Отправить статью по E-mail Численный метод нелинейного оценивания на основе разностных уравнений
- Авторы: Зотеев В.Е.1
-
Учреждения:
- Самарский государственный технический университет
- Выпуск: Том 22, № 4 (2018)
- Страницы: 669-701
- Раздел: Статьи
- Статья получена: 14.02.2020
- Статья опубликована: 15.12.2018
- URL: https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/20606
- DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1643
- ID: 20606
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Рассматривается новый численный метод оценки параметров нелинейных математических моделей, в основе которого лежат разностные уравнения, описывающие результаты наблюдений. Алгоритм численного метода содержит следующие шаги: - построение линейно-параметрической дискретной модели исследуемого процесса в форме разностных уравнений, коэффициенты которых известным образом связаны с параметрами нелинейной математической модели; - формирование на основе разностных уравнений обобщенной регрессионной модели; - вычисление оценки начального приближения и уточнения среднеквадратичных оценок коэффициентов обобщенной регрессионной модели на основе итерационной процедуры; - вычисление оценок параметров нелинейной математической модели на основе среднеквадратичных оценок коэффициентов разностных уравнений; - оценка погрешности результатов вычислений на основе методов статистической обработки данных эксперимента. Предлагаются различные подходы к построению систем разностных уравнений для математических моделей в форме нелинейных функциональных зависимостей. Получены соотношения, лежащие в основе итерационного процесса уточнения коэффициентов обобщенной регрессионной модели, построенной на основе разностных уравнений. Описана процедура оценки погрешности результатов вычислений параметров нелинейных функциональных зависимостей, известным образом связанных с коэффициентами системы разностных уравнений. Применение численного метода на основе разностных уравнений проиллюстрировано на примерах оценки параметров математической модели линейного осциллятора с затуханием, модели свободных колебаний диссипативной механической системы с турбулентным трением, а также параметров логистического тренда, описываемого функцией Верхулста (Перла-Рида).
Полный текст
Введение. Одной из основных проблем при построении математических моделей по результатам наблюдений, полученных в ходе эксперимента или натурных испытаний, является нелинейность математической модели относительно ее параметров. В тех случаях, когда форма математической модели однозначно не обусловлена априорной информацией, полученной на основе физических, химических или иных законов, описанных, например, в виде уравнений математической физики, широко используются линейные регрессионные модели, оценивание и статистический анализ параметров которых, как правило, не вызывает каких-либо затруднений [1-3]. Однако достаточно часто математические модели в форме функциональных зависимостей, описывающих исследуемый процесс или взаимосвязь между характеристиками объекта исследования, строятся на основе решения систем интегро-дифференциальных уравнений, нелинейных по своей природе. Причем нередко линеаризация полученных соотношений настолько упрощает математическую модель, что применение ее в задаче параметрической идентификации становится не только нецелесообразным, но и практически бессмысленным. Таким образом, проблема нелинейного оценивания - вычисления параметров нелинейных математических моделей по результатам наблюдений - всегда была и остается важнейшей проблемой при математическом моделировании. Пусть математическая модель наблюдаемого процесса описывается нелинейной функциональной зависимостью вида×
Об авторах
Владимир Евгеньевич Зотеев
Самарский государственный технический университет
Email: zoteev-ve@mail.ru
доктор технических наук, доцент; профессор, каф. прикладной математики и информатики Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244
Список литературы
- Вучков И., Бояджиева Л., Солаков О. Прикладной линейный регрессионный анализ. М.: Финансы и статистика, 1987. 238 с.
- Draper N. R., Smith H. Applied regression analysis / Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics. New York etc.: John Wiley & Sons, 1981. xiv+709 pp. doi: 10.1002/9781118625590.
- Демиденко Е. З. Линейная и нелинейная регрессии. М.: Финансы и статистика, 1981. 302 с.
- Björck Å. Numerical methods in matrix computations / Texts in Applied Mathematics. vol. 59. Cham: Springer, 2015. xvi+800 pp. doi: 10.1007/978-3-319-05089-8.
- Bard Y. Nonlinear parameter estimation. New York: Academic Press, 1974. x+341 pp.
- Gunst R. F., Mason R. L. Regression analysis and its application. A data-oriented approach / Statistics: Textbooks and Monographs. vol. 34. New York, Basel: Marcel Dekker, 1980. xv+402 pp.
- Грановский В. А., Сирая Т. Н. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях. Л.: Энергоатомиздат, 1990. 288 с.
- Marquardt D. W. An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters // J. Soc. Ind. Appl. Math., 1963. vol. 11, no. 2. pp. 431-441. doi: 10.1137/0111030.
- Hartley H. O., Booker A. Nonlinear least squares estimation // Ann. Math. Stat., 1965. vol. 36. pp. 638-650. doi: 10.1214/aoms/1177700171.
- Формалиев В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. М.: Физматлит, 2006. 400 с.
- Зотеев В. Е. Параметрическая идентификация диссипативных механических систем на основе разностных уравнений. М.: Машиностроение, 2009. 344 с.
- Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и
- Егорова А. А Метод параметрической идентификации систем с турбулентным трением / Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 2. Самара: СамГТУ, 2011. С. 143-156.
- Волков Е. А. Численные методы. СПб.: Лань, 2004. 256 с.
- Дубовцев А. В., Ермолаев М. Б. Прогнозирование развития рынка мобильной связи на основе
- Martino J. P. Technological forecasting for decisionmaking. New York: American Elsevier, 1972. xviii+750 pp.
- Дуброва Т. А. Статистические методы прогнозирования. М.: Юнити-Дана, 2003. 206 с.
- Зотеев В. Е. Параметрическая идентификация линейной динамической системы на основе стохастических разностных уравнений // Матем. моделирование, 2008. Т. 20, № 9. С. 120-128.
- Зотеев В. Е., Стукалова Е. Д., Башкинова Е. В. Численный метод оценки параметров нелинейного дифференциального оператора второго порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, № 3. С. 556-580. doi: 10.14498/vsgtu1560.
- Зотеев В. Е., Макаров Р. Ю. Численный метод определения параметров модели ползучести в пределах первых двух стадий // Вестник Самарского университета. Аэрокосмическая техника, технологии и машиностроение, 2017. Т. 16, № 2. С. 145-146. doi: 10.18287/2541-7533-2017-16-2-145-156.
- Макаров Р. Ю. Численный метод определения параметров кривой ползучести на основе закона Содерберга // Вестник Самарского университета. Аэрокосмическая техника, технологии и машиностроение, 2015. Т. 14, № 2. С. 113-117. doi: 10.18287/2412-7329-2015-14-2-113-118.
- Зотеев В. Е., Макаров Р. Ю. Численный метод оценки параметров деформации ползучести при степенной зависимости параметра разупрочнения // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование, 2016. Т. 51, № 3. С. 18-25.
Дополнительные файлы
