О задачах со смещениями в граничных условиях для гиперболического уравнения
- Авторы: Уткина Е.А.1
-
Учреждения:
- Казанский (Приволжский) федеральный университет
- Выпуск: Том 20, № 1 (2016)
- Страницы: 65-73
- Раздел: Статьи
- Статья получена: 14.02.2020
- Статья опубликована: 15.03.2016
- URL: https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/20477
- DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1469
- ID: 20477
Цитировать
Полный текст
Аннотация
В представленной статье рассмотрены три задачи для гиперболического уравнения в характеристической области на плоскости. В обсуждаемых задачах хотя бы одно из условий Гурса заменено на нелокальное условие на соответствующей характеристике. Нелокальные условия представляют собой линейную комбинацию нормальных производных в точках на противоположных характеристиках. В случае замены одного условия решение осуществляется сведением к задаче Гурса, для которой оно существует и единственно. При этом для нахождения неизвестного условия Гурса автор получает интегральное уравнение, которое переписывает в операторной форме и находит случаи его однозначной разрешимости. Для доказательства однозначной разрешимости упомянутого уравнения автор показывает непрерывность линейного оператора и то, что некоторая его степень является сжимающим отображением. Известно, что в этом случае искомое условие Гурса можно записать в виде ряда Неймана. Подробно рассматривается только одна из поставленных задач, но для обеих сформулированы теоремы об однозначной разрешимости. Если же заменены два условия, единственность решения в предположении, что оно существует, доказывается методом априорных оценок. Для этого используются скалярное произведение и норма в пространстве $L_2$. В результате были получены условия на коэффициенты гиперболического уравнения, которые обеспечивают единственность решения задачи. После этого приведен пример, подтверждающий, что полученные условия являются существенными. А именно, построено уравнение, коэффициенты которого не удовлетворяют условиям последней теоремы, заданы условия на характеристиках и построено ненулевое решение.
Ключевые слова
Полный текст
Многие авторы работают над изучением задач со смещениями в граничных условиях, называемых еще нелокальными, для различных уравнений в частных производных (см., например, [1-8] и др.). В статье [9] для уравнения L (u) = uxy + aux + buy + cu = f (x, y) (1) в характеристическом прямоугольнике D = {0 < x < x1 , 0 < y < y1 } рассмотрена задача об отыскании решения по условиям, связывающим значения искомой функции в четырех переменных точках, лежащих на границе D. Указаны условия, обеспечивающие возможность редукции задачи к системе нагруженных уравнений Фредгольма, которая затем и исследуется. В представленной статье в тех же точках берутся значения нормальных производных искомой функции. Предлагается способ получения условий, обеспечивающих однозначную разрешимость поставленных задач. Задача 1. Найти функцию u(x, y) ∈ C 1,1 (D) ∩ C 0,0 (D), являющуюся в области D решением уравнения (1) и удовлетворяющую условиям u(0, y) = ϕ(y), uy (x, 0) = α(x) + β(x)uy (x, y1 ), (2) (3) где α, β, ϕ - известные достаточно гладкие функции. Считаем, что коэффициенты уравнения (1) принадлежат классам a ∈ C 1,0 (D), b ∈ C 0,1 (D), c, f ∈ C 0,0 (D). Эта задача при β(x) ≡ 0 изучалась ранее в [10]. А само условие рассматривалось для другого уравнения и применительно задаче к другого типа в [11]. Для редукции к задаче Гурса требуется определить неизвестное условие u(x, 0) = ψ(x). (4) Переобозначим в (1) x через t и проинтегрируем полученное уравнение по t в пределах от x∗ до x (x∗ , x) ∈ D, устремив x∗ к 0, y к 0, и получим первое интегральное уравнение: x uy (x, 0) - uy (0, 0) + au(x, 0) - au(0, 0) + -at (t, 0) + c(t, 0) u(t, 0)dt+ 0 x + x b(t, 0)uy (t, 0)dt = f (t, 0)dt. 0 0 Затем, также устремив x∗ к 0, а y - к y1 , получим второе интегральное уравнение: x uy (x, y1 ) - uy (0, y1 ) + au(x, y1 ) - au(0, y1 ) + -at (t, y1 ) + c(t, y1 ) u(t, y1 )dt+ 0 x + x b(t, y1 )uy (t, y1 )dt = 0 f (t, y1 )dt. 0 Умножим второе из полученных уравнений на β(x) и вычтем из первого: 66 О задачах со смещениями в граничных условиях. . . α(x) - ϕ (0) + β(x)ϕ (y1 ) + a(x, 0)u(x, 0) - β(x)a(x, y1 )u(x, y1 ) - a(0, 0)ϕ(0)+ x + a(0, y1 )ϕ(y1 )β(x) + (-at + c)u(t, 0) + b(t, 0)uy (t, 0) dt- 0 x - β(x) (-at + c)(t, y1 )u(t, y1 ) + b(t, y1 )uy (t, y1 ) dt = 0 x x f (t, 0)dt - β(x) = f (t, y1 )dt. (5) 0 0 Далее запишем решение задачи для (1) с условиями (2), (4) (это и есть задача Гурса). Соотношения (2), (4) представляют собой граничные значения Гурса, решение которой хорошо известно [10, 12] и др. Мы будем использовать формулу (1.20) из [10]: u(x, y) = R (x, 0, x, y) ψ(x) + R (0, y, x, y) ϕ(y) - R (0, 0, x, y) ψ (0) + x ∂ R (α, 0, x, y) ψ(α)dα+ + b (α, 0) R (α, 0, x, y) - ∂α 0 y ∂ + a (0, β) R (0, β, x, y) - R (0, β, x, y) ϕ(β)dβ+ ∂β 0 x y + R (α, β, x, y) f (α, β) dβdα, (6) 0 0 где R - функция Римана. Далее мы считаем (6) общим представлением искомого решения через ϕ, ψ. Подставим в (6) аргументы точки (x, y1 ) и учтем, что значение (2) известно. Мы придем к интегральному уравнению, из которого определим u(x, y1 ) через известные функции и пока неизвестную ψ(x). Затем продифференцируем (6) по y и, подставив аргументы точки (x, y1 ), найдем uy (x, y1 ). После этого подставим u(x, y1 ) и uy (x, y1 ) в (5), получим x A(x)ψ(x) + x B(x, t)ψ(t)dt+ 0 t ∂2 R(k, 0, t, y1 ) ψ(k)dkdt- ∂k∂y 0 0 x t ∂ - β(x) (-at + c)(t, y1 ) b(k, 0)R(k, 0, t, y) - R(k, 0, t, y) ψ(k)dkdt+ ∂k 0 0 x t ∂ + R(k, 0, t, y1 ) ψ(k)dkdt - b(t, y1 ) b(k, 0)Ry (k, 0, t, y1 ) - ∂k∂y 0 0 + b(k, 0)Ry (k, 0, t, y1 ) - b(t, 0)β(t) y1 - β(x)a(x, y1 ) exp a(x, τ )dτ × 0 y1 ∂ R (0, τ, x, y1 ) ϕ (τ ) dτ + ∂τ 0 x y1 ∂2 + b(t, 0)β(t) a(0, β)Ry (0, τ, t, y1 ) - R(0, τ, t, y1 ) ϕ(τ )dτ dt- ∂τ ∂y 0 0 x y ∂ -β(x) (-at +c)(t, y1 ) a (0, τ ) R (0, τ, t, y) - R (0, τ, t, y) ϕ (τ ) dτ dt- ∂τ 0 0 × a (0, τ ) R (0, τ, x, y1 ) - 67 У т к и н а Е. А. x - β(x) y1 a(0, τ )Ry (0, τ, t, y1 ) - b(t, y1 ) 0 0 ∂2 R(0, τ, t, y1 ) ϕ(τ )dτ dt = ∂τ ∂y = ω(x), где y1 A(x) = a(x, 0) - β(x)a(x, y1 ) exp a(x, τ )dτ , 0 ∂ R (t, 0, x, y1 ) + ∂t B(x, t) = -β(x)a(x, y1 ) b (t, 0) R (t, 0, x, y1 ) - + (-at + c)(t, 0) + b(t, 0)β(t)Ry (t, 0, t, y1 )- - β(x)(-at + c)(t, y1 )R (t, 0, t, y) - β(x)b(t, y1 )Ry (t, 0, t, y1 ), x x f (t, 0)dt - β(x) ω(x) = 0 f (t, y1 )dt - α(x) + ϕ (0) - β(x)ϕ (y1 )+ 0 + β(x)a(x, y1 ) R (0, y1 , x, y1 ) ϕ (y1 ) - R (0, 0, x, y1 ) ϕ (0) + + a(0, 0)ϕ(0) - a(0, y1 )ϕ(y1 )β(x)- x - β(x) (-at + c)(t, y1 )R (0, y1 , t, y1 ) ϕ (y1 ) dt+ 0 y1 x R (α, τ, x, y1 ) f (α, τ ) dτ dα- + β(x)a(x, y1 ) 0 0 x - β(x) (-at + c)(t, y1 )R (0, 0, t, y) ϕ (0) dt+ 0 x t + β(x) y (-at + c)(t, y1 ) 0 R (α, τ, t, y) f (α, β) dτ dα dt- 0 0 x - b(t, 0)α(t) + b(t, 0)β(t) Ry (0, y1 , t, y1 )ϕ(y1 )+ 0 + R(0, y1 , x, y1 )ϕ (y1 ) - Ry (0, 0, t, y1 )ϕ(0)+ + a(0, y1 )R(0, y1 , x, y1 ) - Ry (0, y1 , t, y1 ) ϕ(y1 )+ t t y1 R(α, y1 , t, y1 )f (α, y1 )dα + + Ry (α, τ, t, y1 )dαdτ 0 0 dt+ 0 x + β(x) b(t, y1 ) Ry (0, y1 , t, y1 )ϕ(y1 )+ 0 + R(0, y1 , t, y1 )ϕ (y1 ) - Ry (0, 0, t, y1 )ϕ(0)+ ∂ + a(0, y1 )R(0, y1 , t, y1 ) - R(0, y1 , t, y1 ) ϕ(y1 )+ ∂y t + t y1 R(α, y1 , t, y1 )f (α, y1 )dα + 0 Ry (α, τ, t, y1 )f (α, τ )dτ dα dt. 0 0 Итак, мы получили интегральное уравнение для нахождения ψ. Запишем его в операторной форме, разделив обе части (1) на A(x) и считая, что 68 О задачах со смещениями в граничных условиях. . . A(x) = 0: ψ = F ψ + F1 ϕ + Пусть |A(x)| |B(x, t)| , ω(x) . A(x) (7) m > 0, а модули b(t, 0)β(t) b(k, 0)Ry (k, 0, t, y1 ) - β(x)(-at + c)(t, y1 ) b(k, 0)R(k, 0, t, y) - β(x)b(t, y1 ) b(k, 0)Ry (k, 0, t, y1 ) - ∂2 R(k, 0, t, y1 ) ∂k∂y ∂ R(k, 0, t, y) ∂k , , ∂ R(k, 0, t, y1 ) ∂k∂y не превосходят M . В силу непрерывности всех функций и производных, стоящих под знаком модуля, такое число существует. Проверим непрерывность линейного оператора F и то, что некоторая его степень является сжимающим отображением. Пусть ψ1 , ψ2 ∈ C [0, x1 ]. Тогда x M x 1+ ψ1 - ψ2 . (8) m 2 x1 , отсюда следует непрерывность оператора F . Из F ψ1 - F ψ2 < В силу того, что x (8) выводятся оценки F k ψ1 - F k ψ2 M k xk x 1+ k+1 mk k! k ψ1 - ψ2 , k = 1, 2, . . . Ясно, что при некотором k x M k xk 1+ k k! k+1 m k < M k x k x1 1 e < 1, mk k! то есть F k является сжимающим оператором. Поэтому [12] уравнение (7) имеет единственное решение. Оно записывается в виде ряда Неймана. Вернемся к задаче 1, чтобы выяснить возможность ее редукции к задаче Гурса для (1). Определив с помощью (2) и (3) граничное значение (4), можно записать решение задачи 1 с помощью формулы (6). Следовательно, условие разрешимости указанной задачи определяется из утверждения Теорема 1. Задача 1 однозначно разрешима, если y1 a(x, 0) - β(x)a(x, y1 ) exp a(x, τ )dτ = 0. 0 Задача 2. Найти функцию u(x, y) ∈ C 1,1 (D) ∩ C 0,0 D , являющуюся в области D решением уравнения (1) и удовлетворяющую условиям (4) и ux (0, y) = γ(y) + δ(y)ux (x1 , y) , (9) 69 У т к и н а Е. А. где γ, δ - известные достаточно гладкие функции. Считаем, что коэффициенты уравнения (1) принадлежат классам a ∈ C 1,0 (D), b ∈ C 0,1 (D), c, f ∈ C 0,0 (D). Здесь применяется тот же метод, что и в случае задачи 1. Опуская рассуждения, сформулируем результат в виде следующего утверждения. Теорема 2. Задача 2 однозначно разрешима, если x1 b(0, y) - δ(y)b(x1 , y) exp b(α, y)dα = 0. 0 Задача 3. Найти функцию u(x, y) ∈ C 1,1 (D) ∩ C 0,0 D , являющуюся в области D решением уравнения (1) и удовлетворяющую условиям (3), (9). Для последней задачи пока доказана единственность решения. Для этого показано, что при однородных условиях (3), (9) однородное уравнение (1) имеет только нулевое решение. Доказательство осуществляем методом априорной оценки с помощью энергетического неравенства [13]. Воспользовавшись понятиями скалярного произведения и нормы в пространстве L2 [0, x1 ] × [0, y1 ]: x1 y1 (u, v) = u(x, y)v(x, y)dydx, 0 u 0 2 x1 y1 = 0 u2 (x, y)dydx, 0 вычислим скалярное произведение (L (u) , uxy ) = (uxy + aux + buy + cu, uxy ) = x1 y1 = 0 (u2 + aux uxy + buy uxy + cuuxy )(x, y)dydx. xy 0 Далее проинтегрируем выражение по частям и выпишем значения получившихся в результате преобразований слагаемых: 0 = (L(u), uxy ) = (f, uxy ) = 1 x1 (au2 )(x, y1 ) - (au2 )(x, 0) dx- = uxy 2 + x x 2 0 x1 y1 1 - (ay u2 )(x, y) + (bx u2 )(x, y) dydx+ x y 2 0 0 1 y1 + (bu2 )(x1 , y) - (cy u2 )(x1 , y) dy+ y 2 0 1 y1 + -(bu2 )(0, y) + (cy u2 )(0, y) dy+ y 2 0 1 + u2 (x1 , y1 ) + (cu2 )(0, 0) - (cu2 )(x1 , 0) - (cu2 )(0, y1 ) . (10) 2 Потребуем выполнения условий a(x, y1 ) 0, a(x, 0) < 0, ay 0, bx 0, b(x1 , y) 0, cy (x1 , y) 0, b(0, y) < 0, cy (0, y) c(0, 0) > 0, c(x1 , 0) 0, c(0, y1 ) 0. 70 0, (11) О задачах со смещениями в граничных условиях. . . Тогда, если f ≡ 0, то все слагаемые в правой части (10) тождественно равны нулю. Следовательно, uxy ≡ 0, а значит, и u ≡ 0. Таким образом, имеет место следующее утверждение. Теорема 3. Если коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют неравенствам (11), то если задача (1), (3), (9) имеет решение, то оно единственно. Отметим, что все условия теоремы являются существенными. Рассмотрим, например, задачу для уравнения uxy - ux = 0 в области D = (0, 1) × (0, 1) с условиями ux (0, y) = e-1 ux (1, y), uy (x, 0) = e-1 uy (x, 1). В нем коэффициент a ≡ -1, что противоречит условиям теоремы. Решением, в чем можно убедиться непосредственно, является u(x, y) = ex+y , отличная от тождественного нуля в области D.×
Об авторах
Елена Анатольевна Уткина
Казанский (Приволжский) федеральный университет
Email: eutkina1@yandex.ru
(д.ф.-м.н., доц.; eutkina1@yandex.ru), доцент, каф. общей математики Россия, 420008, Казань, ул. Кремлевская, 18
Список литературы
- Жегалов В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии / Краевые задачи теории аналитических функций / Учен. зап. Казан. ун-та., Т. 122. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1962. С. 3-16.
- Нахушев А. М. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения, 1969. Т. 5, № 1. С. 44-59.
- Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // ДАН СССР, 1969. Т. 185, № 4. С. 739-740.
- Скубачевский А. Л. О спектре некоторых нелокальных эллиптических краевых задач // Матем. сб., 1982. Т. 117(159), № 4. С. 548-558.
- Ильин В. А., Моисеев Е. И. Двумерная нелокальная краевая задача для оператора Пуассона в дифференциальной и разностной трактовках // Матем. моделирование, 1990. Т. 2, № 8. С. 139-156.
- Пулькина Л. С. Нелокальная задача для нагруженного гиперболического уравнения / Дифференциальные уравнения и динамические системы: Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Евгения Фроловича Мищенко / Тр. МИАН, Т. 236. М.: Наука, 2002. С. 298-303.
- Солдатов А. П., Шхануков М. Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // ДАН СССР, 1987. Т. 297, № 3. С. 547-552.
- Керефов А. А. Нелокальные граничные задачи для параболических уравнений // Дифференц. уравнения, 1979. Т. 15, № 1. С. 74-78.
- Уткина Е. А. Об одной задаче со смещениями в граничных условиях // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2011. № 8(89). С. 102-107.
- Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Казанское матем. общество, 2001. 226 с.
- Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Ж. Вычисл. матем. и матем. физ., 2004. Т. 44, № 4. С. 694-716.
- Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.
- Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.
Дополнительные файлы
![](/img/style/loading.gif)