# On decisions of Schwartz' problem for J-analytic functions with the same Jordan basis of real and imaginary parts of J-matrix

## Abstract

Boundary Schwartz' problem for J-analytic functions was studied within this scientific work. These functions are solutions of linear complex system of partial differential equations of the first order. It was considered, that the real and imaginary parts of J-matrix are put into triangular form by means of one and the same complex transformation. The main theorem proved a criterion for eigenvalues of J-matrix. Shall this criterion be fulfilled within the complex plane within the boundaries defined by Lyapunov line, there is a decision on Schwartz' problem and it is the only one. The equal form of this criterion was found, which in many cases is more convenient for check. While proving the theorem, known facts about boundary properties of λ-holomorphic functions are applied. The proof itself is based on the method of direct and reverse reduction of Schwarz' problem to Dirichlet’s problem for real valued elliptic systems of partial differential equations of the second order. Examples of matrices are given, whereby the specified criterion is fulfilled.

## Full Text

Введение. Обобщением понятия голоморфных функций являются функции, аналитические по Дуглису (A. Douglis) [1-3]. Определение 1 [1]. Пусть матрица J ∈ Cn×n не имеет вещественных собственных чисел. Аналитической по Дуглису (или J-аналитической с матрицей J) называется комплексная n-вектор-функция φ = φ(z) ∈ C 1 (D), для которой в области D ⊂ R2 выполнено уравнение ∂φ ∂φ -J · = 0, ∂y ∂x z ∈ D. (1) © 2016 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования Н и к о л а е в В. Г. О решениях задачи Шварца для J-аналитических функций с одинаковым жордановым базисом действительной и мнимой части матрицы J // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2016. T. 20, № 3. С. 410-422. doi: 10.14498/vsgtu1491. 410 О решениях задачи Шварца для J-аналитических функций. . . Определение 2. В скалярном случае при J = λ, Im λ = 0 функцию fλ (z) ∈ C 1 (D), для которой в области D ⊂ R2 выполнено уравнение ∂fλ ∂fλ -λ· = 0, ∂y ∂x z ∈ D, (2) назовем λ-голоморфной в области D. При λ = i функции (2) совпадают с обычными голоморфными. Определение 3. Будем говорить, что функция φ(z) соответствует матрице J, если выполнено уравнение (1). Как показано в [2], комплексная система дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (1) является эллиптической. Рассмотрим для системы (1) следующую граничную задачу Шварца [1, 2]. Задача Шварца. Пусть конечная односвязная область D ⊂ R2 ограничена гладким контуром Γ. Требуется найти J-аналитическую с матрицей J в области D функцию φ(z) = u(x, y) + iv(x, y) ∈ C(D), которая удовлетворяет краевому условию (3) Re φ(z) Γ = ϕ(z), где вещественная граничная вектор-функция ϕ(z) = ϕ1 , . . . , ϕn ∈ C(Γ) задана. При ϕ ≡ 0 будем говорить об однородной задаче Шварца. Очевидными решениями последней служат постоянные векторы φ = ic, c ∈ Rn , которые принято называть тривиальными решениями. Отметим, что задача Шварца (3) равносильна краевым задачам для многих видов эллиптических систем дифференциальных уравнений в частных производных первого и второго порядков [3-9]. Эти системы, в свою очередь, имеют широкое применение в теории упругости [10-13], поэтому изучение задачи Шварца имеет как чисто теоретический, так и прикладной интерес. Как известно, при n = 1 однородная задача (3) имеет только тривиальные решения при любом типе границы Γ области D. Неоднородную задачу Шварца удобно рассматривать [2] в областях, ограниченных контуром Ляпунова. Поэтому приведем следующее известное Определение 4 [14]. Гладкая кривая Γ ⊂ R2 называется кривой Ляпунова, если существуют такие два вещественных числа a > 0 и b, 0 < b для любых двух точек z1 , z2 ∈ Γ выполняется условие Ляпунова 1, что |θ| < a · |z1 - z2 |b , где θ - угол между касательными или нормалями к Γ в точках z1 , z2 . Примерами кривых Ляпунова могут служить окружность и эллипс. При n = 1 имеет место следующая теорема существования и единственности решения неоднородной задачи Шварца. Теорема 1 (Н. И. Мусхелишвили, [14]). Пусть Γ = ∂D - контур Ляпунова, граничная функция ϕ(z) принадлежит классу Гельдера H σ (Γ), 0 < σ < 1. Тогда можно построить единственную (с точностью до постоянной) голоморфную в D функцию f (z) ∈ H σ (D) по условию Re f (z) Γ = ϕ(z). 411 Н и к о л а е в В. Г. Обозначим λ = a+bi, a, b ∈ R, b = 0. Как известно, голоморфная функция f (x, y) становится λ-голоморфной fλ (x , y ) в результате линейного обратимого преобразования x = x + ay , y = by . Поэтому теорема 1 справедлива и для λ-голоморфных функций fλ (z). Однако при n 2 вопрос существования и единственности решений задачи Шварца уже намного сложнее. В частности, известны примеры нетривиальных решений однородной задачи Шварца [15]. Приведем один из них. Пример 1. Пусть 1 - 2i 48 - 8i 1 2 + 8i 2 J= φ(z) = , 12x2 + 32xy + 46y 2 - 1 + (-x2 + 22xy + 27y 2 ) · i (3x2 + 8xy + 30y 2 ) · 4i . Функция φ(z) соответствует матрице J, которая имеет разные собственные числа λ = 2 + 4i, µ = 1 + 2i. Как нетрудно видеть, Re φ(z) Γ = 0 на эллипсе Γ: 12x2 + 32xy + 46y 2 = 1. 1. Редукция задачи Шварца к задаче Дирихле для эллиптических систем. Ниже (теорема 4) будет доказан аналог теоремы 1 для вектор-функций, аналитических по Дуглису со специальной матрицей J при n 2. Прежде чем сформулировать данную теорему, выполним следующее преобразование задачи Шварца. Обозначим φ = u + iv, где u = Re φ и v = Im φ - вещественные n-векторфункции, и подставим матрицу A, B ∈ Rn×n , J = A + Bi, det B = 0 (4) в уравнение (1). Приравнивая к нулю действительные и мнимые части, получим ∂u ∂v ∂v ∂v ∂u ∂u -A +B = 0, -A -B = 0. (5) ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x Из системы (5) выразим частные производные функции v: ∂v ∂u ∂u = B -1 A - B -1 , ∂x ∂x ∂y ∂u ∂v ∂u = B + AB -1 A - AB -1 . ∂y ∂x ∂y (6) Из (6) с учетом условия замкнутости имеем ∂ ∂u ∂u B -1 A - B -1 ∂y ∂x ∂y или B · (B + AB -1 A) = ∂ ∂x B + AB -1 A ∂u ∂u - AB -1 , ∂x ∂y ∂2u ∂2u ∂2u -1 -1 - B · (AB + B A) + = 0. ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 (7) В работе [2] показано, что вещественная система (7) будет эллиптической. Как нетрудно видеть, имеет место 412 О решениях задачи Шварца для J-аналитических функций. . . Лемма 1. Если существует решение φ = u + iv задачи Шварца (3), соответствующее данной матрице J = A + Bi, то функция u(x, y) будет решением задачи Дирихле u(x, y) Γ = ϕ(z) (8) для системы (7). В обратную сторону утверждение леммы 1 не всегда верно. Но в частных случаях приведенная выше редукция уравнения (1) к уравнению (7) обратима - на этом будет основано доказательство основой теоремы 4. 2. Основная теорема. Сначала приведем формулировки двух теорем, которые будут использованы ниже, а также сделаем вспомогательные построения. Теорема 2 (А. П. Солдатов, [2]). Пусть Γ = ∂D - кривая Ляпунова и пусть (Im λ) · (Im µ) < 0. Тогда для любой граничной функции ϕ(z) из класса Гельдера H σ (Γ), 0 < σ < 1, решение задачи fλ (z) + fµ (z) = ϕ(z), z∈Γ в классе функции fλ (z), fµ (z) ∈ H σ (D) существует и единственно (с точностью до константы). Теорема 3 (Е. Ю. Панов, [16]). Пусть Γ = ∂D - жорданова кривая. Пусть λ- и µ-голоморфные функции fλ (z), fµ (z) ∈ Lip(D), причем (Im λ) × × (Im µ) < 0 и fλ (z) = fµ (z) на Γ. Тогда fλ (z) = fµ (z) ≡ const. Предположим далее, что вещественные матрицы A, B в (4) обладают следующим свойством: для некоторой матрицы Q ∈ Cn×n матрицы J1 = Q-1 AQ и J2 = Q-1 BQ - нижне-треугольные. Матрица Q в частном случае может быть жордановым базисом для A, B (но может им и не быть). Приведем наиболее простой пример таких матриц: J = αE + Ai и J = A + αiE, где α ∈ R, A ∈ Rn×n . Пусть J = A - Bi - сопряжение матрицы J = A + Bi по аналогии с сопряжением комплексного числа. Очевидно, что матрицы J = Q-1 JQ = Q-1 AQ + Q-1 BQi = J1 + J2 i, J = Q-1 JQ = Q-1 AQ - Q-1 BQi = J1 - J2 i (9) тоже будут нижне-треугольными. Обозначим через λ1k , λ2k собственные числа матриц Q-1 JQ, Q-1 JQ, соответственно, стоящие на k-той строке матриц J , J в (9). Пусть выполнены следующие неравенства: (Im λ1k ) · (Im λ2k ) < 0, k = 1, . . . , n. (10) Прежде чем сформулировать теорему 4, преобразуем систему неравенств (10) к равносильной форме (11). Она не будет использована при доказательстве теоремы 4, но удобна для практических вычислений. Обозначим через λk , µk , k = 1, . . . , n, собственные числа матриц J1 , J2 в (9) соответственно (то есть собственные числа матриц A и B), стоящие на k-той строке. Тогда с учетом (10) имеем: 413 Н и к о л а е в В. Г. 0 > (Im λ1k ) · (Im λ2k ) = Im (λk + iµk ) · Im (λk - iµk ) = = (Im λk + Re µk ) · (Im λk - Re µk ) = (Im λk )2 - (Re µk )2 , что равносильно системе неравенств |Im λk | < |Re µk | , k = 1, . . . , n. (11) Покажем, что справедлива Теорема 4. Пусть матрица J = A + Bi, A, B ∈ Rn×n , причем матрицы J1 = Q-1 AQ и J2 = Q-1 BQ - нижне-треугольные в некотором базисе Q. Пусть также выполнены неравенства (10), или, что то же, (11). Тогда 1) если жордановы формы матриц A, B диагональны, Q - их жорданов базис и Γ = ∂D - контур Ляпунова, то для любой граничной векторфункции ϕ(z) ∈ H σ (Γ), 0 < σ < 1 решение неоднородной задачи Шварца (3) в классе функций φ(z) ∈ H σ (D) существует и единственно (с точностью до вектор-константы); 2) если жордановы формы матриц A, B произвольны и Γ = ∂D - жорданова кривая, то решения однородной (ϕ ≡ 0) задачи Шварца (3) в классе функций φ(z) ∈ Lip(D) - только тривиальные, то есть φ ≡ ic, c ∈ Rn . Таким образом, неравенства (10), (11) можно считать критерием (достаточным условием) существования и единственности решений задачи Шварца для функций, J-аналитических с данным типом матриц. Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что из (10) вытекает условие det B = 0, которое необходимо для применения формулы (7). «От противного»: пусть det B = 0 при выполнении (10). Тогда в (9) матрица J2 имеет на главной диагонали хотя бы один нуль. Если при этом матрицы J1 , J2 содержат нуль на одной и той же строке, то det J = det J = 0, что противоречит определению матрицы J. Если же на некоторой строке матрица J2 имеет нуль, а J1 - ненулевой элемент, то получаем противоречие (10). Следовательно, det B = 0. Сделаем в (7) подстановки A = QJ1 Q-1 , B = QJ2 Q-1 , тогда (7) примет следующий вид: ∂2u - ∂x2 ∂2u ∂2u - QJ2 Q-1 QJ1 Q-1 QJ2-1 Q-1 + QJ1 Q-1 + 2 = ∂x∂y ∂y 2u 2u ∂ ∂ ∂2u = Q J22 + J1 Q-1 2 - 2QJ1 Q-1 + 2 = 0. (12) ∂x ∂x∂y ∂y QJ22 Q-1 + QJ2 Q-1 QJ1 Q-1 QJ2-1 Q-1 QJ1 Q-1 В (12) символами J1 = J2 J1 J2-1 J1 , J1 = 1 J2 J1 J2-1 + J1 2 обозначены нижне-треугольные матрицы, которые на соответствующих строках главной диагонали имеют те же элементы, что и матрицы J12 , J1 соответственно (но в общем случае не равны им). 414 О решениях задачи Шварца для J-аналитических функций. . . Сделаем в нижнюю строку (12) подстановку u = Q · p = Q · (p1 , . . . , pn ) , (13) где pk (z), k = 1, . . . , n - скалярные комплексные функции. Затем умножим (12) слева на Q-1 : J22 + J1 ∂2p ∂2p ∂2p - 2J + = 0. 1 ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 (14) Пусть ξ1k , ξ2k ∈ C - собственные числа матриц A и B соответственно, стоящие на k-той строке матриц J1 , J2 в (9). Пусть также Lk (·) - линейные функции своих переменных. Тогда систему (14) можно записать в следующем виде: ∂ 2 p1 ∂ 2 p1 ∂ 2 p1 - 2ξ11 + = 0, k = 1; 2 ∂x ∂x∂y ∂y 2 ∂ 2 pk ∂ 2 pk ∂ 2 pk 2 2 - 2ξ + = ξ1k + ξ2k 1k ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 ∂ 2 p1 ∂ 2 pk-1 ∂ 2 p1 ∂ 2 pk-1 = Lk ,..., , ,..., , 2 2 ∂x ∂x ∂x∂y ∂x∂y 2 2 ξ11 + ξ21 (15) k = 2, . . . , n. Для левой части каждого из уравнений (15) составим характеристический полином (см. [16]) 2 2 = 0, + ξ2k λ2 - 2ξ1k λ+ ξ1k k = 1, . . . , n, и найдем его корни: λ2k = ξ1k - i ξ2k , λ1k = ξ1k + i ξ2k , ξ1k , ξ2k ∈ C, k = 1, . . . , n. (16) В силу (9) λ1k в (16) будет собственным числом матрицы J, а λ2k - собственным числом матрицы J, причем оба этих числа стоят в k-той строке матриц J , J соответственно. Как показано в [16], если правая часть уравнения вида (15) равна нулю и при этом λ1k = λ2k в (16), то общее решение такого однородного уравнения с учетом обозначений (2) и (16) имеет вид pk (z) = fλ1k (z) + fλ2k (z), k = 1, . . . , n, (17) то есть является суммой произвольных λ1k - и λ2k -голоморфных функций (см. определение 2). С учетом подстановки (13) граничное условие (3) можно записать в следующем виде: p1 (z), . . . , pn (z) Γ = Q-1 u(x, y) Γ = = Q-1 · Re φ(z) Γ = Q-1 · ϕ1 , . . . , ϕn . (18) 415 Н и к о л а е в В. Г. Пусть выполнены условия пункта 2) и неравенства (10). Тогда правая часть (18) будет нулевой. Допустим, что существует нетривиальное решение φ0 = u0 + iv0 однородной задачи Шварца. Тогда в силу (13) функция p = Q-1 · u0 тоже непостоянна. Заметим, что с учетом теоремы 3 и формулы (17) для общего решения функция p1 (z) равна константе. Отсюда в (15) функция L2 ( · ) ≡ 0, то есть в силу (17) и теоремы 3 p2 (z) ≡ const. Применяя далее тривиальную индукцию, получаем, что функция p(z) постоянна, что противоречит сделанному предположению. Это противоречие и доказывает пункт 2) настоящей теоремы. Пусть теперь выполнены условия пункта 1) и неравенства (10). В силу диагональности жордановых форм матриц A, B система (15) будет однородной, то есть все функции Lk (·) равны нулю. Поэтому с учетом формул (10), (17), (18) и теоремы 2 можно однозначно найти две функции fλ1k (z), fλ2k (z) ∈ H σ (D), то есть pk (z), k = 1, . . . , n. В результате найдена вещественная функция u = Q · (p1 , . . . , pn ) ∈ H σ (D), которая есть не что иное, как решение задачи Дирихле (8) для вещественной системы (7) с заданной граничной функцией ϕ(z) ∈ H σ (Γ). Для доказательства существования решения задачи Шварца нужно восстановить функцию v = v(x, y) по уже известной u(x, y), используя для определенности первую из формул (6). Тогда функция φ(z) = u(x, y) + iv(x, y) будет решением задачи Шварца (3) с той же граничной функцией ϕ(z), причем φ(z) будет соответствовать данной матрице J = A + Bi. С учетом формул (6), (13), (17) и (2) имеем ∂u ∂u ∂p ∂p ∂v = B -1 A - B -1 = B -1 AQ · - B -1 Q · = ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y  ∂f ∂fλ21  λ11 +  ∂y ∂y  ∂p   -1 -1 = B AQ · - B Q · · · · · · · · · · · · · · · · = ∂x  ∂fλ ∂fλ2n  1n + ∂y ∂y     ∂fλ11 ∂fλ11 ∂fλ21 ∂fλ21  λ11 ∂x + λ21 ∂x   ∂x + ∂x      -1 -1 = B AQ ·  · · · · · · · · · · · · · · ·  - B Q ·  · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·  , (19)   ∂fλ ∂fλ2n  ∂fλ1n ∂fλ2n  1n + λ1n + λ2n ∂x ∂x ∂x ∂x где в последних скобках производная по y замена на производную по x с учетом определения 2 λ-голоморфной функции. Левая и правая части (19) представляют собой производные некоторых функций по одной и той же переменной x. Следовательно, эти функции совпадают с точностью до вектор-функция r = r(y), которая зависит только от переменной y:     fλ11 + fλ21 λ11 fλ11 + λ21 fλ21 v(x, y) = B -1 AQ ·  · · · · · · · · ·  - B -1 Q ·  · · · · · · · · · · · · · · · · · ·  + r(y). (20) fλ1n + fλ2n λ1n fλ1n + λ2n fλ2n 416 О решениях задачи Шварца для J-аналитических функций. . . Функция φ = u + iv, где u, v имеют вид (13) и (20) соответственно, по построению будет решением уравнения (1) при некотором подборе r(y). Функция r(y) определяется с помощью второго уравнения в (6). Чтобы его не использовать, покажем, что r(y) в (20) постоянна. Действительно, r(y) ∈ C 1 (D), так как дифференцируемы функции φ и φ - ri. Непосредственная подстановка показывает, что φ - ri удовлетворяет (1), то есть и функция r(y) будет аналитической по Дуглису, откуда вытекает, что r(y) ≡ const. В итоге формулы (13) и (20) определяют решение φ = u+iv неоднородной задачи Шварца (3). Поскольку все функции, входящие в (20), а также функция u(x, y), непрерывны по Гельдеру в D, то и φ(z) ∈ H σ (D). Разумеется, те же результаты будут иметь место, если использовать вторую из формул (6). Единственность полученного решения доказывается аналогично пункту 2). 3. Построение матриц J , для которых справедлива теорема 4. Обозначим J = P1 (A) + P2 (A)i, A ∈ Rn×n , (21) где P1 , P2 - матричные полиномы с вещественными коэффициентами. Очевидно, что матрицы A, P1 (A), P2 (A), J в (21) имеют общий базис Q, приводящий их к треугольному виду. В качестве Q можно взять жорданов базис матрицы A. Для матриц (21) нужно проверить выполнение критерия (10) или (11). Какой именно из двух критериев нужно проверять, зависит от формы записи матрицы J. Если J = (A + Bi)m , m = 2, 3, . . . , то удобнее применять (10), а если J = A + Bi, то более удобен критерий (11). Всюду в этом пункте будем обозначать через ξk +iδk , ξk , δk ∈ R, k = 1, . . . , n, собственные числа вещественной матрицы A. Комплексные числа λ1k , λ2k определены перед формулой (10), а λk , µk - перед формулой (11). 1◦ . Для матрицы J ∗ = αE + Ai, α ∈ R все числа ξk = 0, так как в противном случае матрица J ∗ будет иметь вещественные собственные числа, что противоречит определению 1. Поэтому | Im λk | = 0 < | Re µk | = |ξk | = 0, k = 1, . . . , n, то есть выполнен критерий (11). Таким образом, имеет место Лемма 2. Для функций, J-аналитических с матрицами J ∗ = αE + Ai, α ∈ R, теорема 4 справедлива при любых значениях α ∈ R. Отметим, что утверждение леммы 2 было доказано в [2]. Однако в [2] более общие случаи не рассматривались и критерий (10), (11) получен не был. 2◦ . Рассмотрим матрицу J = A + αiE, α ∈ R. Пусть выполнено неравенство max |δk | < |α|. (22) 1 k n Тогда | Im λk | = |δk | < |α| = | Re µk |, k = 1, . . . , n, 417 Н и к о л а е в В. Г. то есть имеет место формула (11). Следовательно, справедлива Лемма 3. Для функций, J-аналитических с матрицами J = A + αiE, α ∈ R, справедлива теорема 4, если верно неравенство (22). 3◦ . Рассмотрим матрицу J ∗2 = (αE + Ai)2 . Здесь λ1k = α + (ξk + iδk )i λ2k = α - (ξk + iδk )i 2 = (α - δk + ξk i)2 , 2 = (α + δk - ξk i)2 . Проверим выполнение критерия (10): (Im λ1k ) · (Im λ2k ) = -2ξk (α - δk ) · 2ξk (α + δk ) = -4ξk2 α2 - δk2 < 0, если ξk = 0 и верно (22). В итоге доказана Лемма 4. Для функций, J-аналитических с матрицами J ∗2 = (αE + Ai)2 , α ∈ R, ξk = 0, справедлива теорема 4, если имеет место неравенство (22). 4. Матрицы J , отличные от (21), для которых выполнен критерий (11). Пусть J1∗ , J2∗ - блочно-диагональные матрицы размера l×l, блоками которых являются жордановы клетки (в общем случае комплексные). Пусть J1 , J2 - блочно-диагональные матрицы размера (n - 2l) × (n - 2l), состоящие из вещественных жордановых клеток. В обеих случаях жордановы клетки могут быть одномерными. Пусть матрица Q∗ ∈ Cn×l , а Q - вещественная матрица размера n × (n - 2l). Образуем матрицу J по следующему правилу: J1 = diag J1∗ , J1∗ , J1 , J2 = diag J2∗ , J2∗ , J2 , A = QJ1 Q-1 , Q = Q∗ , Q∗ , Q , B = QJ2 Q-1 , J = A + Bi. (23) Покажем, что матрицы A, B в (23) - вещественные. Действительно, Q-1 = Q обратной матрицы. Поэтому -1 , что вытекает из алгоритма построения A = QJ1 Q-1 = Q · J1 · Q-1 = Q · J1 · Q -1 . (24) Как известно, жорданов базис Q и жорданова форма J1 матрицы A определены с точностью до перестановки жордановых клеток в J1 и соответствующих им столбцов матрицы Q. Из (23) следует, что операция сопряжения матриц Q и J1 как раз и производит такую перестановку. Следовательно, Q и J 1 в (24) определяют ту же самую матрицу A, то есть A = A. Аналогично доказывается равенство B = B. Таким образом, формулы (23) описывают альтернативный (21) способ построения матриц J из условий теоремы 4. Имеет место очевидное следствие из теоремы 4, а именно Лемма 5. Пусть λk , µk , k = 1, . . . , n - собственные числа матриц J1 , J2 (23) соответственно, стоящие на k-той строке. Пусть выполнен критерий 418 О решениях задачи Шварца для J-аналитических функций. . . (11). Тогда для функций, J-аналитических с матрицами J (23), справедлива теорема 4. Очевидно, что применение критерия (10) для матриц вида (23) затруднительно. В заключение приведем следующий пример, иллюстрирующий лемму 5. Пример 2. Пусть числа λ, µ, η имеют ненулевые комплексные части; векторы x, y ∈ C4 . Положим     λ 0 0 0 µ 0 0 0 0 λ 0 0  0 η 0 0  J1 =  (25)  0 0 λ 0  , J2 =  0 0 µ 0 , Q = x, y, x, y . 0 0 0 η 0 0 0 λ Матрицы (25) имеют вид (23), причем J1 , J2 - диагональны. Поэтому для функций, J-аналитических с матрицами J = A + Bi = QJ1 Q-1 + QJ2 Q-1 i, справедливы утверждения леммы 5 и теоремы 4, если | Im λ| < min | Re µ|, | Re η| , то есть если выполнен критерий (11). Заключение. Критерий существования и единственности решений задачи Шварца (10), (11) довольно прост для проверки и может быть применен к различным матрицам вида (21) и (23). Поскольку задача Шварца, как было отмечено выше, равносильна задаче Дирихле для многих типов эллиптических систем второго порядка в частных производных, то неравенства (10), (11) применимы и для изучения этой задачи. Декларация о финансовых и других взаимоотношениях. Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках государственного задания (проект 1.857.2014/K). This work was supported by the Ministry of education and science of the Russian Federation within the framework of the base part of the state task (Project 1.857.2014/K). Автор несет полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена автором. Автор не получал гонорар за статью.
×

Novgorod State University after Yaroslav the Wise

Email: vg14@inbox.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; vg14@inbox.ru), Associate Professor, Dept. of Algebra and Geometry 41, Bol'shaya St. Petersburgskaya st., Novgorod the Great, 173003, Russian Federation

## References

1. Солдатов А. П. Задача Шварца для функций, аналитических по Дуглису // Совр. математика и ее приложения, 2010. Т. 67, Уравнения с частными производными. С. 99-102.
2. Николаев В. Г., Солдатов А. П. О решении задачи Шварца для J-аналитических функций в областях, ограниченных контуром Ляпунова // Диффер. уравн., 2015. № 7. С. 965-969.
3. Солдатов А. П. Интегральное представление функций, аналитических по Дуглису // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2008. № 8/1(67). С. 225-234.
4. Солдатов А. П. Гипераналитические функции и их приложения // Совр. математика и ее приложения, 2004. Т. 15, Теория функций. С. 142-199.
5. Солдатов А. П. Пространство Харди решений эллиптических систем первого порядка // Докл. РАН, 2007. Т. 416, № 1. С. 26-30.
6. Солдатов А. П. Эллиптические системы высокого порядка // Диффер. уравн., 1989. Т. 25, № 1. С. 136-142.
7. Бицадзе А. В. О единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными // УМН, 1948. Т. 3, № 6(28). С. 211-212.
8. Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М.: Наука, 1972. 347 с.
9. Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966. 298 с.
10. Боярский Б. В. Теория обобщенного аналитического вектора // Annales Polonici Mathematici, 1965. Т. 17, № 3. С. 281-320, https://eudml.org/doc/265098.
11. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988. 328 с.
12. Жура Н. А. Краевые задачи типа Бицадзе-Самарского для эллиптических в смысле Дуглиса-Ниренберга систем // Диффер. уравн., 1992. Т. 28, № 1. С. 81-91.
13. Жура Н. А. Общая краевая задача для эллиптических в смысле Дуглиса-Ниренберга систем в областях с гладкой границей // Изв. РАН, 1994. № 1. С. 22-44.
14. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. М.: Наука, 1968. 511 с.
15. Николаев В. Г. О некоторых свойствах J-аналитических функций // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2013. № 3(104). С. 25-32.
16. Николаев В. Г., Панов Е. Ю. Результаты о совпадении λ- и µ-голоморфных функций на границе области и их приложения к краевым задачам / Проблемы математического анализа: Межвузовский международный сборник, Вып. 74; ред. Н. Н. Уральцева. Новосибирск: Тамара Рожковская, 2013. С. 123-132.

Copyright (c) 2016 Samara State Technical University