Отправить статью по E-mail О дифференциальных операторах и дифференциальных уравнениях на торе
- Авторы: Бурский В.П.1
-
Учреждения:
- Московский физико-технический институт (государственный университет)
- Выпуск: Том 22, № 4 (2018)
- Страницы: 607-619
- Раздел: Статьи
- Статья получена: 14.02.2020
- Статья опубликована: 15.12.2018
- URL: https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/20599
- DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1659
- ID: 20599
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Рассматриваются периодические граничные задачи для дифференциального уравнения, коэффициентами которого являются тригонометрические полиномы. Строятся пространства обобщенных функций, в которых рассмотренные задачи имеют решения, в частности, построено пространство разрешимости периодического аналога уравнения Мизохаты. Строится периодический аналог и обобщение конструкции нестандартного анализа, содержащее в себе не только функции, но и функциональные пространства. В качестве иллюстрации к высказыванию, что не все конструкции на торе ведут к упрощению по сравнению с плоскостью, рассматривается периодический аналог понятия гипоэллиптического дифференциального оператора, где оказываются существенными теоретико-числовые свойства. В частности, оказывается, что если полином с целыми коэффициентами неприводим в рациональном поле, то соответствующий дифференциальный оператор гипоэллиптичен на торе.
Полный текст
1. О разрешимости дифференциальных уравнений на торе. Периодическая граничная задача для дифференциального уравнения - популярный объект и в математическом образовании, и в исследовательской деятельности (см., напр., [1-3]). Как отметил Лакс [4], в периодической теории дифференциальных уравнений отсутствуют некоторые технические трудности, поэтому возможно построение особо красивой теории. Рассматривая периодическую граничную задачу для линейного дифференциального уравнения, мы попадаем в удивительный мир функций на торе, когда представление тора в виде произведения окружностей позволяет нам отслеживать поведение функций нескольких переменных по каждой переменной в отдельности, когда базисные элементы являются собственными для операторов дифференцирования и для любого линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами, а кроме того, компактность многообразия без края позволяет нам забыть о границе и о поведении на бесконечности, и единственная бесконечность, с которой мы здесь сталкиваемся, - это бесконечность по размерности, что дает нам возможность сосредоточить свое внимание единственно на ней. 1.1. Пространства периодических функций. Количество переменных для наших целей несущественно, поэтому будем вести изложение для случая двух переменных. Хорошо известно, что каждый ряд Фурье (или, иначе, тригонометрический ряд) ∑︁×
Об авторах
Владимир Петрович Бурский
Московский физико-технический институт (государственный университет)
Email: bvp30@mail.ru
доктор физико-математических наук, профессор; профессор каф. высшей математики Россия, 141700, Московская обл., Долгопрудный, Институтский пер., 9
Список литературы
- Bers L., John F., Schechter M. Partial differential equations / Lectures in Applied Mathematics. Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1979. xiii+343 pp.
- Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач. М.: Наука, 1980. 208 с.
- Пташник Б. Й. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. Киев: Наук. думка, 1984. 264 с.
- Lax P. D. On Cauchy’s problem for hyperbolic equations and the differentiability of elliptic equations // Comm. Pure Appl. Math., 1955. vol. 8, no. 4. pp. 615-633. doi: 10.1002/cpa.3160080411.
- Bourbaki N. Elements of mathematics. Topological vector spaces. Berlin: Springer Verlag, 1987. vii+364 pp.
- Hörmander L. The analysis of linear partial differential operators. II: Differential operators with constant coefficients / Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. vol. 257. Berlin: Springer Verlag, 1983. viii+391 pp.
- Lewy H. An example ol a smooth linear partial differential equation without solution // Ann. Math., 1957. vol. 66, no. 1. pp. 155-158. doi: 10.2307/1970121.
- Грушин В. В. Об одном примере дифференциального уравнения без решений // Матем. заметки, 1971. Т. 10, № 2. С. 125-128.
- Garabedian P. R. An unsolvable equation // Proc. Amer. Math. Soc., 1970. vol. 25, no. 1. pp. 207-208. doi: 10.1090/s0002-9939-1970-0252809-6.
- Mizohata S. Solutions nulles et solution non analytiques // J. Math. Kyoto Univ., 1962. vol. 1, no. 2 pp. 271-302. doi: 10.1215/kjm/1250525061.
- Федорюк М. В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 368 с.
- Hörmander L. Linear partial differential operators / Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 116. Berlin: Springer Verlag, 1963. vii+285 pp.
- Бухштаб А. А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966. 384 с.
- Davis M. Applied nonstandard analysis / Pure and Applied Mathematics. New York: John Wiley & Sons, 1977. xii+181 pp.
Дополнительные файлы
