A numerical method for the determination of parameters of the strain softening creep model

Full Text

Исследование поведения материалов в условиях ползучести является важной научно-технической задачей. Тенденции к уменьшению массы машин при улучшении их качества, а также стремление к наиболее полному использованию механических свойств материалов требуют совершенных методов расчета, в которых наиболее полно отражены механические свойства материалов [1]. Однако нелинейность определяющих уравнений ползучести и длительной прочности существенно затрудняет применение аналитических и повышает роль численных методов решения. При высоких температурах характерными особенностями деформационно-прочностного поведения материалов являются отсутствие начальной стадии ползучести (стадия упрочнения) и сравнительно небольшая продолжительность третьей стадии (стадия разупрочнения) [2]. Вместе с тем именно третья стадия ползучести как стадия, предшествующая разрушению, является определяющей при расчете срока службы проектируемого элемента конструкции по катастрофическому критерию отказа [3]. Большинство существующих методик определения параметров моделей ползучести разупрочняющихся материалов обладают одним существенным недостатком. Они не обеспечивают достаточную адекватность построенной модели данным эксперимента, вследствие чего обладают низкой помехозащищенностью и точностью оценок параметров модели [3-5]. Для устранения этого недостатка в данной работе предлагается новый численный метод нелинейного оценивания, в основе которого лежат разностные уравнения, описывающие диаграммы ползучести материала при различных постоянных номинальных напряжениях. Определяющие уравнения. При математическом моделировании процессов деформирования и разрушения материалов используем энергетический подход, предложенный в [5]. Этот подход базируется на принципе суперпозиции упругой, пластической деформаций и деформации ползучести, а также методе разделения деформации ползучести. Основной вариант определяющих соотношений представлен в [5]. Из этих соотношений с учетом отсутствия вязкоупругой и вязкопластической составляющих в деформации ползучести p вытекают уравнения p˙ = cσ m , σ = σ0 (1 + ω), ω˙ = ασ p, ˙ где σ0 и σ - соответственно номинальное и истинное напряжения (σ0 0); ω - параметр поврежденности; c и m - константы модели, при помощи которых описывается вторая стадия ползучести; α - параметр модели, контролирующий процесс разупрочнения материала на третьей стадии ползучести. Из этой системы дифференциальных уравнений для нулевых начальных условий можно построить временные зависимости деформации ползучести 1 m+1 p(t, σ0j ) = - ln 1 - αmcσ0j t , (1) σ0j mα которые могут быть использованы для описания третьей стадии ползучести при различных постоянных значениях номинального напряжения σ0j . Очевидно, что для третьей стадии ползучести важнейшим участком моделирования является промежуток времени непосредственно перед моментом разрушения материала, когда кривая ползучести практически совпадает с вертикальной асимптотой. Поэтому при выборе критерия «близости» модели 329 З о т е е в В. Е., М а к а р о в Р. Ю. к эксперименту необходимо в первую очередь ориентироваться на величину отклонения прогнозируемого времени разрушения от данных эксперимента. Это означает, что при оценке параметров математической модели (1) следует минимизировать норму разности по временной координате: ε 2 = t - tˆ 2 → min, M где t - j=1 Nj -мерный вектор данных эксперимента tk,j , k = 0, 1, 2, . . . , Nj - 1, вычисленный по M диаграммам ползучести, в каждой из которых M взято по Nj точек, j = 1,2, . . . , M ; tˆ - j=1 Nj -мерный вектор результатов вычислений tˆk,j , k = 0, 1, 2, . . . , Nj - 1, по модели (1) при значениях деформации ползучести pk,j в соответствующих точкам эксперимента (tk,j , pk,j ), k = = 0, 1, 2, . . . , Nj - 1, j = 1, 2, . . . , M . При этом зависимость tˆk,j от pk,j в явном виде можно получить из выражения (1): tˆk,j = 1 m+1 [1 - exp(-mασ0j pk,j )] , cmσ0j α k = 0, 1, 2, . . . , Nj - 1, j = 1, 2, . . . , M. (2) Таким образом, задача параметрической идентификации модели для описания третьей стадии ползучести сводится к минимизации нелинейной функции от трех переменных c, m и α: M Nj -1 tk,j - J= j=1 k=0 1 m+1 cmσ0j α 1 - exp(-mασ0j pk,j ) 2 → min . Данная задача относится к классу задач нелинейной регрессии, методы исследования которой описаны в [6] и сопряжены со сложностью поиска решения нормальной системы нелинейных уравнений. В данной работе предлагается новый численный метод решения задачи нелинейной регрессии, в основе которого лежат разностные уравнения, описывающие результаты эксперимента. Такой подход позволяет свести решение нелинейной задачи к итерационной процедуре, на каждом шаге которой оценки коэффициентов разностного уравнения вычисляются на основе линейной обобщенной регрессионной модели [7-10]. Численный метод оценки параметров рассматриваемой модели ползучести на основе разностных уравнений по совокупности M экспериментально построенных при σ0j = const кривых включает следующие шаги: - предварительная обработка выборки результатов наблюдений для каждой j-той кривой с целью равномерной дискретизации данных эксперимента по переменной pk,j = ∆pj k, где ∆pj - шаг (период) дискретизации; - построение разностных уравнений, связывающих несколько последовательных значений дискретной модели (2), коэффициенты которых известным образом связаны с параметрами c, m и α модели (1); - формирование обобщенной регрессионной модели, описывающей результаты эксперимента и линейной относительно коэффициентов разностного уравнения; 330 Численный метод определения параметров модели ползучести. . . - итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов обобщенной регрессионной модели; - вычисление оценок параметров деформации ползучести на основе среднеквадратичных оценок коэффициентов обобщенной регрессионной модели; - статистическая оценка погрешности результатов вычисления и построение доверительных интервалов для каждой из M кривых ползучести. Построение разностных уравнений и обобщенной регрессионной модели, описывающих результаты эксперимента. На первом шаге численного метода проводится предварительная обработка результатов эксперимента для каждой из M кривых ползучести, построенных при постоянных значениях номинального напряжения σ0j = const. Предварительная обработка заключается в сглаживании результатов наблюдений с помощью скользящих средних и формировании равномерной (по переменной pk,j с шагом ∆pj ) выборки экспериментальных данных заданного объема Nj . Как показали численно-аналитические исследования процедуры предварительной обработки, систематическая погрешность от сглаживания на основе скользящих средних в точках (pk,j , tk,j ) эксперимента на два порядка меньше, чем величина εk,j естественного разброса результатов наблюдений. В основе построения разностных уравнений, связывающих несколько последовательных значений дискретной модели tˆk,j = 1 m+1 [1 - exp(-mασ0j ∆pj k)] , cmσ0j α k = 0, 1, 2, . . . , Nj - 1, j = 1, 2, . . . , M, (3) лежит методика, описанная в [7]. Из формулы (3) при k = 2, 3, . . . , Nj , j = = 1, 2, . . . , M имеем следующее: m+1 ˆ cmσ0j αtk,j = 1 - exp(-mασ0j ∆pj k), m+1 ˆ cmσ0j αtk-1,j = 1 - exp[-mασ0j ∆pj (k - 1)] = = 1 - exp(-mασ0j ∆pj k) exp(mασ0j ∆pj ), m+1 ˆ cmσ0j αtk-2,j = 1 - exp [-mασ0j ∆pj (k - 2)] = = 1 - exp (-mασ0j ∆pj k) exp(2mασ0j ∆pj ). Отсюда, переходя к разностям, можно получить соотношение ln tˆk-1,j - tˆk-2,j = σ0j ∆pj λ1 , tˆk,j - tˆk-1,j k = 2, 3, . . . , Nj , j = 1, 2, . . . , M, где λ1 = mα. При k = 0 и k = 1 из формулы (3), соответственно, получаем tˆ0,j = 0, j = 1, 2, . . . , M 331 З о т е е в В. Е., М а к а р о в Р. Ю. и tˆ1,j = 1 m+1 cmσ0j α [1 - exp(-mασ0j ∆pj )] , j = 1, 2, . . . , M. Из последнего соотношения имеем m+1 ˆ exp(λ1 σ0j ∆pj )cmασ0j t1,j = exp(λ1 σ0j ∆pj ) - 1. Отсюда после логарифмирования получаем ln [exp(λ1 σ0j ∆pj ) - 1] - ln tˆ1,j = λ1 σ0j ∆pj + λ2 + λ3 ln σ0j , j = 1, 2, . . . , M, где λ2 = ln(cmα) и λ3 = m + 1. Таким образом, имеем систему разностных уравнений, связывающих последовательность tˆk-2,j , tˆk-1,j и tˆk,j дискретных значений модели (3), j = = 1, 2, . . . , M :  tˆ0,j = 0;     ln[exp(λ1 σ0j ∆pj ) - 1] - ln tˆ1,j = λ1 σ0j ∆pj + λ2 + λ3 ln σ0j ; (4)  tˆk-1,j - tˆk-2,j   = σ0j ∆pj λ1 , k = 2, 3, . . . , Nj - 1.  ln tˆk,j - tˆk-1,j Коэффициенты в системе разностных уравнений (4) связаны с параметрами деформации ползучести соотношениями λ1 = mα, λ2 = ln(cmα), λ3 = m + 1, которые позволяют по оценкам коэффициентов λj вычислять оценки параметров деформации ползучести. Используем соотношения tk,j = tˆk,j + εk,j , k = 0, 1, 2, . . . , Nj - 1, j = 1, 2, . . . , M, где tk,j - результаты эксперимента, т.е. значения переменной t при аргументе ∆pj k для каждой j-той кривой; εk,j - естественный разброс результатов наблюдения относительно модели (3). После линеаризации по переменным ε1,j , εk-2,j , εk-1,j и εk,j , в первом приближении получаем  ε1,j  ln tˆ1,j = ln (t1,j - ε1,j ) ≈ ln t1,j - ,   t1,j     tˆk-1,j - tˆk-2,j tk-1,j - tk-2,j - (εk-1,j - εk-2,j )   = ln ≈  ln ˆ ˆ tk,j - tk-1,j - (εk,j - εk-1,j ) tk,j - tk-1,j (5) tk-1,j - tk-2,j 1   ≈ ln + ε -  k-2,j  tk,j - tk-1,j tk-1,j - tk-2,j    tk,j - tk-2,j  1   - εk-1,j + εk,j . (tk-1,j - tk-2,j ) (tk,j - tk-1,j ) tk,j - tk-1,j Подставляя формулы (5) в систему уравнений (4), имеем математическую модель, которая в форме разностных уравнений описывает результаты эксперимента (pk,j , tk,j ), k = 0, 1, 2, . . . , Nj - 1, j = 1, 2, . . . , M . 332 Численный метод определения параметров модели ползучести. . . Полагая ε0,j = 0 с учетом нулевых начальных условий p0,j = 0, t0,j = 0, получаем  t0,j = 0;      ε1,j exp(λ1 σ0j ∆pj ) - 1   = λ1 σ0j ∆pj + λ2 + λ3 ln σ0j - ;   ln t1,j t1,j tk-1,j - tk-2,j 1  ln = σ0j ∆pj λ1 - εk-2,j +   tk,j - tk-1,j tk-1,j - tk-2,j    tk,j - tk-2,j 1   εk-1,j - εk,j , +  (tk-1,j - tk-2,j ) (tk,j - tk-1,j ) tk,j - tk-1,j (6) где k = 2, 3, . . . , Nj - 1, j = 1, 2, . . . , M. Система разностных уравнений (6) лежит в основе формирования обобщенной регрессионной модели. Введем следующие векторы и матрицы: - λ = λ1 λ2 λ3 - трехмерный вектор коэффициентов обобщенной регрессионной модели; M - bλ = b1 b2 · · · bM - блочный вектор размера j=1 Nj × 1 , состоящий из M векторов bj размера (Nj × 1) вида   t0,j    ln exp(λ1 σ0j ∆pj ) - 1    t1,j     t1,j - t0,j   ln   t2,j - t1,j   bj =   , j = 1, 2, . . . , M ; t2,j - t1,j   ln   t - t 3,j 2,j   ..     .    tNj -2,j - tNj -3,j  ln tNj -1,j - tNj -2,j - блочная матрица размера - F = F1 F2 · · · FM состоящая из M матриц Fj размера (Nj × 3) вида   0 0 0  σ0j ∆pj 1 ln σ0j    σ0j ∆pj 0 0  , j = 1, 2, . . . , M ; Fj =   .. .. ..   . . .  σ0j ∆pj - ε= ε1 ε2 · · · εM 0 ε0,j ε1,j M j=1 Nj ×3 , (8) 0 - блочный вектор естественного разброса данных эксперимента относительно модели (остатков) размера состоящий из M векторов εj размера (Nj × 1): εj = (7) ε2,j · · · εN -1,j , M j=1 Nj ×1 j = 1, 2, . . . , M ; 333 , З о т е е в В. Е., М а к а р о в Р. Ю. - η= η1 η2 · · · ηM T - блочный вектор «невязки» обобщенной регрессионной модели размера ηj размера (Nj × 1): ηj = η1,j η2,j η3,j M j=1 Nj × 1 , состоящий из M векторов · · · ηN,j , где η1,j = ε0,j = 0, η2,j = - j = 1, 2, . . . , M, ε1,j , t1,j ti-1,j - ti-3,j 1 εi-3,j + εi-2,j - ti-2,j - ti-3,j (ti-2,j - ti-3,j ) (ti-1,j - ti-2,j ) 1 - εi-1,j , i = 3, 4, . . . , Nj ; ti-1,j - ti-2,j  P1 Θ Θ . . . Θ Θ P2 Θ . . . Θ   Θ Θ P3 . . . Θ  - блочно-диагональная квадратная мат.. .. .. . . ..  . . . . .  Θ Θ Θ . . . PM ηi,j = -    - P =   рица линейного преобразования вектора остатков размера M j=1 Nj × × M j=1 Nj , состоящая из M матриц Pj размера (Nj × Nj ), j = 1, 2, . . . , M , и нулевых матриц Θ. Квадратные матрицы Pj - нижние треугольные трехдиагональные матрицы, элементы которых описываются следующим образом: - диагональные элементы:  1, i = 1;     1  - , i = 2; (9) pji,i = t1,j   1   , i = 3, 4, . . . , Nj ;  - ti-1,j - ti-2,j - поддиагональные элементы:  0, i = 2;  j t - t pi,i-1 = i-1,j i-3,j , i = 3, 4, . . . , Nj ;  (ti-2,j - ti-3,j ) (ti-1,j - ti-2,j ) (10) - подподдиагональные элементы: pji,i-2 = - 1 , ti-2,j - ti-3,j i = 3, 4, . . . , Nj . (11) Остальные элементы матриц Pj равны нулю: pjk,i = 0 при i > k и i < k - 2, k, i = 1, 2, . . . , Nj . 334 Численный метод определения параметров модели ползучести. . . Таким образом, с учетом введенных выше векторов и матриц получаем обобщенную регрессионную модель в виде bλ = F λ + η; η = P ε. (12) Итерационная процедура среднеквадратического оценивания коэффициентов обобщенной регрессионной модели. В соответствие с выбранным критерием «близости» математической модели (3) экспериментальным данным (pk,j , tk,j ) минимизируется остаточная сумма квадратов 2 Q= ε = t - tˆ 2 → min, которую с учетом системы (12) при невырожденной матрице P можно представить в виде Q = ε 2 = P -1 bλ - P -1 F λ 2 или Q = (bλ - F λ) Ω-1 (bλ - F λ) = bλ Ω-1 bλ - 2bλ Ω-1 F λ + λ F Ω-1 F λ, M M где Ω = P P - матрица размера j=1 Nj . Дифференцируя j=1 Nj × остаточную сумму квадратов по переменным λi и приравнивая нулю результаты дифференцирования, получаем систему нормальных уравнений, которая в векторной форме имеет вид (F - Wλ ) Ω-1 F λ = (F - Wλ ) Ω-1 bλ , где блочная матрица Wλ = W1 W2 · · · WM состоящая из M матриц размера (Nj × 3) вида      Wj =     0 σ0j ∆pj 1 - exp(-λ1 σ0j ∆pj ) 0 .. . 0 0 0 размера (13) M j=1 Nj ×3 ,   0 0    , 0 0   .. ..  . .  0 0 j = 1, 2, . . . , M. (14) Так как элементы wlj ,1 = σ0j ∆pj 1 - exp(-λ1 σ0j ∆pj ) матрицы Wλ и элементы blj = ln exp(λ1 σ0j ∆pj ) - 1 t1,j 335 З о т е е в В. Е., М а к а р о в Р. Ю. j-1 вектора bλ , где lj = 2 + k=1 Nk , j = 1, 2, . . . , M , l1 = 2, зависят от величины λ1 , система уравнений (13), вообще говоря, нелинейная. Однако она легко разрешается относительно вектора коэффициентов λ: λ = (F - Wλ ) Ω-1 F -1 (F - Wλ ) Ω-1 bλ . (15) Формула (15) лежит в основе итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания элементов вектора λ. Рекуррентное соотношение, описывающее итерационный процесс на основе (15), имеет вид ˆ (i+1) = (F - W (i) ) Ω-1 F λ ˆ -1 λ (i) (i) λ (i) λ (F - W ˆ ) Ω-1 b ˆ , i = 0, 1, 2, 3, . . . , (16) (i) где матрица Wb и вектор bλ на i-том шаге вычисляются на основе i-того ˆ (i) . приближения λ 1 ˆ (0) для В соответствии с моделью (6) оценку начального приближения λ 1 первого элемента вектора λ = λ1 λ2 λ3 можно найти из условия минимизации M Nj -1 ln j=1 k=2 tk-1,j - tk-2,j (0) - σ0j ∆pj λ1 tk,j - tk-1,j 2 → min . Отсюда получаем следующую оценку: ˆ (0) = λ 1 M j=1 Nj -1 tk-1,j -tk-2,j k=2 σ0j ∆pj ln tk,j -tk-1,j M 2 2 j=1 (Nj - 2)σ0j ∆pj . (17) Алгоритм итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов обобщенной регрессионной модели может быть описан следующим образом. 1. По формулам (8) и (9)-(11) вычисляются элементы матрицы регрессоров F и матрицы линейного преобразования вектора остатков P соответственно. ˆ (0) первой ком2. По формуле (17) вычисляется начальное приближение λ 1 поненты вектора коэффициентов λ системы разностных уравнений (6). ˆ (i) при i = 0 вычисляются 3. По формулам (7) и (14) при значении λ1 = λ 1 элементы вектора bλ и матрицы производных Wλ . 4. Вычисляются правая и левая части системы нормальных уравнений (13). ˆ (i+1) вектора коэффициентов 5. По формуле (16) находится приближение λ обобщенной регрессионной модели (12). ˆ (i+1) и λ ˆ (i) . Если |λ ˆ (i+1) - λ ˆ (i) | < δ, 6. Сравниваются по модулю величины λ 1 1 1 1 где δ > 0 - заданное значение предельной абсолютной погрешности, то процесс вычислений заканчивается и за вектор оценок коэффициенˆ (i+1) . Если тов обобщенной регрессионной модели принимается вектор λ (i+1) (i) ˆ ˆ | δ, то, увеличив i на единицу, следует вернуться к шагу |λ -λ 1 1 3 данного алгоритма вычислений. 336 Численный метод определения параметров модели ползучести. . . По найденным оценкам коэффициентов системы разностных уравнений (6) оценки параметров модели (1) можно вычислить по формулам cˆ = ˆ2 exp λ , ˆ1 λ ˆ 3 - 1, m ˆ =λ α ˆ= ˆ1 λ ˆ3 - 1 λ (18) . Апробация численного метода оценки параметров модели ползучести разупрочняющегося материала на основе разностных уравнений. Описанный выше алгоритм численного метода оценки параметров модели (1) был апробирован по данным работы [11] при обработке пяти экспериментальных кривых ползучести алюминиевого сплава Д16Т (пруток диаметром 40 мм) при температуре 250 ℃ при испытаниях на растяжение и сжатие (при постоянных номинальных напряжениях σ0 = 98.1, 88.3, 78.5, 73.6 и 68.6 МПа. На этапе предварительной обработки экспериментальных данных были сформированы равномерные по координате p выборки равного объема Nj = 20, j = 1, 2, 3, 4, 5 со следующими периодами дискретизации: ∆p1 = 0.00522, ∆p2 = 0.00572, ∆p3 = 0.00647, ∆p4 = 0.00699 и ∆p5 = 0.00633. При этом установлено, что предварительная обработка результатов эксперимента на основе сглаживания с помощью скользящего среднего практически не меняет исходные диаграммы ползучести. В процессе реализации описанного выше алгоритма численного метода оценки параметров модели (1) получены следующие промежуточные результаты. (0) Начальное приближение λ1 первой компоненты вектора коэффициентов системы разностных уравнений, вычисленное по формуле (17), следующее: ˆ (0) = λ 1 5 j=1 tk-1,j -tk-2,j 19 k=2 σ0j ∆pj ln tk,j -tk-1,j 2 ∆p2 18 5j=1 σ0j j = 0.6471. В соответствии с алгоритмом была реализована итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов обобщенной регрессионной модели, в результате после 5 итераций были получены коэффициенты обобщенной регрессионной модели: ˆ 1 = 0.861, λ ˆ 2 = -29.708, λ ˆ 3 = 5.4449. λ Отсюда, используя соотношения (18), находим оценки параметров модели (1): cˆ = ˆ2) exp(λ = 1.46 · 10-13 , ˆ λ1 ˆ 3 - 1 = 4.449, m ˆ =λ α ˆ= ˆ1 λ ˆ3 - 1 λ = 0.192. Таким образом, построенная по экспериментальным кривым ползучести математическая модель ползучести разупрочняющегося материала на примере алюминиевого сплава Д16Т при температуре 250 ℃ имеет вид tˆk,j = 1 5.449 1 - exp(-0,861σ0j pk,j ) . 1.2543 · 10-13 σ0j (19) 337 З о т е е в В. Е., М а к а р о в Р. Ю. Исходя из этого в качестве зависимости деформации ползучести от времени будем использовать функцию вида p(t, σ0j ) = - 1 5.449 ln 1 - 2.254 · 10-13 σ0j t . 0.861σ0j Остаточные суммы квадратов для каждой j-той кривой ползучести в относительных единицах составили: 24.2, 8.8, 7.8, 11.3 и 4.9 % соответственно. По совокупности всех кривых остаточная сумма квадратов в относительных единицах равна 8.3%. Коэффициент детерминации R2 , который косвенно может служить оценкой адекватности построенной модели экспериментальным данным по совокупности всех кривых ползучести, составляет R2 = 0.96, что свидетельствует о высокой степени адекватности построенной модели (19) данным эксперимента [11]. На основе статистического анализа результатов математического моделирования найдены оценки погрешности для параметров модели и построены доверительные интервалы для кривых ползучести. На рисунке при различных номинальных напряжениях σ0j изображены: - экспериментальные кривые (точки); - кривые (сплошные линии), построенные на основе разработанной модели (19); - границы доверительных интервалов (штриховые линии), вычисленные с использованием неравенства Чебышева при доверительной вероятности β = 0.97. Расчетные доверительные интервалы на основе построенной модели ных значениях номинального напряжения: σ01 = 98.1 МПа (a), σ02 σ03 = 78.5 МПа (c) [Calculated confidence intervals on the basis of the (19) at different values of the nominal stress: σ01 = 98.1 MPa (a), σ02 σ03 = 78.5 MPa (c)] (19) при различ= 83.3 МПа (b), constructed model = 83.3 MPa (b), Выводы. Таким образом, разработан новый численный метод оценивания параметров модели ползучести, описывающей разупрочнение на третьей стадии, по совокупности кривых ползучести, построенных при обработке результатов эксперимента для различных значений номинального напряжения. 338 Численный метод определения параметров модели ползучести. . . В основе метода лежат разностные уравнения, описывающие результаты эксперимента, сформированная на их базе обобщенная регрессионная модель, коэффициенты которой известным образом связаны с параметрами модели ползучести, и итерационная процедура среднеквадратического оценивания коэффициентов обобщенной регрессионной модели. Такой подход к решению задачи нелинейного оценивания позволяет минимизировать величину отклонения модели от данных эксперимента и тем самым обеспечить высокую точность оценок параметров модели. Результаты апробации нового численного метода при обработке результатов эксперимента в форме кривых ползучести алюминиевого сплава Д16Т при температуре 250 ℃ подтвердили достоверность полученных соотношений и выводов, а также высокую эффективность численного метода в задачах оценивания параметров рассматриваемой модели ползучести.

About the authors

Vladimir E Zoteev

Samara State Technical University

Email: zoteev-ve@mail.ru
(Dr. Techn. Sci.; zoteev-ve@mail.ru; Corresponding Author), Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science. 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Roman Yu Makarov

Samara State Technical University

Email: makaroman1@yandex.ru
(makaroman1@yandex.ru), Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files