On optimal control problem for the heat equation with integral boundary condition

Full Text

Введение. Задачи оптимального управления процессами, описываемыми уравнениями с частными производными параболического типа, встречаются в различных приложениях [1, 2]. Такие задачи наиболее полно исследованы в случаях, когда краевые условия для уравнений состояний являются классическими, т.е. локальными [1-6 и др.]. Однако известны многочисленные задачи физики, техники, биологии и др., в которых процессы описываются уравнениями параболического типа, где краевые условия являются неклассическими, 54 Об одной задаче оптимального управления . . . или нелокальными [7-9]. Среди нелокальных краевых задач для уравнений параболического типа особое место занимают краевые задачи с интегральными граничными условиями [10-13]. Задачи оптимального управления для уравнений параболического типа с нелокальными краевыми условиями, в том числе с интегральными граничными условиями, изучены мало. В данной работе рассматривается задача оптимального управления для уравнения теплопроводности с интегральным граничным условием. Исследованы вопросы корректности постановки задачи в слабой топологии пространства управлений, доказана дифференцируемость по Фреше функционала цели, получены формулы для его дифференциала и градиента, установлено необходимое условие оптимальности в форме вариационного неравенства. 1. Постановка задачи. Пусть управляемый процесс описывается в QT = {(x, t) : 0 < x < l, 0 < t < T } следующей нелокальной начально-краевой задачей для уравнения теплопроводности с интегральным граничным условием: ut - uxx + v1 (x, t)u = v2 (x, t), (x, t) ∈ QT , u(x, 0) = ϕ(x), 0 x l, (1) (2) l ux (0, t) = 0, ux (l, t) = H(x)ux (x, t)dx + v3 (t), 0 0 - заданные числа. Поставим следующую задачу оптимального управления: минимизировать функционал l |u(x, T ; v) - y(x)|2 dx J(v) = (5) 0 на решениях u = u(x, t; v) краевой задачи (1)-(3), соответствующих всем до1 пустимым управлениям v ∈ V. Здесь y(x) ∈ W2 (0, l) - заданная функция. Эту задачу ниже будем называть задачей (1)-(5). Обозначения используемых в работе функциональных пространств соответствуют принятым в [14, c. 24]. Ниже положительные постоянные, не зависящие от оцениваемых величин и допустимых управлений, обозначаются через M . Под решением краевой задачи (1)-(3), соответствующим управлению v ∈ V , будем понимать обобщенное решение из V21,0 (QT ), т.е. функцию u = u(x, t) = = u(x, t; v) из V21,0 (QT ), удовлетворяющую интегральному тождеству 55 Т а г и е в Р. К., Г а б и б о в В. М. -uηt + ux ηx + v1 (x, t)uη dxdt = QT T l v2 (x, t)ηdxdt + QT l H(x)ux (x, t)dx + v3 (t) η(l, t)dt (6) ϕ(x)η(x, 0)dx + + 0 0 0 1 при любой функции η = η(x, t) ∈ W2 (QT ), равной нулю при t = T . Используя методики работ [13], [14, c. 165-171], можно показать, что при сделанных предположениях краевая задача (1)-(3) имеет единственное обобщенное решение из V21,0 (QT ) при каждом фиксированном v ∈ V и справедлива априорная оценка u 1,0 V2 (QT ) ≡ max u(x, t; v) 0 t T L2 (0,l) M + ux v2 L2 (QT ) L2 (QT ) + ϕ L2 (0,l) + v3 L2 (0,T ) . (7) Более того, обобщенное решение из V21,0 (QT ) краевой задачи (1)-(3) также 2,1 принадлежит пространству W2 (QT ) и для него справедлива оценка u 2,1 W2 (QT ) M v2 L2 (QT ) + ϕ 1 W2 (0,l) + v3 1 W2 (0,T ) . (8) Из оценки (7) следует, что функционал (5) определен на V и принимает конечные значения. 2. Корректность постановки задачи. Корректность постановки задачи (1)- 1 (5) в слабой топологии пространства H = L2 (QT ) × L2 (QT ) × W2 (0, T ) устанавливает следующая теорема. Теорема 1. Пусть выполнены условия, принятые при постановке задачи (1)-(5). Тогда множество оптимальных управлений задачи (1)-(5) V∗ = v∗ ∈ V : J(v∗ ) = J∗ ≡ inf{J(v) : v ∈ V } непусто, V∗ слабо компактно в H и любая минимизирующая последовательность {v (n) } функционала (5) слабо в H сходится к множеству V∗ . Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что функционал (5) непрерывен на V в слабой топологии пространства H. (n) (n) (n) Пусть {v (n) } = v1 (x, t), v2 (x, t), v3 (t) ⊂ V - произвольная последовательность такая, что {v (n) } → v = v1 (x, t), v2 (x, t), v3 (t) слабо в H к некоторому элементу v = v1 (x, t), v2 (x, t), v3 (t) ∈ H: (n) vi (x, t) → vi (x, t) слабо в L2 (QT ), (n) v3 (t) i = 1, 2, 1 → v3 (t) слабо в W2 (0, T ). (9) (10) Так как V ⊂ H - выпуклое замкнутое в H множество, оно слабо замкнуто и в гильбертовом пространстве H, поэтому v = v1 (x, t), v2 (x, t), v3 (t) ∈ V . 1 Из компактности вложения W2 (0, T ) → C[0, T ] [14, c. 84] и (10) следует, что (n) v3 (t) → v3 (t) сильно в C[0, T ]. (11) 56 Об одной задаче оптимального управления . . . Кроме этого, в силу однозначной разрешимости задачи (1)-(3) каждому управлению v (n) ∈ V соответствует единственное решение u(n) = u(x, t; v (n) ) ∈ 2,1 W2 (QT ) задачи (1)-(3) при v = v (n) и справедлива оценка u(n) 2,1 W2 (QT ) M, n = 1, 2, . . . , (12) т.е. последовательность {u(n) } равномерно ограничена в норме пространства 2,1 W2 (QT ). 2,1 Известно [15, c. 33, 39], что пространство W2 (QT ) компактно вложено в Lr (QT ) для любого конечного r 2. Кроме того, следы элементов u(x, t) ∈ 2,1 W2 (QT ) определены при каждом фиксированном t ∈ [0, T ] как элементы 1 W2 (0, l) и справедлива оценка [16, c. 98] sup u(x, t) 0 t T 1 W2 (0,l) M u 2,1 W2 (QT ) . (13) 1 Отсюда и из компактности вложения W2 (0, l) → C[0, l] [14, c. 84] следует, 2,1 что отображение u → u|t=T пространства W2 (QT ) в C[0, l] компактно. Тогда из (12) следует, что из последовательности {u(n) } можно извлечь подпоследовательность {u(nk ) } такую, что 2,1 u(nk ) (x, t) → u(x, t) слабо в W2 (QT ), (14) (nk ) (x, t) → u(x, t) сильно в L2 (QT ), (15) (nk ) (x, T ) → u(x, T ) сильно в C[0, l], (16) u u 2,1 где u = u(x, t) - некоторый элемент из W2 (QT ). Далее на основе соотношений (6), (9), (11), (12), (14)-(16) и ограничений на входные данные и управление v можно показать, что u = u(x, t) - решение задачи (1)-(3), соответствующее управлению v, т.е. u(x, t) = u(x, t; v). Таким образом, установлено, что при выполнении соотношений (9), (10) справедлива сходимость u(nk ) (x, T ) = u(x, T ; v (nk ) ) → u(x, T ) = u(x, T ; v) сильно в C[0, l]. (17) Используя единственность решения краевой задачи (1)-(3), соответствующее каждому фиксированному управлению v ∈ V , можно показать, что соотношение (17) справедливо не только для подпоследовательности {u(nk ) }, но и для всей последовательности {u(n) }: u(n) (x, T ) = u(x, T ; v (n) ) → u(x, T ) = u(x, T ; v) сильно в C[0, l]. (18) Тогда, используя соотношение (18) из (5), получаем, что J(v (n) ) → J(v) при n → ∞. Таким образом, установлено, что функционал (5) слабо в H непрерывен на множестве V . Тогда, применяя результат из [1, c. 49], получаем, что задача (1)-(5) корректно поставлена в слабой топологии пространства H, т.е. справедливы все утверждения теоремы 1. 57 Т а г и е в Р. К., Г а б и б о в В. М. 3. Дифференцируемость функционала цели и необходимое условие оптимальности. Для задачи (1)-(5) введем сопряженное состояние ψ = ψ(x, t) = = ψ(x, t; v) как решение задачи ψt + ψxx - v1 (x, t)ψ - H (x)ψ(l, t) = 0, (x, t) ∈ QT , ψ(x, T ) = 2[u(x, T ; v) - y(x)], 0 x l, ψx (0, t) = 0, ψx (l, t) = 0, 0 t < T. (19) (20) (21) Под решением краевой задачи (19)-(21), соответствующим управлению v ∈ V , будем понимать обобщенное решение из V21,0 (QT ), т.е. функцию ψ = = ψ(x, t) = ψ(x, t; v) из V21,0 (QT ), удовлетворяющую интегральному тождеству T l ψηt + ψx ηx + v1 (x, t)ψη dxdt - QT H(x)ηx (x, t)dx ψ(l, t)dt = 0 0 T u(x, T ; v) - y(x) η(x, T )dx (22) =2 0 1 при любой функции η = η(x, t) ∈ W2 (QT ), равной нулю при t = 0. Используя методики работ [13], [14, c. 165-171], можно показать, что для каждого заданного v ∈ V краевая задача (19)-(21) имеет единственное обобщенное решение из V21,0 (QT ). Более того, это решение принадлежит простран2,1 ству W2 (QT ) и справедлива оценка ψ 2,1 W2 (QT ) M u(x, T ; v) - y(x) 1 W2 (0,l) . (23) Учитывая здесь неравенство (13) и оценки (8), получаем оценку ψ 2,1 W2 (QT ) M v2 L2 (QT ) + ϕ 1 W2 (0,l) + y 1 W2 (0,l) + v3 1 W2 (0,T ) . (24) Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда функционал (5) дифференцируем по Фреше на V и его дифференциал в точке v ∈ V при приращении ∆v = (∆v1 , ∆v2 , ∆v3 ) ∈ H определяется равенством T dJ(v, ∆v) = (-uψ∆v1 + ψ∆v2 )dxdt + QT ψ(l, t; v)∆v3 (t)dt. (25) 0 Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть v, v + ∆v ∈ V - произвольные управления и ∆u = ∆u(x, t) = u(x, t; v + ∆v) - u(x, t; v), u = u(x, t) = u(x, t; v). 2,1 Из условий (1)-(3) следует, что ∆u является решением из W2 (QT ) задачи ∆ut - ∆uxx + (v1 + ∆v1 )∆u = -∆v1 u + ∆v2 , ∆u(x, 0) = 0, 0 x l, (x, t) ∈ QT , (26) (27) l ∆ux (0, t) = 0, ∆ux (l, t) = H(x)∆ux (x, t)dx + ∆v3 (t), 0 58 0<t T. (28) Об одной задаче оптимального управления . . . Можно показать, что для решения задачи (26)-(28) верна оценка [14, c. 165-173], [16, c. 197-209] ∆u M 2,1 W2 (QT ) ∆v1 u + ∆v2 L2 (QT ) L2 (QT ) + ∆v3 1 W2 (0,T ) . (29) 2,1 Известно [15, c. 33, 39], что вложение W2 (QT ) → L∞ (QT ) ограничено. Используя этот факт, имеем ∆v1 u ∆v1 L2 (QT ) L2 (QT ) u M ∆v1 L∞ (QT ) L2 (QT ) u 2,1 W2 (QT ) . Из последней оценки и из оценок (29), (8) получаем ∆u M ∆v 2,1 W2 (QT ) H. (30) Приращение функционала (5) имеет вид ∆J(v) = J(v + ∆v) - J(v) = l l |∆u(x, T )|2 dx. (31) u(x, T ; v) - y(x) ∆u(x, T )dx + =2 0 0 С помощью решения ψ = ψ(x, t) = ψ(x, t; v) краевой задачи (19)-(21) преобразуем приращение (31). Решение краевой задачи (26)-(28) удовлетворяет равенству T l (∆ut ψ + ∆ux ψx + v1 ∆uψ)dxdt - QT H(x)∆ux (x, t)dx ψ(l, t)dt = 0 = 0 T (-uψ∆v1 + ψ∆v2 )dxdt + QT ψ(l, t; v)∆v3 (t)dt- 0 - ψ∆u∆v1 dxdt. (32) QT Если в тождестве (22) положим η = ∆u и полученное равенство вычтем из (32), то придем к равенству l u(x, T ; v) - y(x) ∆u(x, T )dx = 2 0 T = ψ(l, t; v)∆v3 (t)dt - (-uψ∆v1 + ψ∆v2 )dxdt + QT 0 ψ∆u∆v1 dxdt. QT Учитывая последнее равенство, (31) запишем в виде T ∆J(v) = (-uψ∆v1 + ψ∆v2 )dxdt + QT ψ(l, t; v)∆v3 (t)dt + R, (33) 0 где l |∆u(x, T )|2 dx - R= 0 ψ∆u∆v1 dxdt. (34) QT 59 Т а г и е в Р. К., Г а б и б о в В. М. Покажем, что сумма первых двух слагаемых в правой части равенства (33), т.е. выражение (25), при заданном v ∈ V определяет линейный ограниченный функционал от ∆v в H. Линейность функционала (25) по ∆v очевид- 2,1 на. Используя ограниченность вложения W2 (QT ) → L∞ (QT ) [15, c. 33, 39], оценку (13) для функции ψ, неравенство Коши-Буняковского и оценки (8), (23), получаем неравенства T |dJ(v, ∆v)| = ψ(l, t; v)∆v3 (t)dt (-uψ∆v1 + ψ∆v2 )dxdt + QT u L∞ (QT ) ψ 0 L2 (QT ) ∆v1 L2 (QT ) + ψ L2 (QT ) ∆v2 L2 (QT ) + + ψ(l, t; v) M u 2,1 W2 (QT ) ψ L2 (QT ) ∆v1 L2 (0,T ) ∆v3 L2 (0,T ) + ψ L2 (QT ) ∆v2 L2 (QT ) + L2 (QT ) +M ψ 2,1 W2 (QT ) ∆v3 M ∆v L2 (0,T ) H, из которых следует ограниченность функционала (25). 2,1 Кроме этого, используя ограниченность вложения W2 (QT ) → L∞ (QT ), неравенство (13) для функции ∆u и оценки (24), (30), для остаточного члена R, определяемого равенством (34), получаем оценку |R| = ∆u(x, T ) M ∆u M 2 L2 (0,l) - ψ∆u∆v1 dxdt QT 2 + 2,1 W2 (QT ) ∆v 2 + M H ψ ψ L∞ (QT ) ∆u 2,1 W2 (QT ) L2 (QT ) ∆v H ∆v1 ∆v1 L2 (QT ) L2 (QT ) M ∆v 2 H . Учитывая в (33) эту оценку, заключаем, что функционал (5) дифференцируем по Фреше на V и его дифференциал определяется выражением (25). Теперь получим явную формулу для градиента функционала (5). Поставим следующую краевую задачу для определения функции θ = θ(t) = θ(t; v): -θ (t) + θ(t) = ψ(l, t; v), 0 < t < T, θ (0) = θ (T ) = 0. (35) (36) Под решением задачи (35), (36) при заданном v ∈ V будем понимать 1 функцию θ = θ(t) = θ(t; v) из W2 (0, T ), удовлетворяющую интегральному тождеству T T [θ (t)η (t) + θ(t)η(t)]dt = 0 ψ(l, t; v)η(t)dt (37) 0 1 при любой функции η = η(t) ∈ W2 (0, T ). Можно показать [14, c. 112-114], что краевая задача (35), (36) при задан- 1 ном v ∈ V однозначно разрешима в W2 (0, T ). Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда градиент функционала (5) в произвольной точке v ∈ V определяется равенством J (v) = -u(x, t; v)ψ(x, t; v), ψ(x, t; v), θ(t; v) 60 (38) Об одной задаче оптимального управления . . . и отображение v → J (v) непрерывно действует из V в H. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть v, v + ∆v ∈ V - произвольные управления, где ∆v = (∆v1 , ∆v2 , ∆v3 ) ∈ H - приращение управления на элементе v = = (v1 , v2 , v3 ) ∈ V . Полагая в тождестве (37) η = ∆v3 , получаем равенство T T θ (t)∆v3 (t) + θ(t)∆v3 (t) dt = 0 ψ(l, t; v)∆v3 (t)dt, 0 учитывая которое в (25), имеем (-uψ∆v1 + ψ∆v2 )dxdt+ dJ(v, ∆v) = QT T + θ (t)∆v3 (t) + θ(t)∆v3 dt = J (v), ∆v 0 H . Отсюда следует, что градиент функционала (5) определяется равенством (38). Доказательство непрерывности отображения v → J (v) проводится, как в работе [5], и ввиду ограниченности объема работы оно здесь опускается. Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда для оптимальности управления v∗ = (v1∗ , v2∗ , v3∗ ) ∈ V в задаче (1)-(5) необходимо, чтобы неравенство -u∗ ψ∗ (v1 - v1∗ ) + ψ∗ (v2 - v2∗ ) dxdt+ QT T θ∗ (v3 - v3∗ ) + θ∗ (v3 - v3∗ ) dt + 0 (39) 0 выполнялось для любого v = (v1 , v2 , v3 ) ∈ V, где u∗ = u(x, t; v∗ ), ψ∗ = ψ(x, t; v∗ ), θ∗ = θ(t; v∗ ) - решения задач (1)-(3); (19)-(21); (35), (36) соответственно при v = v∗ . Действительно, множество V , определяемое равенством (4), выпукло в H. Кроме этого, согласно формулировкам теорем 2 и 3, функционал (5) непрерывно дифференцируем по Фреше на V . Тогда в силу теоремы 5 из [1, c. 28] на элементе v∗ ∈ V∗ необходимо выполнение неравенства J (v), v - v∗ H 0 при всех v ∈ V . Отсюда и из (38) следует справедливость неравенства (39). ORCIDs

About the authors

Rafiq K Tagiev

Baku State University

Email: r.tagiyev@list.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.; r.tagiyev@list.ru; Corresponding Author), Professor, Dept. of Optimization and Control 23, Z. Khalilov st., Baku, AZ-1148, Azerbaijan

Vahab M Habibov

Lankaran State University

Email: vahab.hebibov@mail.ru
Senior Lecturer, Dept. of Physics, Mathematics and Computer Science 50, Azi Aslanov prospectus, Lankaran, AZ-4200, Azerbaijan

References

Supplementary files