac{\partial } {\partial x}\Bigr)v\Big|_{x=l}
=\int_{0}^{t} \biggl[h_0v(\tau-t+l,\tau) -{}
\\
{} -\int_{0}^{\tau}H(\tau-\alpha)v(\tau-t+l,\alpha)d \alpha\biggr] d \tau, \quad t\in (0,l).
\end{multline*} \]
С учетом граничного условия (8) при $x=l$ из этого равенства найдем
\[ \begin{multline*}
v(l,t)=
\int_{0}^{t}\int_{0}^{\tau} \biggl[h_0v(\tau_{1}-\tau+l,\tau_{1}) -{}
\\
{} -\int_{0}^{\tau_{1}}H(\tau_{1}-\alpha)v(\tau_{1}-\tau+l,\alpha)d
\alpha\biggr]d \tau_{1}d \tau, \quad t\in (0,l).
\end{multline*} \]
Производя замену переменных во внутреннем интеграле $\tau$ на $\xi$ по формуле $\tau_{1}-\tau+l=\xi$, последнее уравнение перепишем в виде
\[ \begin{multline}
v(l,t)
=\int_{0}^{t}\int_{l-\tau}^{l} \biggl[h_0v(\xi,\tau-l+\xi) - {}
\\
{} -\int_{0}^{\tau-l+\xi} H(\tau-l+\xi-\alpha)v(\xi,\alpha)d
\alpha\biggr]d \xi d \tau, \quad t\in (0, l).
\end{multline} \tag{13} \]

Интегрируя уравнение (7) вдоль характеристики $dx/dt=1$, получим
\[ \begin{multline*}
\Bigl(\frac{\partial } {\partial t}-\frac{\partial } {\partial x}\Bigr)v(x,t)=
\int_{({l+x-t})/{2}}^{x}\biggl[h_0v(\xi,\xi+t-x)- {}
\\
{}- \int_{0}^{\xi+t-x}H(\xi+t-x-\alpha)v(\xi,\alpha)d \alpha\biggr]d \xi,
\end{multline*} \]
где $(x, t)\in D_1$.

Далее, применяя (13), находим уравнение для $v(x,t)$ в области $D_1$:
\[ \begin{multline*}
v(x,t)= \int_{0}^{t+x-l}\int_{l-\tau}^{l}\biggl[h_0v(\xi,\tau-l+\xi)- {}
\\
\hspace{3cm}
{}- \int_{0}^{\tau-l+\xi}H(\tau-l+\xi-\alpha)v(\xi,\alpha)d \alpha\biggr]d \xi d \tau+{}
\\
{}+\int_{t+x-l}^{t} \int_{ ({l+t+x-2\tau})/{2}}^{t+x-\tau}
\biggl[ h_0v(\xi,\xi+2\tau-t-x) -{} \hspace{3cm}
\\
{} -\int_{0}^{\xi+2\tau-t-x}H(\xi+2\tau-t-x-\alpha)v(\xi,\alpha)d \alpha\biggr]d \xi d\tau.
\end{multline*} \]
При выполнении условий леммы последнее уравнение является однородным уравнением вольтерровского типа с непрерывным ядром. Отсюда
\[ \begin{equation*}
v(x,t)\equiv 0, \quad (x,t)\in D_1 ,
\end{equation*} \]
и формула (12) установлена. $\square$

Предположим, что функция $f(t)$ имеет структуру
\[ \begin{equation}
f(t)=-\delta'(t)- {h(0)} \delta(t) /{2}+\theta(t)f_0(t),
\end{equation} \tag{14} \]
где $f_0(t)$ — регулярная функция.

Функцию $v(x,t)$ представим в виде
\[ \begin{equation}
v(x,t)=\delta(t-x)+\theta(t-x)\overline{v}(x,t),
\end{equation} \tag{15} \]
где $\overline{v}(x,t)$ — регулярная функция. Следуя методике работы [24], подставим выражения функций $f(t)$ и $v(x,t)$ в виде (14), (15) в задачу (7)–(10) и воспользуемся методом выделения особенностей, т.е. приравняем коэффициенты при особенностях к нулю. В результате для регулярной части решения прямой задачи в области $D_2= \{(x,t): 0< x < l, x< t < 2l-x \}$ получим следующие равенства:
\[ \begin{equation}
v_{tt}-v_{xx}+h_{0}v+H(t-x)+\int_0^{t-x} H(\tau)v(x,t-\tau) d\tau=0,
\end{equation} \tag{16} \]
\[ \begin{equation}
v\big|_{t=x+0}=-h(0)- {h_0}x/{2},
\end{equation} \tag{17} \]
\[ \begin{equation}
v(0,t)=k(t)\exp ( {h(0)t}/{2} ),
\end{equation} \tag{18} \]
где $v(x,t)=\overline{v}(x,t)$ в области $D_2$. Дополнительное условие в терминах функции $v(x,t)$ с учетом (10) принимает вид
\[ \begin{equation}
v_x(0,t)=f_0(t)\exp \bigl( {h(0)t}/{2}\bigr).
\end{equation} \tag{19} \]

Заменим равенства (16)–(19) эквивалентной системой интегральных уравнений относительно неизвестных функций. Соотношения (16), (18), (19) в области $D_2$ представляют собой задачу Коши для уравнения колебания струны с данными на оси $x=0$. Применяя формулу Даламбера, получим интегральное уравнение относительно $v(x,t)$:
\[ \begin{multline}
v(x,t)=\frac{1}{2}\bigl[\widetilde{k}(t+x)+\widetilde{k}(t-x)\bigr]
+\frac{1}{2}\int_{t-x}^{t+x}\widetilde{f_0}(\tau)d\tau+{}
\\
{}
+\frac{1}{2}\int_0^x\int_{t-x+\xi}^{t+x-\xi}
\biggl[h_0v(\xi,\tau)-
H(\tau-\xi)+\int_0^{\tau-\xi} H(\alpha)v(\xi,\tau-\alpha)d\alpha\biggr] d\tau d\xi,
\end{multline} \tag{20} \]
где $\widetilde{k}(t)=k(t)\exp\bigl(h(0)t/2\bigr)$, $\widetilde{f}_0(t)=f_0(t)\exp\bigl(h(0)t/2\bigr)$.

Из теории интегральных уравнений следует, что уравнение (20) как неоднородное интегральное уравнение Вольтерра второго рода имеет единственное решение, которое можно найти, например, методом последовательных приближений. Тогда, подставляя найденную функцию $\overline{v}(x,t)$ в (15), находим обобщенную функцию $v(x,t)$. Далее, воспользовавшись формулой (5), получим обобщенное решение задачи (1)–(3).

2. Сведение задачи к системе интегральных уравнений

Лемма 2. Пусть функция $f(t)$ имеет вид (14) и $f_0(t)\in C^1[{0}, 2l]$, $l>0$. Тогда обратная задача (1)–(4) для $(x,t)\in D_2$ эквивалентна задаче нахождения вектор-функций $v(x,t)$, $v_t(x,t)$, $H(t)$, $\widetilde{k}(t)$, $\widetilde{k}'(t)$, $\widetilde{k}''(t)$ из следующей системы уравнений и равенства (20):
\[ \begin{multline}
v_t(x,t)=\frac{1}{2}\bigl[\widetilde{k}'(t+x)+\widetilde{k}'(t-x)\bigr]+
\frac{1}{2}\bigl[\widetilde{f_0}(t+x)-\widetilde{f_0}(t-x)\bigr]
+\frac{x}{2}H(t-x)+{}
\\
{} + \frac{1}{2}\int_0^x\bigl[h_0\bigl(v(\xi,t+x-\xi)-v(\xi,t-x+\xi)\bigr)-
H(t+x-2\xi)\bigr]d\xi+{}
\\
{}+ \frac{1}{2}\int_0^x\int_0^{t+x-2\xi}H(\alpha)v(\xi,t+x-\xi-\alpha)d\alpha d\xi-
{}
\\
{}
-\frac{1}{2}\int_0^x\int_0^{t-x}H(\alpha)v(\xi,t-x+\xi-\alpha)d\alpha d\xi.
\end{multline} \tag{21} \]

\[ \begin{multline}
H(t)=2\widetilde{k}''(t)+2\widetilde{f}'_0(t)-h_0\bigl(h(0)+ {h_0}t/{4} \bigr)+ {}
\\
{}+ 2\int_0^{{t}/{2}}\biggl[h_0v_t(\xi,t-\xi) - \bigl(h(0)+ {h_0}\xi/{2} \bigr)H(t-2\xi)+ {}
\\
{}+\int_0^{t-2\xi}H(\alpha)v_t(\xi,t-\xi-\alpha)d\alpha\biggr] d\xi.
\end{multline} \tag{22} \]

\[ \begin{equation}
\widetilde{k}(t)=-h(0)+\bigl( {h^2(0)}/{2}-h'(0)\bigr)t+
\int_0^t (t-\tau)\widetilde{k}''(\tau)d\tau,
\end{equation} \tag{23} \]
\[ \begin{equation}
\widetilde{k}'(t)= {h^2(0)}/{2}-h'(0)+\int_0^t\widetilde{k}''(\tau)d\tau,
\end{equation} \tag{24} \]
\[ \begin{equation}
\widetilde{k}''(t)=-H(t)+\bigl( {h^2(0)}/{4}-h'(0)\bigr)\widetilde{k}(t)-
\int_0^tH(t-\tau)\widetilde{k}(\tau)d\tau.
\end{equation} \tag{25} \]

Доказательство. Уравнение (21) получается непосредственным дифференцированием равенства (20). Далее в уравнении (20) полагаем $t=x+0$ и используем равенство (17):
\[ \begin{multline*}
-h(0)-\frac{h_0 x}{2}=\frac{1}{2}\bigl[\widetilde{k}(2x)+\widetilde{k}(0)\bigr]+\frac{1}{2}\int_0^{2x}\widetilde{f}_0(\tau)d\tau+{}
\\
{}+\frac{1}{2}\int_0^x\int_{\xi}^{2x-\xi}\biggl[h_0v(\xi,\tau)-H(\tau-\xi)+\int_0^{\tau-\xi}H(\alpha)v(\xi,\tau-\alpha)d\alpha\biggr]d\tau d\xi.
\end{multline*} \]
Обозначая $t =2x$ и дифференцируя полученное уравнение по $t$, получаем
\[ \begin{multline}
-\frac{h_0}{4}=\frac{1}{2}\widetilde{k}'(t)+\frac{1}{2}\widetilde{f}_0(t)+{}
\\
{} +\frac{1}{2}\int_0^{ {t}/{2}} \biggl[h_0v(\xi,t-\xi)+\int_0^{t-2\xi}H(\alpha)v(\xi,t-\xi-\alpha)d\alpha\biggr] d\xi -{}
\\
{} -\frac{1}{2}\int_0^{{t}/{2}}H(t-2\xi)d\xi.
\end{multline} \tag{26} \]
В последнем интеграле сделаем замену переменных $\eta=t-2\xi$. После этого, продифференцировав последнее равенство еще раз, получим уравнение (23) относительно функции $H(t)$. Для замыкания системы интегральных уравнений (20)–(22) используются очевидные равенства (23)–(25).

Для того чтобы показать эквивалентность обратной задачи системе интегральных уравнений, мы должны убедиться в уместности обратных преобразований. Сделаем это на примере уравнения (22). Заменив в этом уравнении $t$ на $t-2\tau$, умножим обе части полученного на $d\tau$ и проинтегрируем по $\tau$ в пределах от нуля до $t/2$. В повторных интегралах получаемого равенства изменим порядок интегрирования. Используя условия (17) в обратную сторону, после несложных выкладок приходим к уравнению (20). Равенства (18) и (19) непосредственно следуют из формулы (20). Для полноты системы интегральных уравнений используются равенства (23)–(25). Для получения этих равенств проинтегрируем уравнение (24) по $t$ в пределах от нуля до $t$. При этом мы получим равенство (23), верность которого устанавливается интегрированием по частям. Формула (25) получена из формулы (6) с использованием равенства $\widetilde{k}(t)=k(t)\exp\bigl(h(0)t/2\bigr)$. $\square$

Замечание. В уравнениях системы (20)–(25) присутствуют неизвестные числа $h(0)$ и $h'(0)$. Для их определения поступаем следующим образом. Из формулы (6) следует, что $h(0)=-k(0)$. Продифференцировав уравнение (6), выразим $k'(0)$ через числа $h(0)$ и $h'(0)$:
\[ \begin{equation}
k'(0)= -h'(0)+h^2(0).
\end{equation} \tag{27} \]
Далее, полагая $t=0$, из равенств (17) и (19) с учетом (11) и (27) получим
\[ \begin{equation*}
-7h^2(0)-4h'(0)=-8f_0(0).
\end{equation*} \]
Мы получили одно уравнение относительно неизвестных чисел. Для получения второго уравнения положим $t=0$ в уравнении (26). После упрощений приходим к уравнению
\[ \begin{equation*}
-3h^2(0)-4h'(0)=-8f_0(0).
\end{equation*} \]
Разрешив эту систему уравнений, находим неизвестные числа:
\[ \begin{equation*}
h(0)=0,\quad h'(0)=2f_0(0).
\end{equation*} \]
В дальнейших исследованиях подставляем найденные значения этих чисел в уравнения (23)–(25).

3. Основной результат

Основным результатом настоящей работы является нижеследующая теорема глобальной однозначной разрешимости обратной задачи.

Теорема. Пусть выполнены условия леммы 2. Тогда существует единственное решение обратной задачи (1)–(4) $k(t)\in C^2[{0}, 2l]$ для любого $l>0$.

Доказательство. Запишем систему уравнений (23)–(25) в виде операторного уравнения
\[ \begin{equation}
\varphi=A\varphi.
\end{equation} \tag{28} \]
Здесь $\varphi$ — векторная функция с компонентами $\varphi_i$:
\[ \begin{equation*}
\varphi=\bigl[\varphi_1(x,t), \; \varphi_2(x,t), \; \varphi_3(t), \; \varphi_4(t),\; \varphi_5(t),\; \varphi_6(t)\bigr],
\end{equation*} \]
где
\[ \begin{equation*}
\varphi_1(x,t) = v(x,t)-\frac{1}{2}\bigl[\widetilde{k}(t+x)+\widetilde{k}(t-x)\bigr],
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\varphi_2(x,t) = v_t(x,t)-\frac{1}{2}\bigl[\widetilde{k}'(t+x)+\widetilde{k}'(t-x)\bigr]-\frac{x}{2}H(t-x),
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\varphi_3(t) = H(t)-2\widetilde{k}''(t), \quad 
\varphi_4(t) = \widetilde{k}(t), \quad
\varphi_5(t) = \widetilde{k}'(t),
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\varphi_6(t) = \widetilde{k}''(t)+H(t)-h_0\widetilde{k}(t),
\end{equation*} \]
а оператор $A$ определен на множестве функций $\varphi \in C[D_2]$ и в соответствии с равенствами (23)–(25) имеет вид $A=(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6)$:
\[ \begin{multline*}
A_1\varphi=\varphi_{01}+
\frac{1}{2}\int_0^x\int_{t-x+\xi}^{t+x-\xi}\biggl[h_0\Bigl(\varphi_1(\xi,\tau)+ \frac{1}{2}(\varphi_4(\tau-\xi)+\varphi_4(\tau+\xi)\Bigr)-{}
\\
{}-\frac{1}{3}\bigl(2\varphi_6(\tau-\xi)+\varphi_3(\tau-\xi)-h_0\varphi_4(\tau-\xi)\bigr)+ {}
\\
{}+
\frac{1}{3}
\int_0^{\tau-\xi}\bigl(2\varphi_6(\alpha)+\varphi_3(\alpha)-h_0\varphi_4(\alpha)\bigr)\times{}
\\
{}\times
\Bigl(\varphi_1(\xi,\tau-\alpha)+ \frac{1}{2}(\varphi_4(\tau-\alpha-\xi)+\varphi_4(\tau-\alpha+\xi)\Bigr)
d\alpha\biggr] d\tau d\xi,
\end{multline*} \]
\[ \begin{multline*}
A_2\varphi=\varphi_{02}+\frac{1}{2}\int_0^x
\Bigl[h_0\Bigl(\varphi_1(\xi,t+x-\xi)-\varphi_1(\xi,t-x+\xi)- {}
\\
{} - \frac{1}{2} \Bigl(\varphi_4(t+x)+ \frac{1}{3}\varphi_4(t+x-2\xi)+\varphi_4(t-x)+\varphi_4(t-x+2\xi)\Bigr)\Bigr) -
{}
\\
{}-\frac{1}{3}\bigl(2\varphi_6(t+x-2\xi)+\varphi_3(t+x-2\xi)\bigr)\Bigr]d\xi +
{}
\\
{} +
\frac{1}{6}\int_0^x\int_0^{t+x-2\xi}\bigl(2\varphi_6(\alpha)+\varphi_3(\alpha)-h_0\varphi_4(\alpha)\bigr)
\times{}
\\
{}\times \Bigl(\varphi_1(\xi,t+x-\xi-\alpha)+
\frac{1}{2} \Bigl(\varphi_4(t-x-\alpha)+\varphi_4(t+x-2\xi-\alpha)\Bigr) \Bigr)d\alpha d\xi-{}
\\
{}-\frac{1}{6}\int_0^x\int_0^{t-x}
\bigl(
2\varphi_6(\alpha)+\varphi_3(\alpha)-h_0\varphi_4(\alpha)\bigr)\times {}
\\
{} \times \Bigl(\varphi_1(\xi,t+x-\xi-\alpha)+
\frac{1}{2} \Bigl( \varphi_4(t-x-\alpha)+\varphi_4(t+x-2\xi-\alpha)\Bigr)\Bigr)d\alpha d\xi,
\end{multline*} \]
\[ \begin{multline}
A_3\varphi=\varphi_{03}+
2\int_0^{{t}/{2}}
\Bigl[h_0\Bigl(\varphi_2(\xi,t-\xi)+
\frac{1}{2}\bigl(\varphi_5(t-2\xi)+\varphi_5(t)\bigr)+{}
\\
{}
+
\frac{\xi}{3}\bigl(2\varphi_6(t-2\xi)+\varphi_3(t-2\xi)-h_0\varphi_4(t-2\xi)\bigr)\Bigr)+
{}
\\
{}
+
\Bigl(\varphi_2(\xi,t-\xi-\alpha)+\frac{1}{2}\bigl(\varphi_5(t-2\xi-\alpha)+\varphi_5(t-\alpha)\bigr)+
{}
\\
{}+
\frac{\xi}{6}\bigl(2\varphi_6(t-2\xi-\alpha)+\varphi_3(t-2\xi-\alpha)-h_0\varphi_4(t-2\xi-\alpha)\bigr)\Bigr) d\alpha\Bigr] d\xi.
\end{multline} \tag{29} \]
\[ \begin{equation*}
A_4\varphi=\varphi_{04}+\frac{1}{3}\int_0^t(t-\tau)[\varphi_6(\tau)-\varphi_3(\tau)-h_0\varphi_4(\tau)]d\tau,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
A_5\varphi=\varphi_{05}+\frac{1}{3}\int_0^t[\varphi_6(\tau)-\varphi_3(\tau)-h_0\varphi_4(\tau)]d\tau,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
A_6\varphi=\varphi_{06}-\frac{1}{3}\int_0^t[\varphi_6(t-\tau)-\varphi_3(t-\tau)-h_0\varphi_4(t-\tau)]\varphi_4(\tau)d\tau,
\end{equation*} \]
где $ \varphi_0 =\bigl[
\varphi_{01}(x, t), \varphi_{02} (x, t), \varphi_{03}(t), \varphi_{04}(t), \varphi_{05} (t), \varphi_{06} (t)
\bigr]$ — векторная функция с компонентами $\varphi_{0i}$:
\[ \begin{equation*}
\varphi_{01}(x, t) = \frac{1}{2}\int_{t-x}^{t+x}\widetilde{f_0}(\tau)d\tau,
\quad
\varphi_{02}(x, t) = \frac{1}{2}\bigl[\widetilde{f_0}(t+x)-\widetilde{f_0}(t-x)\bigr],
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\varphi_{03}( t) = 2\widetilde{f}'_0(t)-\frac{h^2_0}{4}t,
\quad
\varphi_{04}( t) = -2f_0(0)t,
\quad
\varphi_{05} (t) = -2f_0(0), \quad
\varphi_{06} (t) = 0.
\end{equation*} \]

Обозначим через $C_\sigma$ банахово пространство непрерывных функций, порожденных семейством весовых норм
\[ \begin{equation*}
\|\varphi\|_\sigma=\max
\Bigl
\{\sup\limits_{(x,t)\in D_2} \bigl|\varphi_i(x,t)e^{-\sigma (t+(1+\theta)x)}\bigr|,
i=\overline{1, 2}; \;
\sup\limits_{t\in [0,T]} \bigl|\varphi_j(t)e^{-\sigma t}\bigr|,j=\overline{3,6} \Bigr\},
\end{equation*} \]
где $\sigma\geqslant 0$, $0< \theta <1$.

Очевидно, что при $\sigma=0$ это пространство является пространством непрерывных функций с обычной нормой, которую далее будем обозначать через $\|\varphi\|$.

В силу неравенства
\[ \begin{equation*}
e^{-\sigma t}\|\varphi\|\leqslant \|\varphi\|_\sigma \leqslant \|\varphi\|
\end{equation*} \]
нормы $\|\varphi\|_\sigma$ и $\|\varphi\|$ эквивалентны для любого фиксированного $l\in (0, \infty)$. Число $\sigma$ выберем позже.

Пусть $Q_\sigma(\varphi_0,\|\varphi_0\|)= \{\varphi : \|\varphi-\varphi_0\|\leqslant\|\varphi_0\|\}$ — шар радиуса $\|\varphi_0\|$ с центром в точке $\varphi_0$ некоторого весового пространства $C_\sigma(\sigma\geqslant 0)$, в котором
\[ \begin{equation*}
\|\varphi_0\|=\max(\|\varphi_{01}\|, \|\varphi_{02}\|, \|\varphi_{03}\|, \|\varphi_{04}\|, \|\varphi_{05}\|, \|\varphi_{06}\| ).
\end{equation*} \]
Нетрудно заметить, что для $Q_\sigma(\varphi_0, \|\varphi_0\|)$ имеет место оценка
\[ \begin{equation*}
\|\varphi\|_\sigma \leqslant\|\varphi_0\|_\sigma+\|\varphi_0 \|\leqslant 2\|\varphi_0\|.
\end{equation*} \]

Пусть $\varphi(x,t)\in Q_\sigma(\varphi_0, \|\varphi_0\|)$. Покажем, что при подходящем выборе $\sigma>0$ оператор $A$ переводит шар в шар, т.е. $A\varphi\in Q_\sigma(\varphi_0,\|\varphi_0\|)$. На самом деле, составляя с помощью равенств (28) норму разностей, имеем
\[ \begin{multline*}
\|A_1\varphi-\varphi_{01}\|=\sup\limits_{(x,t)\in D_2}
\bigl|(A_1\varphi-\varphi_{01})e^{-\sigma (t+(1+\theta)x )}\bigr|= {}
\\
{}=
\sup\limits_{(x,t)\in D_2}
\Biggl|\frac{1}{2} \int_0^x\int_{t-x+\xi}^{t+x-\xi}
\Bigl[h_0
\Bigl(\varphi_1(\xi,\tau) e^{-\sigma (\tau+(1+\theta)\xi )}e^{-\sigma (t-\tau+(1+\theta)(x-\xi))}+{}
\\
{}+
\frac{1}{2}\Bigl(\varphi_4(\tau-\xi)e^{-\sigma (\tau-\xi)}e^{-\sigma (t-\tau+\xi)}+\varphi_4(\tau+\xi)e^{-\sigma (\tau+\xi)}e^{-\sigma (t-\tau-\xi)}\Bigr)\Bigl)- {}
\\
{} -
\frac{1}{3}\Bigl(2\varphi_6(\tau-\xi)+\varphi_3(\tau-\xi)-h_0\varphi_4(\tau-\xi)\Bigr)e^{-\sigma (\tau-\xi)}e^{-\sigma (t-\tau+\xi)}+ {}
\\
{} +
\frac{1}{3}\int_0^{\tau-\xi} \bigl(2\varphi_6(\alpha)+\varphi_3(\alpha)-h_0\varphi_4(\alpha)\bigr)e^{-\sigma \alpha}\times {}
\\
{} \times
\Bigl(\varphi_1(\xi,\tau-\alpha)e^{-\sigma (\tau-\alpha+(1+\theta)\xi)}e^{-\sigma (t-\tau+(1+\theta)(x-\xi)-\alpha )}+{}
\\
{}+
\frac{1}{2}\Bigl(\varphi_4(\tau-\alpha-\xi)e^{-\sigma (\tau-\alpha-\xi)}e^{-\sigma (t-\tau+\xi)} +{}
\\
{} +\varphi_4(\tau-\alpha+\xi)e^{-\sigma (\tau-\alpha+\xi)}e^{-\sigma (t-\tau-\xi)}\Bigr)\Bigr)
d\alpha\Bigr] d\tau d\xi \Biggr|\leqslant {}
\\
{} \leqslant \frac{\|\varphi_0\|}{\sigma}l \Bigl[\Bigl(\frac{7h_0}{3}+1\Bigr)+8h_1\|\varphi_0\|l \Bigr]
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\frac{\|\varphi_0\|}{\sigma}\alpha_1,
\end{multline*} \]
\[ \begin{multline*}
\|A_2\varphi-\varphi_{02}\|=\sup\limits_{(x,t)\in D_2}
\bigl|(A_2\varphi-\varphi_{02})e^{-\sigma (t+(1+\theta)x )}\bigr|\leqslant {}
\\
{}\leqslant \frac{\|\varphi_0\|}{\sigma}\Bigl[\frac{11h_0}{3}+2(3+h_0)\|\varphi_0\|l\Bigr]
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\frac{\|\varphi_0\|}{\sigma}\alpha_2,
\end{multline*} \]
\[ \begin{multline*}
\|A_3\varphi-\varphi_{03}\|=\sup\limits_{t\in [0;T]}
\bigl|(A_3\varphi-\varphi_{03})e^{-\sigma t}\bigr|\leqslant{}
\\
{}\leqslant \frac{2\|\varphi_0\|}{\sigma}\Bigl[\frac{7}{2}h_0+h_1l\bigl(1+h_0+(4+lh_1)\|\varphi_0\|\bigr)\Bigr]
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\frac{\|\varphi_0\|}{\sigma}\alpha_3,
\end{multline*} \]
\[ \begin{equation*}
\|A_4\varphi-\varphi_{04}\|=\sup\limits_{t\in [0;T]}
\bigl|(A_4\varphi-\varphi_{04})e^{-\sigma t}\bigr|\leqslant
\frac{2\|\varphi_0\|}{\sigma}\frac{(2+h_0)l}{3}
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\frac{\|\varphi_0\|}{\sigma}\alpha_4,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\|A_5\varphi-\varphi_{05}\|=\sup\limits_{ t\in [0;T]}
\bigl|(A_5\varphi-\varphi_{05})e^{-\sigma t} \bigr|\leqslant
\frac{2\|\varphi_0\|}{\sigma}\frac{2+h_0}{3}
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\frac{\|\varphi_0\|}{\sigma}\alpha_5,
\end{equation*} \]
\[ \begin{multline*}
\|A_6\varphi-\varphi_{06}\|=\sup\limits_{t\in [0;T]}
\bigl|(A_6\varphi-\varphi_{06})e^{-\sigma t}\bigr|\leqslant{}
\\
{}\leqslant
\frac{2\|\varphi_0\|}{\sigma}\Bigl[2f_0(0)l+\frac{2}{3}\|\varphi_0\|(2+h_0)l^{2}\Bigr]
\frac{2+h_0}{3}
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\frac{\|\varphi_0\|}{\sigma}\alpha_6,
\end{multline*} \]
где $h_1=1+ {h_0}/{3}$.
Последнее неравенство получено с помощью четвертого и шестого уравнений системы (29).

Выбирая $\sigma\geqslant\alpha_0=\max(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5, \alpha_6)$, получим, что $A$ переводит шар $Q_\sigma(\varphi_0, \|\varphi_0\|)$ в шар $Q_\sigma(\varphi_0,\|\varphi_0\|)$.

Пусть теперь $\varphi^1$, $\varphi^2$ — любые два элемента из $Q_\sigma(\varphi_0,\|\varphi_0\|)$. Тогда, используя вспомогательные неравенства вида
\[ \begin{equation*}
|\varphi_i^1\varphi_j^1-\varphi_i^2\varphi_j^2|e^{-\sigma t}\leqslant
|\varphi_i^1|\,|\varphi_j^1-\varphi_j^2|e^{-\sigma t}+|\varphi_j^2|\,|\varphi_i^1-\varphi_i^2|e^{-\sigma t}\leqslant
4\|\varphi_0\|\,\|\varphi^1-\varphi^2\|_\sigma
\end{equation*} \]
для $(x,t)\in D_2$, получим
\[ \begin{multline*}
\|A_1\varphi^{1}-A_1\varphi^{2}\|_\sigma =
\sup\limits_{(x,t)\in D_2 } \bigl|(A_1\varphi^{1}-A_1\varphi^{2}) e^{-\sigma (t+(1+\theta)x )}\bigr| \leqslant{}
\\
{}\leqslant \frac{\|\varphi^1-\varphi^2\|_\sigma}{\sigma} l
\Bigl[\Bigl(\frac{7h_0}{6}+\frac{1}{2}\Bigr)+8h_1\|\varphi_0\|l \Bigr]
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\frac{\|\varphi^1-\varphi^2\|_\sigma}{\sigma}\beta_1,
\end{multline*} \]
\[ \begin{multline*}
\|A_2\varphi^{1}-A_2\varphi^{2}\|_\sigma =
\sup\limits_{(x,t)\in D_2} \bigl|(A_2\varphi^{1}-A_2\varphi^{2}) e^{-\sigma (t+(1+\theta)x )}\bigr|\leqslant{}
\\
{}\leqslant \frac{\|\varphi^1-\varphi^2\|_\sigma}{\sigma}
\Bigl[\frac{11h_0}{6}+2(3+h_0)\|\varphi_0\|l\Bigr]
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\frac{\|\varphi^1-\varphi^2\|_\sigma}{\sigma}\beta_2,
\end{multline*} \]
\[ \begin{multline*}
\|A_3\varphi^{1}-A_3\varphi^{2}\|_\sigma =
\sup\limits_{t\in [0;2l]} \bigl|(A_3\varphi^{1}-A_3\varphi^{2}) e^{-\sigma t}\bigr|\leqslant {}
\\
{}\leqslant \frac{\|\varphi^1-\varphi^2\|_\sigma}{\sigma}
\Bigl[\frac{7}{2}h_0+\frac{1}{2}h_1l\bigl(1+h_0+2(4+lh_1)\|\varphi_0\|\bigr)\Bigr]
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\frac{\|\varphi^1-\varphi^2\|_\sigma}{\sigma}\beta_3,
\end{multline*} \]
\[ \begin{multline*}
\|A_4\varphi^{1}-A_4\varphi^{2}\|_\sigma = \sup\limits_{t\in [0;2l]}
\bigl|(A_4\varphi^{1}-A_4\varphi^{2}) e^{-\sigma t}\bigr|\leqslant {}
\\
{}\leqslant \frac{\|\varphi^1-\varphi^2\|_\sigma}{\sigma}\frac{(2+h_0)l}{3}
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\frac{\|\varphi^1-\varphi^2\|_\sigma}{\sigma}\beta_4,
\end{multline*} \]
\[ \begin{multline*}
\|A_5\varphi^{1}-A_5\varphi^{2}\|_\sigma = \sup\limits_{t\in [0;2l]}
\bigl|(A_5\varphi^{1}-A_5\varphi^{2}) e^{-\sigma t}\bigr|\leqslant {}
\\
{}\leqslant \frac{\|\varphi^1-\varphi^2\|_\sigma}{\sigma}\frac{2+h_0}{3}
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\frac{\|\varphi^1-\varphi^2\|_\sigma}{\sigma}\beta_5,
\end{multline*} \]
\[ \begin{multline*}
\|A_6\varphi^{1}-A_6\varphi^{2} \|_\sigma = \sup\limits_{t\in [0;2l]}
\bigl|(A_6\varphi^{1}-A_6\varphi^{2}) e^{-\sigma t} \bigr|\leqslant{}
\\
{}\leqslant \frac{\|\varphi^1-\varphi^2\|_\sigma}{\sigma}
\Bigl[2f_0(0)l+\frac{4}{3}\|\varphi_0\|(2+h_0)l^{2}\Bigr]\frac{2+h_0}{3}
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\frac{\|\varphi^1-\varphi^2\|_\sigma}{\sigma}\beta_6.
\end{multline*} \]

Проведенные исследования показали, что если число $\sigma$ будет выбрано из условия $\sigma>\max(\alpha_0,\beta_0)$, где $\beta_0=\max(\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4, \beta_5, \beta_6)$, то оператор $A$ является сжимающим на $Q_\sigma(\varphi_0,\|\varphi_0\|)$. Тогда, согласно теореме Банаха [22], существует единственное решение уравнения (28) в $Q_\sigma(\varphi_0,\|\varphi_0\|)$ при любом фиксированном $l>0$. $\square$

В итоге имеем, что $k(t)=\widetilde{k}(t)$, так как $h(0)=0$.

Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею.
Авторский вклад и ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

Об авторах

Журабек Шакарович Сафаров

Институт математики имени В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан; Ташкентский университет информационных технологий

Автор, ответственный за переписку.
Email: j.safarov65@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-9249-835X
https://www.mathnet.ru/person73792

доктор физико-математических наук, профессор; старший научный сотрудник; лаб. дифференциальных уравнений и их приложений; профессор; каф. высшей математики

Узбекистан, 100174, Ташкент, ул. Университетская, 9; 100202, Ташкент, ул. Амира Тимура, 108

Список литературы

Дополнительные файлы