The complete solution of the Yang-Mills equations for centrally symmetric metric in the presence of electromagnetic field

Full Text

Введение. В работе [1] авторы нашли все решения уравнений Янга-Миллса для метрики вида ψ = -e2ν dt2 + e2λ dr2 + e2µ (dθ2 + σ 2 (θ) dϕ2 ), (1) где λ, µ, ν - функции, зависящие только от r и t, а функция σ(θ) удовлетворяет уравнению d2 σ = -κσ, κ = const, (2) dθ2 при нулевом электромагнитном поле. Метрика (1) является небольшим обобщением центрально-симметрической метрики. При личном общении с одним из авторов настоящей работы (В. А. Лукьяновым) профессор Казанского федерального университета Ю. Г. Игнатьев порекомендовал найти решение уравнения Янга-Миллса для центральносимметрической метрики при наличии электромагнитного поля. Авторы благодарны профессору Ю. Г. Игнатьеву за это предложение. В итоге авторами была опубликована работа [2], в которой найдены решения уравнений Янга- Миллса для метрики вида (1) при наличии электромагнитного поля специального вида, компоненты которого в неголономном базисе зависят только от r и t. Но в работе [2] авторами была допущена существенная ошибка: промежуточные формулы (1.14) и (1.15) в той работе не должны содержать слагаемых с множителем κ. Эта ошибка не повлияла на правильность всех 1 окончательных уравнений и их решений, указанных в [1] при σ dσ = const, dθ 1 dσ но обесценила обсуждения случая σ dθ = const, хотя и в этом случае были получены верные окончательные уравнения. В настоящей работе авторы сняли всякие предварительные ограничения на компоненты электромагнитного поля. Это сильно усложнило вывод уравнений Янга-Миллса, но оказалось, что в окончательных уравнениях компоненты электромагнитного поля всё равно зависят только от r и t, а сами уравнения такие же, как в [2]. Поэтому оказались в силе все решения, указанные в [2], и новых решений не возникает. Таким образом, авторами найдены все решения уравнений Янга-Миллса на 4-многообразии конформной связности без кручения для центрально-симметрической метрики при наличии произвольного электромагнитного поля. Сделаем следующие замечания. Замечание 1. Электромагнитное поле, согласованное с уравнениями Янга-Миллса, не содержит источников. Это было доказано авторами в работе [3]. Но еще раньше это было показано в работе [4]. Разница только в том, что в работе [4] сначала были постулированы уравнения Эйнштейна путем наложения некоторых условий, равносильных уравнениям Эйнштейна, на компоненты твисторной связности, а потом выведены уравнения Янга-Миллса. В работе [3] никаких предварительных ограничений на компоненты конформной связности (кроме равенства нулю кручения) не накладывается, а уравнения Эйнштейна возникают в процессе вывода уравнений Янга-Миллса. В работе [4] группа уравнений Янга-Миллса, не сводящаяся к уравнениям Максвелла, записана с помощью тензора Баха [5]. В работе [3] соответствующая группа уравнений была названа уравнениями движения вещества, и в них слагаемые, относящиеся к тензору Баха, специально не выделялись. Если же не обращать в нуль кручение, то электромагнитное поле, согласованное 463 К р и в о н о с о в Л. Н., Л у к ь я н о в В. А. с уравнениями Янга-Миллса, уже может иметь источники. Но для этого случае авторы не умеют находить решение уравнения Янга-Миллса. Замечание 2. Уравнения Янга-Миллса, которые авторы вывели в работе [3] (они же выведены и в работе [4], только к ним надо добавить уравнения Эйнштейна), связывают гравитацию и электромагнетизм совсем не так, как это постулировано Райсснером и Нордстремом. У них тензор электромагнитного поля подставляется в правую часть уравнений Эйнштейна, а в работе [4] этот тензор приравнивается к тензору Баха. Поэтому решения уравнений Янга-Миллса из настоящей статьи ни в коем случае не могут привести к решению Райсснера-Нордстрема уравнений Эйнштейна (это решение можно найти в работе [6]). Замечание 3. Авторам настоящей работы известны только две работы, в которых уравнения Янга-Миллса решаются на 4-многообразии конформной связности другими авторами. Это работа [7], в которой найдены решения уравнений Янга-Миллса для метрики Феффермана, и работа [8], где приведено одно чисто временное решение, но оно является частным случаем решений авторов из работы [9]. Сами Янг и Миллс [10] свои уравнения ввели в 1954 году для компактной группы SU (2). С тех пор необозримое количество работ посвящено уравнениям Янга-Миллса и их решениям, но лишь для компактных групп. Авторы же рассматривают 4-многообразия конформной связности с сигнатурой угловой метрики (- + ++). Структурная конформная группа при такой сигнатуре некомпактна. К тому же при такой сигнатуре оператор Ходжа ∗ удовлетворяет равенству ∗2 = -id (а в случае компактных групп ∗2 = id), что не позволяет уравнениям Янга-Миллса иметь автодуальные и антиавтодуальные решения. Поэтому в случае, рассматриваемом авторами настоящей работы, задача решения уравнений Янга-Миллса гораздо труднее, чем для компактных структурных групп. Основная цель авторов - построить теорию, объединяющую все 4 фундаментальных взаимодействия. Пока эта задача далека от завершения из-за неумения авторами находить решения уравнения Янга-Миллса при ненулевом кручении. 1. Вывод уравнений Янга-Миллса. В работе [1] указано, что метрику (1) всегда можно привести к виду ψ = -e2ν dt2 + e2λ dr2 + dθ2 + σ 2 (θ)dϕ2 . (3) Отправляясь от метрики (3), введем пфаффовы формы ω 1 = eν dt, ω 2 = eλ dr, ω 3 = dθ, ω 4 = σ(θ)dϕ. Тогда метрика (3) запишется в стандартном виде: ψ = ηij ω i ω j , где -1  0 = 0 0  (ηij ) = η ij 0 1 0 0 0 0 1 0  0 0  0  1 есть тензор Минковского. Точкой над буквой будем обозначать частную производную по t, штрихом - частную производную по r, а производные по θ и 464 Полное электромагнитное решение уравнений Янга-Миллса. . . ϕ будем записывать символами σθ , (b12 )ϕ и т. д.: σθ 3 ω ∧ ω4. σ Пфаффовы формы Кристоффеля для квадратичной формы (3) имеют вид dω 1 = -e-λ ν ω 1 ∧ ω 2 , ˙ dω 2 = e-ν λω 1 ∧ ω 2 , dω 3 = 0, dω 4 = dσ 1 4 3 4 3 4 ω , ω1 = ω1 = ω2 = ω2 = 0. dθ σ Внешние 2-формы римановой кривизны квадратичной формы (3) имеют вид 2 ˙ ω1 = e-λ ν ω 1 + e-ν λω 2 , 2 R1 = Aω 1 ∧ ω 2 , 4 ω3 = 4 R3 = -κω 3 ∧ ω 4 , 3 4 3 4 R1 = R1 = R2 = R2 = 0, где для краткости введено обозначение def ¨ ˙˙ ˙ A = e-2λ λ ν - ν - ν 2 + e-2ν λ - λν + λ2 . (4) k Ненулевые компоненты тензора Риччи Rij = Rijk и скалярная кривизна R = ij R определяются следующими соотношениями = η ij R11 = A, R22 = -A, R33 = R44 = -κ, R = -2A - 2κ. Для компонент bjm пфаффовых форм ωi = bij ω j можно вычислить симметрическую часть b(jm) = bjm + bmj из уравнений Эйнштейна b(jm) = Rjm - - 1 Rηjm [3, с. 439]. Имеем 6 1 1 1 b11 = 1 A - 6 κ, b22 = - 3 A + 6 κ, 3 1 1 b33 = b44 = 6 A - 3 κ, b(jm) = 0 при j = m, (5) то есть недиагональные элементы кососимметричны. Уравнения Максвелла имеют вид dΦ0 = 0, 0 d ∗ Φ0 = 0 0 (6) [3, c. 440], где 1 1 Φ0 = b[ij] ω j ∧ ω i = (bij - bji ) ω j ∧ ω i = bij ω j ∧ ω i = 0 2 2 = -2 b12 ω 1 ∧ ω 2 + b13 ω 1 ∧ ω 3 + b14 ω 1 ∧ ω 4 + + b23 ω 2 ∧ ω 3 + b24 ω 2 ∧ ω 4 + b34 ω 3 ∧ ω 4 , а ∗ - оператор Ходжа: ∗ Φ0 = 2 -b12 ω 3 ∧ ω 4 + b13 ω 2 ∧ ω 4 - b14 ω 2 ∧ ω 3 + 0 + b23 ω 1 ∧ ω 4 - b24 ω 1 ∧ ω 3 + b34 ω 1 ∧ ω 2 . Уравнения (6) в компонентах принимают соответственно вид e-λ (b13 + b13 ν σθ ˙ b34 e-ν - b14 σ e-λ (b14 + b14 ν σθ b34 e-λ - b24 σ ˙ ˙ ) = e-ν (b23 + b23 λ) + (b12 )θ , + (b13 )ϕ σ - (b14 )θ = 0, ˙ ˙ ) = e-ν (b24 + b24 λ) + + (b23 )ϕ σ (b12 )ϕ σ , (7) - (b24 )θ = 0; 465 К р и в о н о с о в Л. Н., Л у к ь я н о в В. А. ˙ ˙ e-λ (b24 + b24 ν ) + (b34 )θ = e-ν (b14 + b14 λ), σθ (b24 )ϕ ˙ b12 e-ν + b23 + (b23 )θ + σ = 0, σ (b34 ) ˙ ˙ e-λ (b23 + b23 ν ) = e-ν (b13 + b13 λ) + σ ϕ , σθ (b14 ) b12 e-λ + b13 + (b13 )θ + σ ϕ = 0. σ j , из формул (5) получаем Так как ωi = bij ω (8) 1 1 A - κ ω 1 + b12 ω 2 + b13 ω 3 + b14 ω 4 , 3 6 1 1 1 = -b12 ω + - A + κ ω 2 + b23 ω 3 + b24 ω 4 , 3 6 1 1 = -b13 ω 1 - b23 ω 2 + A - κ ω 3 + b34 ω 4 , 6 3 1 1 1 2 3 A - κ ω4. = -b14 ω - b24 ω - b34 ω + 6 3 ω1 = ω2 ω3 ω4 Найдём внешние формы конформной кривизны i Φi = Rj + ω i ∧ ωj + η im ηjn ωm ∧ ω n j k и Φi = dωi - ωi ∧ ωk и сразу вычислим преобразования Ходжа [1, c. 352]. При возможности упростим выражения с помощью (7) и (8): ∗Φ4 3 ∗Φ4 2 ∗Φ3 2 ∗Φ4 1 ∗Φ3 1 ∗Φ2 1 1 = 3 (A + κ) ω 1 ∧ ω 2 + b13 ω 2 ∧ ω 3 + b14 ω 2 ∧ ω 4 + b23 ω 1 ∧ ω 3 + b24 ω 1 ∧ ω 4 , 1 = 6 (A + κ) ω 1 ∧ ω 3 + b12 ω 2 ∧ ω 3 - b14 ω 3 ∧ ω 4 + b23 ω 1 ∧ ω 2 - b34 ω 1 ∧ ω 4 , 1 = - 6 (A + κ) ω 1 ∧ ω 4 - b12 ω 2 ∧ ω 4 - b13 ω 3 ∧ ω 4 - b24 ω 1 ∧ ω 2 - b34 ω 1 ∧ ω 3 , 1 = - 6 (A + κ) ω 2 ∧ ω 3 - b12 ω 1 ∧ ω 3 - b24 ω 3 ∧ ω 4 + b13 ω 1 ∧ ω 2 + b34 ω 2 ∧ ω 4 , 1 = 6 (A + κ) ω 2 ∧ ω 4 + b12 ω 1 ∧ ω 4 - b23 ω 3 ∧ ω 4 - b14 ω 1 ∧ ω 2 + b34 ω 2 ∧ ω 3 , 1 = 3 (A + κ) ω 3 ∧ ω 4 - b13 ω 1 ∧ ω 4 - b23 ω 2 ∧ ω 4 + b14 ω 1 ∧ ω 3 + b24 ω 2 ∧ ω 3 ; 1 ˙ ˙ ∗ Φ1 = b12 e-ν - e-λ A ω 3 ∧ ω 4 + b23 e-λ ν - b13 e-ν ω 2 ∧ ω 4 + 3 ˙ ˙ + b14 e-ν - b24 e-λ ν ω 2 ∧ ω 3 + b24 e-ν - b14 e-λ ν ω 1 ∧ ω 3 + ˙ ˙ + b13 e-λ ν - b23 e-ν ω 1 ∧ ω 4 - b34 e-ν ω 1 ∧ ω 2 , 1 ˙ ˙ ∗ Φ2 = b12 e-λ - e-ν A ω 3 ∧ ω 4 + b23 e-ν λ - b13 e-λ ω 2 ∧ ω 4 + 3 ˙ ˙ + b14 e-λ - b24 e-ν λ ω 2 ∧ ω 3 + b24 e-λ - b14 e-ν λ ω 1 ∧ ω 3 + ˙ + b13 e-ν λ - b e-λ ω 1 ∧ ω 4 - b e-λ ω 1 ∧ ω 2 , 23 ∗ Φ3 = (b12 )θ ω 3 ∧ ω 4 - - 466 34 1 -ν ˙ e A + (b13 )θ ω 2 ∧ ω 4 + (b14 )θ ω 2 ∧ ω 3 - 6 1 -λ e A + (b23 )θ ω 1 ∧ ω 4 + (b24 )θ ω 1 ∧ ω 3 - (b34 )θ ω 1 ∧ ω 2 , 6 Полное электромагнитное решение уравнений Янга-Миллса. . . (b12 )ϕ ω3 ∧ ω4 + b14 σθ - (b13 )ϕ ω2 ∧ ω4+ σ σ 1 -ν ˙ (b14 )ϕ + b13 σθ 2 + e A+ ω ∧ ω 3 + b34 e-λ - (b24 )θ ω 1 ∧ ω 4 + 6 σ (b24 )ϕ + b23 σθ 1 (b34 )ϕ 1 1 -λ + e A + ω ∧ ω3 - ω ∧ ω2. 6 σ σ ∗ Φ4 = Найдём внешние 3-формы d ∗ Φi : ˙˙ ¨ d ∗ Φ1 = e-2ν b14 λν - λ + e-2λ b14 ν - λ ν + +e -λ-ν ˙ ˙ b24 ν - b24 λ + (b12 )ϕ e-λ ν σ ω1 ∧ ω2 ∧ ω3+ ¨ ˙˙ + e-2ν b13 (λ - λν) + e-2λ b13 (λ ν - ν )+ ˙ ˙ + e-λ-ν (b23 λ - b23 ν ) - (b12 )θ e-λ ν ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 4 + + 1 -λ-ν ˙ ˙ e (A λ - A ) + b12 e-2λ ν ω 1 ∧ ω 3 ∧ ω 4 + 3 ˙ 1 + e-λ-ν b12 λ + e-2λ A λ - A ω2 ∧ ω3 ∧ ω4, 3 ˙˙ ¨ d ∗ Φ2 = e-2ν b24 (λν - λ) + e-2λ b24 (ν - λ ν )+ ˙ ˙ + e-λ-ν (b14 ν - b14 λ) + ˙ (b12 )ϕ e-ν λ σ ω1 ∧ ω2 ∧ ω3+ ¨ ˙˙ + e-2ν b23 (λ - λν) + e-2λ b23 (λ ν - ν )+ ˙ ˙ ˙ + e-λ-ν (b13 λ - b13 ν ) - (b12 )θ e-ν λ ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 4 + 1 ˙ ˙˙ ¨ + e-λ-ν b12 ν + e-2ν (Aν - A) ω 1 ∧ ω 3 ∧ ω 4 + 3 1 -λ-ν ˙ ˙ ˙ ˙ + e (Aν - A ) + e-2ν b12 λ ω 2 ∧ ω 3 ∧ ω 4 , 3 d ∗ Φ3 = 1 -2λ e (A - A λ + A ν )+ 6 (b34 )ϕ σθ 1 1 ˙˙ ¨ ˙˙ + e-2ν (Aν - A - Aλ) - ω ∧ ω2 ∧ ω4+ 6 σ2 σθ σθ ˙ + A e-λ + b23 κ - (b23 )θ + b12 e-ν ω 1 ∧ ω 3 ∧ ω 4 + 6σ σ σθ ˙ -ν σθ + Ae + b13 κ - (b13 )θ + b12 e-λ ω 2 ∧ ω 3 ∧ ω 4 , 6σ σ 467 К р и в о н о с о в Л. Н., Л у к ь я н о в В. А. 1 -2λ 1 ¨ ˙˙ ˙˙ e (A λ - A - A ν ) + e-2ν (A - Aν + Aλ) ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 3 + 6 6 σθ σθ (b34 )θ ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 4 + b24 κ - (b24 )θ ω 1 ∧ ω 3 ∧ ω 4 + + σ σ σθ (b14 )θ ω 2 ∧ ω 3 ∧ ω 4 . + b14 κ - σ d ∗ Φ4 = При i = 1 получим первое уравнение Янга-Миллса [1, c. 352]: i d ∗ Φ1 + ωi ∧ ∗Φi - ∗Φi ∧ ω1 - ∗Φ0 ∧ ω1 = 0. 1 0 (9) С помощью полученных выше выражений запишем его в компонентах и получим четыре уравнения: b12 b24 + b13 b34 = 0, b12 b23 - b14 b34 = 0, ˙ ˙ ˙ e-λ-ν (Aν + A λ - A ) + 12b13 b23 + 12b14 b24 = 0, ˙˙ e-2λ (A λ - A ) + 1 κ 2 - A2 + e-2ν Aλ+ 2 2 2 2 2 +6 (b12 ) + (b13 ) + (b14 ) + (b23 ) + (b24 )2 + (b34 )2 = 0. (10) При i = 2 получаем еще три уравнения: b12 b14 + b23 b34 = 0, b12 b13 - b24 b34 = 0, 1 ˙˙ ¨ e-2ν (Aν - A) + 2 A2 - κ 2 + e-2λ A ν + +6 (b13 )2 + (b14 )2 + (b23 )2 + (b24 )2 - (b12 )2 - (b34 )2 = 0. (11) При i = 3 будем иметь только два новых уравнения: b23 b24 - b13 b14 = 0, ˙˙ ¨ ˙˙ e-2λ (A - A λ + A ν ) + e-2ν (Aν - A - Aλ) + A2 - κ 2 + 2 2 2 2 +12 (b13 ) - (b14 ) - (b23 ) + (b24 ) - (b12 )2 - (b34 )2 = 0. (12) При i = 4 добавится лишь уравнение e-2λ A - A λ + A ν ˙˙ ¨ ˙˙ + e-2ν (Aν - A - Aλ) + A2 - κ 2 + + 12 (b14 )2 + (b23 )2 - (b13 )2 - (b24 )2 - (b12 )2 - (b34 )2 = 0. (13) Уравнения (10)-(13) получаются в таком виде только после использования (для упрощения) формул (7), (8) и (4). Например, в уравнении (9) приравнивание к нулю коэффициента при ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 3 первоначально приводило к соотношению 1 (b12 )ϕ e-λ ν + σ ˙ ˙ + e-λ-ν (b24 ν + b24 ν λ) + b14 A - 4b12 b24 - 4b13 b34 = 0. ˙˙ ¨ ˙ e-2ν b14 (λν - λ - λ2 ) + e-2λ (ν - ν λ - b14 ν ) + Теперь, если вместо A подставить его выражение из (4), то будем иметь ˙ ˙ e-λ ν e-ν (b24 + b24 λ) - e-λ (b14 + b14 ν ) + 468 (b12 )ϕ σ - 4b12 b24 - 4b13 b34 = 0. Полное электромагнитное решение уравнений Янга-Миллса. . . Наконец, используя одно из уравнений (7), приходим к первому уравнению (10). Итак, все уравнения Янга-Миллса свелись к (7), (8) и (10)-(13), где величина A вычисляется по формуле (4). 2. Отыскание решений системы уравнений (7), (8) и (10)-(13). Выпишем короткие уравнения из (10)-(11): b12 b13 - b24 b34 = 0, b12 b14 + b23 b34 = 0, b12 b23 - b14 b34 = 0, b12 b24 + b13 b34 = 0. Эти равенства можно рассматривать как линейную однородную систему уравнений с неизвестными b13 , b14 , b23 , b24 . Определитель ее основной матрицы 2 равен (b12 )2 + (b34 )2 . В зависимости от того, равен он нулю или нет, возникают две возможности. Первый случай: (b12 )2 + (b34 )2 = 0. Это означает, что b13 = b14 = b23 = = b24 = 0. Уравнения (7) и (8) сводятся к тому, что b12 и b34 являются константами. Из (10)-(13) получим всего три независимых уравнения: ˙ ˙ ˙ Aν + A λ - A = 0, ˙˙ e-2λ (A λ - A ) + e-2ν Aλ + 1 K 2 - A2 = 0, 2 1 ˙˙ ¨ e-2ν Aν - A + e-2λ A ν + 2 A2 - K 2 = 0, где def K = κ 2 + 12 (b12 )2 + 12 (b34 )2 = const. Этот случай был разобран в [1], только вместо κ здесь константа K. Например, при ν = 0 имеем A (t, r) = 12℘ t + s (r) , K2 ,α , 12 ˙ eλ = As (r) , где α = const, s (r) - произвольная функция. Второй случай: b12 = b34 = 0. Система (10)-(13) примет вид ˙ ˙ ˙ e-λ-ν (Aν + A λ - A ) + 12b13 b23 + 12b14 b24 = 0, -2λ (A λ - A ) + 1 κ 2 - A2 + e-2ν Aλ+ ˙˙ e 2 2 2 +6 (b13 ) + (b14 ) + (b23 )2 + (b24 )2 = 0. ˙˙ ¨ e-2ν (Aν - A) + (14) A2 - κ 2 + e-2λ A ν + +6 (b13 )2 + (b14 )2 + (b23 )2 + (b24 )2 = 0. (15) b23 b24 - b13 b14 = 0, ˙˙ ¨ ˙˙ e-2λ (A - A λ + A ν ) + e-2ν (Aν - A - Aλ) + A2 - κ 2 + 2 2 +12 (b13 ) - (b14 ) - (b23 )2 + (b24 )2 = 0. (16) 1 2 ˙˙ ¨ ˙˙ e-2λ (A - A λ + A ν ) + e-2ν (Aν - A - Aλ) + A2 - κ 2 + 2 2 +12 (b14 ) + (b23 ) - (b13 )2 - (b24 )2 = 0. Последние два уравнения равносильны уравнениям e-2λ A - A λ + A ν ˙˙ ¨ ˙˙ + e-2ν (Aν - A - Aλ) + A2 - κ 2 = 0, (17) 469 К р и в о н о с о в Л. Н., Л у к ь я н о в В. А. (b14 )2 + (b23 )2 - (b13 )2 - (b24 )2 = 0. (18) Разность последнего уравнения (14) и уравнения (15) дает (17). Первое уравнение (16) совместно с уравнением (18) имеет только следующее решение: b23 = εb13 , b24 = εb14 , ε = ±1. В итоге вся система уравнений Янга-Миллса для 2-го случая сводится к системе . . (b13 eν ) = ε b13 eλ , (b14 eν ) = ε b14 eλ , (19) (b13 )ϕ = (σb14 )θ , (b14 )ϕ + (σb13 )θ = 0; ˙ ˙ ˙ e-λ-ν (Aν + A λ - A ) + εL = 0, -2ν (Aν - A) + 1 A2 - κ 2 + e-2λ A ν + L = 0, ˙˙ ¨ e 2 ˙˙ e-2λ (A λ - A ) + 1 κ 2 - A2 + e-2ν Aλ + L = 0, 2 (20) def где L = 12 (b13 )2 + (b14 )2 . ˙ ˙ ˙ В первом уравнении (20) величина e-λ-ν (Aν + A λ - A ) зависит только 2 2 от t и r, следовательно, L = 12 (b13 ) + (b14 ) также зависит только t и r. Отсюда, дифференцируя по θ и ϕ, получаем b13 (b13 )θ + b14 (b14 )θ = 0, b13 (b13 )ϕ + b14 (b14 )ϕ = 0. Подставляем сюда вместо (b13 )ϕ и (b14 )ϕ выражения из последних уравнений (19) и приходим к системе b13 (b14 )θ - b14 (b13 )θ = 0, b14 (b14 )θ + b13 (b13 )θ = 0 линейных однородных уравнений с неизвестными (b14 )θ и (b13 )θ и определителем основной матрицы (b13 )2 + (b14 )2 . Если он равен нулю, то это означает отсутствие электромагнитного поля, и мы приходим к ситуации, разобранной в [1]. Если он не равен нулю, то (b14 )θ = (b13 )θ = 0 (21) и последние два уравнения (19) запишутся в виде (b13 )ϕ = b14 σθ , (b14 )ϕ + b13 σθ = 0. (22) Так как b14 и b13 не зависят от θ, величина σθ также не должна зависеть от θ, то есть σθ = C = const, σθθ = 0. Из (2) получаем κ = 0. В этом случае заменой переменных x= σ cos Cϕ, C y= σ sin Cϕ C форма dθ2 + σ 2 (θ) dϕ2 сводится к dx2 + dy 2 , то есть σ = 1. Тогда из (22) следует, что (b13 )ϕ = (b14 )ϕ = 0. Учитывая (21), приходим к случаю, когда bij зависят только от t и r, то есть к ситуации, разобранной в [2]. Система (19), (20) станет такой же, как в [2, формулы 2.14]. 470 Полное электромагнитное решение уравнений Янга-Миллса. . . Выводы. Уравнения Янга-Миллса, полученные нами в первом случае, когда (b12 )2 +(b34 )2 = 0, полностью совпадают с теми, что были найдены в [2], так как b12 и b34 оказываются зависящими только от t и r. Их общее решение выражается через эллиптическую функцию Вейерштрасса. Второй случай, когда b12 = b34 = 0, возможен лишь при κ = 0 (в этом случае метрика (1) центрально-симметрической не называется). Здесь снова получается такая же система уравнений, как и в [2]. Хотя она и является вполне интегрируемой, найти ее общее решение в элементарных функциях авторам не удалось.

About the authors

Leonid N Krivonosov

Nizhny Novgorod State Technical University

Email: Leonid N.Krivonosov (Cand.Phys.& Math.Sci.; l.n.krivonosov@gmail.com
(Cand. Phys. & Math. Sci.; l.n.krivonosov@gmail.com; Corresponding Author), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics 24, Minina st., Nizhnii Novgorod, 603600, Russian Federation

Vyacheslav A Luk'yanov

Zavolzhskij Branch of Nizhny Novgorod State Technical University

Email: oxyzt@ya.ru
Senior Lecturer, Dept. of Computer Science and General Disciplines 1a, Pavlovskogo st., Zavolzh’e, Nizhegorodskaya obl., 606520, Russian Federation

References

Supplementary files