Хаотические режимы фрактального нелинейного осциллятора

  • Авторы: Паровик Р.И.1,2
  • Учреждения:
    1. Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН
    2. Камчатский государственный университет им. Витуса Беринга
  • Выпуск: Том 22, № 2 (2018)
  • Страницы: 364-379
  • Раздел: Статьи
  • Статья получена: 14.02.2020
  • Статья опубликована: 15.06.2018
  • URL: https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/20598
  • DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1611
  • ID: 20598


Цитировать

Полный текст

Аннотация

В работе проведено исследование фрактального нелинейного осциллятора с целью идентификации его хаотических колебательных режимов. Мерой хаоса для динамической системы являются максимальные показатели Ляпунова. Они рассматриваются как мера разбегания нескольких фазовых траекторий, построенных при разных начальных условиях. Для определения максимальных показателей Ляпунова используются алгоритмы, которые связаны либо с исследованием временных рядов (алгоритм Бенеттина), либо с непосредственным решением расширенной динамической системы (алгоритм Вольфа). В работе в качестве методики построения максимальных показателей Ляпунова был выбран алгоритм Вольфа с процедурой ортогонализации Грама-Шмидта. Этот алгоритм использует решение расширенной исходной динамической системы совместно с уравнениями в вариациях, а процедура ортогонализации Грама-Шмидта позволяет нивелировать составляющую максимального показателя Ляпунова при вычислении векторов вдоль фазовых траекторий. Далее алгоритм Вольфа был использован для построения спектров показателей Ляпунова в зависимости от значений управляющих параметров исходной динамической системы. В работе было показано, что некоторые спектры показателей Ляпунова содержат наборы положительных значений, что подтверждает наличие хаотического режима, а также это подтверждается фазовыми траекториями. Установлено, что фрактальный нелинейный осциллятор имеет режимы не только колебания, но и вращения. Эти вращения могут быть хаотическими и регулярными.

Полный текст

Введение. Исследование различных динамических систем с целью выявления хаотических режимов имеет важное практическое значение. Это связано с тем, что хаотические режимы практически всегда возникают в нелинейных средах и обладают такими важными свойствами, как зависимость от начальных условий и потеря информации о них [1]. Хаотические режимы исследуются, например, в электроэнергетических системах [2, 3], радиоэлектронике [4], биологии [5], химии [6], экономике [7] и других науках. Количественной мерой хаотических режимов выступают показатели Ляпунова, которые определяют скорость разбегания фазовых траекторий, построенных при различных начальных условиях [8]. Существование хаотического режима будет определяться положительностью максимального показателя Ляпунова. Для расчета максимального показателя Ляпунова существуют такие основные алгоритмы, как алгоритм Вольфа [9] или алгоритм Бенеттина [10, 11]. Первый алгоритм связан с нахождением решения исходной динамической системы совместно с комплектами уравнений в вариациях, а второй алгоритм - с оценкой расстояния между несколькими временными рядами. Отметим, что для этих алгоритмов в силу того, что максимальный показатель Ляпунова является доминирующим по величине, для вычисления остальных минимальных показателей необходимо проводить процедуру ортогонализации Грама-Шмидта [12, Chapter 4, pp. 44-46]. Чтобы определить границы существования хаотического режима, строят спектр показателей Ляпунова в зависимости от значений управляющего параметра динамической системы. В работе с помощью алгоритма Вольфа с ортогонализацией Грама-Шмидта рассчитаны спектры показателей Ляпунова для нелинейного фрактального осциллятора. Постановка задачи и методика исследования. Задача. Рассмотрим следующую задачу Коши: (︀ )︀
×

Об авторах

Роман Иванович Паровик

Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН; Камчатский государственный университет им. Витуса Беринга

Email: parovik@ikir.ru
кандидат физико-математических наук, доцент; старший научный сотрудник; лаб. моделирования физических процессов ; декан; физико-математический факультет Россия, 684034, Камчатский край, Паратунка, ул. Мирная, 7; Россия, 683032, Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4

Список литературы

  1. Ахромеева Т С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Структуры и хаос в нелинейных средах. M: Физматлит, 2007. 488 с.
  2. Федоров В. К., Федянин В. В. Особенности режимов детерминированного хаоса преобразователей постоянного напряжения для ветро- и гелиоэлектростанций // Известия Томского политехнического университета. Инжиниринг георесурсов, 2016. Т. 327, № 3. С. 47-56.
  3. Аливер В. Ю. Хаотические режимы в непрерывных динамических системах // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение, 2006. № 1. С. 65-84.
  4. Beninca E, Ballantine B., Ellner S. P., Huisman J. Species fluctuations sustained by a cyclic succession at the edge of chaos // Proc. Natl. Acad. Sci., 2015. vol. 112, no. 20. pp. 6389-6394. doi: 10.1073/pnas.1421968112.
  5. Solé R. V., Valls J. On structural stability and chaos in biological systems // J. Theor. Biol., 1992. vol. 155, no. 1. pp. 87-102. doi: 10.1016/S0022-5193(05)80550-8.
  6. Bodalea I., Oancea V. A. Chaos control for Willamowski-Rössler model of chemical reactions // Chaos, Solitons and Fractals, 2015. vol. 78. pp. 1-9. doi: 10.1016/j.chaos.2015.06.019.
  7. Peters E. E Chaos and order in the capital markets. New York, Toronto, Singapore: John Wiley & Sons, Inc., 1991. 240 pp.
  8. Верисокин А. Ю. Определение показателей Ляпунова на примере модели Селькова в присутствии внешней периодической силы // Ученые записки. Электронный научный журнал Курского государственного университета, 2013. № 2(26). С. 18-29.
  9. Wolf A., Swift J. B., Swinney H. L., Vastano J. A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D: Nonlinear Phenomena, 1985. vol. 16, no. 3. pp. 285-317. doi: 10.1016/0167-2789(85)90011-9.
  10. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: A method for computing all of them. Part 1: Theory // Meccanica, 1980. vol. 15, no. 1. pp. 9-21. doi: 10.1007/BF02128236.
  11. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: A method for computing all of them, Part 2: Numerical application // Meccanica, 1980. vol. 15, no. 1. pp. 21-30. doi: 10.1007/BF02128237.
  12. Bellman R. Introduction to matrix analysis. New York: McGraw-Hill Book Comp., 1970. xxiii+403 pp.
  13. Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформирования и его применение к задачам внутреннего трения // ПММ, 1948. Т. 12, № 3. С. 251-260.
  14. Caputo M. Elasticit‘a e dissipazione. Bologna: Zanichelli, 1969. 150 pp.
  15. Мейланов Р. П., Янполов М. С. Особенности фазовой траектории фрактального осциллятора // Письма в ЖТФ, 2002. Т. 28, № 1. С. 67-73.
  16. Mainardi F. Fractional relaxation-oscillation and fractional diffusion-wave phenomena // Chaos, Soliton & Fractal, 1996. vol. 7, no. 9. pp. 1461-1477. doi: 10.1016/0960-0779(95)00125-5.
  17. Parovik R.I. Mathematical Model of a Wide Class Memory Oscillators // Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming & Computer Software, 2018. vol. 11, no. 2. pp. 108-122. doi: 10.14529/mmp180209.
  18. Босс В. Лекции по математике. Дифференциальные уравнения. Т. 2. М.: Либроком, 2014. 208 с.
  19. Паровик Р. И. Математическое моделирование нелинейных эредитарных осцилляторов. Петропавловск-Камчатский: КамГУ им. Витуса Беринга, 2017. 135 с.
  20. Volterra V. Sur les équations intégro-différentielles et leurs applications // Acta Math., 1912. vol. 35, no. 1. pp. 295-356. doi: 10.1007/BF02418820.
  21. Паровик Р. И. Существование и единственность задачи Коши для фрактального нелинейного уравнения осциллятора // Узб. мат. ж., 2017. № 4. С. 110-118.
  22. Паровик Р. И. Об исследовании устойчивости эредитарного осциллятора Ван-дерПоля // Фундаментальные исследования, 2016. № 3-2. С. 283-287.
  23. Parovik R. I. Mathematical modeling of nonlocal oscillatory Duffing system with fractal friction // Bulletin KRASEC. Phys. Math. Sci., 2015. vol. 10, no. 1. pp. 16-21. doi: 10.18454/2313-0156-2015-10-1-16-21.
  24. Паровик Р. И. Построение карт динамических режимов и бифуркационных диаграмм в нелинейной динамике с помощью среды компьютерной математики Maple / Математика и методика ее преподавания: Сборник научно-методических статей. Петропавловск-Камчатский: КамГУ им. Витуса Беринга, 2015. С. 110-120.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML

© Самарский государственный технический университет, 2018

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах