A non-local problem for a loaded mixed-type equation with a integral operator

Full Text

Первые фундаментальные исследования в теории нагруженных уравнений принадлежат А. М. Нахушеву [1, 2]. В этих работах даны наиболее общее определение нагруженного уравнения и подробная классификация нагруженных уравнений: нагруженных дифференциальных, интегральных, интегродифференциальных, функциональных уравнений, а также их многочисленные приложения. За этими исследованиями последовали работы А. М. Нахушева [3], В. А. Елеева и А. В. Дзарахохова [4, 5], В. М. Казиева [6, 7], И. Н. Ланина [8], Б. И. Исломова и Д. М. Курьязова [9, 10], М. И. Рамазанова [11] и К. У. Хубиева [12], посвященные краевым задачам для нагруженных уравнений гиперболического, параболического, эллиптического и смешанного типов второго порядка, в которых были получены интересные результаты. © 2016 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования А б д у л л а е в О. Х. Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа с интегральным оператором // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2016. T. 20, № 2. С. 220-240. doi: 10.14498/vsgtu1485. Сведения об авторе Обиджон Хайруллаевич Абдуллаев (к.ф.-м.н., доц.; obidjon.mth@gmail.com), доцент, каф. дифференциальных уравнений и математической физики. 220 Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа. . . В работах К. Б. Сабитова и Е. П. Мелишевой [13-15] исследованы разные задачи для нагруженного уравнения смешанного типа в четырехугольных областях. Приведенные публикации позволяют сделать вывод, что вопросы теории нагруженных уравнений являются актуальными, а теория нагруженных уравнений находит свое место в приложениях и быстро развивается. Однако краевые задачи для нагруженных уравнений смешанного типа с интегральным оператором дробного порядка в двусвязных областях до сих пор недостаточно исследованы. Отметим, что локальные и нелокальные краевые задачи для нагруженного уравнения эллиптико-гиперболического типа в двусвязной области были исследованы в работах [16, 17], в которых рассматриваются уравнения с двумя линиями изменения типа, при этом в нагруженной части участвует не дифференциальный оператор, а просто след самой функции. В настоящей работе рассматривается уравнение с одной линией изменения типа, у которого в нагруженной части присутствует дифференциальный оператор и используются нелокальные условия более общего вида. 1. Постановка задачи. В конечной двусвязной области Ω, описание которой приводится ниже, рассматривается нагруженное уравнение эллиптикогиперболического типа uxx + sgn(y)uyy + 1 - sgn(y) 2 n k=1 Rk x, u(x, 0) = 0 (1) c интегральным оператором Rk x, u(x, 0) = pk(x)D -αk x 1 u(x, 0), q x 1, rk(x)D -βk -1 xu(x, 0), -1 x -q, где D -αk ax f (x) = 1 Γ(αk) x a f (t) (x - t)1-αk dt, D -βk xb f (x) = 1 Γ(βk) b x f (t) (t - x)1-βk dt, (2) βk, αk - положительные константы. Область Ω при y > 0 ограничена следующими линиями: σ1 : x 2 + y2 = 1, σ2 : x 2 + y2 = q2, при y < 0 - следующими характеристиками уравнения (1): AjC1 : x + (-1) j y = (-1)j+1, BjC2 : x + (-1) j y = (-1)j+1 · q, где 0 < q < 1, j = 1, 2; A1(1; 0), A2(-1; 0), B1(q; 0), B2(-q; 0), C1(0; -1), C2(0; -q) . Введем следующие обозначения: θ1(x) = x + 1 2 + i · x - 1 2 , θ2(x) = x - 1 2 - i · x + 1 2 , i 2 = -1; Ω0 = Ω ∩ (y > 0), ∆1 = Ω ∩ (x + y > q) ∩ (y < 0), 221 А б д у л л а е в О. Х. ∆2 = Ω ∩ (y - x > q) ∩ (y < 0), D1 = Ω ∩ (-q < x + y < q) ∩ (x > 0), D2 = Ω ∩ (-q < y - x < q) ∩ (x < 0), D3 = Ω ∩ (-1 < x + y < -q) ∩ (-1 < y - x < -q), I2+j = x : 0 < (-1) j-1x < q , I j = x : q + 1 2 < (-1) j-1x < 1 , j = 1, 2. В области Ω для уравнения (1) ставится и исследуется следующая нелокальная задача. Задача I. Найти функцию u(x, y) со следующими свойствами : 1) u(x, y) ∈ C(¯Ω); 2) u(x, y) является регулярным решением уравнения (1) в области Ω\(y - x = ±q)\(x + y = ±q), кроме того, uy ∈ C(A1B1 ∪ A2B2), причем uy(x, -0) и uy(x, +0) могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы при x → ±q, а при x → ±1 ограничены; 3) на линиях изменения типа выполняются условия сопряжения uy(x, +0) = λj(x)uy(x, -0), (x, 0) ∈ AjBj, (3) 4) u(x, y) удовлетворяет краевым условиям u(x, y) σj = ϕj(x, y), (x, y) ∈ σj; (4) u(x, y) Bj C2 = g j (x), x ∈ I2+j; j = 1, 2 d dx u θ1(x) = a1(x)uy(x, 0) + b1(x)ux(x, 0)+ + c1(x)u(x, 0) + d1(x), x ∈ (q, 1), (5) d dx u θ2(x) = a2(x)uy(x, 0) + b2(x)ux(x, 0)+ + c2(x)u(x, 0) + d2(x), x ∈ (-1, -q), (6) где ϕj(x, y), λj(x), gj(x), aj(x), bj(x), cj(x), dj(x) (j = 1, 2) и pk(x), rk(x) - заданные функции, причем g1(0) = g2(0), g2(-q) = ϕ2(-q, 0), g1(q) = ϕ2(q, 0). Лемма. Общее решение уравнения (1) при y < 0 представимо в виде u(x, y) = f1(x + y) - f2(x - y) + ω(x), (7) где f1(x, y) и f2(x, y) - произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции, ω(x) = ω1(x), x 0, ω2(x), x 0, 222 Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа. . . причем ω1(x) = - 1 x dt 1 t n k=1 pk(z)D -αk z 1 u(z, 0)dz; (8) ω2(x) = - x -1 dt z -1 n k=1 rk(z)D -βk -1 z u(z, 0)dz. (9) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция (7) является решением уравнения (1), тогда, подставив (7) в (1), получим ω (x) + n k=1 Rk x, u(x, 0) = 0. (10) Очевидно, что функции (8) и (9) соответственно при x 0 и x 0 удовлетворяют уравнению (10). Теперь, наоборот, пусть u(x, y) - регулярное решение уравнения (1). Докажем, что функция (7) является общим решением уравнения (1). Нетрудно проверить, что функции (8) и (9) являются частными решениями уравнения uxx - uyy + n k=1 Rk x, u(x, 0) = 0 соответственно при x 0 и x 0 , а функция f1(x + y) - f2(x - y) является общим решением уравнения uxx - uyy = 0. Следовательно, функция (7) является общим решением уравнения (1). 2. Единственность решения задачи I. В силу (7) и (8), (9) утверждаем, что решение задачи Коши для уравнения (1) в области ∆j (j = 1, 2), удовлетворяющее условиям u(x, 0) = τj(x), x ∈ AjBj и uy(x, -0) = ν - j (x), x ∈ AjBj, имеет следующий вид: u(x, y) = 1 2 τ1(x + y) + τ1(x - y) - 1 2 x-y x+y ν - 1 (t)dt+ + 1 2 1 x+y dt 1 t n k=1 pk(z)D -αk z 1 τ1(z)dz + 1 2 1 x-y dt 1 t n k=1 pk(z)D -αk z 1 τ1(z)dz- - 1 x dt 1 t n k=1 pk(z)D -αk z 1 u(z, 0)dz, u(x, y) = 1 2 τ2(x + y) + τ2(x - y) - 1 2 x-y x+y ν - 2 (t)dt+ 223 А б д у л л а е в О. Х. + 1 2 x+y -1 dt t -1 n k=1 rk(z)D -βk -1 z τ2(z)dz + 1 2 x-y -1 dt t -1 n k=1 rk(z)D -βk -1 z τ2(z)dz- - x -1 dt z -1 n k=1 rk(z)D -βk -1 z u(z, 0)dz. Отсюда, учитывая, что u θ1(x) = 1 2 τ1(x) + τ1(1) - 1 2 1 x ν - 1 (t)dt+ + 1 2 1 x dt 1 t n k=1 pk(z)D -αk z 1 τ1(z)dz- - 1 (x+1)/2 dt 1 t n k=1 pk(z)D -αk z 1 u(z, 0)dz, u θ2(x) = 1 2 τ2(-1) + τ2(x) - 1 2 x -1 ν - 2 (t)dt+ + 1 2 x -1 dt t -1 n k=1 rk(z)D -βk -1 z τ2(z)dz- - (x-1)/2 -1 dt t -1 n k=1 rk(z)D -βk -1 z u(z, 0)dz, в силу условий (5) и (6) получим 1 2 τ1(x) + 1 2 ν - 1 (x) - 1 2 n k=1 1 x pk(z)D -αk z1 τ1(z)dz+ + 1 2 n k=1 1 (x+1)/2 pk(z)D -αk z1 τ1(z)dz = = a1(x)ν - 1 (x) + b1(x)τ1(x) + c1(x)τ1(x) + d1(x), 1 2 τ2(x) - 1 2 ν - 2 (x) + 1 2 n k=1 x -1 rk(z)D -βk -1 z τ2(z)dz- - 1 2 n k=1 (x-1)/2 -1 rk(z)D -βk -1 z τ2(z)dz = = a2(x)ν - 2 (x) + b2(x)τ2(x) + c2(x)τ2(x) + d2(x). 224 Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа. . . Следовательно, 2a1(x) - 1 ν - 1 (x) = = 1 - 2b1(x) τ1(x) - 2c1(x)τ1(x) - 1 2 n k=1 1 x pk(z)D -αk z 1 τ1(z)dz+ + 1 2 n k=1 1 (x+1)/2 pk(z)D -αk z 1 τ1(z)dz - 2d1(x), (11) 2a2(x) + 1 ν - 2 (x) = = 1 - 2b2(x) τ2(x) - 2c2(x)τ2(x) + 1 2 n k=1 x -1 rk(z)D -βk -1 z τ2(z)dz- - 1 2 n k=1 (x-1)/2 -1 rk(z)D -βk -1 z τ2(z)dz - 2d2(x). (12) Теорема 1. Если βk, αk > 0 и выполнены условия 2aj(x) + (-1) j > 0, cj(x) 0, λj(x) > 0, j = 1, 2; (13) pk(x) > 0, rk(x) > 0, k = 1, 2, . . . , n, (14) то решение u(x, y) задачи I единственно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Известно, что если решение однородной задачи (т. е. решение однородного уравнения с однородными условиями) является тождественным нулем, то решение соответствующей неоднородной задачи единственно. Следовательно, достаточно показать, что решение u(x, y) задачи I является тождественным нулем при ϕj(x, y) ≡ dj(x) ≡ 0. В силу принципа экстремума для эллиптических уравнений решение u(x, y) уравнения (1) достигает своих экстремальных значений лишь на границе области ¯Ω0, т. е. на ¯σ1 ∪ ¯σ1 ∪ A1B1 ∪ A2B2. Пусть ϕj(x, y) ≡ 0, тогда учитывая, что u(x, y) ∈ C(¯Ω), имеем τ1(1) = ϕ1(1, 0) = 0 и τ1(q) = ϕ2(q, 0) = 0. Далее предположим, что функция τ1(x) обращается в нуль хотя бы в одной точке интервала (q, 1), т. е. предположим, что xi (i = 1, m) - нули функции τ1(x). Рассмотрим отрезок [x1, x2] ⊂ A1B1. Так как τ1(x1) = τ1(x2) = 0, функция τ1(x) > 0 или τ1(x) < 0 для всех x ∈ (x1, x2). Предположим τ1 (x) > 0 (τ1 (x) < 0) , тогда можно показать, что внутри этого интервала функция τ1(x) не достигает своего положительного максимума (отрицательного минимума). Действительно, если в точке x0 ∈ (x1, x2) функция τ1(x) достигает своего положительного максимума (отрицательного минимума), то из (11) при d1(x) ≡ 0 получим 225 А б д у л л а е в О. Х. 2a1(x0) - 1 ν - 1 (x0) = -2c1(x0)τ1(x0)+ + 1 2 n k=1 1 (x0+1)/2 pk(z)D -αk z 1 τ1(z)dz - 1 x0 pk(z)D -αk z 1 τ1(z)dz . Отсюда, учитывая, что D -αk x 1 τ1(x) > 0 (D -αk x 1 τ1(x) < 0) при τ1(x) > 0 (τ1(x) < 0), в силу (13) (при j = 1), (14) получим, что ν- 1 (x0) 0 ν - 1 (x0) 0 , а это в силу (3) (учитывая, что λj(x) > 0) противоречит известному принципу Заремба-Жиро [19], согласно которому в точке положительного максимума (отрицательного минимума) должно выполняться условие ν1(x0) < 0 (ν1(x0) > 0) . Следовательно, τ1(x) не достигает своего положительного максимума (отрицательного минимума) в точке x0 ∈ (x1, x2). Таким образом, τ1(x) = 0 ∀x ∈ [x1, x2]. (15) Аналогично вышеизложенным методом доказывается, что τ1(x) не достигает своего положительного максимума и отрицательного минимума и в других интервалах, т. е. τ1(x) = 0. (16) Если x1 = q, т. е. τ (x1) = τ1(q) = ϕ2(q, 0) = 0, то из (15) и (16) следует, что τ1(x) = 0 ∀x ∈ A1B1, а при x1 = q функция τ1(x) не может иметь экстремума в интервале (q, x1), т. е. функция τ1(x) либо знакопостоянна в (q, x1), либо τ1(x) = 0 ∀x ∈ [q, x1]. Предположим, что функция τ1(x) знакопостоянна в (q, x1), тогда, принимая во внимание, что τ1(x1) = τ1(q) = 0, заключаем, что τ1(x) = 0 ∀x ∈ [q, x1]. (17) Точно так же, если xm = 1, т. е. τ1(xm) = τ1(1) = ϕ1(1, 0) = 0, то из (15) и (16) следует, что τ1(x) = 0 ∀x ∈ A1B1, а при xm = 1 функция τ1(x) не может иметь экстремума в интервале (xm, 1), т. е. функция τ1(x) либо знакопостоянна в xm = 1 , либо τ1(x) = 0 ∀x ∈ [xm, 1]. Предположим, что функция τ1(x) знакопостоянна в (xm, 1), тогда, принимая во внимание, что τ1(xm) = τ1(1) = 0, заключаем, что τ1(x) = 0 ∀x ∈ [xm, 1]. (18) В силу (16) и (17), (18) имеем τ1(x) = 0 ∀x ∈ [q, 1]. Аналогичным образом доказывается, что τ2(x) = 0 ∀x ∈ A2B2. Таким образом, показано, что τj(x) ≡ 0 ∀x ∈ AjBj при ϕj(x, y) ≡ dj(x) ≡ 0 (j = 1, 2) . Кроме этого, показано, что решение u(x, y) не достигает своего положительного максимума (отрицательного минимума) в интервалах (A1, B1) 226 Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа. . . и (A2, B2). Следовательно, учитывая, что u(x, y) ∈ C Ω0 , на основании краевых условий (4) при ϕj(x, y) ≡ 0 (j = 1, 2) имеем, что u(x, y) ≡ 0 в замкнутой области Ω0. В силу того, что τ1(x) ≡ τ2(x) ≡ 0, из функциональных соотношений (11) и (12) получим, что ν1(x) ≡ ν2(x) ≡ 0. Следовательно, решение задачи Коши для уравнения (1) в области ∆j тождественно равно нулю, т. е. u(x, y) ≡ 0 в областях ∆j. В силу единственности решения задачи Гурса имеем, что u(x, y) ≡ 0 в областях Dj (j = 1, 2, 3). Таким образом, u(x, y) ≡ 0 в области Ω и тем самым доказана единственность решения задачи I. 3. Существование решения задачи I. Теорема 2. Если выполнены условия теоремы 1 и условия ϕj(x, y) = (xy) γ ϕ j (x, y), ϕj(x, y) ∈ C (σj) , 2 < γ < 3, (19) aj(x), bj(x), cj(x), dj(x), λj(x) ∈ C Ij ∩ C 2 (I j ) , (20) то решение задачи I существует. Для доказательства теоремы 2 нам потребуются следующие соотношения, которые получаются из (11) и (12) в силу (2): 1 - 2b1(x) τ1(x) - 2c1(x)τ1(x)- - 1 2 n k=1 1 Γ(αk) 1 x pk(z)dz 1 z (t - z) αk-1τ 1(t)dt = 2a1(x) - 1 ν - 1 (x)- - 1 2 n k=1 1 Γ(αk) 1 (x+1)/2 pk(z)dz 1 z (t - z) αk-1τ 1(t)dt + 2d1(x), 1 - 2b2(x) τ2(x) - 2c2(x)τ2(x)+ + 1 2 n k=1 1 Γ(βk) x -1 rk(z)dz z -1 (z - t) βk-1τ 2(t)dt = 2a2(x) + 1 ν - 2 (x)+ + 1 2 n k=1 1 Γ(βk) (x-1)/2 -1 rk(z)dz z -1 (z - t) βk-1τ 2(t)dt + 2d2(x), или 1 - 2b1(x) τ1(x) + 1 2 n k=1 1 Γ(1 + αk) 1 x pk(z)dz 1 z (t - z) αk τ 1(t)dt- - 1 2 n k=1 1 Γ(1 + αk) 1 (x+1)/2 pk(z)dz 1 z (t - z) αk τ 1(t)dt + 2c1(x) 1 x τ1(t)dt = = 1 2 n k=1 τ1(1) Γ(1 + αk) 1 x pk(z)(1 - z) αk dz- - 1 2 n k=1 τ1(1) Γ(1 + αk) 1 (x+1)/2 (1 - z) αk p k (z)dz+ 227 А б д у л л а е в О. Х. + 2c1(x)τ1(1) + 2d1(x) + 2a1(x) - 1 ν - 1 (x), (21) 1 - 2b2(x) τ2(x) + 1 2 n k=1 1 Γ(1 + βk) x -1 rk(z)dz z -1 (z - t) βk τ 2(t)dt- - 1 2 n k=1 1 Γ(1 + βk) (x-1)/2 -1 rk(z)dz z -1 (z - t) βk τ 2(t)dt - 2c2(x) x -1 τ2(t)dt = = 1 2 n k=1 τ2(-1) Γ(1 + βk) (x-1)/2 -1 (z + 1) βk r k (z)dz- - 1 2 n k=1 τ2(-1) Γ(1 + βk) x -1 rk(z)(z + 1) βk dz- - 2c2(x)τ2(-1) + 2a2(x) + 1 ν - 2 (x) + 2d2(x). (22) 4. Основные функциональные соотношения. При исследовании существования решения поставленной задачи рассматриваются следующие случаи. Случай A. Пусть bj(x) = -1/2, тогда из (21) и (22) получим интегральные уравнения Вольтерры второго рода относительно τ j (x): τ1(x) + 1 x τ1(t)K11(x, t)dt+ + 1 (x+1)/2 τ1(t)K12(x, t)dt = f1(x), q x 1, (23) τ2(x) + x -1 τ2(t)K21(x, t)dt+ + (x-1)/2 -1 τ2(t)K22(x, t)dt = f2(x), -1 x -q, (24) где K11(x, t) = 2c1(x) 1 - 2b1(x) + 1 2 (1 - 2b1(x)) n k=1 1 Γ(1 + αk) t x (t - z) αk p k (z)dz, (25) K12(x, t) = - 1 2 (1 - 2b1(x)) n k=1 1 Γ(1 + αk) t (x+1)/2 (t - z) αk p k (z)dz, (26) K21(x, t) = 2c2(x) 2b2(x) - 1 + 1 2 (1 - 2b2(x)) n k=1 1 Γ(1 + βk) x t (z - t) βk r k (z)dz, (27) K22(x, t) = - 1 2 (1 - 2b2(x)) n k=1 1 Γ(1 + βk) (x-1)/2 t (z - t) βk r k (z)dz, (28) 228 Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа. . . f1(x) = 2a1(x) - 1 1 - 2b1(x) ν - 1 (x) - 1 2 n k=1 ϕ1(1, 0) Γ(1 + αk) 1 (x+1)/2 pk(z)(1 - z) αk 1 - 2b1(x) dz+ + 1 2 n k=1 ϕ1(1, 0) Γ(1 + αk) 1 x pk(z)(1 - z) αk 1 - 2b1(x) dz + 2(d1(x) + c1(x)ϕ1(1, 0)) 1 - 2b1(x) , (29) f2(x) = 2a2(x) + 1 1 - 2b2(x) ν - 2 (x) + 1 2 n k=1 ϕ1(-1, 0) Γ(1 + βk) (x-1)/2 -1 rk(z)(1 + z) βk 1 - 2b2(x) dz- - 1 2 n k=1 ϕ1(-1, 0) Γ(1 + βk) x -1 rk(z)(1 + z) βk 1 - 2b2(x) dz + 2(d2(x) - c2(x)ϕ1(-1, 0)) 1 - 2b2(x) . (30) Учитывая, что bj(x) = 1/2, в силу (19), (20) из (25), (26), (27) и (28) получим |K1j(x, t)| c1, |K2j(x, t)| c2, j = 1, 2. Учитывая класс функций ν- j (x), в силу (19), (20) из (29) и (30) получим (см. [18]) |fj(x)| const · x + (-1) j q -ε , 0 ε < 1, j = 1, 2. Заметим, что интегральные уравнения (23) и (24) можно переписать в следующем виде: τ1(x) + 1 x τ1(t)K1(x, t)dt = f1(x), τ2(x) + x -1 τ2(t)K2(x, t)dt = f2(x), где K1(x, t) = K11(x, t), x t (x + 1)/2, K11(x, t) + K12(x, t), (x + 1)/2 t 1; K2(x, t) = K22(x, t), (x - 1)/2 t x; K21(x, t) + K22(x, t), -1 t (x - 1)/2. Разрешая интегральные уравнения (23) и (24) методом последовательных приближений, находим τ1(x) = 2a1(x) - 1 1 - 2b1(x) ν - 1 (x) + 1 x 2a1(t) - 1 1 - 2b1(t) 11(x, t)ν - 1 (t)dt+ + 1 (x+1)/2 2a1(t) - 1 1 - 2b1(t) 12(x, t)ν - 1 (t)dt + F11(x), (31) τ2(x) = 2a2(x) + 1 1 - 2b2(x) ν - 2 (x) + x -1 2a2(t) + 1 1 - 2b2(t) 21(x, t)ν - 2 (x)dt+ 229 А б д у л л а е в О. Х. + (x-1)/2 -1 2a2(t) + 1 1 - 2b2(t) 22(x, t)ν - 2 (x)dt + F12(x), (32) где F11(x) и F12(x) - известные функции, которые зависят от заданных функций ϕj(x, y), gj(x), aj(x), bj(x), cj(x), dj(x) (j = 1, 2) и pk(x), rk(x), а 1j(x, t) и 2j(x, t) - резольвенты ядер K1j(x, t) и K1j(x, t) соответственно, причем | σj(x, t)| const, -1 (-1) σ t (-1) σ x -q, σ = 1, 2; j = 1, 2; |F1j(x)| const, -1 (-1) j x -q, j = 1, 2. Случай B. Пусть bj(x) ≡ -1/2 и cj(x) = 0 (j = 1, 2), тогда из (11) и (12) получим интегральные уравнения Вольтерры второго рода относительно τj(x): τ1(x) + 1 x ¯ K11(x, t)τ1(t)dt + 1 (x+1)/2 ¯ K12(x, t)τ1(t)dt = = 1 - 2a1(x) 2c1(x) ν - 1 (x) - d1(x) c1(x) , (33) τ2(x) + x -1 ¯ K21(x, t)τ2(t)dt + (x-1)/2 -1 ¯ K22(x, t)τ2(t)dt = = - 2a2(x) + 1 c2(x) ν - 2 (x) - d2(x) c2(x) , (34) где ¯ K11(x, t) = t x n k=1 (t - z) αk-1 4c1(x)Γ(αk) pk(z)dz, ¯ K12(x, t) = - t (x+1)/2 n k=1 (t - z) αk-1 4c1(x)Γ(αk) pk(z)dz, ¯ K21(x, y) = - x t n k=1 (z - t) βk-1 4c2(x)Γ(βk) rk(z)dz, ¯ K22(x, t) = (x-1)/2 t n k=1 (z - t) βk-1 4c2(x)Γ(βk) rk(z)dz, причём | ¯ Kσj(x, t)| const, -1 (-1) σ t (-1) σ x -q, σ = 1, 2. Разрешая интегральные уравнения (33) и (34), находим τj(x): τ1(x) = 1 - 2a1(x) 2c1(x) ν - 1 (x) + 1 x 1 - 2a1(t) 2c1(t) ¯ 11(x, t)ν - 1 (t)dt+ 230 Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа. . . + 1 (x+1)/2 1 - 2a1(t) 2c1(t) ¯ 12(x, t)ν - 1 (t)dt + F21(x), (35) τ2(x) = - 2a2(x) + 1 c2(x) ν - 2 (x) + x -1 2a2(t) + 1 c2(t) ¯ 21(x, t)ν - 2 (x)dt+ + (x-1)/2 -1 2a2(t) + 1 c2(t) ¯ 22(x, t)ν - 2 (x)dt + F22(x), (36) где F21(x) и F22(x) - известные функции, которые зависят от заданных функций, а ¯1j(x, t) и ¯2j(x, t) - резольвенты ядер ¯ K1j(x, t) и ¯ K2j(x, t) соответственно, причем | ¯ 1j(x, t)| const, | ¯ 2j(x, t)| const, |F2j(x)| const, j = 1, 2. Случай C. Пусть bj(x) ≡ -1/2 и cj(x) ≡ 0 (j = 1, 2), тогда из (11) и (12) получим ν - 1 (x) = 1 (x+1)/2 τ1(t)dt t (x+1)/2 n k=1 (t - z) αk-1 2Γ(αk) (2a1(x) - 1) pk(z)dz- - 1 x τ1(t)dt t x n k=1 (t - z) αk-1 Γ(αk) (2a1(x) - 1) pk(z)dz - 2d1(x) 2a1(x) - 1 , ν - 2 (x) = x -1 τ2(t)dt x t n k=1 (z - t) βk-1 2(2a2(x) + 1)Γ(βk) rk(z)dz- - (x-1)/2 -1 τ2(t)dt (x-1)/2 t n k=1 (z - t) βk-1 2(2a2(x) + 1)Γ(βk) rk(z)dz - 2d2(x) 2a2(x) + 1 . Заметим, что решение задачи Неймана для уравнения (1) в области Ω0 с краевыми условиями (4) и uy(x, +0) = ν + 1 (x), (x, 0) ∈ A1B1, uy(x, +0) = ν + 2 (x), (x, 0) ∈ A2B2 единственно и представимо в виде [18]: u(x, y) = σ1 ϕ1(ξ, η) ∂ ∂n G(ξ, η; x, y)dS - σ2 ϕ2(ξ, η) ∂ ∂n G(ξ, η; x, y)dS+ - 1 q ν + 1 (t)G(t, 0; x, y)dt + -q -1 ν + 2 (t)G(t, 0; x, y)dt, (37) где G(ξ, η; x, y) = 1 2π ln θ1 ln v+ln µ 2πir θ1 ln v+ln µ 2πir θ1 ln v-ln µ 2πir θ1 ln v-ln µ 2πir 231 А б д у л л а е в О. Х. - функция Грина задачи Неймана для уравнения uxx + uyy = 0 в области Ω0 [18]. Здесь v = ξ + iη, v = ξ - iη, µ = x + iy, µ = x - iy, r = 1 πi ln q, i2 = -1 , θ1(ξ) - тета-функция. Из (37) при y = 0 находим функциональные соотношения между τ+ 1 (x) и ν + 1 (x) на интервалах A1B1 и A2B2, принесенные из области Ω0: τ + 1 (x) = F1(x) - 1 q ν + 1 (t)G(t, 0; x, 0)dt+ + -q -1 ν + 2 (t)G(t, 0; x, 0)dt, q x 1, (38) τ + 2 (x) = F1(x) - 1 q ν + 1 (t)G(t, 0; x, 0)dt+ + -q -1 ν + 2 (t)G(t, 0; x, 0)dt, -1 x -q. (39) Здесь Fj(x) = σ1 ϕ1(ξ, η) ∂ ∂n G(ξ, η; x, 0)dS - σ2 ϕ2(ξ, η) ∂ ∂n G(ξ, η; x, 0)dS. 5. Исследование интегральных уравнений. В случае А дифференцированием (38) и (39) по x получим τj(x) = -q -1 ν + 2 (t) ∂G(t, 0; x, 0) ∂x dt - 1 q ν + 1 (t) ∂G(t, 0; x, 0) ∂x dt + Fj(x). (40) Исключая τ j (x) (j = 1, 2) из соотношений (31), (32) и (40) с учетом условия сопряжения (3), получим систему интегральных уравнений 2a1(x) - 1 1 - 2b1(x) ν - 1 (x) + 1 π 1 q ν - 1 (t)K1(x, t)dt+ + 1 x 2a1(t) - 1 1 - 2b1(t) 11(x, t)ν - 1 (t)dt + 1 (x+1)/2 2a1(t) - 1 1 - 2b1(t) 12(x, t)ν - 1 (t)dt = = 1 π -q -1 ν - 2 (t)K2(x, t)dt + F1(x) - F11(x), 2a2(x) + 1 1 - 2b2(x) ν - 2 (x) - 1 π -q -1 ν - 2 (t)K2(x, t)dt+ + x -1 2a2(t) + 1 1 - 2b2(t) 21(x, t)ν - 2 (t)dt + (x-1)/2 -1 2a2(t) + 1 1 - 2b2(t) 22(x, t)ν - 2 (t)dt = = - 1 π 1 q ν - 1 (t)K1(x, t)dt + F2(x) - F12(x), (41) где 232 Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа. . . Kj(x, t) = 2 ln |t| xλj(t) ln q + 1 πλj(t) 1 t - x - t 1 - tx + + 1 πλj(t) ∞ n=1 q2n t - q2nx - q2nt 1 - q2ntx - q-2nt 1 - q-2ntx + q-2n t - q2nx . Учитывая (13), систему (41) перепишем в следующем виде: ν - 1 (x) + 1 q K31(x, t)ν - 1 (t)dt = 1 π -q -1 ν - 2 (t)K2(x, t)dt + F ∗ 1 (x), ν - 2 (t) + -q -1 K32(x, t)ν - 2 (t)dt = - 1 π 1 q ν - 1 (t)K1(x, t)dt + F ∗ 2 (x), (42) где F ∗ 1 (x) = 1 - 2b1(x) 2a1(x) - 1 F1(x) - F11(x) , F ∗ 2 (x) = 1 - 2b2(x) 2a2(x) + 1 F2(x) - F12(x) ; K31(x, t) =                1-2b1(x) 2a1(x)-1 2a1(t)-1 1-2b1(t) 11(x, t) + 12(x, t) + + 1 π K1(x, t) , (x + 1)/2 t 1; 1-2b1(x) 2a1(x)-1 2a1(t)-1 1-2b1(t) 11(x, t) + 1 π K1(x, t) , x t (x + 1)/2; 1 π 1-2b1(x) 2a1(x)-1 K1(x, t), q t x; K32(x, t) =                1-2b2(x) 2a2(x)+1 2a2(t)+1 1-2b2(t) 21(x, t) + 22(x, t) - - 1 π K2(x, t) , -1 t (x - 1)/2; 1-2b2(x) 2a2(x)+1 2a1(t)+1 1-2b2(t) 21(x, t) - K2(x, t) , (x - 1)/2 t x; -1 π 1-2b2(x) 2a1(x)+1 · K2(x, t), x t -q. Заметим, что каждое уравнение системы (42) является сингулярным интегральным уравнением нормального типа, индекс которого равен нулю. Точно так же, как и в работах [17, 18], эта система известным методом Карлемана- Векуа [20] сводится к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода, разрешимость которой следует из единственности решения задачи I. Разрешая первое уравнение системы (42), находим ν - 1 (x) = F ∗ 1 (x) + 1 π -q -1 ν - 2 (t)K2(x, t)dt+ + 1 q F ∗ 1 (t) + 1 π -q -1 ν - 2 (z)K2(t, z)dz 31(x, t)dt, т.е. ν - 1 (x) = F ∗ 1 (x) + 1 q F ∗ 1 (t) 31(x, t)dt + 1 π -q -1 ν - 2 (z)K ∗ 2 (x, z)dz, (43) 233 А б д у л л а е в О. Х. где 31(x, t) - резольвента ядра K31(x, t), а K ∗ 2 (x, t) = K2(x, t) + 1 q K2(x, t)R31(x, t)dt, причем | 31(x, t)| const, |K∗ 2 (x, t)| const. Подставляя найденные значение ν 1(x), т. е. (43) во второе уравнение системы (42), получим интегральное уравнение относительно ν- 2 (x): ν - 2 (x) + -q -1 ν - 2 (t)K ∗ 2 (x, t)dt = ¯ F ∗ 2 (x), где ¯ F ∗ 2 (x) = F ∗ 2 (x) - 1 π 1 q F ∗ 1 (t)K1(x, t)dt - 1 π 1 q K1(x, t)dt 1 q F ∗ 1 (z) 31(t, z)dz, K ∗ 1 (x, z) = K32(x, z) + 1 π2 1 q K1(x, t)K ∗ 2 (t, z)dt, причем | ¯ F ∗ 2 (x)| const, |K∗ 1 (x, t)| const. После того как найдены ν- j (x), из (31), (32) и (3) находим τj (x) и ν + j (x). Следовательно, решение задачи I можно восстановить в области Ω0 как решение задачи Неймана (37), в областях ∆j (j = 1, 2) - как решение задачи Коши-Гурса, а в областях Dj (j = 1, 2, 3) - как решение задачи Гурса [18]. Итак, для случая А теорема 2 доказана. В случае B исключим τj(x) из (35), (36), (38) и (39) с учетом условия сопряжения: 1 - 2a1(x) 2c1(x) ν - 1 (x) + 1 π 1 q ν - 1 (t) ˜ K1(x, t)dt+ + 1 x 1 - 2a1(t) 2c1(t) ¯ 11(x, t)ν - 1 (t)dt + 1 (x+1)/2 1 - 2a1(t) 2c1(t) ¯ 12(x, t)ν - 1 (t)dt = = 1 π -q -1 ν - 2 (t) ˜ K2(x, t)dt + F1(x) - F21(x), 2a2(x) + 1 c2(x) ν - 2 (x) + 1 π -q -1 ν - 2 (t) ˜ K2(x, t)dt- - x -1 2a2(t) + 1 c2(t) ¯ 21(x, t)ν - 2 (x)dt - (x-1)/2 -1 2a2(t) + 1 c2(t) ¯ 22(x, t)ν - 2 (x)dt = = 1 π 1 q ν - 1 (t) ˜ K1(x, t)dt + F22(x) - F2(x). (44) 234 Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа. . . Здесь ˜ Kj(x, t) = G(x, 0; t, 0) λj(t) = ln x ln t λj(t) ln q + + 1 πλj(t) ln 1 - tx t - x + ∞ n=1 ln 1 - q2ntx t - q2nx · q2n - tx q2nt - x . Как и в случае A, учитывая, что 2aj(x) + (-1) j > 0, систему (44) перепишем в виде ν - 1 (x) + 1 q K41(x, t)ν - 1 (t)dt = = 1 π 2c1(x) 1 - 2a1(x) -q -1 ν - 2 (t) ˜ K2(x, t)dt + F ∗ 3 (x), ν - 2 (t) + -q -1 K42(x, t)ν - 2 (t)dt = = 1 π 2c2(x) 1 + 2a2(x) 1 q ν - 1 (t) ˜ K1(x, t)dt + F ∗ 4 (x), (45) где F ∗ 3 (x) = 2c1(x) 1 - 2a1(x) F1(x) - F11(x) , F ∗ 4 (x) = 2c2(x) 2a2(x) + 1 F22(x) - F2(x) ; K41(x, t) =                2c1(x) 1-2a1(x) 1-2a1(t) 2c1(t) ¯ 11(x, t) + ¯ 12(x, t) + + 1 π ˜ K1(x, t) , (x + 1)/2 t 1; 2c1(x) 1-2a1(x) 1-2a1(t) 2c1(t) 11(x, t) + 1 π ˜ K1(x, t) , x t (x + 1)/2; 1 π 2c1(x) 1-2a1(x) ˜ K1(x, t), q t x; K42(x, t) =                2c2(x) 1+2a2(x) 1 π ˜ K2(x, t)- - 1+2a2(t) 2c2(t) ¯ 21(x, t) + ¯ 22(x, t) , -1 t (x - 1)/2; 2c2(x) 1+2a2(x) 1 π ˜ K2(x, t) - 1+2a2(t) 2c2(t) ¯ 21(x, t) , (x - 1)/2 t x; 1 π 2c2(x) 1+2a2(x) ˜ K1(x, t), x t -q. Очевидно, что система (45) является системой интегральных уравнений Фредгольма второго рода, разрешимость которой следует из единственности решения задачи I. Теорема 2 далее доказывается, как в случае А. В случае C подставим (11), (12) в (38) и (39) соответственно и с учетом условия (3) получим 235 А б д у л л а е в О. Х. τj(x) = 1 q τ1(z)dz z q λ1(t)G(t, 0; x, 0)dt z t n k=1 (z - s) αk-1 2Γ(αk) (2a1(z) - 1) pk(s)ds- - 1 (q+1)/2 τ1(z)dz 2z-1 q λ1(t)G(t, 0; x, 0)dt× × z (t+1)/2 n k=1 (z - s) αk-1 2Γ(αk) (2a1(z) - 1) pk(s)ds+ + -q -1 τ2(z)dz -q z λ2(t)G(t, 0; x, 0)dt t z n k=1 (s - z) βk-1 2(2a2(t) + 1)Γ(βk) rk(s)ds- - -(q+1)/2 -1 τ2(z)dz -q 2z+1 λ2(t)G(t, 0; x, 0)dt× × (t-1)/2 z n k=1 (s - z) βk-1 2(2a2(t) + 1)Γ(βk) rk(s)ds + ˜ Fj(x). Далее после некоторых упрощений получим систему интегральных уравнений Фредгольма второго рода относительно τj(x): τ1(x) = 1 q τ1(z)K51(x, z)dz+ + -q -1 τ2(z)K52(x, z)dz + ˜ F1(x), q x 1, τ2(x) = -q -1 τ2(z)K52(x, z)dz+ + 1 q τ1(z)K51(x, z)dz + ˜ F2(x), -1 x -q. (46) Здесь K51(x, z) =                        n k=1 1 2Γ(αk) z q G(t,0;x,0) 2a1(t)-1 λ1(t)dt z t (z - s) αk-1p k (s)ds- - n k=1 1 2Γ(βk) 2z-1 q G(t,0;x,0) 2a1(t)-1 λ1(t)dt z (t+1)/2 (z - s) αk-1p k (s)ds, (1 + q)/2 t 1; n k=1 1 2Γ(αk) z q G(t,0;x,0) 2a1(t)-1 λ1(t)dt z t (z - s) αk-1p k (s)ds, q t (1 + q)/2; K52(x, z) =                        n k=1 1 2Γ(βk) -q z G(t,0;x,0) 2a2(t)+1 λ2(t)dt t z (s - z) βk-1r k (s)ds- - n k=1 1 2Γ(βk) -q 2z+1 G(t,0;x,0) 2a2(t)+1 λ2(t)dt (t-1)/2 z (s - z) βk-1r k (s)ds, -1 t -(1 + q)/2; -q z λ2(t)G(t, 0; x, 0)dt t z n k=1 (s-z) βk-1 2(2a2(t)+1)Γ(βk) rk(s)ds, -(1 + q)/2 t -q; 236 Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа. . . ˜ F1(x) = F1(x) + 1 q 2d1(t) 2a1(t) - 1 G(t, 0; x, 0)dt- - -q -1 2d2(t) 2a2(t) + 1 G(t, 0; x, 0)dt, q x 1, ˜ F2(x) = F2(x) + 1 q 2d1(t) 2a1(t) - 1 G(t, 0; x, 0)dt- - -q -1 2d2(t) 2a2(t) + 1 G(t, 0; x, 0)dt, -1 x -q. причем |K5j(x, z)| const, | ˜ Fj(x)| const, (j = 1, 2). Разрешая систему (46), однозначно определим τj(x), следовательно, из функциональных соотношений (11), (12) c учетом (3) находим ν- j (x) и ν + j (x). Далее, как и в случаях А и В, однозначно восстанавливается решение задачи I в каждой подобласти. Таким образом, теорема 2 полностью доказана

About the authors

Obidjon Kh Abdullayev

National University of Uzbekistan named after Mirzo Ulugbek

Email: obidjon.mth@gmail.com
Cand. Phys. & Math. Sci.; obidjon.mth@gmail.com), Associate Professor, Dept. of Differential Equations and Mathematical Physics VUZ Gorodok, Tashkent, 100125, Uzbekistan

References

Supplementary files