Chaotic regimes of a fractal nonlinear oscillator



Cite item

Full Text

Abstract

In the paper, a fractal nonlinear oscillator was investigated with the aim of identifying its chaotic oscillatory regimes. The measure of chaos for a dynamic system is the maximum Lyapunov exponents. They are considered as a measure of the dispersal of several phase trajectories constructed under different initial conditions. To determine the maximum Lyapunov exponents, algorithms are used which are related either to the study of time series (Benettin’s algorithm) or to the direct solution of an extended dynamical system (Wolff’s algorithm). In this paper, the Wolf algorithm with the Gram-Schmidt orthogonalization procedure was used as the method for constructing Lyapunov’s maximum exponents. This algorithm uses the solution of the extended initial dynamical system in conjunction with the variational equations, and the Gram-Schmidt orthogonalization procedure makes it possible to level out the component of the maximum Lyapunov exponent when computing vectors along phase trajectories. Further, the Wolf algorithm was used to construct the spectra of Lyapunov exponents as a function of the values of the control parameters of the initial dynamical system. It was shown in the paper that certain spectra of Lyapunov exponents contain sets of positive values, which confirms the presence of a chaotic regime, and this is also confirmed by phase trajectories.It was also found that the fractal nonlinear oscillator has not only oscillatory modes, but also rotations. These rotations can be chaotic and regular.

Full Text

Введение. Исследование различных динамических систем с целью выявления хаотических режимов имеет важное практическое значение. Это связано с тем, что хаотические режимы практически всегда возникают в нелинейных средах и обладают такими важными свойствами, как зависимость от начальных условий и потеря информации о них [1]. Хаотические режимы исследуются, например, в электроэнергетических системах [2, 3], радиоэлектронике [4], биологии [5], химии [6], экономике [7] и других науках. Количественной мерой хаотических режимов выступают показатели Ляпунова, которые определяют скорость разбегания фазовых траекторий, построенных при различных начальных условиях [8]. Существование хаотического режима будет определяться положительностью максимального показателя Ляпунова. Для расчета максимального показателя Ляпунова существуют такие основные алгоритмы, как алгоритм Вольфа [9] или алгоритм Бенеттина [10, 11]. Первый алгоритм связан с нахождением решения исходной динамической системы совместно с комплектами уравнений в вариациях, а второй алгоритм - с оценкой расстояния между несколькими временными рядами. Отметим, что для этих алгоритмов в силу того, что максимальный показатель Ляпунова является доминирующим по величине, для вычисления остальных минимальных показателей необходимо проводить процедуру ортогонализации Грама-Шмидта [12, Chapter 4, pp. 44-46]. Чтобы определить границы существования хаотического режима, строят спектр показателей Ляпунова в зависимости от значений управляющего параметра динамической системы. В работе с помощью алгоритма Вольфа с ортогонализацией Грама-Шмидта рассчитаны спектры показателей Ляпунова для нелинейного фрактального осциллятора. Постановка задачи и методика исследования. Задача. Рассмотрим следующую задачу Коши: (︀ )︀
×

About the authors

Roman I Parovik

Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation, Far East Division, Russian Academy of Sciences; Vitus Bering Kamchatka State Univrsity

Email: parovik@ikir.ru
Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Senior Researcher; Lab. of Modeling of Physical Processes ; Dean; Faculty of Physics and Mathematics 7, Mirnaya st., Paratunka, Kamchatkiy kray, 684034, Russian Federation; 4, Pogranichnaya st., Petropavlovsk-Kamchatskiy, 683032, Russian Federation

References

  1. Ахромеева Т С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Структуры и хаос в нелинейных средах. M: Физматлит, 2007. 488 с.
  2. Федоров В. К., Федянин В. В. Особенности режимов детерминированного хаоса преобразователей постоянного напряжения для ветро- и гелиоэлектростанций // Известия Томского политехнического университета. Инжиниринг георесурсов, 2016. Т. 327, № 3. С. 47-56.
  3. Аливер В. Ю. Хаотические режимы в непрерывных динамических системах // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение, 2006. № 1. С. 65-84.
  4. Beninca E, Ballantine B., Ellner S. P., Huisman J. Species fluctuations sustained by a cyclic succession at the edge of chaos // Proc. Natl. Acad. Sci., 2015. vol. 112, no. 20. pp. 6389-6394. doi: 10.1073/pnas.1421968112.
  5. Solé R. V., Valls J. On structural stability and chaos in biological systems // J. Theor. Biol., 1992. vol. 155, no. 1. pp. 87-102. doi: 10.1016/S0022-5193(05)80550-8.
  6. Bodalea I., Oancea V. A. Chaos control for Willamowski-Rössler model of chemical reactions // Chaos, Solitons and Fractals, 2015. vol. 78. pp. 1-9. doi: 10.1016/j.chaos.2015.06.019.
  7. Peters E. E Chaos and order in the capital markets. New York, Toronto, Singapore: John Wiley & Sons, Inc., 1991. 240 pp.
  8. Верисокин А. Ю. Определение показателей Ляпунова на примере модели Селькова в присутствии внешней периодической силы // Ученые записки. Электронный научный журнал Курского государственного университета, 2013. № 2(26). С. 18-29.
  9. Wolf A., Swift J. B., Swinney H. L., Vastano J. A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D: Nonlinear Phenomena, 1985. vol. 16, no. 3. pp. 285-317. doi: 10.1016/0167-2789(85)90011-9.
  10. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: A method for computing all of them. Part 1: Theory // Meccanica, 1980. vol. 15, no. 1. pp. 9-21. doi: 10.1007/BF02128236.
  11. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: A method for computing all of them, Part 2: Numerical application // Meccanica, 1980. vol. 15, no. 1. pp. 21-30. doi: 10.1007/BF02128237.
  12. Bellman R. Introduction to matrix analysis. New York: McGraw-Hill Book Comp., 1970. xxiii+403 pp.
  13. Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформирования и его применение к задачам внутреннего трения // ПММ, 1948. Т. 12, № 3. С. 251-260.
  14. Caputo M. Elasticit‘a e dissipazione. Bologna: Zanichelli, 1969. 150 pp.
  15. Мейланов Р. П., Янполов М. С. Особенности фазовой траектории фрактального осциллятора // Письма в ЖТФ, 2002. Т. 28, № 1. С. 67-73.
  16. Mainardi F. Fractional relaxation-oscillation and fractional diffusion-wave phenomena // Chaos, Soliton & Fractal, 1996. vol. 7, no. 9. pp. 1461-1477. doi: 10.1016/0960-0779(95)00125-5.
  17. Parovik R.I. Mathematical Model of a Wide Class Memory Oscillators // Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming & Computer Software, 2018. vol. 11, no. 2. pp. 108-122. doi: 10.14529/mmp180209.
  18. Босс В. Лекции по математике. Дифференциальные уравнения. Т. 2. М.: Либроком, 2014. 208 с.
  19. Паровик Р. И. Математическое моделирование нелинейных эредитарных осцилляторов. Петропавловск-Камчатский: КамГУ им. Витуса Беринга, 2017. 135 с.
  20. Volterra V. Sur les équations intégro-différentielles et leurs applications // Acta Math., 1912. vol. 35, no. 1. pp. 295-356. doi: 10.1007/BF02418820.
  21. Паровик Р. И. Существование и единственность задачи Коши для фрактального нелинейного уравнения осциллятора // Узб. мат. ж., 2017. № 4. С. 110-118.
  22. Паровик Р. И. Об исследовании устойчивости эредитарного осциллятора Ван-дерПоля // Фундаментальные исследования, 2016. № 3-2. С. 283-287.
  23. Parovik R. I. Mathematical modeling of nonlocal oscillatory Duffing system with fractal friction // Bulletin KRASEC. Phys. Math. Sci., 2015. vol. 10, no. 1. pp. 16-21. doi: 10.18454/2313-0156-2015-10-1-16-21.
  24. Паровик Р. И. Построение карт динамических режимов и бифуркационных диаграмм в нелинейной динамике с помощью среды компьютерной математики Maple / Математика и методика ее преподавания: Сборник научно-методических статей. Петропавловск-Камчатский: КамГУ им. Витуса Беринга, 2015. С. 110-120.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2018 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies