A similar for ∆1 problem for the second order hyperbolic equation in the 3D euclidean space

Full Text

Введение. В настоящей работе для уравнения гиперболического типа Wxx - |y|m Wyy + Wzz = 0, 0 < m < 1, (1) в бесконечной цилиндрической области, ограниченной характеристическими поверхностями уравнения (1), поставлена краевая задача с данными на смежных характеристических поверхностях и условиями сопряжения на нехарактеристической плоскости (задача ∆1 C). Методом преобразования Фурье поставленная задача сводится к соответствующей плоской задаче ∆1 для гиперболического уравнения, которое в характеристических координатах является обобщением уравнения Эйлера-Дарбу с отрицательным параметром Uξη - λ2 U q (Uη - Uξ ) - = 0, ξ-η 4 0 0, -∞ < z < +∞; y > 0, 1, 1 , 2 -∞ < z < +∞; -∞ < z < +∞. Обозначим за T1 область пространства R3 , ограниченную поверхностями Σ1 , Σ2 , y = 0, за T2 - область, ограниченную поверхностями Σ3 , Σ4 , y = 0. Задача ∆1 C. На множестве T = T1 ∪ T2 найти решение уравнения (1), непрерывное в T 1 , удовлетворяющее краевым условиям W Σ1 = Φ1 (x, z), W Σ4 = Φ2 (x, z), 0 x 1 , 2 -∞ < z < ∞, исчезающее на бесконечности вместе со своей производной по z lim W (x, y, z) = lim Wz (x, y, z) = 0 z→±∞ z→±∞ и на плоскости y = 0 удовлетворяющее условиям сопряжения lim W (x, y, z) = lim W (x, y, z), y→0+0 698 y→0-0 ∂W ∂W = lim . y→0+0 ∂y y→0-0 ∂y lim (3) Аналог задачи ∆1 для гиперболического уравнения. . . Представляя решение задачи в форме преобразования Фурье 1 W (x, y, z) = √ 2π +∞ U (x, y, λ)e-iλz dλ, (4) -∞ получим для неизвестной функции U (x, y, λ) уравнение Uxx - |y|m Uyy - λ2 U = 0. (5) Полагая +∞ 1 ϕk ∗ (x, λ) = √ Φk (x, z)e-iλz dλ, k = 1, 2, 2π -∞ сведем пространственную задачу ∆1 C к плоской для уравнения (5) в области, ограниченной кривыми (см. рис. 2): 2-m 2 (-y) 2 = 0, 0 2-m 2-m 2 1 γ2 : x + (-y) 2 = 1, 2-m 2 2-m 2 1 2 y γ3 : x + = 1, 2-m 2 2-m 2 2 γ4 : x - y = 0, 0 2-m γ1 : x - x x x x 1 , 2 1, 1, 1 , 2 y < 0; y < 0; y > 0; y > 0, являющимися линиями пересечения плоскости z = 0 с поверхностями Σ1 , Σ2 , Σ3 , Σ4 . Рис. 1. [Figure 1] Рис. 2. [Figure 2] 699 Р о д и о н о в а И. Н., Д о л г о п о л о в В. М. 2. Постановка задачи ∆1 и её решение. Пусть D1 ∗ - область, ограниченная характеристическими кривыми γ1 , γ2 уравнения (5) и осью OX, D2 ∗ - ограничена линиями γ3 , γ4 , y = 0. Задача ∆1 . На множестве D ∗ = D1 ∗ ∩ D2 ∗ найти решения уравнения (5), ∗ непрерывное в D , удовлетворяющее краевым условиям U γ1 = ϕ∗ (x, λ), 1 U γ4 = ϕ∗ (x, λ), 2 0 1 , 2 x -∞ < λ < ∞, и условиям сопряжения ∂U ∂U = lim . y→0+0 ∂y y→0-0 ∂y lim U (x, y, λ) = lim U (x, y, λ), y→0-0 lim y→0+0 Условия, налагаемые на заданные функции, определим позже. В характеристических координатах ξ =x+ 2 2 sgn y|y| 2-m , 2-m η =x- 2 2 sgn y|y| 2-m 2-m уравнение (5) принимает вид Uξη - q λ2 U (Uη - Uξ ) - = 0, ξ-η 4 0 ξ) имеет вид [4] ξ λ2 (ξ - s)(η - s) ds+ 4 λ2 1 + q; - (s - ξ)(η - s) ds, (11) 4 T1 (s, λ)(ξ - s)q (η - s)q0F 1 1 + q; U (ξ, η, λ) = 0 η N1 (s, λ)(η - s)q (s - ξ)q0F 1 + ξ а в области D2 (ξ > η) - вид η λ2 (ξ - s)(η - s) ds+ 4 λ2 1 + q; - (s - η)(ξ - s) ds. (12) 4 T2 (s, λ)(η - s)q (ξ - s)q0F 1 1 + q; U (ξ, η, λ) = 0 ξ N2 (s, λ)(s - η)q (ξ - s)q0F 1 + η Здесь Ni (s, λ) = 1 Ti (s, λ) 2 cos πq Γ(1 + 2q) νi (s, λ), 2Γ2 (1 + q) i = 1, 2. (13) Если функции Ni , Ti непрерывны по s на сегменте [0, 1] при любом λ, то формулы (11), (12) определяют классическое решение задачи Коши для уравнения (6) соответственно в областях D1 , D2 . Исходя из условий задачи ∆1 найдем функции Ni , Ti в формулах (11), (12). Для этого положим в выражении (11) ξ = 0, а в выражении (12) η = 0. С учетом условий (8), (9) и одинакового изменения переменных ξ и η получаем совокупность интегральных уравнений относительно Ni : η Ni (s, λ)sq (η - s)q0F 1 1 + q; - 0 λ2 s(η - s) ds = ϕi (η, λ), 4 i = 1, 2. (14) Функции ϕi (η, λ) будем считать дважды непрерывно дифференцируемыми по η на сегменте [0, 1] и предполагать ϕi (0, λ) = ∂ ϕi (0, λ) = 0 ∂η (15) при любом λ. Тождество (14) продифференцируем по η, затем применим к обеим частям оператор x . . . (x - η)-q dη 0 и, воспользовавшись методикой, изложенной в работе [4], получим единственное решение уравнений (14): 701 Р о д и о н о в а И. Н., Д о л г о п о л о в В. М. Ni (s, λ) = s-q Γ(1 + q)Γ(1 - q) s ϕi (t, λ)(s - t)-q0F 1 1 + q; 0 s λ2 - 4(1 - q) ϕi (t, λ)(s - t)1-q0F 1 2 - q; 0 λ2 s(s - t) dt- 4 λ2 s(s - t) dt, 4 i = 1, 2, (16) непрерывное по s на сегменте [0, 1] при выполнении условий (15). Из непрерывности решения на линии η = ξ имеем τ1 = τ2 , откуда в силу представлений (10) T1 = T2 = T . С учетом условия сопряжения (7) и соотношений (13) имеем cos πq · (N1 + N2 ) = T, или из формулы (16) получаем T (s, λ) = s-q cos πq Γ(1 + q)Γ(1 - q) λ2 - 4(1 - q) s ϕ1 (t)+ϕ2 (t) (s-t)-q0F 1 1-q; 0 s ϕ1 (t, λ) + ϕ2 (t, λ) (s - t)1-q0F 1 2 - q; 0 λ2 s(s-t) dt- 4 λ2 s(s - t) dt. (17) 4 3. Условия, налагаемые на решение задачи ∆1 . Отметим, что решение задачи ∆1 , определяемое формулами (11), (12), (16), (17), является классическим для уравнения (6) при выполнении условий (15). Однако этих условий может быть недостаточно для того, чтобы указанное решение было классическим для уравнения (5). Выясним условия, при которых полученное решение задачи ∆1 на множестве D∗ будет иметь непрерывные частные производные Uxx и Uyy , определяемые формулами Uxx = Uξξ + 2Uξη + Uηη , m m Uyy = - |y|- 2 -1 (Uη - Uξ ) + |y|-m (Uξξ - 2Uηξ + Uηη ). 2 (18) Кроме этого произведем оценки решения задачи ∆1 и его производных (18), позволяющие на заданные функции Φk (x, z) наложить условия, обеспечивающие существование решения задачи ∆1 C в виде интеграла (4). Из выражений (17), (16) получим оценки для T и Ni . Обозначим слагаемые в формуле (17) J1 и J2 соответственно. Для J1 имеем оценку |J1 | max ϕ1 + ϕ2 [0, 1] s-q Γ(1 + q)Γ(1 - q) s 0 (s - t)-q 0F 1 1 - q; λ2 s(s - t) dt. 4 Вычисляя интеграл, получаем |J1 | max [0, 1] 702 ϕ1 + ϕ2 s1-q λ2 s2 F 1 2 - q; . 0 Γ(1 + q)Γ(2 - q) 4 (19) Аналог задачи ∆1 для гиперболического уравнения. . . Чтобы при оценке убрать λ2 перед интегралом в слагаемом J2 , проинтегрируем интеграл по частям, взяв за u = ϕ1 + ϕ2 , тогда J2 = - λ2 4(1 - q) ∞ s (ϕ1 + ϕ2 ) 0 n=0 λ2 4 n sn (s - t)n+2-q dt. (2 - q)n+1 n! После замены порядка суммирования и интегрирования получаем оценку |J2 | s1-q max ϕ1 + ϕ2 1 - q [0, 1] ∞ λ2 4 n=0 n+1 s2(n+1) < (2 - q)n+1 n!(n + 3 - q) < max ϕ1 + ϕ2 [0, 1] s1-q λ2 s2 . (20) 0F 1 2 - q; 1-q 4 Из формул (19), (20) получаем оценку |T (s, λ)| 4 max ϕ1 + ϕ2 [0, 1] 0F 1 2 - q; λ2 . 4 (21) Числовой коэффициент получился из оценок множителей, содержащих в знаменателе Γ(1 + q)Γ(2 - q), с учетом наименьшего значения (≈ 0.8), которое принимает Γ-функция при значении аргумента ≈ 1.4, а также с учетом пределов изменения 0 < p < 1/2 и 0 s 1. Аналогичные оценки получаем для Ni : λ2 . (22) |Ni (s, λ)| 4max |ϕi | 0F 1 2 - q; 4 [0, 1] На основании оценок (21), (22) легко получить оценку решения задачи ∆1 , определяемого формулами (11), (12) при T1 = T2 = T . |U (x, y, λ)| 2 8[max|ϕ∗ | + max|ϕ∗ |] 0F 1 1 + q; 1 2 λ2 . 4 (23) Непосредственным дифференцированием по ξ и по η выражений (11), (12) получаем, что частные производные первого порядка m ∂U ∂U ∂U = |y|- 2 - ∂y ∂ξ ∂η и ∂U ∂U ∂U = + ∂x ∂ξ ∂η непрерывны в D∗ , lim Ux = lim Ux , y→0+0 y→0-0 lim Uy = lim Uy y→0+0 y→0-0 и имеют такие же оценки, что и само решение ∂U ∂y 2 8 max|ϕ∗ | + max|ϕ2 | 0F 1 1 + q; 1 λ2 , 4 (24) 703 Р о д и о н о в а И. Н., Д о л г о п о л о в В. М. ∂U λ2 8 max|ϕ∗ | + max|ϕ∗ | 0F 1 1 + q; . (25) 1 2 ∂x 4 При вычислении производных второго порядка, определяемых формулами (18), после ряда преобразований при η > ξ получаем ξ λ2 ∂ T (s, λ)(η - s)q (ξ - s)q-1 0F 1 q, (η - s)(ξ - s) ds+ 4 0 ∂s ξ ∂ λ2 +q T (s, λ)(η - s)q-1 (ξ - s)q 0F 1 q, (η - s)(ξ - s) ds- 4 0 ∂s η λ2 ∂ -q N1 (s, λ)(η - s)q (s - ξ)q-1 0F 1 q, - (η - s)(s - ξ) ds+ 4 ξ ∂s Uxx = q η +q ξ ∂ λ2 N1 (s, λ)(η - s)q-1 (s - ξ)q 0F 1 q, - (η - s)(s - ξ) ds, (26) ∂s 4 Uyy = y -m (Uxx - λ2 U ). (27) При η < ξ поступаем аналогично. Из представлений (26), (27) следует, что если ∂T /∂s и ∂Ni /∂s непрерывны по s на [0, 1], то Uxx непрерывна в D∗ и lim Uxx = lim Uxx , y→0+0 y→0-0 Uyy непрерывна в D∗ , а на линии y = 0 имеет особенность порядка m относительно y. Найдем выражения для ∂T /∂s и ∂Ni /∂s соответственно из формул (16), (17), в которых нужно предварительно проинтегрировать по частям первые слагаемые, добавив к условиям (15) непрерывность ∂ 3 ϕi /∂ξ 3 по ξ на [0, 1] и ϕi (0, λ) = 0. В результате имеем cos πq ∂T = × ∂s Γ(1 + q)Γ(1 - q) s-1-q s λ2 s(s - t) dt+ × (ϕ1 + ϕ2 ) (s - t)1-q 0F 1 2 - q, 1-q 0 4 s s-q λ2 λ2 s(s - t) + (ϕ1 + ϕ2 ) (s - t)2-q 0F 1 3 - q, dt+ 4(1 - q)(2 - q) 0 4 s λ2 s(s - t) + s-q (ϕ1 + ϕ2 ) (s - t)-q 0F 1 1 - q, dt- 4 0 s 2 λ2 (s - t)2-q λ2 s(s - t) - (ϕ1 + ϕ2 ) dt- 0F 1 3 - q, 4(1 - q) 2-q 4 0 s λ2 λ2 s(s - t) - (ϕ1 + ϕ2 ) (s - t)-q 0F 1 1 - q, dt . (28) 4(1 - q) 0 4 Проводя такие же рассуждения, как и при оценке T (s, λ), получаем ∂T ∂s 704 6 max|ϕ1 + ϕ2 | + λ2 max|ϕ1 + ϕ2 | 0F 1 1 + q; λ2 . 4 (29) Аналог задачи ∆1 для гиперболического уравнения. . . Аналогично ∂Ni ∂s 6[max|ϕi | + λ2 max|ϕi |] 0F 1 1 + q; i=1,2 λ2 4 . (30) При дополнительном условии непрерывности ϕi непрерывность ∂T /∂s следует из представления (28). Аналогичное утверждение справедливо и для ∂Ni /∂s. Из формул (23), (26), (27), (29), (30) имеем оценки |Uxx | 24 λ2 max |ϕ1 ∗ | + max |ϕ2 ∗ | + γ1 γ4 + max |ϕ1 ∗ | + max |ϕ2 ∗ | γ1 |Uyy | γ4 2 0F 1 1 + q; λ2 , (31) 4 24|y|-m λ2 max |ϕ1 ∗ | + max |ϕ2 ∗ | + max |ϕ1 ∗ | + max |ϕ2 ∗ |+ γ1 γ4 γ1 + max |ϕ1 ∗ | + max |ϕ2 ∗ γ1 γ4 γ4 2 0F 1 1 + q; λ2 . (32) 4 4. Условия, налагаемые на решение задачи ∆1 C. Определим условия, налагаемые на данные задачи ∆1 C. Условия A (обеспечивающие разрешимость плоской задачи ∆1 ). Функции ϕ∗ (x, λ), ∂ϕ∗ /∂x, ∂ 2 ϕ∗ /∂x2 , ∂ 3 ϕ∗ /∂x3 (i = 1, 2) непрерывны на множеi i i i стве O1 = 0 x 1/2, |λ| < +∞ ; ϕ∗ (0, λ) = i ∂ϕ∗ (0, λ) ∂ 2 ϕ∗ (0, λ) i i = = 0. ∂x ∂x2 При выполнении условий A задача ∆1 имеет единственное решение. Справедливость данного утверждения следует из единственности решения задачи Коши, взятого за основу и однозначной разрешимости интегральных уравнений, к которым свелась задача ∆1 . Условия B (обеспечивающие существование решения уравнения (1) в виде интеграла (4)). Из оценок (23), (24), (25), (31), (32) следует, что для достаточно больших λ имеют место следующие представления: ∂ ∗ ϕ∗ (x, λ) i1 ϕi (x, λ) = , ∂x 2+p F 2 1 + q; λ2 |λ| 0 1 4 p > 1, ∂2 ∗ ϕ∗ (x, λ) i2 ϕi (x, λ) = , 2 ∂x2 2 |λ|2+p 0F 1 1 + q; λ 4 ∂3 ∗ ϕ∗ (x, λ) i3 ϕ (x, λ) = , 3 i ∂x p F 2 1 + q; λ2 |λ| 0 1 4 i = 1, 2, 705 Р о д и о н о в а И. Н., Д о л г о п о л о в В. М. где ϕ∗ (x, λ) - равномерно ограниченные относительно параметра λ функij ции (j = 1, 2, 3). От функций Φk (x, z) (k = 1, 2) потребуем выполнения следующих условий. Условия C. Функции Φk , ∂Φk /∂x, ∂ 2 Φk /∂x2 , ∂ 3 Φk /∂x3 (i = 1, 2) непрерывны на множестве O2 = {(x, z) | 0 x 1/2, |z| < +∞}. Интегралы +∞ +∞ Φk (x, z)eiλz dz, -∞ -∞ ∂Φk iλz e dz, ∂x +∞ -∞ ∂ 2 Φk iλz e dz, ∂x2 +∞ -∞ ∂ 3 Φk iλz e dz ∂x3 сходятся равномерно относительно x на сегменте [0, 1/2]; Φk (0, z) = ∂Φk (0, z) ∂ 2 Φk (0, z) = = 0. ∂x ∂x2 Условия C обеспечивают выполнимость условий A. При выполнении условий A-C задача ∆1 C для уравнения (1) имеет единственное решение. Справедливость этого утверждения следует из однозначной разрешимости плоской задачи ∆1 и свойств преобразования Фурье. Решение задачи ∆1 C представимо интегралом (1), где U (x, y, λ) в характеристических координатах определяется формулами (11) при y < 0, (12) при y > 0, а также (17), (18). Из приведенных вычислений и свойств преобразования Фурье следует непрерывность функции W на множестве T , а также непрерывность ее частных производных до второго порядка включительно на множестве T . Выполнимость условий (3), которые обеспечивают эквивалентность пространственной и плоской задач, автоматически следует из представлений A и свойства преобразования Фурье. Резюме. Для уравнения Wxx - |y|m Wyy + Wzz = 0 (0 < m < 1) в бесконечной цилиндрической области, ограниченной характеристическими поверхностями данного уравнения x W |Σ1 = Φ(x, z); 1 , 2 y < 0, |z| < ∞; x 1, y < 0, |z| < ∞; x 1, y > 0, |z| < ∞; x 2-m 2 (-y) 2 = 0, 0 2-m 2-m 2 1 Σ2 : x + (-y) 2 = 1, 2-m 2 2-m 1 2 y 2 = 1, Σ3 : x + 2-m 2 2-m 2 Σ4 : x - y 2 = 0, 0 2-m поставлена краевая задача с условиями Σ1 : x - 1 , 2 y > 0, |z| < ∞, W |Σ4 = Φ(x, z), lim W = lim Wz = 0 z→±∞ z→±∞ и сопряжением на плоскости y = 0: lim W (x, y, z) = lim W (x, y, z); y→0+0 706 y→0-0 ∂W ∂W = lim . y→0-0 ∂y y→0+0 ∂y lim Аналог задачи ∆1 для гиперболического уравнения. . . Методом преобразования Фурье поставленная задача сводится к соответствующей плоской задаче для гиперболического уравнения, которое в характеристических координатах является обобщенным уравнением Эйлера-Дарбу с отрицательным параметром: Uξη + q λ2 U (Uη - Uξ ) - = 0, ξ-η 4 q=- m . 2(2 - m) Авторами получено решение плоской задачи, а также оценки как самого решения, так и его частных производных до второго порядка включительно, что позволило на данные задачи наложить условия, обеспечивающие существование классического решения поставленной задачи в виде преобразования Фурье.

About the authors

Irina N Rodionova

Samara State Aerospace University

(Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Mathematics & Business Informatics 34, Moskovskoye sh., Samara, 443086, Russian Federation

Vyacheslav M Dolgopolov

Samara State Aerospace University

Email: paskal1940@mail.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; paskal1940@mail.ru; Corresponding Author), Associate Professor, Dept. of Mathematics & Business Informatics 34, Moskovskoye sh., Samara, 443086, Russian Federation

References

Supplementary files