Mixed-mode loading of the structural elements with defect

Full Text

Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). Введение. О смешанном деформировании элементов конструкций с трещинами. Асимптотический анализ распределений напряжений, деформаций (или скоростей деформаций) и перемещений вблизи вершины трещины является одной из фундаментальных задач механики трещин и механики поврежденности [2]. Вершина трещины может находиться в упругом материале, пластической зоне или зоне, занятой деформациями ползучести; кончик трещины может принадлежать линии раздела нескольких изотропных или анизотропных материалов [3]. Все перечисленные факторы усложняют определение механических полей вблизи устья трещины и до настоящего времени многие вопросы, связанные с нахождением напряженно-деформированного состояния в нелинейной механике разрушения, остаются открытыми. Так, в настоящее время в механике трещин и в целом в механике разрушения сложилось понимание процесса разрушения как процесса многоскейлингового (многомасштабного, многоуровневого), для описания основных закономерностей которого следует прибегать к многомасштабным моделям [4-8]. В рамках многоуровневого подхода процесс разрушения моделируется различными соотношениями на различных расстояниях от вершины трещины с помощью введения многих масштабов. При построении решения задачи в целом представления, работающие на разных расстояниях от кончика трещины, сращиваются в зонах, где справедливы асимптотики соседних областей. Для понимания многоуровневого или многомасштабного подхода целесообразно обратиться к исходным математическим моделям, используемым как в теории механики трещин, так и в инженерной практике [9, 10]. В рамках линейной теории упругости с помощью методов теории возмущений построено большое количество решений, ставших классическими в механике хрупкого разрушения [11, 12]. Однако для нелинейной механики многие вопросы остаются открытыми [10, 13]. Определение напряженно-деформированного состояния вблизи кончика трещины в материале со степенным законом упрочнения с помощью асимптотических разложений полей напряжений и деформаций в окрестности вершины трещины и построение высших приближений асимптотических разложений являлись предметом многочисленных исследований на протяжении многих лет, начиная с классических работ Дж. Хатчинсона, Дж. Райса и Дж. Розенгрена (HRR) [13-16] до работ самого последнего времени [17-20]. Поскольку элементы ответственных конструкций, находящихся в реальных эксплуатационных условиях, подвержены действию сложных систем механических нагрузок, характерной для них является эксплуатация в условиях сложного напряженного состояния при наличии различным образом ориентированных дефектов. Поэтому понятен интерес специалистов к задачам о наклонных трещинах и о трещинах, находящихся в условиях одновременно приложенных нормального растягивающего напряжения и поперечного сдвига, которые в механике разрушения относятся к классу смешанных мод нагружения. В классической механике разрушения принято выделять три вида трещин, отвечающих трем видам нагружения: трещины нормального отрыва, поперечного и продольного (антиплоского) сдвига. Выделение трех типов трещин восходит к линейной механике разрушения [11, 12], где суперпозиция решений, полученных для трех типов нагружения, дает решение, справедливое вблизи вершины трещины, для произвольного нагружения тела с дефектом. Указанные типы нагружения элемента конструкции с трещинами в линейно упругих материалах, в идеально пластических телах достаточно хорошо изучены. Однако распределение напряжений, деформаций и перемещений вблизи кончика дефекта в условиях смешанного нагружения трещины в нелинейных материалах изучено недостаточно [10, 13, 21]. Можно отметить, что первое обращение к исследованию смешанных форм деформирования, по всей видимости, было сделано в работах Ши [22, 23], где изучены поля напряжений и деформаций вблизи вершины трещины, находящейся под действием растягивающей и сдвиговой нагрузок (т.о. рассматривалось смешанное нагружение, отвечающее трещинам типа I и типа II). Ши впервые ввел коэффициент смешанности нагружения [22]: Mp = 2 σθθ (r, θ = 0) arctg lim , r→0 σrθ (r, θ = 0) π (1) принимающих нулевое значение для трещины поперечного сдвига; значение, равное единице, для чистого растяжения и значение 0 < M p < 1 для смешанных форм нагружения образца с трещиной. С тех пор анализ смешанных мод деформирования является объектом пристального внимания ученых как в России [24-26], так и за рубежом [27, 28]. В [25] разработан метод и приведены результаты расчетов упругих параметров смешанности и скорости выделения энергии в трехмерной постановке при сочетании форм смещения поверхностей трещины по типу отрыва, сдвига и среза. Рассмотрено нагружение произвольно ориентированной несквозной полуэллиптической трещины при двухосном нагружении различной интенсивности. Алгоритм вычислений построен на модификации аналитического решения с помощью корректирующих функций учета выхода вершин полуэллиптической трещины на свободную поверхность пластины. На основе проведенного анализа и выполненных расчетов установлен характер влияния вида смешанных форм нагружения и формы в плане несквозного дефекта на изменение параметров вдоль криволинейного фронта трещины. В [26] изложен метод и приведены результаты расчетов упругопластических коэффициентов интенсивности напряжений в полном диапазоне смешанных форм деформирования от нормального отрыва до чистого сдвига. Рассмотрено состояние произвольно ориентированной прямолинейной трещины в виде математического разреза при двухосном нагружении различной интенсивности. Решение построено на использовании уравнения совместности деформаций, представленного через функцию напряжений Эри и ее производные. Поведение упругопластического материала соответствует модели Рамберга-Осгуда. На основе выполненных расчетов установлен характер влияния вида смешанных форм нагружения и пластических свойств материала, описываемых показателем деформационного упрочнения. В настоящее время сложилось понимание необходимости определения всего спектра собственных значений в задаче HRR. В линейной механике разрушения в качестве базового распределения может быть выбрано классическое решение М. Уильямса [11, 12] с корневой особенностью. Более сильная или более слабая особенности могут быть введены для моделирования степени поврежденности (степени разрушения) материала у кончика трещины на уровне мезо- и микроструктуры материала. Математически данная модель приводит к необходимости всего спектра собственных значений в задачах на собственные значения, следующих из проблем нахождения напряженнодеформированного состояния у окрестности вершины трещины. Если в линейной механике разрушения весь спектр собственных значений найден и построено полное асимптотическое представление полей напряжений и перемещений (решение М. Уильямса [11, 12]), то в нелинейной механике разрушения остается открытым вопрос о спектре собственных значений нелинейной задачи на собственные значения, следующей из проблемы отыскания полей напряжений у вершины трещины в материалах со степенными определяющими уравнениями. Совокупность нелинейных задач на собственные значения, возникающих в нелинейной механике разрушения, представляется важной в связи с необходимостью применения многомасштабных, многоуровневых моделей [29-31], в соответствии с которыми в окрестности вершины трещины необходимо вводить в рассмотрение иерархию областей с доминирующим действием различных асимптотик поля напряжений и проводить процедуру асимптотического сращивания получаемых ассимптотических решений. Так, в работе [31] построено новое асимптотическое решение задачи об усталостном росте трещины в изотропном линейно-упругом материале с учетом процесса накопления рассеянных повреждений в рамках связанной (упругость-поврежденность) постановки задачи в условиях реализации плоского напряженного и плоского деформированного состояния. В [31] представлено новое численное решение двухточечной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая следует из проблемы определения напряженнодеформированного состояния у кончика трещины в среде с поврежденностью, а также новое аналитическое представление полей напряжений, деформаций и сплошности в окрестности вершины трещины как для плоского напряженного, так и для плоского деформированного состояний. Аккуратное построение всех промежуточных зон с той или иной асимптотикой и проведение процедуры сращивания требует знания всего спектра собственных значений, и, по всей видимости, эти задачи до сих пор не решены. В литературе известны только две математически полностью реализованные процедуры сращивания: классическое решение Райса-Нейбери для трещины антиплоского сдвига [32] и аналитическое решение задачи о трещине конечной длины в бесконечной пластине [21]. Настоящая работа является продолжением исследования [33], где представлен численный метод определения спектра собственных значений в нелинейной задаче на собственные значения, следующей из проблемы определения напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины в условиях смешанного деформирования для материала со степенными определяющими уравнениями (степенной закон деформационной теории пластичности, степенной закон установившейся ползучести) в условиях плоского напряженного состояния. В [33] найдено, что смешанное нагружение пластины с дефектом приводит к изменению особенности поля напряжений вблизи кончика трещины, и к решению, отличному от классического решения Хатчинсона-Райса-Розенгрена. Предлагаемый метод использован в данной работе для нахождения всего спектра собственных чисел, отличных от найденных ранее. Построены угловые распределения компонент тензора напряжений (собственные функции) в полном диапазоне значений параметра смешанности нагружения от чистого нормального отрыва до поперечного сдвига. 1. Задача определения напряженно-деформированного состояния вблизи кончика трещины в материале со степенным определяющим законом. Исследование напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины нормального отрыва в материале со степенными определяющими уравнениями n-1 εij = 3Bσe sij /2, (2) где εij - компоненты тензора деформаций; sij - компоненты девиатора тензора напряжений; σe = (3sij sij /2)1/2 - интенсивность напряжений; B, n - материальные константы, определяемые экспериментально, в полярных координатах с полюсом в берегах трещины, приводит к необходимости исследования уравнений равновесия ∂σrr 1 ∂σrθ σrr - σθθ + + = 0, ∂r r ∂θ r и условия совместности деформаций ∂σrθ 1 ∂σθθ σrθ + +2 =0 ∂r r ∂θ r (3) ∂ ∂εrθ ∂ 2 εrr ∂εrr ∂ 2 (rεθθ ) r = -r +r . (4) ∂r ∂θ ∂θ2 ∂r ∂r2 В случае плоского напряженного состояния определяющие соотношения материала (2) принимают вид 2 1 n-1 εrr = Bσe (2σrr - σθθ ), 2 1 n-1 εθθ = Bσe (2σθθ - σrr ), 2 3 n-1 εrθ = Bσe σrθ , 2 где интенсивность касательных напряжений определяется формулой σe = 2 2 2 σrr + σθθ - σrr σθθ + 3σrθ . Степенной характер определяющих уравнений задачи (2) позволяет обратиться к представлению функции напряжений Эри в виде разложения по собственным функциям при r → 0: F (r, θ) = rλ+1 f (θ). Тогда компоненты тензора деформации принимают вид 1 n-1 εrr (r, θ) = Br(λ-1)n fe {[2(λ + 1)f (θ) + f (θ)] - (λ + 1)λf (θ)}, 2 1 n-1 εθθ (r, θ) = Br(λ-1)n fe [(λ + 1)(2λ - 1)f (θ) - f (θ)], 2 3 n-1 εrθ (r, θ) = - Br(λ-1)n fe λf (θ), 2 где принято обозначение 2 fe = [(λ + 1)f (θ) + f (θ)]2 + (λ + 1)2 λ2 f 2 (θ)- - [(λ + 1)f (θ) + f (θ)](λ + 1)λf (θ) + 3λ2 f 2 (θ). 362 О смешанном нагружении элементов конструкции с дефектом Условие совместности деформаций приводит к нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ) четвертого порядка относительно функции f (θ): 1 2 2 4 f IV fe (n - 1)x y - λ(λ + 1)f + 2f + 6λ[(λ - 1)n + 1][(n - 1)fe gf + fe f ]+ 2 2 2 4 + (n - 1)(n - 3)g 2 x + (n - 1)fe xω + 2(n + 1)fe gx + fe [(λ + 1)(2 - λ)f ]- 4 4 - (λ - 1)nfe x + [(λ - 1)n + 1](λ - 1)nfe [(λ + 1)(2λ - 1)f - f ] = 0, (5) где приняты следующие сокращающие обозначения: x = (λ + 1)(λ - 2)f + f , y = (λ + 1)f + f , 2 fe 2 2 2 2 2 = y + λ (λ + 1) f - yλ(λ + 1)f + 3λ2 f 2 , g = yy + λ (λ + 1)2 f f - λ(λ + 1)f y/2 - λ(λ + 1)f y /2 + 3λ2 f f , ω = y 2 + y(λ + 1)f + λ2 (λ + 1)2 [f 2 + f f ] - λ(λ + 1)f y/2- -λ(λ + 1)f y - λ(λ + 1)2 f f /2 + 3λ2 [f 2 + f f ]. Решение нелинейного однородного дифференциального уравнения четвертого порядка (5) должно удовлетворять краевым условиям, следующим из требования отсутствия поверхностных усилий на берегах трещины: f (θ = ±π) = 0, f (θ = ±π) = 0. (6) ОДУ (5) вместе с краевыми условиями (6) представляет собой двухточечную краевую задачу на собственные значения: необходимо найти собственные значения λ, отвечающие нетривиальным решениям уравнения (5), удовлетворяющим краевым условиям (6). Для решения такого ряда задач обычно обращаются к численным методам: семейству методов Рунге-Кутта-Фельберга и методу пристрелки, в рамках которых первоначально необходимо перейти к задаче Коши для уравнения (5). В механике разрушения выделяют три вида нагружения образца с дефектом: нормальный отрыв (тип I), поперечный сдвиг (тип II) и продольный (антиплоский) сдвиг (тип III). Симметричное раскрытие берегов трещины (трещины типа I) приводит к следующим начальным условиям: f (θ = 0) = 1, f (θ = 0) = 0, f (θ = 0) = A2 , f (θ = 0) = 0. (7) Уравнение (5) вместе с начальными условиями (7) интегрируется численно. В случае трещины нормального отрыва находят два значения: λ и A2 , таким образом, чтобы выполнялись краевые условия на верхнем берегу дефекта f (θ = π) = 0, f (θ = π) = 0. Для трещины типа II (антисимметричное деформирование) начальные условия имеют вид f (θ = 0) = 0, f (θ = 0) = 1, f (θ = 0) = 0, f (θ = 0) = A3 и для выполнения условий отсутствия поверхностных усилий подбираются значения параметров λ и A3 . Одно собственное значение хорошо известно и соответствует классической задаче Хатчинсона-Райса-Розенгрена (HRR) [14-16]: λ = n/(n + 1). Однако сейчас интерес представляют другие собственные значения, отличные от собственных чисел, отвечающих задаче HRR [10, 29, 30]. 2. Численный алгоритм определения собственных значений. В случае смешанного деформирования соображения симметрии и антисимметрии использованы быть не могут и необходимо искать решение уравнения (5) на отрезке [-π, π]. В условиях смешанного нагружения при численном решении уравнения (5) отрезок интегрирования [-π, π] можно разбить на два отрезка: [-π, 0] и [0, π]. Сначала уравнение (5) интегрируется на отрезке [0, π] и краевая задача сводится к задаче Коши с начальными условиями f (θ = 0) = 1, f (θ = 0) = -(λ + 1)/ tg M p π/2 , f (θ = 0) = A2 , f (θ = 0) = A3 . Значение производной первого порядка находится из условия смешанности нагружения (значение параметра смешанности нагружения (1), задающего вид нагружения, известно). Неизвестные постоянные A2 и A3 определяются таким образом, чтобы выполнялись краевые условия на верхнем берегу трещины: f (θ = π) = 0, f (θ = π) = 0. После того как подобраны постоянные A2 и A3 , уравнение (5) интегрируется на отрезке [-π, 0]. Вновь двухточечная краевая задача для уравнения (5) с граничными условиями f (θ = -π) = 0, f (θ = -π) = 0, f (θ = -π) = 1, f (θ = -π) = -(λ + 1)/ tg M p π/2 (8) заменяется задачей Коши с начальными условиями f (θ = -π) = 0, f (θ = -π) = 0, f (θ = -π) = B2 , f (θ = -π) = B3 . Неизвестные постоянные B2 и B3 подбираются таким образом, чтобы выполнялись условия равновесия элемента, расположенного на луче θ = 0. Уравнения равновесия данного элемента требуют непрерывности компонент тензора напряжений σθθ и σrθ на луче θ = 0, что влечет за собой непрерывность функций f (θ) и f (θ) при θ = 0 (и, следовательно, краевые условия (8)). Поэтому две неизвестные постоянные B2 и B3 определяются таким образом, чтобы решение, разыскиваемое на отрезке [-π, 0], удовлетворяло краевым условиям при θ = 0. Более подробно процедура метода описана в [33]. Предложенный ниже метод используется для отыскания спектра собственных чисел. При построении новых собственных значений накладывалось дополнительное условие - требование непрерывности компоненты тензора напряжений. Результаты вычислений приведены в табл. 1-4, где собраны новые значения λ и пристрелочные значения f (θ = 0), 364 f (θ = 0), f (θ = -π) и f (θ = -π) О смешанном нагружении элементов конструкции с дефектом для всех значений параметра смешанности нагружения и практически важных значений показателя нелинейности материала M p . Угловые распределения компонент тензора напряжений σij для различных значений параметра смешанности нагружения M p и показателя нелинейности материала n = 6 показаны на рис. 1-3, а для n = 8 - на рис. 4-6. 3. Автомодельное решение задачи о трещине в среде с поврежденностью в условиях смешанного деформирования. Промежуточная автомодельная асимптотика. Рассмотрим приложение найденной новой асимптотики поля напряжений к задаче о стационарной трещине в среде с поврежденностью в условиях смешанного нагружения и построим автомодельное промежуточное асимптотическое решение задачи о трещине в связанной (ползучесть - поврежденность) постановке задачи. Определяющие уравнения материала строятся на основе степенного закона Бейли-Нортона теории установившейся ползучести с применением концепции эффективного напряжения [4, 34]: 3 σe εij = B ˙ 2 ψ n-1 sij ψ . (9) где ψ - параметр сплошности, эволюционирующий в соответствии со степенным законом накопления повреждений dψ σe = -A dt ψ m . (10) Естественно предположить, что процесс активного накопления рассеянных повреждений происходит в непосредственной окрестности вершины трещины, где образуется область диспергированного (дефрагментированного) материала, а на удалении от нее параметр сплошности стремится к единице, что отвечает неповрежденному материалу. Данное предположение позволяет сформулировать асимптотическое граничное условие в бесконечно удаленной точке как условие асимптотического сближения с решением Хатчинсона- Райса-Розенгрена (HRR) - решением для степенных определяющих уравнений (9), где ψ ≡ 1 (таким образом, рассматривается непосредственная окрестность вершины трещины). В соответствии с гипотезой о маломасштабной поврежденности на больших расстояниях от вершины трещины (больших по сравнению с характерным линейным размером области полностью поврежденного материала, но все еще малых по сравнению с длиной трещины, характерным линейным размером образца) после напряжений определяется решением HRR (решением аналогичной задачи без учета процесса накопления повреждений ψ ≡ 1): σij (r → ∞, θ, t) = C∗ BIn r 1/(n+1) σij (θ, n). ¯ (11) Начальное условие при t = 0 и граничное условие в бесконечно удаленной точке (11) совпадают, поскольку они задаются решением задачи для ψ ≡ 1. Анализ размерности величин, входящих в уравнения (9)-(11), позволяет установить, что для определяющих соотношений (9), кинетического уравнения (10), начальных и граничных условий (11) существует автомодельная Таблица 1 Собственные значения для различных значений параметра смешанности нагружения в условиях плоского напряженного состояния n = 2 [Eigenvalues for different values of the mixity parameter. Plane stress conditions; n = 2] Mp λ 0.95 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.05 -0.30224000 -0.30032000 -0.28609000 -0.26789000 -0.26093000 -0.25233200 -0.24369800 -0.23701900 -0.23247900 -0.22987230 -0.22923480 f (0) -0.24670803 -0.25428500 -0.30988600 -0.40297913 -0.46493199 -0.52217930 -0.57136233 -0.61089207 -0.64000914 -0.65774480 -0.66219933 f (0) -0.45261423 -0.52319280 -0.65543910 -0.80444475 -1.03847110 -1.40075019 -1.98711539 -2.95625279 -4.76598544 -9.82544937 -19.65958382 f (-π) f (-π) 0.46460644 0.36781000 -0.14222000 -0.37921000 -0.54340000 -0.72780000 -0.97155000 -1.35116000 -2.08610169 -4.26300089 -8.60607626 0.31524251 0.41793000 1.23657500 0.54939150 0.46094200 0.42459230 0.40989380 0.41294900 0.44422935 0.57184713 0.84616996 Таблица 2 Собственные значения для различных значений параметра смешанности нагружения в условиях плоского напряженного состояния n = 4 [Eigenvalues for different values of the mixity parameter. Plane stress conditions; n = 4] Mp λ f (0) 0.95 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.05 -0.25900000 -0.25560000 -0.24450000 -0.23350000 -0.22020000 -0.21079000 -0.20527000 -0.20303000 -0.20573000 -0.21570000 -0.22414000 0.06403000 0.06293000 0.06180000 0.06296000 0.02702000 0.02508000 0.07940000 0.19626828 0.41709000 0.89713000 1.42971500 f (0) -0.76644890 -0.84040608 -0.99744294 -1.18109399 -1.38664305 -1.68869370 -2.16329580 -2.96732416 -4.60578260 -9.66506720 -19.75640850 f (-π) 1.00747157 0.91827825 0.72118794 0.47043046 -0.26870000 -0.45820000 -0.70405000 -1.10930000 -1.93328000 -4.50572000 -9.85286900 f (-π) -0.49344443 -0.44735992 -0.34292779 -0.19390281 0.33821000 0.27883500 0.36147500 0.53612990 0.91471369 2.13143060 4.68905308 Таблица 3 Собственные значения для различных значений параметра смешанности нагружения в условиях плоского напряженного состояния n = 6 [Eigenvalues for different values of the mixity parameter. Plane stress conditions; n = 6] Mp λ f (0) 0.95 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.05 -0.23620000 -0.23000000 -0.21800000 -0.20880000 -0.19930000 -0.19078000 -0.18870000 -0.19332000 -0.20619500 -0.23041870 -0.24985460 0.12763000 0.12630000 0.13638000 0.15539000 0.15484000 0.15920000 0.24360000 0.40705000 0.70100000 1.34989000 2.15447000 366 f (0) -0.88589036 -0.95970043 -1.12682114 -1.32590338 -1.55328928 -1.85600631 -2.34861936 -3.19053122 -4.94411518 -10.72665207 -23.20019415 f (-π) 1.10948713 1.00961648 0.81269900 0.58885377 -0.16700000 -0.37120000 -0.61155000 -1.01899000 -1.86793000 -4.59496000 -10.42638000 f (-π) -0.69773171 -0.63151712 -0.50297035 -0.36077682 0.69325000 0.23952300 0.37189580 0.61801287 1.14461341 2.87542559 6.63434136 О смешанном нагружении элементов конструкции с дефектом Таблица 4 Собственные значения для различных значений параметра смешанности нагружения в условиях плоского напряженного состояния n = 8 [Eigenvalues for different values of the mixity parameter. Plane stress conditions; n = 8] Mp λ f (0) 0.95 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.05 -0.22400000 -0.21670000 -0.20540000 -0.19740000 -0.18981000 -0.18176000 -0.18230000 -0.19170000 -0.20987000 -0.23832000 -0.26170350 0.15674000 0.15650000 0.17274000 0.20078000 0.21898000 0.22200000 0.31655000 0.49447000 0.81123000 1.52926000 2.46670000 f (0) -0.94683897 -1.02152482 -1.19568249 -1.40425931 -1.64684945 -1.94918274 -2.45772558 -3.33712898 -5.18847693 -11.49251591 -26.30509253 f (-π) 1.14970000 1.04561080 0.85004562 0.63290021 0.28035791 -0.33158000 -0.57085000 -0.98000000 -1.84100000 -4.62910000 -10.65015000 f (-π) -0.79198649 -0.71586312 -0.57640893 -0.42620995 -0.17610118 0.22466705 0.37974756 0.65679442 1.25314140 3.22719187 7.56893373 Рис. 1. (online в цвете) Угловые распределения компоненты тензора напряжений σθθ для n = 6 [Figure 1. (color online) Angular distribution of the circumferential stress in the vicinity of the crack tip; n = 6] Рис. 2. (online в цвете) Угловые распределения компоненты тензора напряжений σRθ для n = 6 [Figure 2. (color online) Angular distribution of the tangential stress in the vicinity of the crack tip; n = 6] Рис. 3. (online в цвете) Угловые распределения компоненты тензора напряжений σRR для n = 6 [Figure 3. (color online) Angular distribution of the radial stress in the vicinity of the crack tip; n = 6] Рис. 4. (online в цвете) Угловые распределения компоненты тензора напряжений σθθ для n = 8 [Figure 4. (color online) Angular distribution of the circumferential stress in the vicinity of the crack tip; n = 8] Рис. 5. (online в цвете) Угловые распределения компоненты тензора напряжений σRθ для n = 8 [Figure 5. (color online) Angular distribution of the tangential stress in the vicinity of the crack tip; n = 8] Рис. 6. (online в цвете) Угловые распределения компоненты тензора напряжений σRR для n = 8 [Figure 6. (color online) Angular distribution of the radial stress in the vicinity of the crack tip; n = 8] переменная R = r(At)-(n+1)/m BIn /C ∗ и система уравнений задачи допускает автомодельное представление решения: ˆ σij (r, θ, t) = (At)-1/m σij (R, θ), ψ(r, θ, t) = ψ(R, θ). ˆ Следует отметить, что граничное условие в бесконечно удаленной точке может быть сформулировано в более общей по сравнению с (11) форме ˜ ¯ σij (r → ∞, θ, t) → Crs σij (θ, n), (12) ˜ где показатель степени s подлежит определению в ходе решения задачи; C - амплитуда поля напряжений на бесконечности, определяемая геометрией реального образца и системой приложенных нагрузок. Для степенных определяющих соотношений (9), кинетического уравнения (10) и более общих граничных условий (12) существует автомодельная переменная ˜ R = r(AtC m )1/sm . После введения автомодельной переменной уравнения равновесия (3), определяющие уравнения (9), условия совместности (4) сохраняют свою форму, а кинетическое уравнение накопления повреждений принимает вид ˆ Rψ,R = -sm(ˆe /ψ)m . σ ˆ Асимптотическое решение задачи вне области диспергированного материала, формирующееся у вершины трещины (на больших расстояниях от вершины трещины R → ∞), разыскивается в форме χ(R, θ) = Rλ+1 f (0) (θ) + Rλ1 +1 f (1) (θ) + Rλ2 +1 f (2) (θ) + o(Rλ2 ), ψ(R, θ) = 1 - Rγ g (0) (θ) - Rγ1 g (1) (θ) - Rγ2 g (2) (θ) + o(Rγ2 ), (13) где χ(R, θ) - трехчленное асимптотическое разложение функции напряжения Эри; λ, λk , γ, γk , f(k) (θ), gk (θ) - неизвестные собственные значения и собственные функции соответственно, подлежащие определению. В силу (13) асимптотическое представление компонент тензора напряжений вне области деспригированного материала имеет вид σRR (R, θ) = Rs [(λ + 1)f (0) + (f (0) ) ] + Rs1 [(λ + 1)f (1) + (f (1) ) ]+ + Rs2 [(λ + 1)f (2) + (f (2) ) ] + . . . , σθθ (R, θ) = Rs λ(λ + 1)f (0) + Rs1 λ(λ + 1)f (1) + Rs2 λ(λ + 1)f (2) + . . . , σRθ (R, θ) = -Rs (λ + 1)(f (0) ) - Rs1 (λ + 1)(f (1) ) - Rs2 (λ + 1)(f (2) ) + . . . , где s = λ - 1, sk = λk - 1. Асимптотический анализ уравнений задачи позволяет установить, что справедливы равенства λk - λ = k(λ1 - λ) для всех k и асимптотическое представление интенсивности касательных напряжений принимает форму (0) (1) (2) σe (R, θ) = Rλ-1 σe (θ) 1 + Rλ1 -λ σe (θ) + R2(λ1 -λ) σe (θ) + . . . , где (0) σe = 2 ((1 - λ)f0 + (f0 )2 ) + (λ + 1)2 f0 - ((λ + 1)f0 f0 )(λ + 1)λf0 + 3λ2 (f0 )2 , (1) (1) (0) σe = fe /(σe )2 , (1) fe = ((λ + 1)f0 + f0 )((λ1 + 1)f1 + f1 ) + λ(λ + 1)λ1 (λ1+1 )f0 f1 - - ((λ + 1)f0 + f0 λ1 (λ1 + 1)f1 + (λ1 + 1)f1 + f1 )λ(λ + 1)f0 + 3λλ1 f0 f1 . Кинетическое уравнение накопления повреждений и гипотеза о том, что порядки малости слагаемых, последовательно появляющихся в этом уравнении, в правой части одинаковы, позволяют связать показатели степеней в асимптотических разложениях функции напряжения Эри и параметра сплошности (13): γ = (λ - 1)m, γk = (λ - 1)m + k(λ1 - 1). Анализ асимптотических разложений компонент тензора скоростей деформаций ползучести дает возможность установить, что λ1 - λ = γ = (λ - 1)m. Откуда легко найти, что γk = k(λ - 1)m, и получить следующие асимптотические представления компонент тензора скоростей деформаций ползучести вне области полностью поврежденного (диспергированного) материала: (0) (1) (2) εRR (R, θ) = R(λ-1)n εRR (θ) + R(λ-1)(n+m) εRR (θ) + R(λ-1)(n+2m) εRR (θ) + . . . , ˙ (0) (1) (2) (0) (1) (2) εRθ (R, θ) = R(λ-1)n εRθ (θ) + R(λ-1)(n+m) εRθ (θ) + R(λ-1)(n+2m) εRθ (θ) + . . . , ˙ εθθ (R, θ) = R(λ-1)n εθθ (θ) + R(λ-1)(n+m) εθθ (θ) + R(λ-1)(n+2m) εθθ (θ) + . . . , ˙ где угловые распределения главного члена асимптотического разложения компонент тензора скоростей деформаций определяются формулами (0) (0) εRR (θ) = (σe )n-1 (1 + λ)(2 - λ)f0 + 2f0 , (0) (0) εθθ (θ) = -2(σe )n-1 (1 + λ)(2λ - 1)f0 - (f0 ) , (0) (0) εRθ (θ) = -3(σe )n-1 λf0 ; коэффициенты первого слагаемого в асимптотическом разложении компонент тензора скоростей деформаций - (1) (0) εRR (θ) = (σe )n-1 2[(1 + λ1 )f1 + f1 ] - λ1 (1 + λ1 )f1 + (1) (0) + 2(1 + λ)f0 + f0 - λ(1 + λ)f0 (n + 1)σe + ng0 σe , (1) (0) εθθ (θ) = (σe )n-1 2λ1 (1 + λ1 )f1 - f1 - (1 + λ1 )f1 + (1) (0) + 2λ(1 + λ)f0 - f0 - (1 + λ)f0 (n + 1)σe + ng0 σe , (1) (0) (1) (0) εRθ (θ) = -3(σe )n-1 -λ1 f1 - λf0 [(n + 1)σe + ng0 ]σe . Из условия совместности деформаций (4) можно получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения угловых распределений компонент тензора напряжений. Для нахождения функции f0 (θ) получается нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение, совпадающее с рассматриваемым ранее уравнением (5): (0) (0) dεRθ d2 εRR (0) = - (λ - 1)n (λ - 1)n + 2 εRR . 2 (λ - 1)n + 1 dθ dθ2 (14) Относительно функций fk (θ) (k 1) из условия совместности (4) следуют линейные обыкновенные дифференциальные уравнения (k) 2 (λ - 1)(n + km) + 1 (k) dεRθ d2 εRR = - dθ dθ2 (k) - (λ - 1)(n + km) (λ - 1)(n + km) + 2 εRR . (15) Решение системы уравнений (14), (15) должно удовлетворять граничным условиям fk (θ = ±π) = 0 и fk (θ = ±π) = 0. Численное решение системы уравнений (14), (15) на отрезке [-π, π] разыскивалось с помощью описанного выше алгоритма в пакете Mathematica V. 5.1. В случае смешанного деформирования соображения симметрии и антисимметрии использованы быть не могут, поэтому необходимо искать решение уравнения (14) на отрезке [-π, π]. В условиях смешанного нагружения при численном решении уравнения (15) отрезок интегрирования [-π, π] можно разбить на два отрезка: [-π, 0] и [0, π]. Сначала уравнение (14) интегрируется на отрезке [0, π], и двухточечная краевая задача сводится к задаче Коши с начальными условиями. Найдено новое промежуточно-асимптотическое поведение напряжений в задаче о трещине нормального отрыва в среде с поврежденностью в связанной постановке. Конфигурации областей полностью поврежденного материала представлены на рис. 7-10. Здесь кривая 1 - контур области полностью поврежденного материала, полученный с помощью двучленного асимптотического разложения параметра сплошности ψ(R, θ) = 1 - Rγ g (0) (θ); кривая 2 - контур области полностью поврежденного материала, полученный с помощью трехчленного асимптотического разложения параметра сплошности ψ(R, θ) = 1 - Rγ g (0) (θ) - Rγ1 g (1) (θ). Так же была построена геометрия области полностью поврежденного материала для уточненного решения HRR, приведенного в работе [33] (рис. 11). Из рисунка видно, что конфигурации области полностью поврежденного материала, полученные с помощью двучленного и трехчленного асимптотического разложения, сильно отличаются друг от друга, что противоречит предположению, что каждое следующее слагаемое асимптотического разложения параметра сплошности должно быть лишь малым дополнением к предыду- Рис. 7. (online в цвете) Геометрия области полностью поврежденного материала для M p = 0.3, n = 6 [Figure 7. (color online) Geometry of the completely damage zone for M p = 0.3, n = 6] Рис. 8. (online в цвете) Геометрия области полностью поврежденного материала для M p = 0.5, n = 6 [Figure 8. (color online) Geometry of the completely damage zone for M p = 0.5, n = 6] Рис. 9. (online в цвете) Геометрия области полностью поврежденного материала для M p = 0.7, n = 6 [Figure 9. (color online) Geometry of the completely damage zone for M p = 0.7, n = 6] 374 О смешанном нагружении элементов конструкции с дефектом Рис. 10. (online в цвете) Геометрия области полностью поврежденного материала для M p = 0.9, n = 6 [Figure 10. (color online) Geometry of the completely damage zone for M p = 0.9, n = 6] Рис. 11. (online в цвете) Геометрия области полностью поврежденного материала для M p = 0.9, n = 6 для асимптотики Хатчинсона-Райса-Розенгрена [33] [Figure 11. (color online) Geometry of the completely damage zone for M p = 0.9, n = 6; Hutchinson-Rice-Rosengren asymptotic solution [33] ] щему. Таким образом в данной работе показано, что новая промежуточная асимтотика позволяет более точно построить конфигурации областей диспергированного материала. Выводы и обсуждение результатов. В настоящей работе рассмотрена задача отыскания распределения напряжений и сплошности у вершины трещины в условиях плоского напряженного состояния. Для решения задачи используется метод разложения по собственным функциям. Показано, что задача определения напряженно-деформированного состояния редуцируется к нелинейной задаче на собственные значения, численное решение которой получено. В статье развит численный метод нахождения всего спектра собственных значений задачи. Представленный метод применен к анализу полей напряжений и сплошности у вершины трещины в среде с поврежденностью. Принята гипотеза о существовании области полностью поврежденного материала и с помощью автомодельного представления решения найдена ее геометрия.

About the authors

Larisa V Stepanova

Samara State University

Email: stepanovalv@samsu.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.; stepanovalv@samsu.ru; Corresponding Author), Professor, Dept. of Mathematical Modeling in Mechanics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russian Federation

Ekaterina M Yakovleva

Samara State University

Email: adylinaem@samsu.ru
Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Modeling in Mechanics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russian Federation

References

Supplementary files