The Lagrange multipliers method in covariant formulations of micropolar continuum mechanics theories

Full Text

Предварительные сведения и вводные замечания. Термины «работа» и «энергия» (фиксируя представление о том, что силы могут совершать «работу», механическая система может обладать «энергией») относятся к числу важнейших как в аналитической механике, так и в механике сплошных деформируемых сред [1-4]. Исторически понятие работы в исследованиях по механике систематически используется начиная с нового естествознания, т. е. более трех столетий, хотя в несколько завуалированной форме встречается уже в античную эпоху. Согласно принципу возможных (виртуальных) перемещений (И. Бернулли, 1717 г.), малое и допускаемое связями перемещение системы из состояния равновесия может быть произведено без «затраты» работы. Значение принципа виртуальных перемещений заключается прежде всего в том, что при поиске уравнений равновесия механической системы, подчиненной геометрическим связям, нет никакой необходимости обладать какими-либо знаниями о том, как наложенные связи фактически реализуются, т.е. нет необходимости в определении сил реакций связей. Достаточно знать только все возможные виды перемещений, которые наложенные связи допускают, для системы, подчиненной связям. С прикладной точки зрения принцип виртуальных перемещений обладает одним неоспоримым преимуществом: он в одном вариационном уравнении соединяет совокупность всех условий механического равновесия. В основу микрополярных теорий механики континуума может быть положен всего один принцип - принцип виртуальных перемещений. Вообще, принцип виртуальных перемещений занимает уникальное место в теории и механике сплошных деформируемых сред. В механике континуума принцип виртуальных перемещений обычно удобнее формулировать, используя только запас вариаций перемещений (а в случае микрополярной теории - еще и вариаций микроповоротов), соответствующих жестким перемещениям тела (и его жестким поворотам). Этим обеспечивается удивительная компактность и изящность математического представления этого принципа. Естественно, что правило множителей Лагранжа позволяет затем избавиться от такого рода ограничений на вариации перемещений и микровращений. В настоящей работе принцип виртуальных перемещений в сочетании с правилом множителей Лагранжа применяется для вывода основных уравнений линейной теории микрополярной упругости.1 При этом в качестве мер деформации выбираются симметричный тензор деформации, вектор относительного вращения и пространственный градиент вектора полного вращения. Правило множителей является универсальным методом всего вариационного исчисления и широко используется даже за пределами границ его доказанной обоснованности. В случае микрополярной теории основная проблема - доказательство существования малых вариаций, не нарушающих наложенных дифференциальных ограничений, - сразу же получает свое решение: искомые вариации суть малые жесткие перемещения и повороты. Работа может рассматриваться также и как скрипт основных уравнений линейной микрополярной упругости, которые последовательно выводятся из принципа виртуальных перемещений с помощью правила множите1 Механике микрополярного континуума посвящено огромное количество работ. Мы укажем здесь только на одну из них - известную монографию В. Новацкого [5]. 505 Р а д а е в Ю. Н. лей Лагранжа. В большей степени это утверждение относится к модели гемитропного микрополярного тела, которое рассматривается в работе с необходимой полнотой. Определяющий гемитропное тело потенциал инвариантен по отношению ко всем собственно ортогональным преобразованиям, т.е. поворотам пространства, но его инвариантность нарушается по отношению к зеркальным отражениям и инверсиям пространства. Гемитропное (noncentrosymmetric, acentric, hemitropic or chiral) микрополярное упругое тело характеризуется сравнительно небольшим (в отличие от общей анизотропии) числом определяющих постоянных. Гемитропные материалы широко распространены в биологии, химии, оптике и многих других областях физики и в настоящее время интенсивно изучаются. Изложение ведется исключительно в координатной форме и система координат в пространстве (оно считается трехмерным со стандартной евклидовой метрикой) предполагается криволинейной. Такой подход был выбран сознательно, поскольку в современной научной литературе невозможно найти представления уравнений микрополярной теории упругости в произвольных криволинейных координатах. Ясно, что как исходные, так и «окончательные» уравнения теории должны иметь объективную природу, хотя они и записываются с помощью частной пространственной координатной системы. Поэтому все уравнения необходимо будут иметь тензорную форму, т.е. ковариантную форму, пригодную для всех мыслимых координатных систем. Последнее обстоятельство вовсе не означает, что выбор системы координат в пространстве всегда безразличен. В прикладных вопросах благодаря удачному выбору координатной системы оказывается возможным учесть «симметрию» и существенно упростить выкладки, а также получить весьма простые и легко обозримые формы уравнений. Другой аспект затронутой проблемы - распознавание инвариантов, значения которых объективны и на самом деле не зависят от координатной системы (по поводу теории рациональных алгебраических инвариантов см. монографию [6]). 1. Относительный микроповорот. Тензор чистой деформации. Тензор изгиба-кручения. Классические модели континуума основываются на представлении о том, что континуум состоит из «обычных» материальных точек, положение которых в пространстве определяется их местом и которые совершают лишь поступательные движения вдоль (вообще говоря, криволинейных) траекторий. В этом смысле говорят о трех независимых трансляционных степенях свободы, которыми обладает каждая индивидуальная точка континуума. Широко известно обобщение данного представления, выполненное в 1909 г. Коссера [7]: каждая индивидуальная точка континуума наделяется тремя дополнительными вращательными степенями свободы и, следовательно, мыслится уже как элементарное свободное твердое тело, обладающее шестью степенями свободы. Это обобщение выглядит наиболее естественным среди очень большого разнообразия моделей современной механики континуума. Работа Коссера привлекла огромный интерес исследователей, правда, лишь полвека спустя. Зафиксируем в пространстве некоторую координатную систему (вообще говоря, криволинейную). Обозначим через

About the authors

Yuri N Radayev

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences

Email: radayev@ipmnet.ru; y.radayev@gmail.com
Dr. Phys. & Math. Sci., PhD, MSc, Professor; Leading Researcher; Lab. of Modeling in Solid Mechanics 101-1, pr. Vernadskogo, Moscow, 119526, Russian Federation

References

Supplementary files