The Cauchy problem for a general hyperbolic differential equation of the n-th order with the nonmultiple characteristics

Full Text

Введение. Метод общих решений в применении к решению задачи Коши для дифференциальных уравнений гиперболического типа имеет большую историю. Известен классический результат решения задачи Коши для гиперболического уравнения второго порядка, получивший название формулы Даламбера [1-4]. В дальнейшем в своих исследованиях к этой теме обращались как отечественные, так и зарубежные ученые [5-9]. Некоторая часть работ авторов данной статьи также посвящена этой теме. 1. Предварительные сведения. В работе [10] приведено решение задачи Коши для гиперболического уравнения третьего порядка a0uxxx + a1uxxy + a2uxyy + a3uyyy = 0, (1) где a0, a1, a2, a3 - некоторые действительные положительные постоянные. Корни характеристического уравнения для (1) λ1, λ2, λ3 отличны от нуля и такие, что1 λ1 + λ2 + λ3 = - a1 a0 , λ1λ2 + λ2λ3 + λ1λ3 = a2 a0 , λ1λ2λ3 = - a3 a0 . Решением задачи Коши для уравнения (1) с условиями u(x, y)|y=0 = α(x), ∂u ∂n y=0 = β(x), ∂2u ∂n2 y=0 = γ(x), x ∈ R, где α(x), β(x), γ(x) ∈ C3(R), n = {0, 1} - нормаль к нехарактеристической прямой y = 0, является функция u(x, y) = 3 k=1 λ3 k λ3 k - λ 2 k ( a1 a0 - λk) + a3 a0 F (x, y, λk) ∈ C 3(R2), (2) где F (x, y, λ) = α x - y λ + a1 - λa0 a0 x- y λ 0 β(t)dt+ + a3 a0λ x- y λ 0 γ(t) x - y λ - t dt. Формула (2) в [10] была названа аналогом формулы Даламбера для гиперболического уравнения третьего порядка. В работе [11] рассмотрено дифференциальное уравнение гиперболического типа четвертого порядка в частных производных общего вида a0uxxxx + a1uxxxy + a2uxxyy + a3uxyyy + a4uyyyy = 0, (3) где a0, a1, a2, a3, a4 - действительные ненулевые постоянные. Характеристическое уравнение для уравнения (3) a0λ 4 - a 1λ 3 + a 2λ - a3λ + a4 = 0 имеет четыре различных действительных отличных от нуля корня λ1, λ2, λ3, λ4 таких, что λ1 + λ2 + λ3 + λ4 = - a1 a0 , λ1λ2 + λ1λ3 + λ1λ4 + λ2λ3 + λ2λ4 + λ3λ4 = a2 a0 , λ1λ2λ3 + λ1λ2λ4 + λ1λ3λ4 + λ2λ3λ4 = - a3 a0 , λ1λ2λ3λ4 = a4 a0 . В [11] поставлена и решена следующая задача Коши. 1 В работах [10, 11] имеется опечатка, касающаяся свойств корней характеристического уравнения для (1), которая не влияет на полученные результаты. Задача Коши. В плоскости R 2 найти регулярное решение u(x, y) ∈ C4(R2) уравнения (3), удовлетворяющее условиям u(x, y)|y=0 = α(x), ∂u ∂n y=0 = β(x), ∂2u ∂n2 y=0 = γ(x), ∂3u ∂n3 y=0 = σ(x), (4) где α(x), β(x), γ(x), σ(x) ∈ C4(R); n = {0, 1} - нормаль к нехарактеристической линии y = 0. Регулярным решением задачи (3), (4) является функция u(x, y) = 4 k=1 (-1)k+1λ3 k 4 m=1, m=k (λk - λm) F (x, y, λk), (5) где F (x, y, λ) = α x - 1 λ y - a1 + a0λk a0 x- y λk 0 β(t)dt- - a4 + a3λk a0λ 2 k x- y λk 0 γ(t) x - y λk - t dt+ + a4 2a0λk x- y λk 0 σ(t) x - y λk - t 2 dt. Решение (5) задачи (3), (4) получено в виде, аналогичном формуле Даламбера. Приведенные исследования можно обобщить на случай уравнения гиперболического типа порядка n. 2. Задача Коши для уравнения гиперболического типа порядка n общего вида с некратными характеристиками. Рассмотрим уравнения гиперболического типа порядка n a0uxxx...x + a1uxx...xy + . . . + an-1ux...yyy + anuyyy...y = 0, (6) где a0, a1, . . ., an-1, an - действительные ненулевые постоянные. Характеристическое уравнение для уравнения (6) a0λ n + a 1λ n-1 + . . . + a n-1λ + an = 0 имеет n различных действительных отличных от нулей корня λ1, λ2, . . . , λn таких, что λ1 + λ2 + . . . + λn = - a1 a0 , λ1λ2 + λ1λ3 + · · · + λn-1λn = a2 a0 , λ1λ2λ3 + λ1λ2λ4 + . . . + λn-2λn-1λn = - a3 a0 , . . . λ1λ2 · · · λn-1 + λ2λ3 · · · λn + · · · + λ1λ3 · · · λn = (-1) n-1 an-1 a0 , λ1λ2 · · · λn = (-1) n an a0 . 243 А н д р е е в А. А., Я к о в л е в а Ю. О. Тогда уравнение (6) является строго гиперболическим по Петровскому [12]. Общее решение уравнения (6) из класса n раз непрерывно дифференцируемых функций Cn(R2) будет представляться в виде [7, 11] u(x, y) = f1(y + λ1x) + f2(y + λ2x) + . . . + fn(y + λnx). Задача Коши. В плоскости R2 найти регулярное решение u(x, y) ∈ Cn(R2) уравнения (6), удовлетворяющее условиям u(x, y)|y=0 = τn(x), ∂u ∂n y=0 = τn-1(x), ∂2u ∂n2 y=0 = τn-2(x), . . . , ∂n-1u ∂nn-1 y=0 = τ1(x), (7) где τn(x), τn-1(x), τn-2(x), . . . , τ1(x) ∈ Cn(R), n = {0, 1} - нормаль к нехарактеристической линии y = 0. Регулярным в плоскости R2 решением задачи Коши (6), (7) будем называть функцию u(x, y) ∈ Cn(R2), имеющую в плоскости R2 все непрерывные частные производные, входящие в уравнение (6), и удовлетворяющую ему и условиям Коши (7) в обычном смысле. Ограничения на нехарактеристическую линию уравнения порядка n такие же, как и для уравнения второго порядка. Эта линия не может дважды пересекать любую характеристику из любого другого семейства [3, 4]. Определим функции f1, f2, . . . , fn так, чтобы удовлетворялись условия задачи Коши (7): f1(λ1x) + f2(λ2x) + f3(λ3x) + . . . + fn(λnx) = τn(x), f1(λ1x) + f2(λ2x) + f3(λ3x) + . . . + fn(λnx) = τn-1(x), . . . , f (n-1) 1 (λ1x) + f (n-1) 2 (λ2x) + f (n-1) 3 (λ3x) + . . . + f (n-1) n (λnx) = τ1(x). Продифференцировав каждое из указанных равенств, получим f (n-1) 1 (λ1x) + . . . + f (n-1) k (λkx) + . . . + f (n-1) n (λnx) = τ1(x), . . . , λ n-2 1 f (n-1) 1 (λ1x) + . . . + λ n-2 k f (n-1) k (λkx) + . . . + λ n-2 n f (n-1) n (λnx) = τ (n-2) n-1 (x), λ n-1 1 f (n-1) 1 (λ1x) + . . . + λ n-1 k f (n-1) k (λkx) + . . . + λ n-1 n f (n-1) n (λnx) = τ (n-1) n (x), или в компактном виде n k=1 λ (j-1) k f n-1 k (λkx) = τ (j-1) j (x), j = 1, n. (8) Определитель системы (8) является определителем Вандермонда [13] ∆ = 1 i<j n (λj - λi). 244 Задача Коши для уравнения гиперболического типа. . . При этом ∆k = 1 i<j n (λj - λi) (-1) n+k+1 an a0 τ1(x) + an-1 a0 τ2(x) + . . . + as a0 τ (n-s) n-s+1(x) + τ (n-1) n (x) . Разрешая систему (8) относительно неизвестных функций, получим f (n-1) k (λkx) = (-1) n+k+1 an a0 τ1(x) + (-1) n+k+1 an-1 a0 τ2(x) + . . . + (-1) n+k+1 as a0 τ (n-s) n-s+1(x) + . . . + (-1) n+k+1τ (n-1) n (x). (9) Проинтегрировав n - 1 раз левую часть равенства (9), получим x 0 . . . x 0 f (n-1) k (λks)ds = 1 λn-1 fk(x) - n-2 r=0 f (r)(0)xr . (10) Результатом n - 1 интегрирования правой части равенства (9) является следующее выражение: (-1)n+k+1 (n - 2)! an a0 x 0 τ1(s)(x - s) n-2ds+ + (-1)n+k+1 (n - 3)! an-1 a0 x 0 τ2(s)(x - s) n-3ds - τ 2(0) xn-2 (n - 2)! + . . . + + (-1) n+k+1 τ n(x) - τ (n-2) n (0) xn-2 (n - 2)! . (11) Из (10), (11) с учетом условий согласования получим fk(λkx) = λ n-1 k (-1)n+k+1 (n - 2)! an a0 x 0 τ1(s)(x - s) n-2ds+ + λ n-1 k (-1)n+k+1 (n - 3)! an-1 a0 x 0 τ2(s)(x - s) n-3ds + . . . + + λ n-1 k (-1) n+k+1τ n(x). (12) Подставляя в формулу общего решения найденные функции fk (12), получим u(x, y) = n k=1 fk(y + λkx). (13) Непосредственной подстановкой можно убедиться, что формула (13) удовлетворяет уравнению (6) и условиям Коши (7). Формулу (13) будем называть аналогом формулы Даламбера для гиперболического уравнения порядка n. Приведенные исследования позволяют сформулировать следующую теорему. Теорема. Если τ1(x), τ2(x), . . . , τn(x) ∈ C n(R), то существует единственное регулярное решение u(x, y) ∈ Cn(R 2) задачи Коши (6), (7), которое имеет вид (13)

About the authors

Aleksandr A Andreev

Samara State Technical University

Email: andre01071948@yandex.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; andre01071948@yandex.ru), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Julia O Yakovleva

Samara National Research University

Email: julia.yakovleva@mail.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; julia.yakovleva@mail.ru; Corresponding Author), Associate Professor, Dept. of Mathematics & Business Informatics 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

References

Supplementary files