On decisions of Schwartz' problem for J-analytic functions with the same Jordan basis of real and imaginary parts of J-matrix

Full Text

Введение. Обобщением понятия голоморфных функций являются функции, аналитические по Дуглису (A. Douglis) [1-3]. Определение 1 [1]. Пусть матрица J ∈ Cn×n не имеет вещественных собственных чисел. Аналитической по Дуглису (или J-аналитической с матрицей J) называется комплексная n-вектор-функция φ = φ(z) ∈ C 1 (D), для которой в области D ⊂ R2 выполнено уравнение ∂φ ∂φ -J · = 0, ∂y ∂x z ∈ D. (1) © 2016 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования Н и к о л а е в В. Г. О решениях задачи Шварца для J-аналитических функций с одинаковым жордановым базисом действительной и мнимой части матрицы J // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2016. T. 20, № 3. С. 410-422. doi: 10.14498/vsgtu1491. 410 О решениях задачи Шварца для J-аналитических функций. . . Определение 2. В скалярном случае при J = λ, Im λ = 0 функцию fλ (z) ∈ C 1 (D), для которой в области D ⊂ R2 выполнено уравнение ∂fλ ∂fλ -λ· = 0, ∂y ∂x z ∈ D, (2) назовем λ-голоморфной в области D. При λ = i функции (2) совпадают с обычными голоморфными. Определение 3. Будем говорить, что функция φ(z) соответствует матрице J, если выполнено уравнение (1). Как показано в [2], комплексная система дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (1) является эллиптической. Рассмотрим для системы (1) следующую граничную задачу Шварца [1, 2]. Задача Шварца. Пусть конечная односвязная область D ⊂ R2 ограничена гладким контуром Γ. Требуется найти J-аналитическую с матрицей J в области D функцию φ(z) = u(x, y) + iv(x, y) ∈ C(D), которая удовлетворяет краевому условию (3) Re φ(z) Γ = ϕ(z), где вещественная граничная вектор-функция ϕ(z) = ϕ1 , . . . , ϕn ∈ C(Γ) задана. При ϕ ≡ 0 будем говорить об однородной задаче Шварца. Очевидными решениями последней служат постоянные векторы φ = ic, c ∈ Rn , которые принято называть тривиальными решениями. Отметим, что задача Шварца (3) равносильна краевым задачам для многих видов эллиптических систем дифференциальных уравнений в частных производных первого и второго порядков [3-9]. Эти системы, в свою очередь, имеют широкое применение в теории упругости [10-13], поэтому изучение задачи Шварца имеет как чисто теоретический, так и прикладной интерес. Как известно, при n = 1 однородная задача (3) имеет только тривиальные решения при любом типе границы Γ области D. Неоднородную задачу Шварца удобно рассматривать [2] в областях, ограниченных контуром Ляпунова. Поэтому приведем следующее известное Определение 4 [14]. Гладкая кривая Γ ⊂ R2 называется кривой Ляпунова, если существуют такие два вещественных числа a > 0 и b, 0 < b для любых двух точек z1 , z2 ∈ Γ выполняется условие Ляпунова 1, что |θ| < a · |z1 - z2 |b , где θ - угол между касательными или нормалями к Γ в точках z1 , z2 . Примерами кривых Ляпунова могут служить окружность и эллипс. При n = 1 имеет место следующая теорема существования и единственности решения неоднородной задачи Шварца. Теорема 1 (Н. И. Мусхелишвили, [14]). Пусть Γ = ∂D - контур Ляпунова, граничная функция ϕ(z) принадлежит классу Гельдера H σ (Γ), 0 < σ < 1. Тогда можно построить единственную (с точностью до постоянной) голоморфную в D функцию f (z) ∈ H σ (D) по условию Re f (z) Γ = ϕ(z). 411 Н и к о л а е в В. Г. Обозначим λ = a+bi, a, b ∈ R, b = 0. Как известно, голоморфная функция f (x, y) становится λ-голоморфной fλ (x , y ) в результате линейного обратимого преобразования x = x + ay , y = by . Поэтому теорема 1 справедлива и для λ-голоморфных функций fλ (z). Однако при n 2 вопрос существования и единственности решений задачи Шварца уже намного сложнее. В частности, известны примеры нетривиальных решений однородной задачи Шварца [15]. Приведем один из них. Пример 1. Пусть 1 - 2i 48 - 8i 1 2 + 8i 2 J= φ(z) = , 12x2 + 32xy + 46y 2 - 1 + (-x2 + 22xy + 27y 2 ) · i (3x2 + 8xy + 30y 2 ) · 4i . Функция φ(z) соответствует матрице J, которая имеет разные собственные числа λ = 2 + 4i, µ = 1 + 2i. Как нетрудно видеть, Re φ(z) Γ = 0 на эллипсе Γ: 12x2 + 32xy + 46y 2 = 1. 1. Редукция задачи Шварца к задаче Дирихле для эллиптических систем. Ниже (теорема 4) будет доказан аналог теоремы 1 для вектор-функций, аналитических по Дуглису со специальной матрицей J при n 2. Прежде чем сформулировать данную теорему, выполним следующее преобразование задачи Шварца. Обозначим φ = u + iv, где u = Re φ и v = Im φ - вещественные n-векторфункции, и подставим матрицу A, B ∈ Rn×n , J = A + Bi, det B = 0 (4) в уравнение (1). Приравнивая к нулю действительные и мнимые части, получим ∂u ∂v ∂v ∂v ∂u ∂u -A +B = 0, -A -B = 0. (5) ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x Из системы (5) выразим частные производные функции v: ∂v ∂u ∂u = B -1 A - B -1 , ∂x ∂x ∂y ∂u ∂v ∂u = B + AB -1 A - AB -1 . ∂y ∂x ∂y (6) Из (6) с учетом условия замкнутости имеем ∂ ∂u ∂u B -1 A - B -1 ∂y ∂x ∂y или B · (B + AB -1 A) = ∂ ∂x B + AB -1 A ∂u ∂u - AB -1 , ∂x ∂y ∂2u ∂2u ∂2u -1 -1 - B · (AB + B A) + = 0. ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 (7) В работе [2] показано, что вещественная система (7) будет эллиптической. Как нетрудно видеть, имеет место 412 О решениях задачи Шварца для J-аналитических функций. . . Лемма 1. Если существует решение φ = u + iv задачи Шварца (3), соответствующее данной матрице J = A + Bi, то функция u(x, y) будет решением задачи Дирихле u(x, y) Γ = ϕ(z) (8) для системы (7). В обратную сторону утверждение леммы 1 не всегда верно. Но в частных случаях приведенная выше редукция уравнения (1) к уравнению (7) обратима - на этом будет основано доказательство основой теоремы 4. 2. Основная теорема. Сначала приведем формулировки двух теорем, которые будут использованы ниже, а также сделаем вспомогательные построения. Теорема 2 (А. П. Солдатов, [2]). Пусть Γ = ∂D - кривая Ляпунова и пусть (Im λ) · (Im µ) < 0. Тогда для любой граничной функции ϕ(z) из класса Гельдера H σ (Γ), 0 < σ < 1, решение задачи fλ (z) + fµ (z) = ϕ(z), z∈Γ в классе функции fλ (z), fµ (z) ∈ H σ (D) существует и единственно (с точностью до константы). Теорема 3 (Е. Ю. Панов, [16]). Пусть Γ = ∂D - жорданова кривая. Пусть λ- и µ-голоморфные функции fλ (z), fµ (z) ∈ Lip(D), причем (Im λ) × × (Im µ) < 0 и fλ (z) = fµ (z) на Γ. Тогда fλ (z) = fµ (z) ≡ const. Предположим далее, что вещественные матрицы A, B в (4) обладают следующим свойством: для некоторой матрицы Q ∈ Cn×n матрицы J1 = Q-1 AQ и J2 = Q-1 BQ - нижне-треугольные. Матрица Q в частном случае может быть жордановым базисом для A, B (но может им и не быть). Приведем наиболее простой пример таких матриц: J = αE + Ai и J = A + αiE, где α ∈ R, A ∈ Rn×n . Пусть J = A - Bi - сопряжение матрицы J = A + Bi по аналогии с сопряжением комплексного числа. Очевидно, что матрицы J = Q-1 JQ = Q-1 AQ + Q-1 BQi = J1 + J2 i, J = Q-1 JQ = Q-1 AQ - Q-1 BQi = J1 - J2 i (9) тоже будут нижне-треугольными. Обозначим через λ1k , λ2k собственные числа матриц Q-1 JQ, Q-1 JQ, соответственно, стоящие на k-той строке матриц J , J в (9). Пусть выполнены следующие неравенства: (Im λ1k ) · (Im λ2k ) < 0, k = 1, . . . , n. (10) Прежде чем сформулировать теорему 4, преобразуем систему неравенств (10) к равносильной форме (11). Она не будет использована при доказательстве теоремы 4, но удобна для практических вычислений. Обозначим через λk , µk , k = 1, . . . , n, собственные числа матриц J1 , J2 в (9) соответственно (то есть собственные числа матриц A и B), стоящие на k-той строке. Тогда с учетом (10) имеем: 413 Н и к о л а е в В. Г. 0 > (Im λ1k ) · (Im λ2k ) = Im (λk + iµk ) · Im (λk - iµk ) = = (Im λk + Re µk ) · (Im λk - Re µk ) = (Im λk )2 - (Re µk )2 , что равносильно системе неравенств |Im λk | < |Re µk | , k = 1, . . . , n. (11) Покажем, что справедлива Теорема 4. Пусть матрица J = A + Bi, A, B ∈ Rn×n , причем матрицы J1 = Q-1 AQ и J2 = Q-1 BQ - нижне-треугольные в некотором базисе Q. Пусть также выполнены неравенства (10), или, что то же, (11). Тогда 1) если жордановы формы матриц A, B диагональны, Q - их жорданов базис и Γ = ∂D - контур Ляпунова, то для любой граничной векторфункции ϕ(z) ∈ H σ (Γ), 0 < σ < 1 решение неоднородной задачи Шварца (3) в классе функций φ(z) ∈ H σ (D) существует и единственно (с точностью до вектор-константы); 2) если жордановы формы матриц A, B произвольны и Γ = ∂D - жорданова кривая, то решения однородной (ϕ ≡ 0) задачи Шварца (3) в классе функций φ(z) ∈ Lip(D) - только тривиальные, то есть φ ≡ ic, c ∈ Rn . Таким образом, неравенства (10), (11) можно считать критерием (достаточным условием) существования и единственности решений задачи Шварца для функций, J-аналитических с данным типом матриц. Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что из (10) вытекает условие det B = 0, которое необходимо для применения формулы (7). «От противного»: пусть det B = 0 при выполнении (10). Тогда в (9) матрица J2 имеет на главной диагонали хотя бы один нуль. Если при этом матрицы J1 , J2 содержат нуль на одной и той же строке, то det J = det J = 0, что противоречит определению матрицы J. Если же на некоторой строке матрица J2 имеет нуль, а J1 - ненулевой элемент, то получаем противоречие (10). Следовательно, det B = 0. Сделаем в (7) подстановки A = QJ1 Q-1 , B = QJ2 Q-1 , тогда (7) примет следующий вид: ∂2u - ∂x2 ∂2u ∂2u - QJ2 Q-1 QJ1 Q-1 QJ2-1 Q-1 + QJ1 Q-1 + 2 = ∂x∂y ∂y 2u 2u ∂ ∂ ∂2u = Q J22 + J1 Q-1 2 - 2QJ1 Q-1 + 2 = 0. (12) ∂x ∂x∂y ∂y QJ22 Q-1 + QJ2 Q-1 QJ1 Q-1 QJ2-1 Q-1 QJ1 Q-1 В (12) символами J1 = J2 J1 J2-1 J1 , J1 = 1 J2 J1 J2-1 + J1 2 обозначены нижне-треугольные матрицы, которые на соответствующих строках главной диагонали имеют те же элементы, что и матрицы J12 , J1 соответственно (но в общем случае не равны им). 414 О решениях задачи Шварца для J-аналитических функций. . . Сделаем в нижнюю строку (12) подстановку u = Q · p = Q · (p1 , . . . , pn ) , (13) где pk (z), k = 1, . . . , n - скалярные комплексные функции. Затем умножим (12) слева на Q-1 : J22 + J1 ∂2p ∂2p ∂2p - 2J + = 0. 1 ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 (14) Пусть ξ1k , ξ2k ∈ C - собственные числа матриц A и B соответственно, стоящие на k-той строке матриц J1 , J2 в (9). Пусть также Lk (·) - линейные функции своих переменных. Тогда систему (14) можно записать в следующем виде: ∂ 2 p1 ∂ 2 p1 ∂ 2 p1 - 2ξ11 + = 0, k = 1; 2 ∂x ∂x∂y ∂y 2 ∂ 2 pk ∂ 2 pk ∂ 2 pk 2 2 - 2ξ + = ξ1k + ξ2k 1k ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 ∂ 2 p1 ∂ 2 pk-1 ∂ 2 p1 ∂ 2 pk-1 = Lk ,..., , ,..., , 2 2 ∂x ∂x ∂x∂y ∂x∂y 2 2 ξ11 + ξ21 (15) k = 2, . . . , n. Для левой части каждого из уравнений (15) составим характеристический полином (см. [16]) 2 2 = 0, + ξ2k λ2 - 2ξ1k λ+ ξ1k k = 1, . . . , n, и найдем его корни: λ2k = ξ1k - i ξ2k , λ1k = ξ1k + i ξ2k , ξ1k , ξ2k ∈ C, k = 1, . . . , n. (16) В силу (9) λ1k в (16) будет собственным числом матрицы J, а λ2k - собственным числом матрицы J, причем оба этих числа стоят в k-той строке матриц J , J соответственно. Как показано в [16], если правая часть уравнения вида (15) равна нулю и при этом λ1k = λ2k в (16), то общее решение такого однородного уравнения с учетом обозначений (2) и (16) имеет вид pk (z) = fλ1k (z) + fλ2k (z), k = 1, . . . , n, (17) то есть является суммой произвольных λ1k - и λ2k -голоморфных функций (см. определение 2). С учетом подстановки (13) граничное условие (3) можно записать в следующем виде: p1 (z), . . . , pn (z) Γ = Q-1 u(x, y) Γ = = Q-1 · Re φ(z) Γ = Q-1 · ϕ1 , . . . , ϕn . (18) 415 Н и к о л а е в В. Г. Пусть выполнены условия пункта 2) и неравенства (10). Тогда правая часть (18) будет нулевой. Допустим, что существует нетривиальное решение φ0 = u0 + iv0 однородной задачи Шварца. Тогда в силу (13) функция p = Q-1 · u0 тоже непостоянна. Заметим, что с учетом теоремы 3 и формулы (17) для общего решения функция p1 (z) равна константе. Отсюда в (15) функция L2 ( · ) ≡ 0, то есть в силу (17) и теоремы 3 p2 (z) ≡ const. Применяя далее тривиальную индукцию, получаем, что функция p(z) постоянна, что противоречит сделанному предположению. Это противоречие и доказывает пункт 2) настоящей теоремы. Пусть теперь выполнены условия пункта 1) и неравенства (10). В силу диагональности жордановых форм матриц A, B система (15) будет однородной, то есть все функции Lk (·) равны нулю. Поэтому с учетом формул (10), (17), (18) и теоремы 2 можно однозначно найти две функции fλ1k (z), fλ2k (z) ∈ H σ (D), то есть pk (z), k = 1, . . . , n. В результате найдена вещественная функция u = Q · (p1 , . . . , pn ) ∈ H σ (D), которая есть не что иное, как решение задачи Дирихле (8) для вещественной системы (7) с заданной граничной функцией ϕ(z) ∈ H σ (Γ). Для доказательства существования решения задачи Шварца нужно восстановить функцию v = v(x, y) по уже известной u(x, y), используя для определенности первую из формул (6). Тогда функция φ(z) = u(x, y) + iv(x, y) будет решением задачи Шварца (3) с той же граничной функцией ϕ(z), причем φ(z) будет соответствовать данной матрице J = A + Bi. С учетом формул (6), (13), (17) и (2) имеем ∂u ∂u ∂p ∂p ∂v = B -1 A - B -1 = B -1 AQ · - B -1 Q · = ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y  ∂f ∂fλ21  λ11 +  ∂y ∂y  ∂p   -1 -1 = B AQ · - B Q · · · · · · · · · · · · · · · · = ∂x  ∂fλ ∂fλ2n  1n + ∂y ∂y     ∂fλ11 ∂fλ11 ∂fλ21 ∂fλ21  λ11 ∂x + λ21 ∂x   ∂x + ∂x      -1 -1 = B AQ ·  · · · · · · · · · · · · · · ·  - B Q ·  · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·  , (19)   ∂fλ ∂fλ2n  ∂fλ1n ∂fλ2n  1n + λ1n + λ2n ∂x ∂x ∂x ∂x где в последних скобках производная по y замена на производную по x с учетом определения 2 λ-голоморфной функции. Левая и правая части (19) представляют собой производные некоторых функций по одной и той же переменной x. Следовательно, эти функции совпадают с точностью до вектор-функция r = r(y), которая зависит только от переменной y:     fλ11 + fλ21 λ11 fλ11 + λ21 fλ21 v(x, y) = B -1 AQ ·  · · · · · · · · ·  - B -1 Q ·  · · · · · · · · · · · · · · · · · ·  + r(y). (20) fλ1n + fλ2n λ1n fλ1n + λ2n fλ2n 416 О решениях задачи Шварца для J-аналитических функций. . . Функция φ = u + iv, где u, v имеют вид (13) и (20) соответственно, по построению будет решением уравнения (1) при некотором подборе r(y). Функция r(y) определяется с помощью второго уравнения в (6). Чтобы его не использовать, покажем, что r(y) в (20) постоянна. Действительно, r(y) ∈ C 1 (D), так как дифференцируемы функции φ и φ - ri. Непосредственная подстановка показывает, что φ - ri удовлетворяет (1), то есть и функция r(y) будет аналитической по Дуглису, откуда вытекает, что r(y) ≡ const. В итоге формулы (13) и (20) определяют решение φ = u+iv неоднородной задачи Шварца (3). Поскольку все функции, входящие в (20), а также функция u(x, y), непрерывны по Гельдеру в D, то и φ(z) ∈ H σ (D). Разумеется, те же результаты будут иметь место, если использовать вторую из формул (6). Единственность полученного решения доказывается аналогично пункту 2). 3. Построение матриц J , для которых справедлива теорема 4. Обозначим J = P1 (A) + P2 (A)i, A ∈ Rn×n , (21) где P1 , P2 - матричные полиномы с вещественными коэффициентами. Очевидно, что матрицы A, P1 (A), P2 (A), J в (21) имеют общий базис Q, приводящий их к треугольному виду. В качестве Q можно взять жорданов базис матрицы A. Для матриц (21) нужно проверить выполнение критерия (10) или (11). Какой именно из двух критериев нужно проверять, зависит от формы записи матрицы J. Если J = (A + Bi)m , m = 2, 3, . . . , то удобнее применять (10), а если J = A + Bi, то более удобен критерий (11). Всюду в этом пункте будем обозначать через ξk +iδk , ξk , δk ∈ R, k = 1, . . . , n, собственные числа вещественной матрицы A. Комплексные числа λ1k , λ2k определены перед формулой (10), а λk , µk - перед формулой (11). 1◦ . Для матрицы J ∗ = αE + Ai, α ∈ R все числа ξk = 0, так как в противном случае матрица J ∗ будет иметь вещественные собственные числа, что противоречит определению 1. Поэтому | Im λk | = 0 < | Re µk | = |ξk | = 0, k = 1, . . . , n, то есть выполнен критерий (11). Таким образом, имеет место Лемма 2. Для функций, J-аналитических с матрицами J ∗ = αE + Ai, α ∈ R, теорема 4 справедлива при любых значениях α ∈ R. Отметим, что утверждение леммы 2 было доказано в [2]. Однако в [2] более общие случаи не рассматривались и критерий (10), (11) получен не был. 2◦ . Рассмотрим матрицу J = A + αiE, α ∈ R. Пусть выполнено неравенство max |δk | < |α|. (22) 1 k n Тогда | Im λk | = |δk | < |α| = | Re µk |, k = 1, . . . , n, 417 Н и к о л а е в В. Г. то есть имеет место формула (11). Следовательно, справедлива Лемма 3. Для функций, J-аналитических с матрицами J = A + αiE, α ∈ R, справедлива теорема 4, если верно неравенство (22). 3◦ . Рассмотрим матрицу J ∗2 = (αE + Ai)2 . Здесь λ1k = α + (ξk + iδk )i λ2k = α - (ξk + iδk )i 2 = (α - δk + ξk i)2 , 2 = (α + δk - ξk i)2 . Проверим выполнение критерия (10): (Im λ1k ) · (Im λ2k ) = -2ξk (α - δk ) · 2ξk (α + δk ) = -4ξk2 α2 - δk2 < 0, если ξk = 0 и верно (22). В итоге доказана Лемма 4. Для функций, J-аналитических с матрицами J ∗2 = (αE + Ai)2 , α ∈ R, ξk = 0, справедлива теорема 4, если имеет место неравенство (22). 4. Матрицы J , отличные от (21), для которых выполнен критерий (11). Пусть J1∗ , J2∗ - блочно-диагональные матрицы размера l×l, блоками которых являются жордановы клетки (в общем случае комплексные). Пусть J1 , J2 - блочно-диагональные матрицы размера (n - 2l) × (n - 2l), состоящие из вещественных жордановых клеток. В обеих случаях жордановы клетки могут быть одномерными. Пусть матрица Q∗ ∈ Cn×l , а Q - вещественная матрица размера n × (n - 2l). Образуем матрицу J по следующему правилу: J1 = diag J1∗ , J1∗ , J1 , J2 = diag J2∗ , J2∗ , J2 , A = QJ1 Q-1 , Q = Q∗ , Q∗ , Q , B = QJ2 Q-1 , J = A + Bi. (23) Покажем, что матрицы A, B в (23) - вещественные. Действительно, Q-1 = Q обратной матрицы. Поэтому -1 , что вытекает из алгоритма построения A = QJ1 Q-1 = Q · J1 · Q-1 = Q · J1 · Q -1 . (24) Как известно, жорданов базис Q и жорданова форма J1 матрицы A определены с точностью до перестановки жордановых клеток в J1 и соответствующих им столбцов матрицы Q. Из (23) следует, что операция сопряжения матриц Q и J1 как раз и производит такую перестановку. Следовательно, Q и J 1 в (24) определяют ту же самую матрицу A, то есть A = A. Аналогично доказывается равенство B = B. Таким образом, формулы (23) описывают альтернативный (21) способ построения матриц J из условий теоремы 4. Имеет место очевидное следствие из теоремы 4, а именно Лемма 5. Пусть λk , µk , k = 1, . . . , n - собственные числа матриц J1 , J2 (23) соответственно, стоящие на k-той строке. Пусть выполнен критерий 418 О решениях задачи Шварца для J-аналитических функций. . . (11). Тогда для функций, J-аналитических с матрицами J (23), справедлива теорема 4. Очевидно, что применение критерия (10) для матриц вида (23) затруднительно. В заключение приведем следующий пример, иллюстрирующий лемму 5. Пример 2. Пусть числа λ, µ, η имеют ненулевые комплексные части; векторы x, y ∈ C4 . Положим     λ 0 0 0 µ 0 0 0 0 λ 0 0  0 η 0 0  J1 =  (25)  0 0 λ 0  , J2 =  0 0 µ 0 , Q = x, y, x, y . 0 0 0 η 0 0 0 λ Матрицы (25) имеют вид (23), причем J1 , J2 - диагональны. Поэтому для функций, J-аналитических с матрицами J = A + Bi = QJ1 Q-1 + QJ2 Q-1 i, справедливы утверждения леммы 5 и теоремы 4, если | Im λ| < min | Re µ|, | Re η| , то есть если выполнен критерий (11). Заключение. Критерий существования и единственности решений задачи Шварца (10), (11) довольно прост для проверки и может быть применен к различным матрицам вида (21) и (23). Поскольку задача Шварца, как было отмечено выше, равносильна задаче Дирихле для многих типов эллиптических систем второго порядка в частных производных, то неравенства (10), (11) применимы и для изучения этой задачи. Декларация о финансовых и других взаимоотношениях. Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках государственного задания (проект 1.857.2014/K). This work was supported by the Ministry of education and science of the Russian Federation within the framework of the base part of the state task (Project 1.857.2014/K). Автор несет полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена автором. Автор не получал гонорар за статью.

About the authors

Vladimir G Nikolaev

Novgorod State University after Yaroslav the Wise

Email: vg14@inbox.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; vg14@inbox.ru), Associate Professor, Dept. of Algebra and Geometry 41, Bol'shaya St. Petersburgskaya st., Novgorod the Great, 173003, Russian Federation

References

Supplementary files