Hyperfine structure of muonic lithium ions

Full Text

Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). 270 Сверхтонкая структура ионов мюонного лития Ионы мюонного лития (µ e 6 Li)+ и (µ e 7 Li)+ представляют собой простей3 3 шие трёхчастичные системы, состоящие из электрона, отрицательного мюона и положительного ядра 6 Li или 7 Li. Время жизни таких атомов определяется 3 3 временем жизни мюона τµ = 2.19703(4)·10-6 с. Эти трёхчастичные связанные состояния имеют сложную сверхтонкую структуру, обусловленную взаимодействием магнитных моментов электрона, мюона и ядра. Мюонные системы представляют собой уникальную лабораторию по прецизионному определению свойств ядер, таких как их зарядовые радиусы [2, 3]. В последние годы наблюдается существенный прогресс, достигнутый коллаборацией CREMA (Charge Radius Experiment with Muonic Atoms) при исследовании спектров энергии мюонных атомов. Было выполнено измерение лэмбовского сдвига и сверхтонкой структуры в мюонном водороде и мюонном дейтерии. Планируются аналогичные эксперименты с мюонным гелием. Лёгкие мюонные атомы важны для проверки Стандартной модели, теории связанных состояний в квантовой электродинамике, для поиска экзотических частиц и взаимодействий. Сверхтонкое расщепление основного состояния в атомах мюонного гелия (µ e 3,4 He) было измерено много лет назад с достаточно высокой точ2 ностью. Это измерение является единственным экспериментальным результатом в случае трёхчастичных мюонных атомов. С другой стороны, теоретические исследования энергетического спектра мюонного гелия достигли существенно больших успехов по двум направлениям [4-13, 15]. Первый подход, использованный в [4-6, 11], был основан на методе теории возмущений для уравнения Шрёдингера. В этом случае существует аналитическое решение для трёхчастичной волновой функции в исходном приближении. На его основе было выполнено вычисление различных поправок в сверхтонком расщеплении. Другой подход в работах [7, 10, 12-15] был основан на вариационном методе в квантовой механике. Он позволил вычислить численно уровни энергии трёхчастичной системы с очень высокой точностью. Чтобы найти расположение низколежащих уровней энергии с большой точностью, необходимо учесть различные поправки в операторе взаимодействия частиц. Прежде всего эти поправки связаны с эффектами отдачи, структуры ядра и поляризации вакуума. Программа расчёта сверхтонкой структуры в мюонном гелии, включая возбуждённые состояния, была реализована в [4-7, 10-13, 16-18]. Цель данной работы состоит в распространении этого подхода на ионы мюонного лития (µ e 6,7 Li)+ , что представляет собой потенциальный 3 интерес для экспериментального изучения. Связанные частицы в ионах мюонного лития имеют различные массы me mµ mLi . В результате мюон и ядро Li образуют псевдоядро (µ 6,7 Li)++ , 3 и в первом приближении ион мюонного лития может рассматриваться как двухчастичная система. Гамильтониан (µ e 6,7 Li)+ имеет следующую общую 3 структуру: H = H0 + ∆H + ∆Hrec + ∆HVP + ∆Hstr + ∆Hvert , 1 3α 2α 1 2 2 H0 = - - - - , 2Mµ µ 2Me e xµ xe α α 1 ∆H = - , ∆Hrec = - · e, xµe xe MLi µ где xµ и xe - координаты мюона и электрона по отношению к ядру лития, Me = me MLi /(me + MLi ) и Mµ = mµ MLi /(mµ + MLi ) - приведённые массы подсистем (e 6,7 Li)++ и (µ 6,7 Li)++ . Члены гамильтониана ∆HVP , ∆Hstr 3 3 и ∆Hvert описывают поправки на поляризацию вакуума, структуру ядра и вершинную поправку. В исходном приближении волновая функция основного состояния имеет вид Ψ0 (xµ , xe ) = ψµ0 (xµ )ψe0 (xe ) = (6α2 Mµ Me )3/2 -3αMµ xµ -2αMe xe e e . π (1) Базовый вклад в сверхтонкое взаимодействие в основном состоянии (µ e 6,7 Li)+ определяется следующим гамильтонианом: 3 hf ∆H0 s = 2πα gN gµ 2πα gµ ge (I · Sµ )δ(xµ ) - (Sµ · Se )δ(xµ - xe )+ 3 mp mµ 3 mµ me 2πα ge gN (Se · I)δ(xe ), (2) + 3 me mp где gN , gµ , ge - гиромагнитные факторы ядра, мюона и электрона. Полный спин трёх частиц принимает значения 0, 1 и 2 для (µ e 6 Li)+ и 1/2, 3/2 и 5/2 3 для (µ e 7 Li)+ . 3 Сверхтонкое расщепление уровней энергии в ионах мюонного лития определяется рядом матричных элементов hf ν = ∆H0 s = a I · Sµ - b Sµ · Se + c Se · I , (3) где средние значения операторов спин-спинового взаимодействия могут быть вычислены с помощью преобразования базисных волновых функций [19, 20]: (-1)I+Sµ +Se +S ΨSN µ SSz = (2SN µ + 1)(2SN e + 1)× SN e × Se SN Sµ S SN e SN µ ΨSN e SSz , где SN µ - спин подсистемы ядро-мюон, SN e - спин подсистемы ядро-электрон, S - полный угловой момент. Свойства 6j-символов можно найти в [20]. Как следует из (2), (3), основные вклады в коэффициенты a, b и c следующие: 2πα gN gµ δ(xµ ) , 3 mp mµ 2πα gµ ge b0 = δ(xµ - xe ) , 3 mµ me 2πα ge gN c0 = δ(xe ) , 3 me mp a0 = (4) (5) где . . . означает усреднение в координатном представлении по волновым функциям (1). При расчётах мы использовали следующие значения гиромагнитных факторов: gN (6 Li) = 0.822047, 3 gN (7 Li) = 2.170951, 3 gµ = 2(1 + κµ ) = 2(1 + 1.16592069(60) · 10-3 ); ge = 2 для коэффициента b; ge = 2(1 + κe ) = 2(1 + 1.15965218111(74) · 10-3 ) для коэффициента c. Среднее значение (3) есть матрица 4 × 4, соответствующая различным значениям полного спина и спина подсистемы мюон-ядро: (S = 0, SN µ = 1/2), (S = 1, SN µ = 1/2), (S = 1, SN µ = 3/2), (S = 2, SN µ = 3/2) для (µ e 6 Li)+ ; 3 (S = 1/2, SN µ = 1), (S = 3/2, SN µ = 1), (S = 3/2, SN µ = 2), (S = 5/2, SN µ = 2) для (µ e 7 Li)+ . 3 После диагонализации мы имеем четыре собственных значения энергии νi . В случае мюонного лития a bи a c. Поэтому интервалы сверхтонкой структуры ∆νi могут быть представлены с хорошей точностью в виде hf (µ e 6 Li)+ : ∆ν1 s = 3 b + 4c , 3 hf ∆ν2 s = 2(b - 2c) , 3 (6) 5(b - 3c) 3(b + 5c) hf , ∆ν2 s = . (7) 8 8 Для углового момента подсистемы мюон-ядро SN µ = 1/2 и SN µ = 3/2 (µ e 6 Li)+ интервалы сверхтонких расщеплений (6) с состояниями полного 3 углового момента S = 0, 1 и S = 1, 2 возникают в результате магнитного взаимодействия между электроном и псевдоядром (µ 6 Li)++ . Такая же ситу3 ация (7) справедлива для (µ e 7 Li)+ . 3 В первом порядке теории возмущений (ТВ) основные вклады в коэффициенты b (4) и c (5) могут быть аналитически вычислены с помощью (1) (далее верхние и нижние значения соответствуют (µ e 6 Li)+ и (µ e 7 Li)+ ): 3 3 hf (µ e 7 Li)+ : ∆ν1 s = 3 b0 = 2πα ge gµ Ψ∗ (xe , xµ )δ(xe - xµ )Ψ0 (xe , xµ )dxe dxµ = 0 3 me mµ 2 ge gµ 1 Me 8 Me = νF = νF 1 + κµ + (1 + κµ ) -2 + 2M 2 4 (1 + 3M e )3 Mµ 3 Mµ , (8) µ νF = c0 = 3 64α4 Me = 3mµ me 2πα ge gN 3 me mp 36140.290 МГц, 36141.701 МГц; κµ νF = 42.137 МГц, 42.138 МГц; Ψ∗ (xe , xµ )δ(xe )Ψ0 (xe , xµ )dxe dxµ = 0 = νF mµ ge gN = mp 4 1674.700 МГц, 4422.900 МГц, где мы получили в квадратных скобках энергию Ферми νF , поправку на аномальный магнитный момент мюона κµ νF и члены отдачи. Аналогичный вклад будет давать аномальный магнитный момент электрона: κe νF = 41.959 МГц, 41.961 МГц. Численное значения вклада в энергетический спектр представлено с точностью до 0.001 МГц. Интервалы сверхтонких расщеплений выражены через частоту с помощью соотношения ∆E hf s = 2π ∆ν hf s . Численные значения фундаментальных физических констант взяты из работ [21, 22]. Рассмотрим расчёт поправок на отдачу порядков α4 Mµ , α4 ( Mµ )2 ln Mµ , Me α4 ( Mµ )2 . Часть таких поправок уже содержится в (8). Во втором порядке ТВ мы также имеем вклады в сверхтонкое расщепление необходимого порядMe Me Me Me ка α4 Mµ , α4 ( Mµ )2 ln Mµ , α4 ( Mµ )2 . Поправка в коэффициент b определяется формулой brec = 2 hf ˜ Ψ∗ (xµ , xe )∆H0 s (xµ - xe )G(xµ , xe ; x µ , x e )× 0 × ∆H(x µ , x e )Ψ0 (x µ , x e )dxµ dxe dx µ dx e , (9) где редуцированная функция Грина электрона имеет вид ∗ ∗ ψµn (xµ )ψen (xe )ψµn (x µ )ψen (x e ) ˜ G(xµ , xe ; x µ , x e ) = Eµ0 + Ee0 - Eµn - Een n,n =0 . (10) Разделим сумму по мюонным состояниям в (10) на две части: brec = bg + be , rec rec где bg есть вклад в brec при n = 0, что соответствует основному состоянию rec мюона. Для этой части получим bg = rec 4πα ge gµ 3 me mµ ∗ |ψµ0 (x3 )|2 ψe0 (x3 )× ∞ × ∗ ψen (x3 )ψen (x1 ) n =0 Ee0 - Een Vµ (x1 )ψe0 (x1 )dx1 dx3 , (11) где введено обозначение для потенциала Vµ (x): Vµ (x1 ) = ∗ ψµ0 (x2 ) α α - ψµ0 (x2 )dx2 = |x2 - x1 | x1 α = - (1 + 3αMµ x1 )e-6αMµ x1 . x1 Для дальнейшего интегрирования (11) по координатам мы использовали компактное выражение для функции Грина электрона [23]: ∞ Ge (x1 , x3 ) = =- 274 ∗ ψen (x3 )ψen (x1 ) Ee0 - Een n =0 2 2αMe -2αMe (x1 +x3 ) π = 1 - ln(4αMe x> ) - ln(4αMe x< )+ 4αMe x> 7 1 - e4αMe x< + Ei (4αMe x< ) + - 2C - 2αMe (x1 + x3 ) + , 2 4αMe x< e где x< = min(x1 , x3 ), x> = max(x1 , x3 ), C = 0.577216 . . . - постоянная Эйлера, Ei (x) - интегральная экспонента. Результат интегрирования по координатам в (11) может быть записан в виде разложения по отношению масс электрона и мюона Me /Mµ : bg = νF (1 + κµ ) rec 2 11 Me 1 Me Me + - 7 - 128 ln 2 + 64 ln 3 -64 ln 2 24 Mµ 72 Mµ Mµ . Часть be , соответствующая возбуждённым состояниям мюона, может быть 3 представлена в виде be = rec 4πα ge gµ 3 me mµ ∗ ∗ ψµ0 (x3 )ψe0 (x3 ) ∗ ψµn (x3 )ψµn (x2 )Ge (x3 , x1 , z)× n=0 α α - ψµ0 (x2 )ψe0 (x1 )dx1 dx2 dx3 , (12) × |x2 - x1 | x1 где ∞ Ge (x3 , x1 , z) = n =0 ∗ ψen (x3 )ψen (x1 ) z - Een ∞ = n =0 ∗ ψen (x3 )ψen (x1 ) Eµ0 + Ee0 - Eµn - Een - функция Грина электрона. Член (-α/x1 ) не даёт вклада из-за ортогональности волновых функций мюона. Чтобы аналитически проинтегрировать (12), мы используем замену Ge на свободную функцию Грина электрона [4]: Ge (x3 , x1 , z) → G0 (x3 - x1 , z) = - e Me e-β|x3 -x1 | , 2π |x3 - x1 | где β = 2Me (Eµn - Ee0 - Eµ0 ) > 0. Кроме того, мы заменяем волновые функции электрона в (12) на их значения в нуле ψe0 (0). Опущенные в этом Me приближении члены могут дать вклад порядка ( Mµ )2 . Результат численного интегрирования этих вкладов представлен в работе [6] для атома мюонного гелия, в которой показано, что численные значения поправок малы. Аналитическое интегрирование по координате x1 даёт результат e-β|x3 -x1 | dx1 1 1 1 = 4π - |x3 - x2 | + β|x3 - x2 |2 + . . . , |x3 - x1 | |x2 - x1 | β 2 6 (13) где было использовано разложение экспоненты e-β|x3 -x2 | по β|x3 -x2 |. Данное Me Mµ . Первый 35Me -νF 24Mµ . Третье разложение эквивалентно разложению по малому параметру член β -1 не даёт вклада. Второй член (13) даёт результат слагаемое (13) приводит к следующему интегралу: ∗ ψµ0 (x3 ) ∗ 2Me (Eµn - Eµ0 )ψµn (x3 )ψµn (x2 )x2 x3 ψµ0 (x2 )dx2 dx3 = n = 1 Me 3αMe Mµ 3/2 S1/2 , где мы определили матричный элемент S1/2 = n Eµn - Eµ0 Rµ 1/2 µ0 x µn aµ 2 . (14) Вклады дискретного и непрерывного спектра (14) соответственно равны [24, 25]: где Rµ = (9/2)α2 Mµ , aµ = (3αMµ )-1 . Суммарный вклад первого и второго порядков ТВ в коэффициент b порядка α4 имеет вид brec = νF (1 + κµ ) -3 Me 8 Me 2 Me - + ln Mµ 9 Mµ Mµ 4 Me 3/2 8 Me + S1/2 + 9 Mµ 9 Mµ 2 185 - 2 ln 2 + ln 3 64 . Существует аналогичный вклад в коэффициент c во втором порядке ТВ. Для его вычисления необходимо использовать hf ∆H0 s (xe ) = 2πα ge gN δ(xe ) 3 me mp в выражении (9). После очевидных упрощений поправка на отдачу в коэффициент c может быть представлена в виде c1 = 4πα ge gN 3 me mp ∗ ψe0 (0)Ge (0, x1 )Vµ (x1 )ψe0 (x1 )dx1 , где функция Грина электрона с одним нулевым аргументом вычисляется по формуле ∞ Ge (0, x) = n=0 ∗ ψen (0)ψen (x) = Ee0 - Een =- 2 2αMe -2αMe x 1 5 e - ln (4αMe x) + - C - 2αMe x . π 4αMe x 2 После аналитического интегрирования по координатам представим результат Me в виде разложения по отношению масс Mµ : c1 = c0 2 Me 8 Me 1 3 Me + + ln - ln 2 4 Mµ 9 M µ 2 Mµ = 8.467 МГц, 22.302 МГц. Большое значение имеет поправка на отдачу, которая связана с двухфотонными обменными амплитудами в электрон-мюонном взаимодействии. Она 276 Сверхтонкая структура ионов мюонного лития me me имеет порядок α5 mµ ln mµ . Этот вклад определяется следующим выражением [26, 27]: ∆Hrec, 2γ (xµe ) = -8 mµ α2 (Sµ · Se ) δ(xµe ). ln 2 - m2 mµ me e (15) Усредняя (15) по кулоновским волновым функциям, получим brec, 2γ = νF mµ 3α mµ me ln = π m2 - m2 me µ e 6.430 МГц, 6.431 МГц. В этой работе мы провели аналитический и численный расчёт интервалов сверхтонкого расщепления уровней энергии в ионах мюонного лития (µ e 6,7 Li)+ на основе метода теории возмущений, который был предложен 3 ранее для атома мюонного гелия в работах [4-6]. Перечислим ряд основных особенностей проведённых расчётов. 1. Ионы мюонного лития имеют сложную сверхтонкую структуру, которая обусловлена взаимодействием магнитных моментов всех трёх частиц. Мы исследуем малые интервалы сверхтонких расщеплений, которые могут быть важны для экспериментального исследования. 2. В этой задаче имеются два малых параметра - постоянная тонкой структуры и отношение масс электрона и мюона, которые могут быть использованы для построения операторов взаимодействия частиц и вычисления соответствующих вкладов в спектр энергии. Основные вклады определяются порядками α4 , α5 и α6 , в том числе и эффекты отдачи в первом и втором порядках ТВ. 3. Релятивисткие поправки были получены с помощью выражений [28, 29]: brel = νF 3 2 2 Z1 α crel = c0 - 1 Z2 α 3 3 (Z1 α)2 = 2 2 = 5.774 МГц, 5.774 МГц; 0.535 МГц, 1.413 МГц, где Z1 - заряд подсистемы (N e), Z2 - заряд подсистемы (N µ). Используя численные значения коэффициентов b и c, мы нашли сверхтонкие расщепления для ионов мюонного лития: ∆ν1 = 14153.03 МГц и ∆ν2 = 21571.26 МГц для (µ e 6 Li)+ , 3 ∆ν1 = 13991.97 МГц и ∆ν2 = 21735.03 МГц для (µ e 7 Li)+ . 3 В работе [13] был выполнен расчёт сверхтонкой структуры в ионах мюонного лития с помощью вариационного метода: ∆ν1 = 14148.68 МГц и ∆ν2 = 21567.11 МГц для (µ e 6 Li)+ , 3 ∆ν1 = 13989.19 МГц и ∆ν2 = 21729.22 МГц для (µ e 7 Li)+ . 3 Различие наших результатов и [13] составляет несколько МГц. Как следует из работы [13], в ней были вычислены только основные вклады с высокой точностью, но различные поправки к гамильтониану были опущены. Таким образом, разница между нашими результатами и работой [13] связана с релятивистскими поправками и поправками на отдачу, которые были вычислены в этой работе. Полученные численные значения вкладов в коэффициенты b и c демонстрируют этот вывод. Отметим, что также необходимо учитывать эффекты поляризации вакуума, структуры ядра, вклад вершинных поправок. Существует несколько основных источников теоретической ошибки. Прежде всего, как мы уже упоминали выше, поправки на отдачу порядка ( Mµ )2 не учитываются точно из-за замены функции Грина электрона на свободную. Численно этот вклад может дать 0.88 МГц. Второй источник ошибки связан с поправками порядка α2 νF . В случае связанного состояния двух частиц эти поправки были вычислены в работах [26, 30-34]. Теоретическая ошибка от вклада порядка α2 νF составляет 1.92 МГц. Другая часть ошибки определяется двухфотонными обменными амплитудами в системе трёх частиц. Они me me имеют пятый порядок по α и содержат параметр отдачи порядка mα ln mα , так что их численное значение может быть ±0.22 МГц. Таким образом, общая теоретическая погрешность не превышает ±2.13 МГц.

About the authors

Alexei P Martynenko

Samara State University

Email: a.p.martynenko@samsu.ru
Dr. Phys. & Math. Sci. a.p.martynenko@samsu.ru; Corresponding Author), Professor, Dept. of General and Theoretical Physics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russian Federation

Alexander A Ulybin

Samara State University

Email: Sasha_Ulybin_20.10.2011@mail.ru
Student, Dept. of General and Theoretical Physics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russian Federation

References

Supplementary files