Numerical study of mass transfer in drop and film systems using a regularized finite difference scheme in evaporative lithography
- Authors: Kolegov K.S1,2, Lobanov A.I3
-
Affiliations:
- Astrakhan State University
- Volga State University of Water Transport (Caspian Institute of Sea and River Transport the Branch of VSUWT)
- Moscow Institute of Physics and Technology (State University)
- Issue: Vol 22, No 2 (2018)
- Pages: 344-363
- Section: Articles
- URL: https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/20596
- DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1601
- ID: 20596
Cite item
Full Text
Abstract
Keywords
Full Text
Введение. Интерес исследователей к изучению процессов дегидратационной самоорганизации не угасает на протяжении последних двух или более десятилетий. Явления, происходящие в процессе высыхания капель и пленок, описаны, например, в [1, 2]. Обычно при высыхании возникают течения жидкости, вызванные испарением. Они приводят к конвекционному переносу коллоидных частиц. Использование таких течений лежит в основе испарительной литографии [3], производства микрофлюидных чипов [4], создания открытых реакторов [5]. При изучении эффекта «кофейных колец» была предложена теория [6], согласно которой можно управлять процессом осаждения частиц во время высыхания капли, манипулируя концентрацией пара вблизи двухфазной границы. На основании данной теории разработан метод, получивший название «испарительная литография» [3]. Его суть заключается в создании условий для неравномерного испарения с поверхности коллоидной жидкости. В результате возникают компенсационные потоки, которые переносят взвешенные частицы в области интенсивного испарения. Управлять плотностью потока пара вдоль свободной поверхности жидкого слоя можно, к примеру, размещая над каплей маску [3]. Это своего рода «шаблон», так как получаемая после высыхания структура осажденных на подложку частиц повторяет форму отверстий в маске. В настоящее время существует множество математических моделей, описывающих массоперенос в высыхающих каплях и пленках. Однако они обладают несколькими недостатками. Во-первых, в таких моделях, как правило, не учитывается влияние силы тяжести. В [6, 7] рассматриваются капли капиллярного размера. Так как в таких открытых системах капиллярные силы доминируют над гравитационными, последними зачастую пренебрегают. В этом случае форма поверхности капель близка к форме сферического сегмента. Для капли в форме сферического сегмента давление в ней постоянно во всем объеме. При отсутствии испарения капля находится в равновесии с внешней средой. Значительное отклонение от равновесной формы заметно лишь, когда капиллярное течение не успевает компенсировать быстрое испарение жидкости [7]. Равновесная форма капель, размер которых превышает капиллярную длину, далека от формы сферического сегмента [8]. Вдали от линии контакта с горизонтальной подложкой поверхность практически плоская. В [8] описаны результаты экспериментального исследования формы капель в зависимости от силы тяжести. Математическому моделированию зависимости формы капли от силы тяжести посвящена [9]. Расчеты [9] показали, что капля постоянного объема при увеличении ускорения свободного падения растекается сильнее, высота ее уменьшается, а поверхность уплощается. В [10] приводится сравнение экспериментального профиля (для разных капель) с аппроксимацией поверхности сферическим сегментом. При исследовании испарения жидкости в открытой цилиндрической ячейке силу тяжести также зачастую не принимают во внимание. Считается, что ячейка достаточно мала и объемные силы не влияют на форму границы раздела фаз жидкости и газа. Например, в [11] определяется поле скоростей течений в ячейке для частного случая, когда поверхность жидкости плоская. Модель [5] не объясняет причины возникновения течения и факторы, влияющие на форму границы «жидкость-газ». 345 К о л е г о в К. С., Л о б а н о в А. И. Во-вторых, чаще всего используется квазистационарный подход в совокупности с приближением смазки [7, 18, 26-28]. У этого метода есть недостатки. Он подходит для описания динамики жидкости лишь в тонких каплях1 и в случае медленного испарения [14]. Существует несколько нестационарных моделей, но они в основном посвящены чистым жидкостям [29, 30]. В-третьих, в большинстве случаев не учитывается возможность наличия маски над каплей или пленкой [26, 28, 31, 32]. Кинематическая модель [33] не объясняет причины возникновения течений в пленке коллоидного раствора, сохнущей под маской. Поэтому целью данной работы является разработка нестационарной модели массопереноса в испаряющихся каплях и пленках, которая учитывает влияние вязких, капиллярных и гравитационных сил, а также наличие маски в системе. 1. Физическая постановка задачи. Рассматриваются два случая. В первом капля покоится на горизонтальном непроницаемом основании в режиме закрепленной трехфазной границы «жидкость-газ-подложка» (пиннинг). Во втором случае жидкость находится в открытой цилиндрической ячейке. Для описания процессов в каплях удобно использовать цилиндрические координаты, как и в [12-15]. ОсьAbout the authors
Konstantin S Kolegov
Astrakhan State University; Volga State University of Water Transport (Caspian Institute of Sea and River Transport the Branch of VSUWT)
Email: konstantin.kolegov@asu.edu.ru
Junior Research Fellow; Lab. of Mathematical Modeling and Information Technologies in Science and Education ; Senior Lecturer; Dept. of Mathematical and Natural Sciences Disciplines 20a, Tatishchev st., Astrakhan, 414056, Russian Federation; 6, Nikolskaya st., Astrakhan, 414000, Russian Federation
Alexey I Lobanov
Moscow Institute of Physics and Technology (State University)
Email: alexey@crec.mipt.ru
Dr. Phys. & Math. Sci.; Professor; Dept. of Computational Mathematics 9, Inststitutskii per., Dolgoprudny, Moscow region, 141700, Russian Federation
References
- Sefiane K. Patterns from drying drops // Adv. Coll. Inter. Sci., 2014. vol. 206. pp. 372-381. doi: 10.1016/j.cis.2013.05.002.
- Routh A. F. Drying of thin colloidal films // Rep. Prog. Phys., 2013. vol. 76, no. 4, 046603. doi: 10.1088/0034-4885/76/4/046603.
- Harris D. J., Hu H., Conrad J. C., Lewis J. A. Patterning colloidal films via evaporative lithography // Phys. Rev. Lett., 2007. vol. 98, no. 14, 148301. doi: 10.1103/PhysRevLett.98.148301.
- Кухтевич И. В., Букатин А. С., Мухин И. С., Евстрапов А. А. Микрофлюидные чипы для исследования биологических объектов методами микроскопии высокого разрешения // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012. Т. 77, № 1. С. 111-115.
- Rieger B., van den Doel L. R., van Vliet L. J. Ring formation in nanoliter cups: quantitative measurements of flow in micromachined wells // Phys. Rev. E, 2003. vol. 68, no. 3, 036312. doi: 10.1103/PhysRevE.68.036312.
- Deegan R. D., Bakajin O., Dupont T. F., Huber G., Nagel S. R., Witten T. A. Contact line deposits in an evaporating drop // Phys. Rev. E, 2000. vol. 62, no. 1. pp. 756-765. doi: 10.1103/PhysRevE.62.756.
- Fischer B. J. Particle convection in an evaporating colloidal droplet // Langmuir, 2002. vol. 18, no. 1. pp. 60-67. doi: 10.1021/la015518a.
- Diana A., Castillo M., Brutin D., Steinberg T. Sessile drop wettability in normal and reduced gravity // Microgravity Sci. Technol., 2012. vol. 24, no. 3. pp. 195-202. doi: 10.1007/s12217-011-9295-0.
- Bartashevich M. V., Kuznetsov V. V., Kabov O. A. Gravity effect on the axisymmetric drop spreading // Microgravity Sci. Technol., 2010. vol. 22, no. 1. pp. 107-114. doi: 10.1007/s12217-009-9153-5.
- Коновалов В. И., Пахомов А. Н., Пахомова Ю. В. Геометрия, циркуляция и тепломассоперенос при испарении капли на подложке // Вестник ТГТУ, 2011. Т. 17, № 2. С. 371-387.
- Tarasevich Y. Y., Vodolazskaya I. V., Isakova O. P., Abdel Latif M. S. Evaporation-induced flow inside circular wells: analytical results and simulations // Microgravity Sci. Technol., 2009. vol. 21 (Suppl. 1). pp. 39-44. doi: 10.1007/s12217-009-9109-9.
- Колегов К. С. Формирование кольцевых структур в высыхающей под шаблоном пленке коллоидного раствора // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделирование и программирование, 2014. Т. 7, № 1. С. 24-33. doi: 10.14529/mmp140103.
- Колегов К. С., Лобанов А. И. Математическое моделирование динамики жидкости в испаряющейся капле с учетом капиллярных и гравитационных сил // Вестник РУДН. Серия: Математика, информатика, физика, 2014. № 2. С. 375-380.
- Колегов К. С. Сравнение квазистационарной и нестационарной математических моделей течений в испаряющейся капле с учетом вязкости // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 2014. № 3. С. 110-122. doi: 10.20537/vm140310.
- Колегов К. С., Лобанов А. И. Сравнение квазистационарной и нестационарной математических моделей течений в испаряющейся капле // Компьютерные исследования и моделирование, 2012. Т. 4, № 4. С. 811-825.
- Kaneda M., Takao Y., Fukai J. Thermal and solutal effects on convection inside a polymer solution droplet on a substrate // Int. J. Heat Mass Transfer, 2010. vol. 53, no. 21-22. pp. 4448-4457. doi: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2010.06.049.
- Jung Y., Kajiya T., Yamaue T., Doi M. Film formation kinetics in the drying process of polymer solution enclosed by bank // Jpn. J. Appl. Phys., 2009. vol. 48, no. 3, 031502. doi: 10.1143/JJAP.48.031502.
- Ehrhard P., Davis S. H. Non-isothermal spreading of liquid drops on horizontal plates // J. Fluid Mech., 1991. vol. 229. pp. 365-388. doi: 10.1017/S0022112091003063.
- Cahile M., Benichou O., Cazabat A. M. Evaporating droplets of completely wetting liquids // Langmuir, 2002. vol. 18, no. 21. pp. 7985-7990. doi: 10.1021/la020231e.
- Hamamoto Y., Christy J. R. E., Sefiane K. Order-of-magnitude increase in flow velocity driven by mass conservation during the evaporation of sessile drops // Phys. Rev. E, 2011. vol. 83, 051602. doi: 10.1103/PhysRevE.83.051602.
- Parneix C., Vandoolaeghe P., Nikolayev V. S., Quere D., Li J., Cabane B. Dips and rims in dried colloidal films // Phys. Rev. Lett., 2010. vol. 105, no. 26, 266103. doi: 10.1103/PhysRevLett.105.266103.
- Bodiguel H., Leng J. Imaging the drying of a colloidal suspension // Soft Matter., 2010. vol. 6, no. 21. pp. 5451-5460. doi: 10.1016/j.cep.2012.07.005.
- Stuart A. M., Peplow A. T. The Dynamics of the theta method // SIAM J. Sci. and Stat. Comput., 1991. vol. 12, no. 6. pp. 1351-1372. doi: 10.1137/0912074.
- Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с.
- Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Разностные схемы для неустойчивых задач // Матем. моделирование, 1990. Т. 2, № 11. С. 89-98.
- Okuzono T., Kobayashi M., Doi M. Final shape of a drying thin film // Phys. Rev. E, 2009. vol. 80, no. 2, 021603. doi: 10.1103/PhysRevE.80.021603.
- Tarasevich Y. Y., Vodolazskaya I. V., Isakova O. P. Desiccating colloidal sessile drop: dynamics of shape and concentration // Colloid Polym. Sci., 2011. vol. 289, no. 9. pp. 1015-1023. doi: 10.1007/s00396-011-2418-8.
- Maki K. L., Kumar S. Fast Evaporation of Spreading Droplets of Colloidal Suspensions // Langmuir, 2011. vol. 27, no. 18. pp. 11347-11363. doi: 10.1021/la202088s.
- Barash L. Yu., Bigioni T. P., Vinokur V. M., Shchur L. N. Evaporation and fluid dynamics of a sessile drop of capillary size // Phys. Rev. E, 2009. vol. 79, no. 4, 046301. doi: 10.1103/PhysRevE.79.046301.
- Mollaret R., Sefiane K., Christy J. R. E., Veyret D. Experimental and Numerical Investigation of the Evaporation into Air of a Drop on a Heated Surface // Chem. Eng. Res. Design, 2004. vol. 82, no. 4. pp. 471-480. doi: 10.1205/026387604323050182.
- Гордеева В. Ю., Люшнин А. В. Особенности испарения тонкого слоя воды в присутствии растворимого сурфактанта // ЖТФ, 2014. Т. 84, № 5. С. 28-34.
- Lebedev-Stepanov P., Efimov S., Kobelev A. 012004 // J. Phys. Conf. Series, 2017. vol. 925, no. 1. doi: 10.1088/1742-6596/925/1/012004.
- Tarasevich Yu. Yu., Vodolazskaya I. V., Sakharova L. V. Mathematical modeling of pattern formation caused by drying of colloidal film under a mask // Eur. Phys. J. E., 2016. vol. 39, no. 2, 26. doi: 10.1140/epje/i2016-16026-5.