An inverse problem for two-dimensional equations of finding the thermal conductivity of the initial distribution

Full Text

1. Введение Рассмотрим уравнение теплопроводности Lu ≡ ut - a2 (uxx + uyy ) = F (x, y, t) (1) в параллелепипеде D = Π × (0, T ), Π = {(x, y) | 0 < x < l, 0 < y < q} и следующие задачи для него. Первая начально-граничная задача. Найти в области D функцию u(x, y, t), удовлетворяющую следующим условиям: 2,2,1 u(x, y, t) ∈ C(D) ∩ Cx,y,t (D); (2) З а й н у л л о в А. Р. Lu ≡ F (x, y, t), (x, y, t) ∈ D; u(0, y, t) = u(l, y, t) = 0, 0 y q, 0 t T, u(x, 0, t) = u(x, q, t) = 0, 0 x l, 0 t T, u(x, y, 0) = ϕ(x, y), 0 x l, 0 y q, (3) (4) (5) (6) где ϕ(x, y) и F (x, y, t) - заданные функции. Обратная задача. Найти функции u(x, y, t) и ϕ(x, y), удовлетворяющие условиям (2)-(6) и, кроме того, дополнительному условию u(x0 , y0 , t) = h(t), 0 < t0 t t1 T, (7) где (x0 , y0 ) - заданная фиксированная точка прямоугольника Π; t0 и t1 - заданные действительные числа; F (x, y, t), h(t) - заданные функции. Отметим, что указанная обратная задача изучена в [1, с. 119] для однородного одномерного уравнения теплопроводности с однородными граничными условиями второго рода и доказана теорема её единственности при x0 = 0 и x0 = l/π. В данной работе в явном виде строится решение прямой начально-граничной задачи (2)-(6) и на основе решения этой задачи исследуется обратная задача (2)-(7). В известных книгах по уравнениям математической физики [2-6] единственность решения начально-граничных задач доказывается методом интегралов энергии. Здесь, следуя [7, c. 111], [8], единственность решения задачи (2)-(6) доказана на основании свойства полноты системы собственных функций соответствующей однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа. Также указаны достаточные условия относительно функций ϕ(x, y) и F (x, y, t), при которых решение поставленной задачи существует и оно определяется в виде суммы двойного ряда Фурье, так как в указанных книгах не приводятся обоснование сходимости ряда Фурье в классе функций (2). На основании этих результатов установлен критерий единственности решения задачи (2)-(7) для любой точки (x0 , y0 ) прямоугольника Π при l = q. 2. Единственность и существование прямой задачи Теорема 1. Если существует решение задачи (2)-(6), удовлетворяющее условиям πmx πmx = lim ux sin = 0, lim ux sin x→0+ x→l- l l πny πny lim uy sin = lim uy sin = 0, (8) y→0+ y→l- l l то оно единственно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть µ2 - собственные значения и Xmn (x, y) - mn соответствующие им собственные функции спектральной задачи: vxx + vyy + µ2 v = 0, v x=0 =v x=l = 0, v (x, y) ∈ Π, y=0 =v y=q = 0, которые определяются по формулам Xmn (x, y) = 668 2 sin µm x sin µn y, l (9) (10) Обратная задача для двумерного уравнения теплопроводности. . . πm πn , µn = , l l Наряду с этой системой рассмотрим систему µ2 = µ2 + µ2 , µm = mn m n Zmn (x, y) = m, n = 1, 2, . . . . 1 [Xmn (x, y) + Xnm (x, y)] , 2 (11) которая обладает свойством симметрии Zmn (x, y) = Znm (x, y). Система (11) является решением спектральной задачи (9) и (10), обладает свойствами ортогональности и полноты в пространстве L2 (Π). Рассмотрим интеграл l-ε l-δ ε,δ vmn (t) = u(x, y, t)Zmn (x, y)dxdy, ε (12) δ где ε, δ - достаточно малые положительные числа. Дифференцируя равенство (12) при t ∈ (0, T ) и учитывая уравнение (1), получим l-ε l-δ vmn (t) = ut (x, y, t)Zmn (x, y)dxdy = ε δ l-ε l-δ (a2 ∆u + F (x, y, t))Zmn (x, y)dxdy = = ε l-δ l-ε = a2 δ l-ε l-δ uxx Zmn x, y)dxdy + a2 ε uyy Zmn (x, y)dxdy+ δ ε l-ε δ l-δ + F (x, y, t)Zmn (x, y)dxdy = ε δ = a2 (I1 + I2 ) + Fmn (t), (13) где l-ε l-δ Fmn = F (x, y, t)Zmn (x, y)dxdy. ε (14) δ С учетом граничных условий (4), (5), X(0) = X(l) = 0, Y (0) = Y (q) = 0 проинтегрируем по частям интегралы I1 и I2 в области Π: l-δ I1 = l-ε dy uxx Zmn (x, y)dx = δ ε l-δ = dy ux Zmn (x, y) δ l-δ = dy ux Zmn (x, y) δ l-ε l-ε ε - l-ε ε - u(x, y, t) (Zmn (x, y)) ux (Zmn (x, y))x dx ε = l-ε + ε l-ε + ε u(x, y, t) (Zmn (x, y))xx dx , 669 З а й н у л л о в А. Р. l-ε I2 = l-δ dx uyy Zmn (x, y)dy = ε δ l-ε = ε - l-δ δ - u(x, y, t) (Zmn (x, y))y l-ε = l-δ l-δ δ dx uy Zmn (x, y) dx uy Zmn (x, y) ε uy (Zmn (x, y))y dy δ = l-δ + δ l-δ + δ u(x, y, t) (Zmn (x, y))yy dy . Из (13) с учетом полученных значений интегралов I1 и I2 при ε → 0, δ → 0, следует v (t) = a2 Π u(x, y, t) (Zmn (x, y))xx + (Zmn (x, y))yy dxdy + Fmn (t) = = -µ2 a2 mn u(x, y, t)Zmn (x, y)dxdy + Fmn (t) = Π = -µ2 a2 vmn (t) + Fmn (t), mn откуда vmn (t) + µ2 a2 vmn (t) = Fmn (t). mn (15) Общее решение уравнения (15) определяется по формуле t vmn (t) = 2 2 (t-s) Fmn (s)e-µmn a 2 2 ds + Cmn e-µmn a t , (16) 0 где Cmn - произвольные постоянные. Для определения их воспользуемся граничным условием (6) и формулой (12): vmn (0) = u(x, y,0)Zmn (x, y)dxdy = Π ϕ(x, y)Zmn (x, y)dxdy = ϕmn . Π (17) Удовлетворяя (16) начальному условию (17), найдем Cmn = ϕmn и 2 t 2 vmn (t) = ϕmn e-µmn a t + 2 2 (t-s) Fmn (s)e-µmn a ds. (18) 0 Отсюда следует единственность решения задачи (2)-(6), так как если положить ϕ(x, y) ≡ 0, F (x, y, t) ≡ 0, то ϕmn ≡ 0, Fmn (s) ≡ 0, и из (18) получим vmn (t) = 0, что на основании (12) равносильно равенству u(x, y, t)Zmn (x, y)dxdy = 0, Π и в силу полноты системы Zmn (x, y) в пространстве L2 (Π) функция u(x, y, t)=0 почти всюду в Π и при любом t ∈ [0, T ]. Тем самым единственность решения задачи (2)-(6) доказана. 670 Обратная задача для двумерного уравнения теплопроводности. . . 2,2 Теорема 2. Если ϕ(x, y) ∈ C 4 (Π), F (x, y, t) ∈ Cx,y (Π) ∩ Ct (0, T ) и ϕ(0, y) = ϕ(l, y) = ϕ(x, 0) = ϕ(x, l) = 0, (19) ϕx (0, y) = ϕx (l, y) = ϕx (x, 0) = ϕx (x, l) = 0, ϕy (0, y) = ϕy (l, y) = ϕy (x, 0) = ϕy (x, l) = 0, F (0, y, t) = F (l, y, t) = F (x, 0, t) = F (x, l, t) = 0, (20) Fx (0, y, t) = Fx (l, y, t) = Fx (x, 0, t) = Fx (x, l, t) = 0, Fy (0, y, t) = Fy (l, y, t) = Fy (x, 0, t) = Fy (x, l, t) = 0 для всех (x, y, t) ∈ D, то существует решение задачи (2)-(6) и оно представимо в виде суммы ряда ∞ 2 t 2 ϕmn e-µmn a t + u(x, y, t) = 2 2 (t-s) Fmn (s)e-µmn a ds Zmn (x, y) (21) 0 m,n=1 с коэффициентами, которые определяются по формулам (17) и (14). Д о к а з а т е л ь с т в о. Решение задачи (2)-(6) выше формально построено в виде суммы ряда (21), где коэффициенты ϕmn , Fmn (t) определяются по формулам (17) и (14). Если ряд (21) равномерно сходится на D, так же как ряды, полученные из него почленным дифференцированием один раз по переменной t и по два раза по x, y, то его сумма будет удовлетворять в области D условиям (2)-(6). Предварительно проинтегрируем по частям интегралы (17), (14) два раза по x и два раза y и, учитывая (19), (20), получим ϕmn = ϕ(x, y)Zmn (x, y)dxdy = Π = 1 l l l sin µn ydy ϕ(x, y) sin µm xdx+ 0 0 + =- 1 1 µ2 l m 1 1 µ2 l m 1 1 2 µ2 l µm n l sin µm ydy 0 ϕ(x, y) sin µn xdx = 0 l sin µn ydy 0 ϕxx sin µm xdx- 0 l 1 1 µ2 l n l l sin µm ydy 0 ϕxx sin µn xdx = 0 l sin µm xdx 0 ϕxx sin µn ydy- 0 - = l l - =- 1 l l 1 1 µ2 l n l l sin µn xdx 0 ϕxx sin µm ydy = 0 l ϕ2,2 sin µn ydy+ xy sin µm xdx 0 0 + 1 1 2 µ2 l µm n l l ϕ2,2 sin µm ydy = xy sin µn xdx 0 0 671 З а й н у л л о в А. Р. = 1 1 l µ2 µ2 m n ϕ2,2 sin µm x sin µn ydxdy+ xy Π 1 + = Fmn (t) = 1 l µ2 µ2 m n ϕ2,2 sin µn x sin µm ydxdy = xy Π (4) 1 µ2 µ2 m n ϕ2,2 Zmn (x, y)dxdy = xy Π l4 ϕmn , (22) π 4 m2 n2 F (x, y, t)Zmn (x, y)dxdy = Π = 1 l l l sin µn ydy F (x, y, t) sin µm xdx+ 0 0 =- 1 1 µ2 l m 1 1 µ2 l m 1 1 µ2 µ2 l m n 0 l Fxx sin µm xdx- 0 0 l 1 1 µ2 l n l l sin µm ydy 0 Fxx sin µn xdx = 0 l sin µm xdx 0 Fxx sin µn ydy- 0 l 1 1 µ2 l n l sin µn xdx 0 Fxx sin µm ydy = 0 l l 2,2 Fxy sin µn ydy+ sin µm xdx 0 0 + 1 1 = 2 2 µm µ n l F (x, y, t) sin µn xdx = 0 sin µn ydy - = l sin µm ydy l - =- l 1 l + l 1 1 µ2 µ 2 l m n l 2,2 Fxy sin µm ydy = sin µn xdx 0 0 2,2 Fxy sin µm x sin µn ydxdy+ Π + = 1 µ2 µ2 m n 1 2 µ2 µm n 1 l 2,2 Fxy sin µn x sin µm ydxdy = Π 2,2 Fxy Zmn (x, y)dxdy = Π l4 Fmn (t)(4) . (23) π 4 m2 n2 2,2 Поскольку ϕ2,2 и Fxy (t) непрерывны в Π, в силу неравенства Бесселя xy следующие ряды сходятся: ∞ |ϕ(4) |2 mn m,n=1 ∞ (4) |Fmn (t)|2 m,n=1 672 2 l 2 l l l (ϕ2,2 )2 dxdy, xy 0 0 l l 2,2 (Fxy (t))2 dxdy. 0 0 Обратная задача для двумерного уравнения теплопроводности. . . Подставив (22) и (23) в ряд (21), получим u(x, y, t) = l4 π4 ∞ m,n=1 t 1 2 2 ϕ(4) e-µmn a t + mn 2 n2 m 2 2 (t-s) (4) Fmn (s)e-µmn a ds Zmn (x, y). 0 (24) Теперь оценим t 2 2 (t-s) (4) Fmn (s)e-µmn a t (4) ds = max |Fmn (s)| 0 s T 0 2 (t-s) ds = 0 (4) = 2 e-µmn a Fmn -µ2 a2 t0 ) C (1 - e mn µ 2 a2 mn (4) < l2 Fmn C . a2 π 2 m2 + n2 Ряд (24) при любых (x, y, t) ∈ D мажорируется сходящимся рядом ∞ l4 π4 m,n=1 ∞ 1 l6 |ϕ(4) | + 6 2 m2 n2 mn π a m=1 1 2 + n2 m ∞ n=1 (4) Fmn C . m2 n2 Тогда ряд (21) в силу признака Вейерштрасса сходится абсолютно и равномерно в D. Следовательно, функция u(x, y, t) непрерывна в D как сумма равномерно сходящегося ряда (21). Теперь докажем возможность почленного дифференцирования ряда (21) по переменным x, y два раза и по t один раз в D. Для этого покажем, что полученные при почленном дифференцировании ряды сходятся абсолютно и равномерно на D0 = D ∩ {t t0 > 0}, где t0 - достаточно малое положительное число. Формально из (24) почленным дифференцированием составим следующие ряды: uxx = - l4 π4 ∞ m,n=1 µ2 2 2 m ϕ(4) e-µmn a t + mn m 2 n2 t + 2 2 (t-s) 2 2 (t-s) (4) Fmn (s)e-µmn a ds Zmn (x, y), (25) 0 uyy l4 =- 4 π ∞ m,n=1 µ2 2 2 n ϕ(4) e-µmn a t + mn 2 n2 m t + (4) Fmn (s)e-µmn a ds Zmn (x, y), (26) 0 ut = l4 π4 ∞ m,n=1 µ2 a2 2 2 mn -ϕ(4) e-µmn a t + mn 2 n2 m t + 0 (4) 2 2 (4) Fmn (s)e-µmn a (t-s) ds Fmn (t) + 2 2 Zmn (x, y). (27) µmn a 673 З а й н у л л о в А. Р. Ряды (25)-(27) при любых (x, y, t) ∈ D0 мажорируются соответственно рядами l4 π4 l4 π4 ∞ 1 l5 2 2 |ϕ(4) |µ2 e-µmn a t + 5 2 m2 n2 mn m π a m,n=1 ∞ m,n=1 l 4 a2 π4 1 l5 2 2 |ϕ(4) |µ2 e-µmn a t + 5 2 mn n m2 n2 π a ∞ m,n=1 ∞ 1 2 + n2 ) m(m m=1 ∞ n=1 1 2 + n2 ) n(m 1 2l4 2 2 |ϕ(4) |µ2 e-µmn a t + 4 m2 n2 mn mn π ∞ m=1 1 m2 ∞ n=1 ∞ m=1 ∞ n=1 (4) Fmn n2 C , (28) (4) Fmn m2 C , (29) (4) Fmn n2 C . (30) Ряды (28)-(30) сходятся абсолютно. Тогда ряды (25)-(27) на основании признака Вейерштрасса сходятся абсолютно и равномерно на D. Следовательно, функции uxx , uyy , ut ∈ C(D) и, подставляя ряды в уравнение (21), убеждаемся в том, что функция u(x, y, t), определяемая рядом (21), является его решением в D. 3. Критерий единственности решения обратной задачи Рассмотрим теперь обратную задачу (2)-(7). Полагая в формуле (21) x = x0 , y = y0 с учётом условия (7), получим относительно неизвестной функции ϕ(x, y) уравнение ∞ 2 2 ϕ(ξ, η)Zmn (ξ, η)dξdηe-µmn a t Zmn (x0 , y0 ) = m,n=1 Π ∞ = h(t) - Fmn (t)Zmn (x0 , y0 ) = h0 (t), t0 t t1 . (31) m,n=1 Теорема 3. Если Zmn (x0 , y0 ) = 0 при всех m, n ∈ N, то решение интегрального уравнения (31) единственно в L2 (Π). Д о к а з а т е л ь с т в о. Следуя [1, c. 119], [7, 9], в силу линейности уравнения (31) достаточно показать, что оно имеет только нулевое решение при h0 (t) = 0. Положив в (31) h(t) = 0 и F (x, y, t) ≡ 0, имеем ∞ 2 2 ϕ(ξ, η)Zmn (ξ, η)dξdηe-µmn a t Zmn (x0 , y0 ) = 0. m,n=1 Π α, где α ∈ (0, t0 ) - по- Рассмотрим в комплексной полуплоскости Re z стоянная, функцию комплексной переменной ∞ 2 2 ϕmn e-µmn a z Zmn (x0 , y0 ). Φ(z) = (32) m,n=1 Так как при Re z α 2 2 |ϕmn Zmn (x0 , y0 )e-µmn a z | 674 2 2 Ce-µmn a α , (33) Обратная задача для двумерного уравнения теплопроводности. . . где C = const > 0, то в этой полуплоскости ряд, стоящий в правой части соотношения (33), сходится равномерно. Учитывая, что каждый член этого ряда является аналитической функцией при Re z α, и применяя теорему Вейерштрасса, получаем, что функция Φ(z) является аналитической при Re z α. Поскольку в силу (32) Φ(z) = 0 на отрезке [t0 , t1 ] действительной оси t из области аналитичности Φ(z), то на основании теоремы единственности для аналитических функций следует Φ(z) ≡ 0 при Re z α. Отсюда следует равенство при всех t t0 : ∞ 2 2 ϕmn e-µmn a t Zmn (x0 , y0 ) = 0. (34) m,n=1 2t Умножим равенство (34) на e(µ11 a) к пределу при t → +∞, найдем и в полученном равенстве, переходя ϕ11 = 0. С учетом (35) умножим равенство (34) на e(µ12 a) переходя к пределу при t → +∞, получим (35) 2t и в полученном равенстве, ϕ12 Z12 (x0 , y0 ) + ϕ21 Z21 (x0 , y0 ) = 2ϕ12 Z12 (x0 , y0 ) = 0. Отсюда с учетом того, что Z12 (x0 , y0 ) = 0, имеем ϕ12 = ϕ21 = 0. (36) 2 Снова учитывая (35) и (36), умножая равенство (34) на e(µ22 a) t и переходя к пределу при t → +∞ в полученном равенстве, найдем ϕ22 = 0. (37) 2t Затем, учитывая равенства (35)-(37), умножим равенство (34) на e(µ13 a) и, переходя к пределу при t → ∞, будем иметь ϕ13 = ϕ31 = 0. (38) Затем в силу (35)-(38) получим ϕ23 = ϕ32 = 0. Рассуждая далее аналогично вышеизложенному, получим ϕmn = 0, m, n = 1, 2, . . . . (39) Из равенства (39) в силу полноты системы функций {Zmn (x, y)}m,n 1 в пространстве L2 (Π) следует, что ϕ(x, y) = 0 почти всюду в Π. Отсюда в силу непрерывности функции ϕ(x, y) на Π получим, что ϕ(x, y) ≡ 0. Тогда из теорем 3 и 2 следует единственность решения обратной задачи (2)-(7). 675 З а й н у л л о в А. Р. Пусть при некоторых x0 = x0 /l, y0 = y0 /l и m = p, n = s ∈ N нарушено условие теоремы 3: Zps (x0 , y0 ) = sin πpx0 sin πsy0 + sin πsx0 sin πpy0 = 0. (40) Тогда обратная задача (2)-(7) при h(t) = 0 и F (x, y, t) ≡ 0 имеет ненулевое решение 2 ups (x, y, t) = Zps (x, y)e-(µps a) t , ϕps (x, y) = ups (x, y,0) = Zps (x, y). Из уравнения (40) найдем рациональные значения x0 = k1 /p, y0 = k2 /p, k1 , k2 ∈ N, k1 < p, k2 < p, x0 = k3 /s, y0 = k4 /s, k3 , k4 ∈ N, k3 < s, k4 < s, или при которых нарушается условие теоремы 3, т.е. нарушается единственность решения задачи (2)-(7). Следовательно, установлен следующий критерий единственности решения обратной задачи (2)-(7). Теорема 4. Условия Zmn (x0 , y0 ) = 0 при всех m, n ∈ N необходимы и достаточны для единственности решения обратной задачи (2)-(7). Рассматриваемая обратная задача может быть сведена к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Действительно, поменяв местами порядок интегрирования и суммирования в левой части уравнения (31), получим интегральное уравнение Фредгольма первого рода Gϕ ≡ G(t, ξ, η)ϕ(ξ, η)dξdη = h0 (t), t0 t t1 , (41) Π с гладким ядром ∞ 2 2 e-µmn a t Zmn (ξ, η)Zmn (x0 , y0 ) G(t, ξ, η) = m,n=1 в параллелепипеде Π×[t0 , t1 ]. Следовательно, интегральный оператор G, рассматриваемый действующим из L2 (Π) в L2 [t0 , t1 ], вполне непрерывен. Задача решения уравнения (41) в этой паре пространств некорректна. 4. Заключение В заключение отметим, что обратные задачи для уравнений параболического типа, как правило, являются некорректными. Для их решения обычно привлекается теория некорректных задач, разработанная в работах А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова и их учеников [10-12]. В данной работе, в отличие от других работ, предлагается спектральный метод для обоснования единственности решения обратной задачи (2)-(7).

About the authors

Artur R Zaynullov

Sterlitamak Branch of Bashkir State University

Email: arturzayn@mail.ru
Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Analysis 49, Lenin Avenue, Sterlitamak, 453103, Russian Federation

References

Supplementary files