Inverse problem for an integro-differential equation of hyperbolic type with additional information of a special form in a bounded domain

Full Text

Введение и постановка задачи

Обратные задачи возникают во многих областях прикладной науки, таких как электродинамика, акустика, квантовая теория рассеяния, геофизика, астрономия и др. К интегро-дифференциальным уравнениям приводят задачи распространения упругих электромагнитных волн в средах, где состояние среды в данный момент времени зависит от ее состояния во все предыдущие моменты времени. При этом такие интегро-дифференциальные уравнения строятся добавлением в правые части соответствующих классических уравнений интегралов типа свертки, которые описывают явление запаздывания.

Первые результаты в теории обратных задач для интегро-дифференциальных уравнений представлены в работах итальянских математиков A. Lorenzi, E. Sinestrari, E. Paporonii [1-3]. В настоящее время изучением одномерных и многомерных обратных задач определения ядра интегрального члена интегро-дифференциальных уравнений занимаются многие исследователи.

В работах [4-8] рассматривались одномерные задачи нахождения ядра, входящего в интегро дифференциальное уравнение с дельта-функцией в правой части либо на граничном условии. Для поставленных в этих работах задач доказаны теоремы существования, единственности и получены оценки устойчивости на основе принципа сжимающих отображений. Подобные задачи с распределенными источниками возмущений изучены в работах [9-11].

В работах [12-15] для многомерных обратных задач нахождения ядра в гиперболических интегро-дифференциальных уравнениях второго порядка доказаны теоремы однозначной локальной разрешимости в классе аналитических функций по пространственным переменным и непрерывных по временной переменной. В работах [16-17] доказаны теоремы глобальной однозначной разрешимости двумерных обратных задач, когда ядро интегрального члена слабо зависит от горизонтальной переменной. Глобальная однозначная разрешимость многомерной обратной задачи определения ядра доказана в работе [18].

В приложениях важны задачи с сосредоточенными источниками, локализованными в окрестности фиксированной точки или на поверхности рассматриваемой области. Именно к такому типу задач относится рассматриваемая в настоящей работе задача.

Рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения колебания струны с памятью в ограниченной по переменной $x$ области $D=\{(x,t): {0<x<l}$, ${t\in \mathbb R}\}$:
\[ \begin{equation}
u_{tt}-u_{xx}-\int_0^tk(\tau)u_{xx}(x,t-\tau)d\tau=0, \quad (x,t)\in D,
\end{equation} \tag{1} \]
с начальным
\[ \begin{equation}
 u\big|_{t<0}\equiv0
\end{equation} \tag{2} \]
и граничными условиями
\[ \begin{equation}
u\big|_{x=0}=\delta(t),\quad u_x\big|_{x=l}=0,\quad t\in \mathbb R,
\end{equation} \tag{3} \]
где $\delta(t)$ — дельта-функция Дирака.

Уравнение (1) возникает в теории вязкоупругих сред с постоянной плотностью и постоянными коэффициентами Ламе в одномерном случае [19].

Нахождение обобщенной функции $u(x,t)\in D'(D)$, удовлетворяющей уравнению (1) и условиям (2), (3) (в обобщенном смысле), назовем прямой задачей, при этом условие (2) является начальным условием в обобщенной постановке задачи (1)–(3) [23, с. 224–225].

Определение 1. Решением прямой задачи (1)–(3) называется функция $u(x,t)\in D'(D)$, которая удовлетворяет всем условиям задачи (1)–(3) в смысле обобщенных функций.

Обратная задача заключается в определении неизвестной функции $k(t)$, $t>0$, если задано дополнительное условие
\[ \begin{equation}
u_x(0,t)+\int_0^tk(\tau)u_x(0,t-\tau)d\tau=f(t),
\end{equation} \tag{4} \]
где $f(t)$ — заданная при $t>0$ функция.

Задание дополнительной информации в таком специальном виде использовалось в работах [11, 20] для определения функции памяти среды, входящей в гиперболическое и параболическое уравнения. Прямая задача представлена начально-краевой задачей для уравнений с распределенными источниками в ограниченных областях.

Исследование задачи с сосредоточенным источником, локализованным в окрестности граничной точки, ограниченной по переменной $x$ области, является отличительной чертой настоящей работы.

Определение 2. Функция $k(t)\in C^2[{0}, \infty)$ называется решением обратной задачи (1)–(4), если соответствующее ей решение задачи (1)–(3) $u(x,t)\in D'(D)$ (из класса обобщенных функций) удовлетворяет условию (4).

1. Исследование прямой задачи

Исследуем прямую задачу. Введем в рассмотрение новую функцию $v(x,t)$, определив ее равенством
\[ \begin{equation*}
v(x,t)=\biggl[u(x,t)+\int_{0}^{t}k(t-\tau)u(x,\tau)d\tau\biggr]\exp \bigl(-k(0)t/2 \bigr).
\end{equation*} \]
Тогда, как нетрудно проверить [21], функция $u(x,t)$ через $v(x,t)$ выражается формулой
\[ \begin{equation}
u(x,t)=\exp\bigl(k(0)t/2\bigr)v(x,t)+\int_{0}^{t}h(t-\tau)\exp\bigl(k(0)\tau/2\bigr)v(x,\tau)d\tau,
\end{equation} \tag{5} \]
где $h(t)$ — решение следующего интегрального уравнения Вольтерра:
\[ \begin{equation}
h(t)=-k(t)-\int_0^tk(t-\tau)h(\tau) d\tau,\quad t>0.
\end{equation} \tag{6} \]

Задача (1)–(3) относительно функции $v(x,t)$ примет вид
\[ \begin{equation}
v_{tt}-v_{xx}+h_0v+\int_0^tH(t-\tau)v(x,\tau)d\tau=0,
\end{equation} \tag{7} \]
\[ \begin{equation}
v\big|_{x=0}=\delta(t)+k(t)\exp\bigl(h(0)t/2\bigr)\theta(t),\quad v_x\big|_{x=l}=0,
\end{equation} \tag{8} \]
\[ \begin{equation}
v\big|_{t<0}\equiv0,
\end{equation} \tag{9} \]
а дополнительное условие (4) запишется в виде
\[ \begin{equation}
v_x(0,t)=f(t)\exp\bigl(h(0)t/2\bigr),
\end{equation} \tag{10} \]
где
\[ \begin{equation}
H(t)=h''(t)\exp\bigl(h(0)t/2\bigr),
\quad h_0=h'(0)- {h^2(0)}/{4}.
\end{equation} \tag{11} \]

Лемма 1. Пусть $k(t)\in C^2 [0, \infty )$, $D_1 = \{(x,t): 0< x < l, 0< t < x \}$.
Тогда
\[ \begin{equation}
v(x,t)\equiv 0
\end{equation} \tag{12} \]
для всех $(x,t)\in D_1$.

Доказательство. Рассмотрим пучок характеристик оператора ${\partial}/{\partial t}+ {\partial}/{\partial x}$, проходящий через отрезок $[0, l]$ оси $x$. Он высекает на правой границе области $D$ отрезок $[0, l]$. Представляя волновой оператор в виде $({\partial}/{\partial t} + {\partial}/{\partial x}) ({\partial }/{\partial t}-{\partial }/{\partial x})$ и интегрируя равенство (7) вдоль отрезка фиксированной характеристики пучка, заключенного в $D$, используя условие (9), получим
\[ \begin{multline*}
\Bigl(\frac{\partial } {\partial t}-\frac{\partial } {\partial x}\Bigr)v\Big|_{x=l}
=\int_{0}^{t} \biggl[h_0v(\tau-t+l,\tau) -{}
\\
{} -\int_{0}^{\tau}H(\tau-\alpha)v(\tau-t+l,\alpha)d \alpha\biggr] d \tau, \quad t\in (0,l).
\end{multline*} \]
С учетом граничного условия (8) при $x=l$ из этого равенства найдем
\[ \begin{multline*}
v(l,t)=
\int_{0}^{t}\int_{0}^{\tau} \biggl[h_0v(\tau_{1}-\tau+l,\tau_{1}) -{}
\\
{} -\int_{0}^{\tau_{1}}H(\tau_{1}-\alpha)v(\tau_{1}-\tau+l,\alpha)d
\alpha\biggr]d \tau_{1}d \tau, \quad t\in (0,l).
\end{multline*} \]
Производя замену переменных во внутреннем интеграле $\tau$ на $\xi$ по формуле $\tau_{1}-\tau+l=\xi$, последнее уравнение перепишем в виде
\[ \begin{multline}
v(l,t)
=\int_{0}^{t}\int_{l-\tau}^{l} \biggl[h_0v(\xi,\tau-l+\xi) - {}
\\
{} -\int_{0}^{\tau-l+\xi} H(\tau-l+\xi-\alpha)v(\xi,\alpha)d
\alpha\biggr]d \xi d \tau, \quad t\in (0, l).
\end{multline} \tag{13} \]

Интегрируя уравнение (7) вдоль характеристики $dx/dt=1$, получим
\[ \begin{multline*}
\Bigl(\frac{\partial } {\partial t}-\frac{\partial } {\partial x}\Bigr)v(x,t)=
\int_{({l+x-t})/{2}}^{x}\biggl[h_0v(\xi,\xi+t-x)- {}
\\
{}- \int_{0}^{\xi+t-x}H(\xi+t-x-\alpha)v(\xi,\alpha)d \alpha\biggr]d \xi,
\end{multline*} \]
где $(x, t)\in D_1$.

Далее, применяя (13), находим уравнение для $v(x,t)$ в области $D_1$:
\[ \begin{multline*}
v(x,t)= \int_{0}^{t+x-l}\int_{l-\tau}^{l}\biggl[h_0v(\xi,\tau-l+\xi)- {}
\\
\hspace{3cm}
{}- \int_{0}^{\tau-l+\xi}H(\tau-l+\xi-\alpha)v(\xi,\alpha)d \alpha\biggr]d \xi d \tau+{}
\\
{}+\int_{t+x-l}^{t} \int_{ ({l+t+x-2\tau})/{2}}^{t+x-\tau}
\biggl[ h_0v(\xi,\xi+2\tau-t-x) -{} \hspace{3cm}
\\
{} -\int_{0}^{\xi+2\tau-t-x}H(\xi+2\tau-t-x-\alpha)v(\xi,\alpha)d \alpha\biggr]d \xi d\tau.
\end{multline*} \]
При выполнении условий леммы последнее уравнение является однородным уравнением вольтерровского типа с непрерывным ядром. Отсюда
\[ \begin{equation*}
v(x,t)\equiv 0, \quad (x,t)\in D_1 ,
\end{equation*} \]
и формула (12) установлена. $\square$

Предположим, что функция $f(t)$ имеет структуру
\[ \begin{equation}
f(t)=-\delta'(t)- {h(0)} \delta(t) /{2}+\theta(t)f_0(t),
\end{equation} \tag{14} \]
где $f_0(t)$ — регулярная функция.

Функцию $v(x,t)$ представим в виде
\[ \begin{equation}
v(x,t)=\delta(t-x)+\theta(t-x)\overline{v}(x,t),
\end{equation} \tag{15} \]
где $\overline{v}(x,t)$ — регулярная функция. Следуя методике работы [24], подставим выражения функций $f(t)$ и $v(x,t)$ в виде (14), (15) в задачу (7)–(10) и воспользуемся методом выделения особенностей, т.е. приравняем коэффициенты при особенностях к нулю. В результате для регулярной части решения прямой задачи в области $D_2= \{(x,t): 0< x < l, x< t < 2l-x \}$ получим следующие равенства:
\[ \begin{equation}
v_{tt}-v_{xx}+h_{0}v+H(t-x)+\int_0^{t-x} H(\tau)v(x,t-\tau) d\tau=0,
\end{equation} \tag{16} \]
\[ \begin{equation}
v\big|_{t=x+0}=-h(0)- {h_0}x/{2},
\end{equation} \tag{17} \]
\[ \begin{equation}
v(0,t)=k(t)\exp ( {h(0)t}/{2} ),
\end{equation} \tag{18} \]
где $v(x,t)=\overline{v}(x,t)$ в области $D_2$. Дополнительное условие в терминах функции $v(x,t)$ с учетом (10) принимает вид
\[ \begin{equation}
v_x(0,t)=f_0(t)\exp \bigl( {h(0)t}/{2}\bigr).
\end{equation} \tag{19} \]

Заменим равенства (16)–(19) эквивалентной системой интегральных уравнений относительно неизвестных функций. Соотношения (16), (18), (19) в области $D_2$ представляют собой задачу Коши для уравнения колебания струны с данными на оси $x=0$. Применяя формулу Даламбера, получим интегральное уравнение относительно $v(x,t)$:
\[ \begin{multline}
v(x,t)=\frac{1}{2}\bigl[\widetilde{k}(t+x)+\widetilde{k}(t-x)\bigr]
+\frac{1}{2}\int_{t-x}^{t+x}\widetilde{f_0}(\tau)d\tau+{}
\\
{}
+\frac{1}{2}\int_0^x\int_{t-x+\xi}^{t+x-\xi}
\biggl[h_0v(\xi,\tau)-
H(\tau-\xi)+\int_0^{\tau-\xi} H(\alpha)v(\xi,\tau-\alpha)d\alpha\biggr] d\tau d\xi,
\end{multline} \tag{20} \]
где $\widetilde{k}(t)=k(t)\exp\bigl(h(0)t/2\bigr)$, $\widetilde{f}_0(t)=f_0(t)\exp\bigl(h(0)t/2\bigr)$.

Из теории интегральных уравнений следует, что уравнение (20) как неоднородное интегральное уравнение Вольтерра второго рода имеет единственное решение, которое можно найти, например, методом последовательных приближений. Тогда, подставляя найденную функцию $\overline{v}(x,t)$ в (15), находим обобщенную функцию $v(x,t)$. Далее, воспользовавшись формулой (5), получим обобщенное решение задачи (1)–(3).

2. Сведение задачи к системе интегральных уравнений

Лемма 2. Пусть функция $f(t)$ имеет вид (14) и $f_0(t)\in C^1[{0}, 2l]$, $l>0$. Тогда обратная задача (1)–(4) для $(x,t)\in D_2$ эквивалентна задаче нахождения вектор-функций $v(x,t)$, $v_t(x,t)$, $H(t)$, $\widetilde{k}(t)$, $\widetilde{k}'(t)$, $\widetilde{k}''(t)$ из следующей системы уравнений и равенства (20):
\[ \begin{multline}
v_t(x,t)=\frac{1}{2}\bigl[\widetilde{k}'(t+x)+\widetilde{k}'(t-x)\bigr]+
\frac{1}{2}\bigl[\widetilde{f_0}(t+x)-\widetilde{f_0}(t-x)\bigr]
+\frac{x}{2}H(t-x)+{}
\\
{} + \frac{1}{2}\int_0^x\bigl[h_0\bigl(v(\xi,t+x-\xi)-v(\xi,t-x+\xi)\bigr)-
H(t+x-2\xi)\bigr]d\xi+{}
\\
{}+ \frac{1}{2}\int_0^x\int_0^{t+x-2\xi}H(\alpha)v(\xi,t+x-\xi-\alpha)d\alpha d\xi-
{}
\\
{}
-\frac{1}{2}\int_0^x\int_0^{t-x}H(\alpha)v(\xi,t-x+\xi-\alpha)d\alpha d\xi.
\end{multline} \tag{21} \]

\[ \begin{multline}
H(t)=2\widetilde{k}''(t)+2\widetilde{f}'_0(t)-h_0\bigl(h(0)+ {h_0}t/{4} \bigr)+ {}
\\
{}+ 2\int_0^{{t}/{2}}\biggl[h_0v_t(\xi,t-\xi) - \bigl(h(0)+ {h_0}\xi/{2} \bigr)H(t-2\xi)+ {}
\\
{}+\int_0^{t-2\xi}H(\alpha)v_t(\xi,t-\xi-\alpha)d\alpha\biggr] d\xi.
\end{multline} \tag{22} \]

\[ \begin{equation}
\widetilde{k}(t)=-h(0)+\bigl( {h^2(0)}/{2}-h'(0)\bigr)t+
\int_0^t (t-\tau)\widetilde{k}''(\tau)d\tau,
\end{equation} \tag{23} \]
\[ \begin{equation}
\widetilde{k}'(t)= {h^2(0)}/{2}-h'(0)+\int_0^t\widetilde{k}''(\tau)d\tau,
\end{equation} \tag{24} \]
\[ \begin{equation}
\widetilde{k}''(t)=-H(t)+\bigl( {h^2(0)}/{4}-h'(0)\bigr)\widetilde{k}(t)-
\int_0^tH(t-\tau)\widetilde{k}(\tau)d\tau.
\end{equation} \tag{25} \]

Доказательство. Уравнение (21) получается непосредственным дифференцированием равенства (20). Далее в уравнении (20) полагаем $t=x+0$ и используем равенство (17):
\[ \begin{multline*}
-h(0)-\frac{h_0 x}{2}=\frac{1}{2}\bigl[\widetilde{k}(2x)+\widetilde{k}(0)\bigr]+\frac{1}{2}\int_0^{2x}\widetilde{f}_0(\tau)d\tau+{}
\\
{}+\frac{1}{2}\int_0^x\int_{\xi}^{2x-\xi}\biggl[h_0v(\xi,\tau)-H(\tau-\xi)+\int_0^{\tau-\xi}H(\alpha)v(\xi,\tau-\alpha)d\alpha\biggr]d\tau d\xi.
\end{multline*} \]
Обозначая $t =2x$ и дифференцируя полученное уравнение по $t$, получаем
\[ \begin{multline}
-\frac{h_0}{4}=\frac{1}{2}\widetilde{k}'(t)+\frac{1}{2}\widetilde{f}_0(t)+{}
\\
{} +\frac{1}{2}\int_0^{ {t}/{2}} \biggl[h_0v(\xi,t-\xi)+\int_0^{t-2\xi}H(\alpha)v(\xi,t-\xi-\alpha)d\alpha\biggr] d\xi -{}
\\
{} -\frac{1}{2}\int_0^{{t}/{2}}H(t-2\xi)d\xi.
\end{multline} \tag{26} \]
В последнем интеграле сделаем замену переменных $\eta=t-2\xi$. После этого, продифференцировав последнее равенство еще раз, получим уравнение (23) относительно функции $H(t)$. Для замыкания системы интегральных уравнений (20)–(22) используются очевидные равенства (23)–(25).

Для того чтобы показать эквивалентность обратной задачи системе интегральных уравнений, мы должны убедиться в уместности обратных преобразований. Сделаем это на примере уравнения (22). Заменив в этом уравнении $t$ на $t-2\tau$, умножим обе части полученного на $d\tau$ и проинтегрируем по $\tau$ в пределах от нуля до $t/2$. В повторных интегралах получаемого равенства изменим порядок интегрирования. Используя условия (17) в обратную сторону, после несложных выкладок приходим к уравнению (20). Равенства (18) и (19) непосредственно следуют из формулы (20). Для полноты системы интегральных уравнений используются равенства (23)–(25). Для получения этих равенств проинтегрируем уравнение (24) по $t$ в пределах от нуля до $t$. При этом мы получим равенство (23), верность которого устанавливается интегрированием по частям. Формула (25) получена из формулы (6) с использованием равенства $\widetilde{k}(t)=k(t)\exp\bigl(h(0)t/2\bigr)$. $\square$

Замечание. В уравнениях системы (20)–(25) присутствуют неизвестные числа $h(0)$ и $h'(0)$. Для их определения поступаем следующим образом. Из формулы (6) следует, что $h(0)=-k(0)$. Продифференцировав уравнение (6), выразим $k'(0)$ через числа $h(0)$ и $h'(0)$:
\[ \begin{equation}
k'(0)= -h'(0)+h^2(0).
\end{equation} \tag{27} \]
Далее, полагая $t=0$, из равенств (17) и (19) с учетом (11) и (27) получим
\[ \begin{equation*}
-7h^2(0)-4h'(0)=-8f_0(0).
\end{equation*} \]
Мы получили одно уравнение относительно неизвестных чисел. Для получения второго уравнения положим $t=0$ в уравнении (26). После упрощений приходим к уравнению
\[ \begin{equation*}
-3h^2(0)-4h'(0)=-8f_0(0).
\end{equation*} \]
Разрешив эту систему уравнений, находим неизвестные числа:
\[ \begin{equation*}
h(0)=0,\quad h'(0)=2f_0(0).
\end{equation*} \]
В дальнейших исследованиях подставляем найденные значения этих чисел в уравнения (23)–(25).

3. Основной результат

Основным результатом настоящей работы является нижеследующая теорема глобальной однозначной разрешимости обратной задачи.

Теорема. Пусть выполнены условия леммы 2. Тогда существует единственное решение обратной задачи (1)–(4) $k(t)\in C^2[{0}, 2l]$ для любого $l>0$.

Доказательство. Запишем систему уравнений (23)–(25) в виде операторного уравнения
\[ \begin{equation}
\varphi=A\varphi.
\end{equation} \tag{28} \]
Здесь $\varphi$ — векторная функция с компонентами $\varphi_i$:
\[ \begin{equation*}
\varphi=\bigl[\varphi_1(x,t), \; \varphi_2(x,t), \; \varphi_3(t), \; \varphi_4(t),\; \varphi_5(t),\; \varphi_6(t)\bigr],
\end{equation*} \]
где
\[ \begin{equation*}
\varphi_1(x,t) = v(x,t)-\frac{1}{2}\bigl[\widetilde{k}(t+x)+\widetilde{k}(t-x)\bigr],
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\varphi_2(x,t) = v_t(x,t)-\frac{1}{2}\bigl[\widetilde{k}'(t+x)+\widetilde{k}'(t-x)\bigr]-\frac{x}{2}H(t-x),
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\varphi_3(t) = H(t)-2\widetilde{k}''(t), \quad 
\varphi_4(t) = \widetilde{k}(t), \quad
\varphi_5(t) = \widetilde{k}'(t),
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\varphi_6(t) = \widetilde{k}''(t)+H(t)-h_0\widetilde{k}(t),
\end{equation*} \]
а оператор $A$ определен на множестве функций $\varphi \in C[D_2]$ и в соответствии с равенствами (23)–(25) имеет вид $A=(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6)$:
\[ \begin{multline*}
A_1\varphi=\varphi_{01}+
\frac{1}{2}\int_0^x\int_{t-x+\xi}^{t+x-\xi}\biggl[h_0\Bigl(\varphi_1(\xi,\tau)+ \frac{1}{2}(\varphi_4(\tau-\xi)+\varphi_4(\tau+\xi)\Bigr)-{}
\\
{}-\frac{1}{3}\bigl(2\varphi_6(\tau-\xi)+\varphi_3(\tau-\xi)-h_0\varphi_4(\tau-\xi)\bigr)+ {}
\\
{}+
\frac{1}{3}
\int_0^{\tau-\xi}\bigl(2\varphi_6(\alpha)+\varphi_3(\alpha)-h_0\varphi_4(\alpha)\bigr)\times{}
\\
{}\times
\Bigl(\varphi_1(\xi,\tau-\alpha)+ \frac{1}{2}(\varphi_4(\tau-\alpha-\xi)+\varphi_4(\tau-\alpha+\xi)\Bigr)
d\alpha\biggr] d\tau d\xi,
\end{multline*} \]
\[ \begin{multline*}
A_2\varphi=\varphi_{02}+\frac{1}{2}\int_0^x
\Bigl[h_0\Bigl(\varphi_1(\xi,t+x-\xi)-\varphi_1(\xi,t-x+\xi)- {}
\\
{} - \frac{1}{2} \Bigl(\varphi_4(t+x)+ \frac{1}{3}\varphi_4(t+x-2\xi)+\varphi_4(t-x)+\varphi_4(t-x+2\xi)\Bigr)\Bigr) -
{}
\\
{}-\frac{1}{3}\bigl(2\varphi_6(t+x-2\xi)+\varphi_3(t+x-2\xi)\bigr)\Bigr]d\xi +
{}
\\
{} +
\frac{1}{6}\int_0^x\int_0^{t+x-2\xi}\bigl(2\varphi_6(\alpha)+\varphi_3(\alpha)-h_0\varphi_4(\alpha)\bigr)
\times{}
\\
{}\times \Bigl(\varphi_1(\xi,t+x-\xi-\alpha)+
\frac{1}{2} \Bigl(\varphi_4(t-x-\alpha)+\varphi_4(t+x-2\xi-\alpha)\Bigr) \Bigr)d\alpha d\xi-{}
\\
{}-\frac{1}{6}\int_0^x\int_0^{t-x}
\bigl(
2\varphi_6(\alpha)+\varphi_3(\alpha)-h_0\varphi_4(\alpha)\bigr)\times {}
\\
{} \times \Bigl(\varphi_1(\xi,t+x-\xi-\alpha)+
\frac{1}{2} \Bigl( \varphi_4(t-x-\alpha)+\varphi_4(t+x-2\xi-\alpha)\Bigr)\Bigr)d\alpha d\xi,
\end{multline*} \]
\[ \begin{multline}
A_3\varphi=\varphi_{03}+
2\int_0^{{t}/{2}}
\Bigl[h_0\Bigl(\varphi_2(\xi,t-\xi)+
\frac{1}{2}\bigl(\varphi_5(t-2\xi)+\varphi_5(t)\bigr)+{}
\\
{}
+
\frac{\xi}{3}\bigl(2\varphi_6(t-2\xi)+\varphi_3(t-2\xi)-h_0\varphi_4(t-2\xi)\bigr)\Bigr)+
{}
\\
{}
+
\Bigl(\varphi_2(\xi,t-\xi-\alpha)+\frac{1}{2}\bigl(\varphi_5(t-2\xi-\alpha)+\varphi_5(t-\alpha)\bigr)+
{}
\\
{}+
\frac{\xi}{6}\bigl(2\varphi_6(t-2\xi-\alpha)+\varphi_3(t-2\xi-\alpha)-h_0\varphi_4(t-2\xi-\alpha)\bigr)\Bigr) d\alpha\Bigr] d\xi.
\end{multline} \tag{29} \]
\[ \begin{equation*}
A_4\varphi=\varphi_{04}+\frac{1}{3}\int_0^t(t-\tau)[\varphi_6(\tau)-\varphi_3(\tau)-h_0\varphi_4(\tau)]d\tau,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
A_5\varphi=\varphi_{05}+\frac{1}{3}\int_0^t[\varphi_6(\tau)-\varphi_3(\tau)-h_0\varphi_4(\tau)]d\tau,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
A_6\varphi=\varphi_{06}-\frac{1}{3}\int_0^t[\varphi_6(t-\tau)-\varphi_3(t-\tau)-h_0\varphi_4(t-\tau)]\varphi_4(\tau)d\tau,
\end{equation*} \]
где $ \varphi_0 =\bigl[
\varphi_{01}(x, t), \varphi_{02} (x, t), \varphi_{03}(t), \varphi_{04}(t), \varphi_{05} (t), \varphi_{06} (t)
\bigr]$ — векторная функция с компонентами $\varphi_{0i}$:
\[ \begin{equation*}
\varphi_{01}(x, t) = \frac{1}{2}\int_{t-x}^{t+x}\widetilde{f_0}(\tau)d\tau,
\quad
\varphi_{02}(x, t) = \frac{1}{2}\bigl[\widetilde{f_0}(t+x)-\widetilde{f_0}(t-x)\bigr],
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\varphi_{03}( t) = 2\widetilde{f}'_0(t)-\frac{h^2_0}{4}t,
\quad
\varphi_{04}( t) = -2f_0(0)t,
\quad
\varphi_{05} (t) = -2f_0(0), \quad
\varphi_{06} (t) = 0.
\end{equation*} \]

Обозначим через $C_\sigma$ банахово пространство непрерывных функций, порожденных семейством весовых норм
\[ \begin{equation*}
\|\varphi\|_\sigma=\max
\Bigl
\{\sup\limits_{(x,t)\in D_2} \bigl|\varphi_i(x,t)e^{-\sigma (t+(1+\theta)x)}\bigr|,
i=\overline{1, 2}; \;
\sup\limits_{t\in [0,T]} \bigl|\varphi_j(t)e^{-\sigma t}\bigr|,j=\overline{3,6} \Bigr\},
\end{equation*} \]
где $\sigma\geqslant 0$, $0< \theta <1$.

Очевидно, что при $\sigma=0$ это пространство является пространством непрерывных функций с обычной нормой, которую далее будем обозначать через $\|\varphi\|$.

В силу неравенства
\[ \begin{equation*}
e^{-\sigma t}\|\varphi\|\leqslant \|\varphi\|_\sigma \leqslant \|\varphi\|
\end{equation*} \]
нормы $\|\varphi\|_\sigma$ и $\|\varphi\|$ эквивалентны для любого фиксированного $l\in (0, \infty)$. Число $\sigma$ выберем позже.

Пусть $Q_\sigma(\varphi_0,\|\varphi_0\|)= \{\varphi : \|\varphi-\varphi_0\|\leqslant\|\varphi_0\|\}$ — шар радиуса $\|\varphi_0\|$ с центром в точке $\varphi_0$ некоторого весового пространства $C_\sigma(\sigma\geqslant 0)$, в котором
\[ \begin{equation*}
\|\varphi_0\|=\max(\|\varphi_{01}\|, \|\varphi_{02}\|, \|\varphi_{03}\|, \|\varphi_{04}\|, \|\varphi_{05}\|, \|\varphi_{06}\| ).
\end{equation*} \]
Нетрудно заметить, что для $Q_\sigma(\varphi_0, \|\varphi_0\|)$ имеет место оценка
\[ \begin{equation*}
\|\varphi\|_\sigma \leqslant\|\varphi_0\|_\sigma+\|\varphi_0 \|\leqslant 2\|\varphi_0\|.
\end{equation*} \]

Пусть $\varphi(x,t)\in Q_\sigma(\varphi_0, \|\varphi_0\|)$. Покажем, что при подходящем выборе $\sigma>0$ оператор $A$ переводит шар в шар, т.е. $A\varphi\in Q_\sigma(\varphi_0,\|\varphi_0\|)$. На самом деле, составляя с помощью равенств (28) норму разностей, имеем
\[ \begin{multline*}
\|A_1\varphi-\varphi_{01}\|=\sup\limits_{(x,t)\in D_2}
\bigl|(A_1\varphi-\varphi_{01})e^{-\sigma (t+(1+\theta)x )}\bigr|= {}
\\
{}=
\sup\limits_{(x,t)\in D_2}
\Biggl|\frac{1}{2} \int_0^x\int_{t-x+\xi}^{t+x-\xi}
\Bigl[h_0
\Bigl(\varphi_1(\xi,\tau) e^{-\sigma (\tau+(1+\theta)\xi )}e^{-\sigma (t-\tau+(1+\theta)(x-\xi))}+{}
\\
{}+
\frac{1}{2}\Bigl(\varphi_4(\tau-\xi)e^{-\sigma (\tau-\xi)}e^{-\sigma (t-\tau+\xi)}+\varphi_4(\tau+\xi)e^{-\sigma (\tau+\xi)}e^{-\sigma (t-\tau-\xi)}\Bigr)\Bigl)- {}
\\
{} -
\frac{1}{3}\Bigl(2\varphi_6(\tau-\xi)+\varphi_3(\tau-\xi)-h_0\varphi_4(\tau-\xi)\Bigr)e^{-\sigma (\tau-\xi)}e^{-\sigma (t-\tau+\xi)}+ {}
\\
{} +
\frac{1}{3}\int_0^{\tau-\xi} \bigl(2\varphi_6(\alpha)+\varphi_3(\alpha)-h_0\varphi_4(\alpha)\bigr)e^{-\sigma \alpha}\times {}
\\
{} \times
\Bigl(\varphi_1(\xi,\tau-\alpha)e^{-\sigma (\tau-\alpha+(1+\theta)\xi)}e^{-\sigma (t-\tau+(1+\theta)(x-\xi)-\alpha )}+{}
\\
{}+
\frac{1}{2}\Bigl(\varphi_4(\tau-\alpha-\xi)e^{-\sigma (\tau-\alpha-\xi)}e^{-\sigma (t-\tau+\xi)} +{}
\\
{} +\varphi_4(\tau-\alpha+\xi)e^{-\sigma (\tau-\alpha+\xi)}e^{-\sigma (t-\tau-\xi)}\Bigr)\Bigr)
d\alpha\Bigr] d\tau d\xi \Biggr|\leqslant {}
\\
{} \leqslant \frac{\|\varphi_0\|}{\sigma}l \Bigl[\Bigl(\frac{7h_0}{3}+1\Bigr)+8h_1\|\varphi_0\|l \Bigr]
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\frac{\|\varphi_0\|}{\sigma}\alpha_1,
\end{multline*} \]
\[ \begin{multline*}
\|A_2\varphi-\varphi_{02}\|=\sup\limits_{(x,t)\in D_2}
\bigl|(A_2\varphi-\varphi_{02})e^{-\sigma (t+(1+\theta)x )}\bigr|\leqslant {}
\\
{}\leqslant \frac{\|\varphi_0\|}{\sigma}\Bigl[\frac{11h_0}{3}+2(3+h_0)\|\varphi_0\|l\Bigr]
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\frac{\|\varphi_0\|}{\sigma}\alpha_2,
\end{multline*} \]
\[ \begin{multline*}
\|A_3\varphi-\varphi_{03}\|=\sup\limits_{t\in [0;T]}
\bigl|(A_3\varphi-\varphi_{03})e^{-\sigma t}\bigr|\leqslant{}
\\
{}\leqslant \frac{2\|\varphi_0\|}{\sigma}\Bigl[\frac{7}{2}h_0+h_1l\bigl(1+h_0+(4+lh_1)\|\varphi_0\|\bigr)\Bigr]
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\frac{\|\varphi_0\|}{\sigma}\alpha_3,
\end{multline*} \]
\[ \begin{equation*}
\|A_4\varphi-\varphi_{04}\|=\sup\limits_{t\in [0;T]}
\bigl|(A_4\varphi-\varphi_{04})e^{-\sigma t}\bigr|\leqslant
\frac{2\|\varphi_0\|}{\sigma}\frac{(2+h_0)l}{3}
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\frac{\|\varphi_0\|}{\sigma}\alpha_4,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\|A_5\varphi-\varphi_{05}\|=\sup\limits_{ t\in [0;T]}
\bigl|(A_5\varphi-\varphi_{05})e^{-\sigma t} \bigr|\leqslant
\frac{2\|\varphi_0\|}{\sigma}\frac{2+h_0}{3}
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\frac{\|\varphi_0\|}{\sigma}\alpha_5,
\end{equation*} \]
\[ \begin{multline*}
\|A_6\varphi-\varphi_{06}\|=\sup\limits_{t\in [0;T]}
\bigl|(A_6\varphi-\varphi_{06})e^{-\sigma t}\bigr|\leqslant{}
\\
{}\leqslant
\frac{2\|\varphi_0\|}{\sigma}\Bigl[2f_0(0)l+\frac{2}{3}\|\varphi_0\|(2+h_0)l^{2}\Bigr]
\frac{2+h_0}{3}
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\frac{\|\varphi_0\|}{\sigma}\alpha_6,
\end{multline*} \]
где $h_1=1+ {h_0}/{3}$.
Последнее неравенство получено с помощью четвертого и шестого уравнений системы (29).

Выбирая $\sigma\geqslant\alpha_0=\max(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5, \alpha_6)$, получим, что $A$ переводит шар $Q_\sigma(\varphi_0, \|\varphi_0\|)$ в шар $Q_\sigma(\varphi_0,\|\varphi_0\|)$.

Пусть теперь $\varphi^1$, $\varphi^2$ — любые два элемента из $Q_\sigma(\varphi_0,\|\varphi_0\|)$. Тогда, используя вспомогательные неравенства вида
\[ \begin{equation*}
|\varphi_i^1\varphi_j^1-\varphi_i^2\varphi_j^2|e^{-\sigma t}\leqslant
|\varphi_i^1|\,|\varphi_j^1-\varphi_j^2|e^{-\sigma t}+|\varphi_j^2|\,|\varphi_i^1-\varphi_i^2|e^{-\sigma t}\leqslant
4\|\varphi_0\|\,\|\varphi^1-\varphi^2\|_\sigma
\end{equation*} \]
для $(x,t)\in D_2$, получим
\[ \begin{multline*}
\|A_1\varphi^{1}-A_1\varphi^{2}\|_\sigma =
\sup\limits_{(x,t)\in D_2 } \bigl|(A_1\varphi^{1}-A_1\varphi^{2}) e^{-\sigma (t+(1+\theta)x )}\bigr| \leqslant{}
\\
{}\leqslant \frac{\|\varphi^1-\varphi^2\|_\sigma}{\sigma} l
\Bigl[\Bigl(\frac{7h_0}{6}+\frac{1}{2}\Bigr)+8h_1\|\varphi_0\|l \Bigr]
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\frac{\|\varphi^1-\varphi^2\|_\sigma}{\sigma}\beta_1,
\end{multline*} \]
\[ \begin{multline*}
\|A_2\varphi^{1}-A_2\varphi^{2}\|_\sigma =
\sup\limits_{(x,t)\in D_2} \bigl|(A_2\varphi^{1}-A_2\varphi^{2}) e^{-\sigma (t+(1+\theta)x )}\bigr|\leqslant{}
\\
{}\leqslant \frac{\|\varphi^1-\varphi^2\|_\sigma}{\sigma}
\Bigl[\frac{11h_0}{6}+2(3+h_0)\|\varphi_0\|l\Bigr]
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\frac{\|\varphi^1-\varphi^2\|_\sigma}{\sigma}\beta_2,
\end{multline*} \]
\[ \begin{multline*}
\|A_3\varphi^{1}-A_3\varphi^{2}\|_\sigma =
\sup\limits_{t\in [0;2l]} \bigl|(A_3\varphi^{1}-A_3\varphi^{2}) e^{-\sigma t}\bigr|\leqslant {}
\\
{}\leqslant \frac{\|\varphi^1-\varphi^2\|_\sigma}{\sigma}
\Bigl[\frac{7}{2}h_0+\frac{1}{2}h_1l\bigl(1+h_0+2(4+lh_1)\|\varphi_0\|\bigr)\Bigr]
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\frac{\|\varphi^1-\varphi^2\|_\sigma}{\sigma}\beta_3,
\end{multline*} \]
\[ \begin{multline*}
\|A_4\varphi^{1}-A_4\varphi^{2}\|_\sigma = \sup\limits_{t\in [0;2l]}
\bigl|(A_4\varphi^{1}-A_4\varphi^{2}) e^{-\sigma t}\bigr|\leqslant {}
\\
{}\leqslant \frac{\|\varphi^1-\varphi^2\|_\sigma}{\sigma}\frac{(2+h_0)l}{3}
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\frac{\|\varphi^1-\varphi^2\|_\sigma}{\sigma}\beta_4,
\end{multline*} \]
\[ \begin{multline*}
\|A_5\varphi^{1}-A_5\varphi^{2}\|_\sigma = \sup\limits_{t\in [0;2l]}
\bigl|(A_5\varphi^{1}-A_5\varphi^{2}) e^{-\sigma t}\bigr|\leqslant {}
\\
{}\leqslant \frac{\|\varphi^1-\varphi^2\|_\sigma}{\sigma}\frac{2+h_0}{3}
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\frac{\|\varphi^1-\varphi^2\|_\sigma}{\sigma}\beta_5,
\end{multline*} \]
\[ \begin{multline*}
\|A_6\varphi^{1}-A_6\varphi^{2} \|_\sigma = \sup\limits_{t\in [0;2l]}
\bigl|(A_6\varphi^{1}-A_6\varphi^{2}) e^{-\sigma t} \bigr|\leqslant{}
\\
{}\leqslant \frac{\|\varphi^1-\varphi^2\|_\sigma}{\sigma}
\Bigl[2f_0(0)l+\frac{4}{3}\|\varphi_0\|(2+h_0)l^{2}\Bigr]\frac{2+h_0}{3}
\stackrel{\mathrm{def}}{=}
\frac{\|\varphi^1-\varphi^2\|_\sigma}{\sigma}\beta_6.
\end{multline*} \]

Проведенные исследования показали, что если число $\sigma$ будет выбрано из условия $\sigma>\max(\alpha_0,\beta_0)$, где $\beta_0=\max(\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4, \beta_5, \beta_6)$, то оператор $A$ является сжимающим на $Q_\sigma(\varphi_0,\|\varphi_0\|)$. Тогда, согласно теореме Банаха [22], существует единственное решение уравнения (28) в $Q_\sigma(\varphi_0,\|\varphi_0\|)$ при любом фиксированном $l>0$. $\square$

В итоге имеем, что $k(t)=\widetilde{k}(t)$, так как $h(0)=0$.

Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею.
Авторский вклад и ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Jurabek Sh. Safarov

V. I. Romanovsky Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan; Tashkent University of Information Technologies

Author for correspondence.
Email: j.safarov65@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-9249-835X
https://www.mathnet.ru/person73792

Dr. Phys. & Math. Sci.; Senior Researcher; Lab. of Differential Equations and their Applications; Professor; Dept. of Higher Mathematics

Uzbekistan, 100174, Tashkent, University st., 4; 100202, Tashkent, Amir Timur st., 108

References

Supplementary files