Построение операторного исчисления Микусинского на основе алгебры свертки обобщенных функций. Решение задач математической физики
- Авторы: Коган И.Л.1
-
Учреждения:
- Российский государственный аграрный университет - МСХА им. К. А. Тимирязева
- Выпуск: Том 22, № 2 (2018)
- Страницы: 236-253
- Раздел: Статьи
- Статья получена: 14.02.2020
- Статья опубликована: 15.06.2018
- URL: https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/20584
- DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1569
- ID: 20584
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Дается новое обоснование операторного исчисления Микусинского, целиком основанное на алгебре свертки обобщенных функций $D'_{+}$ и $D'_{-}$, применительно к решению линейных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами в области $(x;t)\in \mathbb R $ $(\mathbb R_{+} )\times \mathbb R_{+} $. Используемый математический аппарат основан на современном состоянии теории обобщенных функций, и одним из основных его отличий от теории Микусинского является то, что получаемые изображения являются аналитическими функциями комплексного переменного. Это позволяет в алгебре $D'_+ (x\in \mathbb R_{+})$ узаконить преобразование Лапласа, а с применением алгебры $D'_{-}$ распространить метод на область отрицательных значений аргумента. На классических примерах уравнений второго порядка гиперболического и параболического типа в случае $x\in \mathbb R$ излагаются вопросы определения фундаментальных решений и задачи Коши, а на отрезке и полупрямой $x\in \mathbb R_+ $ - нестационарные задачи в собственном смысле. Дается вывод общих формул для получения решения задачи Коши, а также схема определения фундаментальных решений операторным методом. При рассмотрении нестационарных задач приводится компактное доказательство теоремы Дюамеля и выведены формулы, позволяющие оптимизировать получение решений, в том числе с разрывными начальными условиями. Для нахождения оригиналов приводятся примеры использования рядов сверточных операторов обобщенных функций. Предложенный подход по сравнению с классическим операционным исчислением, основанным на преобразовании Лапласа, и теорией Микусинского, обладая для обычных функций одинаковыми соотношениями «оригинал-изображение» на положительной полуоси, позволяет рассматривать уравнения, заданные на всей оси, упростить получение и форму представления решений. Приведенные примеры иллюстрируют возможности и дают оценку эффективности использования операторного исчисления.
Полный текст
Введение. Операторное, или операционное, исчисление достаточно давно и успешно применяется в математической физике, главным образом при решении нестационарных задач. Исторически первой практической реализацией этого исчисления является символический метод Хевисайда, который ввел правила обращения с операторами дифференцирования и интегрирования, рассматриваемыми как алгебраические величины [1]. К удобству такого подхода следует отнести то, что формальные вычисления можно отделить от математического содержания задачи. Строгое обоснование метода Хевисайда было дано с помощью интегрального преобразования Лапласа на основании теории функций комплексного переменного [1-3]. Подход к операционному исчислению как приложению этой теории - классическое операционное исчисление доминирует в современной учебной и научно-технической литературе, например [4-6]. Введение обобщенных функций существенно расширяет возможности операционного исчисления. Наиболее распространенной является предложенная Л. Шварцем и Ж.-Л. Лионсом теория преобразования Лапласа для обобщенных функций медленного роста, заданных на положительной полуоси и об′ ⊂×
Об авторах
Иосиф Леонидович Коган
Российский государственный аграрный университет - МСХА им. К. А. Тимирязева
Email: ik_@list.ru
кандидат технических наук; доцент; каф. высшей математики Россия, 127550, Москва, Тимирязевская ул., 49
Список литературы
- Courant R., Hilbert D. Methods of Mathematical Physics. vol. 2: Partial Differential Equations. New York: Interscience Publ., 1962. xxii+830 pp.
- Doetsch G. Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1974. viii+327 pp. doi: 10.1007/978-3-642-65690-3.
- Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.
- Федорюк М. В. Интегральные преобразования / Анализ - 1 / Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, Т. 13. М.: ВИНИТИ, 1986. С. 211-253.
- Sharma J. N., Singh K. Partial Differential Equations for Engineers and Scientists. New Delhi: Narosa Publishing House, 2011. 354 pp.
- Волков И. К., Канатников А. Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление / Математика в техническом университете. Т. 11 / ред. В. С. Зарубин, А. П. Крищенко. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015. 227 с.
- Schwartz L. Transformation de Laplace des distributions // Meddel. Lunds Univ. Mat. Sem. Suppl.-band M. Riesz, 1952. pp. 196-206 (In French).
- Lions J. L. Supports dans la transformation de Laplace // J. Anal. Math., 1953. vol. 2. pp. 369-380 (In French).
- Schwartz L. Méthodes mathématiques pour les sciences physiques. Avec le concours de Denise Huet / Enseign. des sciences. Paris: Hermann & Cie, 1961. 392 pp. (In French)
- Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 319 с.
- Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512 с.
- Брычков Ю. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1977. 287 с.
- Kecs W., Teodorescu P. P. Application of the distribution theory in the mechanics. Bucuresti: Editura Academiei Republicii Socialiste Romania, 1970. 438 pp. (In Romanian)
- Mikusiński J. Operational calculus / Internat. Series of Monographs on Pure and Applied Mathematics. vol. 8. New York: Pergamon Press, 1959. 495 pp.
- Коган И. Л. Построение операторного исчисления Микусинского на основе алгебры свертки обобщенных функций. Основные положения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. № 2(27). С. 44-52. doi: 10.14498/vsgtu1013.
- Коган И. Л. Построение операторного исчисления Микусинского на основе алгебры свертки обобщенных функций. Теоремы и начало применения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. № 3(32). С. 56-68. doi: 10.14498/vsgtu1119.
- Hörmander L. Linear partial differential operators / Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 116. Berlin, Göttingen, Heidelberg: Springer-Verlag, 1963. vii+285 pp.
- Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. Т. 1: Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматлит, 1959. 470 с.
- Korn G. A., Korn T. M. Mathematical handbook for scientists and engineers: definitions, theorems, and formulas for reference and review: Reprint with corrections of the 2nd revised and enlarged edition 1968. / Dover Civil and Mechanical Engineering. Mineola, NY: Dover Publications, 2003. xvii+1130 pp.
- Коган И. Л. Метод интеграла Дюамеля для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с точки зрения теории обобщенных функций // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2010. № 1(20). С. 37-45. doi: 10.14498/vsgtu673.