Анализ возможностей описания влияния гидростатического давления на кривые ползучести и коэффициент поперечной деформации реономных материалов в рамках линейной теории вязкоупругости
- Авторы: Хохлов А.В.1
-
Учреждения:
- Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Научно-исследовательский институт механики
- Выпуск: Том 23, № 2 (2019)
- Страницы: 304-340
- Раздел: Статьи
- Статья получена: 14.02.2020
- Статья опубликована: 15.06.2019
- URL: https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/20628
- DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1654
- ID: 20628
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Исследуются арсенал возможностей и индикаторы границы области применимости линейного интегрального определяющего соотношения вязкоупругости Больцмана-Вольтерры с двумя произвольными материальными функциями (сдвиговой и объемной ползучести) для изотропных реономных материалов, пренебрегающего влиянием шаровой и девиаторной частей тензоров напряжений и деформаций друг на друга и влиянием их третьих инвариантов. Аналитически изучены общие свойства семейств кривых объемной, продольной и поперечной ползучести и коэффициента поперечной деформации («коэффициента Пуассона»), порождаемых этим соотношением при одноосном нагружении постоянной нагрузкой в сочетании с постоянным гидростатическим давлением, и их зависимость от качественных характеристик функций ползучести и уровней осевого напряжения и давления. Показано, что объемная ползучесть и давление могут существенно изменить качественное поведение кривых осевой и поперечной ползучести и коэффициента Пуассона. Доказано, что линейная теория вязкоупругости способна моделировать немонотонное изменение и знакопеременность поперечной деформации и коэффициента Пуассона даже при нулевом давлении, а осевой деформации - при достаточно большом давлении; исследованы условия наличия у них точек экстремума и перегиба. Исследованы выражения для коэффициента Пуассона и параметра вида деформированного состояния через отношение функций ползучести, время и отношение давления к осевому напряжению. Получены общие точные оценки для диапазона изменения коэффициента Пуассона, условия его монотонности и немонотонности в зависимости от времени и критерий его отрицательности. В результате анализа обнаружен ряд характерных общих свойств семейств кривых ползучести и зависимости коэффициента Пуассона от времени и относительной величины давления, которые удобно проверять в испытаниях материалов и использовать как индикаторы границы области линейного поведения (индикаторы неприменимости линейной теории вязкоупругости) по данным серии испытаний материала на ползучесть при совместном действии растягивающей силы и гидростатического давления. Исследованы специфические свойства кривых ползучести, порождаемых линейной теорией вязкоупругости в сочетании с предположением об упругом изменении объема, и соответствующие индикаторы неприменимости подобной модели (с одной материальной функцией).
Ключевые слова
наследственность, объемная ползучесть, сдвиговая и объемная функции ползучести, кривые осевой и поперечной ползучести, коэффициент поперечной деформации, влияние среднего напряжения, параметр вида деформированного состояния, отрицательность и немонотонность коэффициента Пуассона, индикаторы границы области линейности, идентификация
Полный текст
Введение. Анализ большого объема данных механических испытаний, микроскопии и рентгенографии разнообразных (даже изначально изотропных) материалов показывает, что изменение объема при нагружении, объемная ползучесть и релаксация, вид напряженно-деформированного состояния и его эволюция, влияние среднего напряжения и его истории на осевые и сдвиговые деформации и связанные с ними термомеханические эффекты весьма существенны при описании деформирования и прочности многих реономных материалов [1-54], а наложение высокого всестороннего (гидростатического) давления оказывает сильное воздействие на физические и механические свойства большинства материалов, а также на их структуру и фазовый состав (подробнее см. обзоры в [1-6, 55]). На макроуровне они заметно влияют на проявление свойств материалов в одноосных испытаниях, на кривые релаксации и ползучести при растяжении-сжатии и сдвиге, кривые длительной прочности, кривые нагружения с постоянной скоростью и циклического нагружения. У подавляющего большинства материалов с ростом давления возрастают пластичность (предельная деформация при разрушении и длина площадки текучести при деформировании с постоянной скоростью), касательный модуль (жесткость), предел текучести, предел прочности на растяжение, длительная прочность, коэффициент поперечной деформации («коэффициент Пуассона»), модуль релаксации, времена релаксации и вязкость, уменьшаются скорости ползучести и релаксации и податливость при ползучести. Регистрация и адекватный учет подобных эффектов (или пренебрежение ими) влияют на результаты обработки и интерпретации данных испытаний, достоверность определения механических свойств материалов, оценку скорости накопления повреждений и долговечности элементов конструкций. К материалам, у которых эти эффекты влияния среднего напряжения, сжимаемости и объемной ползучести ярко выражены (даже при малых деформациях), относятся, прежде всего, многие полимеры (полиэтилены, полипропилены, фторопласты и т.п.), дисперсно наполненные полимеры (твердые топлива, асфальтобетоны, ударопрочный полистирол, АБС-пластики), прессованные порошковые композиты, сплавы, металлические и полимерные пены, льды, грунты, горные породы и т.п. [1-11, 16-29, 31, 35, 36, 38-54]. Для них стандартные гипотезы (сильно упрощающие решения краевых задач и расчеты элементов конструкций) об объемной несжимаемости или упругой связи объемной деформации со средним напряжением (об отсутствии объемной ползучести), о независимости этой связи от второго (и третьего) инварианта тензора напряжения и вида напряженного состояния, о постоянстве коэффициента Пуассона оказываются непригодными [2-6, 11, 18-24, 26, 27, 31, 37, 40, 41, 44], для таких материалов особенно сложно найти (маркировать) границу области линейного поведения. Коэффициент поперечной деформации (КПД) = / реономных материалов при одноосном нагружении не постоянен, а зависит от времени (от продольной деформации ()) и программы нагружения. Зависимости поперечной и объемной деформаций ( и ) от времени и осевой деформации, поведение и диапазоны значений КПД для упомянутых классов (изотропных) реономных материалов весьма разнообразны даже в испытаниях на ползучесть при постоянной нагрузке или на релаксацию [1-54]. У большинства металлов, многих стекол, полимеров (например полиэтиленов высокой плотности, эпоксидных смол, ПММА и т.п.) и порошковых композитов наблюдается монотонное возрастание с ростом () [12, 13, 25, 33, 38, 39] (и порой - убывание объемной деформации при растяжении). У многих реономных материалов, как достаточно хрупких, так и высокоэластичных (твердое топливо, асфальтобетон, АБС-пластики, чугун и т.п.), наблюдается убывание (), связываемое обычно с необратимым изменением объема при растяжении или сжатии [2, 5, 6, 24, 31, 37, 40, 41, 44]. В последние три десятилетия обнаружены, активно конструируются и исследуются новые материалы (как правило, упругие) с отрицательным КПД (auxetics) [45-54]. У некоторых материалов объемная деформация и КПД меняются немонотонно и меняют знак [5, 6, 19, 42, 43, 49]. Объемную ползучесть, изменение КПД и вида напряженного или деформированного состояния и типичные механические эффекты, связанные с ними, следует учитывать при обработке и интерпретации кривых испытаний наследственных материалов (в частности методами индентирования) и при выборе и идентификации определяющего соотношения (ОС) для моделирования их поведения. Для выбора того или иного ОС для описания поведения некоторого материала (и дальнейшего совершенствования и обобщения ОС) важно знать, какие механические эффекты оно способно моделировать и при каких требованиях к материальным функциям, в частности, какие из упомянутых эффектов, связанных с объемной и поперечной деформациями и влиянием всестороннего давления. Для этого необходимо системное аналитическое исследование общих свойств кривых релаксации, ползучести и деформирования, которые порождает применяемое ОС с произвольными материальными функциями при разных типовых программах нагружения, и их зависимости от параметров программ нагружения и характеристик материальных функций. В частности, системное исследование арсенала возможностей интеграль ного ОС Больцмана-Вольтерры с произвольными функциями ползучести (круга моделируемых и немоделируемых эффектов, сфер влияния материальных функций и т.п.) и удобных для проверки по данным тех или иных испытаний материалов индикаторов его (не)применимости. Ведь оно играет роль своеобразного «окуляра», «эталонной» сетки реперных точек, отсчетной базы для сопоставления, по отношению к которой естественно изучать эффекты нелинейного поведения материалов (отклонения от предсказаний линейной модели как начального приближения), наблюдаемые в испытаниях материалов и описываемые различными нелинейными ОС (но не описываемые линейными). Нередко случается, что нелинейности поведения материла приписывают эффекты [56-63], адекватно описываемые в рамках линейной теории [64-67], вытекающие лишь из наличия наследственности и присущие всем (почти всем) линейно вязкоупругим материалам (при достаточно малых деформациях и скоростях). Точное знание арсенала возможностей и границ области применимости линейной теории вязкоупругости и имманентных свойств порождаемых ею базовых теоретических кривых, вытекающих из постулатов наследственности, линейности и инвариантности относительно сдвигов по времени интегральных операторов, связывающих истории напряжений и деформаций, необходимо для грамотного моделирования, выбора или построения более сложных и точных моделей поведения реономных материалов, использующих линейную теорию наследственности и обобщающих ее в определенных аспектах, для их идентификации, аттестации и сопоставления и, в целом, для совершенствования расчетных схем и методов расчета конструкций. Данная статья продолжает цикл работ [64-71, 55] (и др.) по системному исследованию комплекса моделируемых реологических эффектов и границ области применимости линейного определяющего соотношения (ОС) вязкоупругости Больцмана-Вольтерры: () = + 0 , () = 1.5 (), = 0 0 , 0 () = ()/3, = 0 , () = 30 = (), = ( )( ), 0 = 0 ( )( ), > 0, 0 (1) (2) 0 с двумя произвольными материальными функциями () и 0 () (функциями сдвиговой и объемной ползучести) [2, 72-87] и физически нелинейного ОС ) [ ] 1 ( 3 () = (())()1 0 + 0 0 () , (3) 2 3 () = , 0 () = 0 0 , с четырьмя произвольными материальными функциями (), (), 0 (), 0 (). ОС (3) - один из вариантов распространения на трехосный случай [88, 90] нелинейного уравнения наследственности (()) = ( )( ), 0 предложенного Ю. Н. Работновым [89, 90] в качестве обобщения одноосного линейного ОС (1) путем введения второй материальной функции () (подробную библиографию по этим темам см. в работах [65-71]). ОС (1) и (3) описывают процессы изотермического деформирования нестареющих изотропных вязкоупругих сред; они связывают истории изменения тензоров (малых) деформаций () и напряжений () в произвольной точке тела в предположении отсутствия взаимного влияния шаровых и девиаторных частей тензоров e = 0 I и s = 0 I (т.е. независимости объемной деформации () от касательных напряжений, а сдвиговых деформаций - от среднего напряжения 0 ()) и пренебрегая влиянием третьих инвариантов тензоров (или их параметров Лоде) [2, 73-76]. Функции ползучести (ФП) (), 0 () в ОС (1) предполагаются положительными, дифференцируемыми и возрастающими на (0; ) [72, 73, 75-79, 86, 87] и выпуклыми вверх [2, 74, 64-67], входные процессы () - кусочно-гладкими при > 0, а время и компоненты тензора напряжений - безразмерными. Множитель 3/2 вынесен из ФП () в (1) для удобства сравнения с результатами анализа нелинейного ОС (3) [55]. Конкретные задачи данной статьи - анализ общих качественных свойств семейств кривых объемной, осевой и поперечной ползучести и КПД («коэффициента Пуассона»), которые порождает ОС (1) с произвольными ФП (), 0 () при одноосном нагружении постоянной нагрузкой и одновременном приложении постоянного всестороннего давления: 11 () = (), () = (), > 0, > 0, (4) где () - функция Хевисайда, и - уровни осевого напряжения и давления, а также их сопоставление со свойствами кривых ползучести при одноосном нагружении (при = 0) и с типичными свойствами экспериментальных кривых реономных материалов и поиск индикаторов неприменимости ОС (1) (индикаторов границы области линейности). 1. Ограничения на материальные функции линейного ОС (1). Обращение ОС (1), как известно [2, 72-87], имеет вид 2 0 =R0 , () = R , R := ( )( ), 3 0 (5) R0 := 0 ( )( ), > 0, 0 где функции релаксации () и 0 () связаны с ФП и 0 интегральными уравнениями ( )( ) = , 0 ( )0 ( ) = , > 0, 0 0 выражающими условия взаимной обратности операторов: R = R = I и 0 R0 = R0 0 = I. Функции ползучести и релаксации (), 0 (), (), 0 () в ОС (1), (5) предполагаются положительными и дифференцируемыми на (0; ), функции и 0 - возрастающими и выпуклыми вверх [2, 74, 64- 67], а и 0 - убывающими и выпуклыми вниз на (0; ), и 0 могут иметь интегрируемую особенность или - сингулярность в точке = 0 (слагаемое (), где > 0, () - дельта-функция). Из этих условий следует, в частности, существование пределов (+) = inf () > 0, (0) = sup () > 0 ((0) := (0+) - обозначение для предела функции () справа в точке = 0; (0) = +, если () не ограничена сверху) и (0) = inf () > 0. Если (0) = 0 и 0 (0) = 0 (такие модели будем называть регулярными), то (0) = 1/(0) < и 0 (0) = 1/0 (0) < (т.е. мгновенный модуль сдвига 2 = 23 (0) и объемный модуль = 0 (0) диаграмм деформирования с постоянной скоростью конечны) и на линейном пространстве непрерывных кусочно гладких при > 0 функций операторы ОС (2) и (5) представимы в виде операторов Вольтерры второго рода: = (0)()+ ( )( ), R = (0)()+ ( )( ), > 0. 0 0 Все структурные модели, собранные из линейных пружин и демпферов посредством последовательных и параллельных соединений, описываются ОС (1). Любая такая модель задается уравнением вида P[d] = Q[d] с двумя дифференциальными операторами с постоянными коэффициентами, где порядки операторов = deg P, > 0, и = deg Q либо равны, либо = + 1, а характеристические корни вещественны, различны и неотрицательны. Поэтому ФП любой реологической модели - сумма экспонент с отрицательными показателями и коэффициентами, и, возможно, функции + , , > 0, а функция релаксации - сумма экспонент с отрицательными показателями и положительными коэффициентами и, возможно, постоянной > 0 и сингулярности (), > 0. Например, семейство функций () = + , > 0, , > 0, [0, ], (6) удовлетворяет всем требованиям к ФП и в случае (0; ), , > 0, порождает все четыре структурно различные (но эквивалентные [65]) четырехзвенные модели из двух пружин и двух демпферов (они регулярны, = 1 1 + 2 2 и (+) = 0), а при = 0 - трехзвенные модели Кельвина и Пойнтинга-Томпсона с одним демпфером (они регулярны и эквивалентны, = + и (+) = > 0). Так как (0) = , семейство (6) порождает нерегулярные модели лишь в случае = : - при = 0 - ньютоновскую жидкость ( = ()); - при = 0 - модель Фойгта ( = () + ); - при > 0 - обе трехзвенные модели с одной пружиной и двумя демпферами ( = () + , (+) = 0). При = 0 выражение (6) дает модель Максвелла ( = ). Если < 0, то нарушается ограничение () 6 0 и порождаемые ОС (1) кривые обратной ползучести возрастают (что противоречит данным испытаний материалов) [65]. 2. Кривые ползучести ОС (1) при одноосном растяжении. Рассмотрим мгновенное одноосное нагружение 11 () = (), где () - функция Хевисайда (ее в дальнейшем будем опускать, полагая, что > 0), т.е. 11 () = = const, а остальные компоненты тензора напряжений равны нулю. Тогда 0 = 13 (), девиатор напряжений - диагональный тензор s = 1 = 3 () diag(2, 1, 1), а из (1) следует, что девиатор деформаций тоже диагонален в любой момент времени: e = 12 () diag(2, 1, 1) и 1 (; ) = 0 (), 3 > 0. (7) У тензора деформаций = e+ 13 I тоже отличны от нуля лишь диагональные компоненты: ( ) ) 1 1 ( 11 ; = () + 0 () = 9() + 0 () , > 0, (8) 9 9 ) ( ) ( ) 1 1 ( 1 () + 0 () = 9() + 20 () . (9) 22 ; = 33 ; = 2 9 18 Уравнения (7)-(9) задают семейства кривых ползучести (КП): объемной, осевой и поперечной. Из ограничений, наложенных на ФП () и 0 (), следует, что для любого > 0 (будем для определенности рассматривать случай растяжения) (), () и 11 () положительны, монотонно возрастают и выпуклы вверх, а с ростом смещаются вверх по оси деформации. Поперечная деформация = 22 () не обязана быть ни монотонной, ни выпуклой вверх функцией: она может убывать или возрастать на всем интервале > 0, может иметь точки экстремума и перегиба и менять знак. Поскольку из (9) 1 1 () = () + 0 (), 2 9 1 1 () = () + 0 (), 2 9 при > 0 критерии (нестрогого) возрастания и выпуклости вниз () на некотором интервале времени имеют вид 0 () > 92 () или 0 () > 29 (), а уравнения для точек экстремума и перегиба: 9 9 0 () = () или 0 () = (). 2 2 Если функция 0 () ограничена (например, ФП (6) с = 0), то () = = 19 0 () < . Если обе ФП ограничены, то обе КП (8), (9) имеют при > горизонтальные асимптоты: ( ) ( 1 ) 1 1 11 () = () + 0 () , () = () + 0 () . 9 2 9 Пример 1. Рассмотрим модель (1) с (ограниченными) ФП классической модели Кельвина: = , 0 = 0 0 0 , , , 0 , 0 > 0, (0; ), 0 (0; 0 ), (10) ( = 1/ и 0 = 1/0 - времена ретардации при сдвиге и изменении объема, 1 12 1 12 (0)1 = ( )1 , = ()1 = 1 , 23 3 23 3 = 1/0 (0) = 1/(0 0 ), = 1/0 () = 1/0 = - мгновенный и длительный модули сдвига и объемные модули). По (8) и (9) 1 11 (; ) = (9 + 0 9 0 0 ), 9 1 (; ) = (9 + 20 + 9 20 0 ). 18 При > поперечная деформация () стремится к горизонтальной ( ) 1 20 9 , не зависящей от и 0 . Скорость ползучести асимптоте = 18 1 () = 18 (9 + 20 0 0 ) может менять знак; из условия экстрему ма 9 = 20 0 0 при = 0 находится (единственная) точка экстремума = (ln )/(0 ), = 4.50 0 /(), если > 0 (т.е. )& > ]1 [ ( 0 > 1 1 20 9 + 9 1 0 , или 0 < & < 1). Так как ( ) = 18 точка - точка минимума при 0 < (когда ( ) < ()) и точка максимума при 0 > (когда ( ) > ()). При = 0 поперечная деформация () всегда монотонна на луче > 0: она возрастает, если 9 > 20 , и убывает, если 20 > 9. В (случае, когда )0 = 0 (0 () = 0 ),( поперечная деформация () = 1 9() + 20 монотонно убывает и меняет знак, если 92 (0) < 0 < = 18 ) < 92 (), т.е. 92 ( ) < 0 < 29 . При 0 > (т.е. 0 > 0) все семейства КП модели (10) сходятся (снизу, равномерно на любом луче > 0 > 0) к КП модели с 0 = 0. На рис. 1, а приведены КП 11 () (кривые 1-3), ()/3 (кривые 4-6) и () = 22 (кривые 7-9) для = 1, порожденные тремя моделями вида (10) с одинаковыми сдвиговыми ФП () ( = 0.1, = 0.010, = 0.008 и = 1/ = 10) и разными 0 () (с разными временами объемной ретардации 0 = 1/0 ): 1) с 0 = 0.01 < - КП 1, 4, 7; 2) с 0 = = 0.1 - штриховые КП 2, 5, 8; 3) с 0 = 1 > - КП 3, 6, 9. Значения 0 = 0.020 и 0 = 0.015 одинаковы у всех моделей. КП всех трех )0 , моделей стремятся к одной и той же (горизонтальной асимптоте: () = 13 ( ) ) ( 1 11 () = 19 9() + 0 () = 91 9 + 0 = 11 , () = 2 9 = 0 9 18 5 = 18 (штриховые прямые 10, 11). Примечательны немонотонность и смена знака поперечной деформации: КП () модели с 0 = 0.01 < имеет точку минимума и далее стремится к асимптоте снизу, а КП с 0 = 1 > имеет точку максимума, дважды меняет знак и приближается к асимптоте сверху. Пример 2. Рассмотрим фрактальную модель Максвелла со степенными ФП: = + , 0 = 0 + 0 , , (0; 1), , 0 > 0, , 0 > 0, (11) (и непрерывными спектрами ретардации и релаксации). Ее мгновенный и длительные модули следующие: = 12 1 1 = 1 , 2 3 (0) 3 = 1/0 (0) = 01 , = 12 1 = 0, 2 3 () = 1/0 () = 0. Выпишем поперечную деформацию (9) и ее производные: = ) 1 1 1 ( (20 9 + 20 9 ), = 20 9 , 18 18 ] 1 2 [ 2 = 20 ( ) 9(2 ) . 18 Рис. 1. Кривые ползучести (7)-(9) для моделей вида (10) (a) и моделей вида (11) (b) (онлайн в цвете) [Figure 1 (color online). Fig. (a) shows the creep curves 11 () (curves 1-3), ()/3 (curves 4-6), and () = 22 (curves 7-9) for = 1 generated by three models of the form (10) with identical shear creep functions () ( = 0.1, = 0.010, = 0.008, and = 1/ = 10), and various creep functions 0 () with different times of volume retardation 0 = 1/0 : creep curves 1, 4, 7 correspond to 0 = 0.01 < ; dashed creep curves 2, 5, 8 correspond to 0 = = 0.1; creep curves 3, 6, 9 correspond to 0 = 1 > . The values 0 = 0.020 and 0 = 0.015 are the same for all curves.( All creep tend to ) curves tend to horizontal asymptotes: the creep curves 11 () 1 11 () = 19 9 + 0 = 11 (dashed line 10); the creep curves ()/3 tend to () = 0 ; the 9 3 ( ) 5 1 20 9 = 18 (dashed line 11). creep curves () = 22 tend to () = 18 Fig. (b) shows the creep curves 11 () (curves 1-3), ()/3 (curves 4-6), and () = 22 (curves 7-9) for = 1 generated by three models of the form (11) with identical shear creep functions () ( = 0.5, = 0.005, = 0.005), and various volumetric creep functions 0 (): creep curves 1, 4, 7 correspond to = 0.2 < ; dashed creep curves 2, 5, 8 correspond to = = 0.5; creep curves 3, 6, 9 correspond to = 0.8 > . Parameters 0 , 0 are fixed constants: 0 = 0.01, 0 = 0.001.] При = КП () всегда имеет единственную точку экстремума и точку перегиба: ^ = [9/(20 )]1/() , = [9( 1)/(20 ( 1))]1/() . [ ] 1 В этом случае, очевидно, (^) = 18 20 9 + 9(1 1)^ . Если < , то имеем (0+) = +, () = , ^ - точка максимума и () = . Если > , то имеем (0+) = 0, () = +, ^ - точка минимума и () = +. В обоих случаях поперечная деформация () может менять знак (даже 1 дважды - в зависимости от знаков (^) и (0) = 18 (20 9)). 1 Если = , то = 18 (20 9 + (20 9) ) - монотонная функция на полуоси > 0: она убывающая при 20 9 < 0 и возрастающая при 20 9 > 0. На рис. 1, b приведены КП 11 () (кривые 1-3), ()/3 (кривые 4-6) и () = 22 (кривые 7-9) для = 1, порожденные тремя моделями вида (11) с одинаковыми сдвиговыми ФП () (c = 0.5, = 0.005, = 0.005) и разными объемными ФП 0 (): 1) с = 0.2 < (кривые 1, 4, 7); 2) с = = 0.5 (штриховые кривые 2, 5, 8); 3) с = 0.8 > (кривые 3, 6, 9). Параметры 0 = 0.01, 0 = 0.001 фиксированы. Все три модели дают одинаковое начальное значение каждой деформации 11 (0), (0), (0): 11 (0) = 1 = 91 (9 + 0 ), (0) = 18 (9 + 20 ), (0) = 13 0 . Поперечная деформация () модели с = 0.8 > (КП 9) имеет точку минимума и становится положительной при достаточно больших . Максимум КП () с = 0.2 < (КП 7) неразличим, т.к. абсцисса точки максимума ^ = = [9/(20 )]1/() = (45/8)10/3 = (8/45)10/3 очень мала. Сделать максимум более выраженным можно, увеличив 0 или уменьшив . Кривая 10 - КП () модели с = 0.2 и значением 0 = 0.1: на ней заметны перемена знака при = 1 0.01 и максимум при ^ = [45/8]1/0.3 = 80/4510/3 7.5, а в дальнейшем () убывает и меняет знак при = 2 107 (КПД отрицателен при (1 , 2 )). Отметим, что обезразмеривание напряжений можно производить их делением на величину , где - мгновенный или длительный модуль («упругости») материала, а масштабный множитель , как правило, лучше выбирать в диапазоне от 104 до 103 , или делением на другое характерное напряжение материала (пределы ползучести, прочности или текучести при некоторой температуре и характерной для испытаний материала или решаемой краевой задачи скорости деформирования). В силу линейности ОС (1) изучаемые качественные свойства кривых не зависят от способа масштабирования напряжений и времени. 3. Свойства коэффициента поперечной деформации при ползучести. Из уравнений кривых ползучести (8), (9) найдем КПД: () = 1 9() 20 () 1 30 () = = , 11 2 9() + 0 () 2 18() + 20 () (12) или 1 3 9 = 1 + , 2 6 + 2 6 + 2 1 0 () 0 1 0 () () := 3 = = = 3 3 () () () = (13) - параметр вида деформированного состояния, = sgn = ±1, ( 2 )1/2 = = () 3 - интенсивность деформаций. Существенное отличие линейного ОС от нелинейных ОС вязкоупругости - независимость КПД от уровня напряжения и от его знака. Это свойство, если оно не выполняется в испытаниях некоторого материала на ползучесть с разными , можно использовать как индикатор нелинейности его поведения и неприменимости линейного ОС (1). Так как () > 0 и 0 () > 0 при > 0, имеем > 0, > 0 и () 6 0.5 в случае > 0. Из возрастания () следуют неравенство () > (0) и оценка () > 0.5 30 ()(18(0) + 20 ())1 для КПД (учитывающая специфику ФП); а из () > 0 следует универсальная (но более грубая) оценка () > 1 при > 0, справедливая для любых ФП. Для моделей с 0 (0) = 0 (объемно нерегулярных) и (0) = 0 формула (12) дает в пределе при > 0+ (0+) = 0.5 для любого > 0, а для моделей с (0) = 0 и 0 (0) = 0 - (0+) = 1. Таким образом, для любых ФП в ОС (1) при ползучести верна оценка 1 < () < 0.5, и эта оценка точна (не улучшаема). КПД (12) может быть отрицательным, поскольку возможно () > 0. Критерий отрицательности () на некотором интервале времени при растяжении имеет вид 9 0 () > (). (14) 2 Из (12) следует, что кривые ползучести в продольном и поперечном направлениях, вообще говоря, неподобны, т.е. КПД () непостоянен. Критерий постоянства () при одноосном растяжении (т.е. постоянства () = , > 0, в силу (13)) налагает связь на ФП ОС (1), управляющие сдвиговыми и объемными деформациями: 0 () = 3(), > 0. (15) = 3(0.5 )/(1 + ) > 0. В частности, тождество (15) выполняется для несжимаемого материала (с 0 () 0), когда () 0.5 по (12), но никогда не выполняется при всех > 0 для реономного материала с упругим изменением объема (0 () = > 0, () = const). КПД (12) не обязан быть монотонной функцией. Поскольку из (13) ( ) () 6 + 2() 2()() 18() () = 3 = ( (16) ( )2 )2 , 6 + 2() 6 + 2() одинаковы, и потому совпадают интервалы монотонности знаки () и () () и (). Продифференцируем выражение для (): = 1 ()2 (), () 3 () := 0 ()() 0 ()(). (17) Так как 0 ()/() > 0 при всех > 0, критерий возрастания КПД (убывания ()) на некотором интервале времени имеет вид 0 ()/0 () 6 ()/(), а необходимое условие экстремума - вид () = 0, т.е. 0 ()/0 () = ()/(). (18) Пример 3. Для ОС (1) с (ограниченными) ФП классической модели Кельвина (10) имеем (0) = () = 0 , 3 () = 1 + 27 18 + 20 (т.е. при > функции () и () имеют горизонтальные асимптоты, не зависящие от и 0 ). По (17) () = 0 0 0 ( ) (0 0 0 ) = = 0 ( 0 )0 + 0 0 0 0 . При = 0 (когда времена сдвиговой и объемной ретардации совпадают) () = (0 0 ) , т.е. при 0 > 0 () > 0 и КПД убывает на всем луче > 0, а при 0 < 0 имеем () < 0 и КПД возрастает на луче > 0. Условие наличия отрицательных значений КПД (14) имеет вид ( ) 0 0 > 92 ( ) или 0 29 > 0 92 . При = 0 функция () может менять знак, и потому () и () могут иметь точки максимума и минимума. На рис. 2, a приведены графики КПД () трех моделей вида (10) с одинаковыми сдвиговыми ФП () ( = 0.1, = 1, = 0.5 и = 1/ = 10) и разными 0 (): с 0 = = 0.1 (голубые кривые 1-6), с 0 = 1 > (черные кривые 1-6) и с 0 = 0.01 < (штриховые кривые 1-6). Значение 0 = 0.9 фиксировано, а номера кривых соответствуют шести значениям 0 для каждой из трех моделей с разными временами объемной ретардации 0 = 1/0 : 0 = 1; 2; 3; 4; 5; 6. С ростом 0 , т.е. с убыванием объемных модулей = 1/0 и = 1/(0 0 ), график функции () смещается вниз и появляется интервал отрицательности КПД. Функции () всех трех моделей с одинаковым 0 имеют одинаковые начальные значения (0) и асимптоты = () (они не зависят от и 0 ) и могут менять знак, но в остальном ведут себя по-разному: - при достаточно малом отношении 0 / < 1 () быстро убывают в окрестности нуля, а затем возрастают (черные кривые 1-6 с 0 / = 0.1); - при достаточно большом 0 / > 1 () медленно возрастают в окрестности нуля, а затем убывают к асимптоте (штриховые кривые 1-6 с 0 / = 10); - при 0 = () не имеют точек экстремума: убывают при малых 0 < * , * = 0 / (голубая кривая 1) и возрастает при 0 > * (а при 0 = * () = 31 0 / = const и () = const). Таким образом, уже на примере простейшей модели с шестью параметрами и одноточечными спектрами (сдвиговой и объемной) релаксации и ретардации можно увидеть, сколь разнообразным может быть поведение КПД () и параметра () при ползучести, описываемое линейным ОС (1). Пример 4. Для фрактальной модели (11) имеем (0) = 13 0 /, (0) = [ ] 1 = 1 + 27 18 + 20 / , а при > графики () обладают горизонтальными асимптотами: () = 0, () = 0.5 при > , () = +, () = 1 [ ]1 при < и () = 31 0 /, () = 1 + 27 18 + 20 / при = (в первых двух случаях асимптоты не зависят от параметров модели, и при больших временах моделируемый материал ведет себя как несжимаемый или как не меняющий форму). В силу (17) () = 0 ( )+1 + 0 1 0 1 , Рис. 2. Графики КПД моделей семейства (10) с одинаковыми сдвиговыми ФП () и разными 0 = 0.01; 0.1; 1 и 0 = 1; 2; 3; 4; 5; 6 (a) и моделей (11) с одинаковыми () и разными и 0 (b) (онлайн в цвете) [Figure 2 (color online). Fig. (a) shows the Poisson’s ratio () for three models of the form (10) with identical shear creep functions () ( = 0.1, = 1, = 0.5, and = 1/ = 10), and various volumetric creep functions 0 (): with 0 = = 0.1 (light blue curves 1-6), with 0 = 1 > (black curves 1-6), and with 0 = 0.01 < (dashed curves 1-6). The parameter 0 is constant: 0 = 0.9. The curve numbers correspond to six values of the papameter 0 for each case with different times of volume retardation 0 = 1/0 : 0 = 1; 2; 3; 4; 5; 6. Fig. (b) shows the Poisson’s ratio () for three models of the form (11) with identical shear creep functions () ( = 0.5, = 0.5, and = 1), and various volumetric creep functions 0 (): with = = 0.5 (light blue curves 0, 1, 2, 3, 5, 7), with = 0.2 < (black curves 0, 1, 2, 3, 5, 7), and with = 0.8 > (dashed curves 0, 1, 2, 3, 5, 7). The parameter 0 is constant: 0 = 1. The curve numbers correspond to different values of the papameter 0 = 0; 1; 2; 3; 5; 7.] и () может менять знак, если = . При = () = (0 0 )1 , и потому КПД - монотонная функция: при 0 > 0 () > 0 и КПД убывает на всем луче > 0, при 0 < 0 () < 0 и КПД возрастает на луче > 0, а при 0 = 0 () = const. Если 0 = 0, то 0 () = 0 = const (такая функция ползучести моделирует линейно-упругое изменение объема), [ ]1 возрастает на всем луче > 0 () < 0, () = 0.5 30 18( + ) + 20 и () = 0.5. На рис. 2, b приведены графики КПД () трех моделей семейства (11) с одинаковыми сдвиговыми ФП () (c = 0.5, = 0.5, = 1) и разными объемными ФП 0 (): 1) с = = 0.5 (голубые кривые 0, 1, 2, 3, 5, 7); 2) с = 0.2 < (черные кривые 0, 1, 2, 3, 5, 7); 3) с = 0.8 > (штриховые кривые 0, 1, 2, 3, 5, 7). Параметр 0 = 1 фиксирован, а номера кривых соответствуют разным значениям параметра 0 = 0; 1; 2; 3; 5; 7 для каждой из трех моделей (с ростом 0 , т.е. с уменьшением мгновенного объемного модуля = 1/0 , график () смещается вниз). При каждом 0 начальные значения (0) одинаковы у всех трех моделей (и убывают с ростом 0 ), а горизонтальные асимптоты при > различны (и не зависят от 0 ): () = 0.5 у всех моделей с < , [ ]1 () = 1 у всех моделей с > и () = 1 + 27 18 + 20 / = 5/22 при = . Асимптота голубых кривых 0-7 = 5/22 совпадает с кривой (прямой) 2, поскольку при = и 0 = 2 будет 0 = 0 и () = const. Примечательны перемены знака и немонотонность () (у штриховой кривой 5 - даже две перемены знака). Для сравнения приведен график () модели с линейно-упругим изменением объема, т.е. с 0 = 0 (штрих-пунктирная кривая 1 ): он монотонно возрастает и () = 0.5. Примеры 3 и 4 (рис. 2) показывают, в частности, что убывание КПД не обязательно связано с необратимыми объемными деформациями (как принято считать [5, 6, 24, 31, 37, 40, 41, 44]): все модели семейств (10) или (11) после снятия нагрузки обеспечивают полное восстановление объемных деформаций до нуля при > и обладают свойством затухания памяти, т.к. 0 () = 0 [66, 68, 70]. 4. Влияние всестороннего давления на кривые ползучести ОС (1). Рассмотрим испытания цилиндрического образца на растяжение постоянной нагрузкой в сочетании со всесторонним давлением, т.е. нагружение вида (4) в точке рабочей части образца. Очевидно, девиатор (и интенсивность) напряжений не меняются при наложении давления на одноосное нагружение: s = 31 ()diag(2, 1, 1) и = | |(). В силу ОС (1) не изменится и девиатор деформаций e = 0.5 ()diag(2, 1, 1). Изменятся только шаровая ( ( ) часть тензора среднее напряжение 0 = /3 () = (), где - краткое обозначение) уровня давления , а := 31 / - параметр нагружения (4), (; 31 ) и объемная деформация ) ( ( ) 1 0 () = 0 (). (19) ; , = 0 0 = 3 У тензора деформаций = e + 0 I отличны от нуля только диагональные компоненты: ) [ ] 1 ( 1 1 11 (; , ) = () + 0 () = () + 0 () , (20) 3 3 3 ) 1 1 ( 1 22 (; , ) = 33 (; , ) = () + 0 () = 2 3 3 [ 1] 1 = () + 0 () . (21) 2 3 Так как 0 () > 0, с ростом все кривые ползучести (19)-(21) (объемной, осевой и поперечной) смещаются вниз вдоль оси деформации (семейства (19)-(21) неограниченно убывают по параметру при любых и ), в частности, давление тормозит осевую и объемную ползучесть по сравнению с одноосным растяжением и ускоряет при сжатии. Этот эффект наблюдается в испытаниях «всех» стабильных материалов по программе (4) [2-6, 40]. Для любых > 0 (в дальнейшем будем для определенности рассматривать случай > 0) и > 0, т.е. при 0 6 6 31 объемная и осевая деформации положительны, КП (19) и (20) монотонно возрастают по на полуоси > 0 и выпуклы вверх (как и в случае = 0), т.к. ( ) ( ) 1 1 11 = () + 0 () , 11 = () + 0 () , 3 > 0, 0 > 0, 6 0, 0 6 0. Если = 13 , то () 0, 11 () = () возрастает и выпукла вверх, а поперечная деформация () := 22 = 12 () = 0.511 () отрицательна и убывает при > 0. Если же > 31 (т.е. < 0), то (; , ) и второе слагаемое в (20) отрицательны и убывают по , и потому возможны как отрицательность 11 () на некоторых интервалах времени (в частности, в окрестности начального момента = 0, если выполнено неравенство 0 (0) > 3(0)), так и нарушение монотонности 11 (). Скорость осевой ползучести 11 может стать отрицательной при большом давлении (необходимо < 0), если только 0 () = const (если объемные деформации не упруги). Условие наличия точки экстремума у КП (20) - существование решения уравнения 11 () = 0, т.е. () = 3/, := 0 ()/(). (22) В зависимости от соотношения между сдвиговой и объемной ФП и величины параметра нагружения корень уравнения (22) * () может быть точкой максимума КП (20) (в случае возрастания 11 ()( в правой окрестности ) = 0) или минимума (например, когда 11 (0) = (0) + 31 0 (0) < 0, ( ) но 11 () = () + 13 0 () > 0). КП (20) может иметь и более одной точки экстремума, если (непрерывная) функция () немонотонна на полуоси > 0 (пример можно построить, выбрав обе ФП из семейства (6) с = 0, 0 = ) и, следовательно, уравнение (22) имеет несколько корней, когда лежит в интервале многозначности обратного к отображения. Так как () > 0, 0 () > 0 и непрерывны, то для любых фиксированных ФП и лю (т.е. (; 0)) бого момента времени * можно выбрать величину > 31 так, чтобы корень уравнения (22) существовал и совпал с * . При < 0 КП (20) может не быть выпуклой вверх : 11 > 0, если 0 () > 3(), точка перегиба КП - решение уравнения 0 () = 3(). Поперечная деформация (21), наоборот, убывает, выпукла вниз и отрицательна на всем интервале > 0 в случае > 31 для любых ФП. 1 А в случае 0 6 6 3 деформация () не обязана быть монотонной и выпуклой функцией: она может убывать на всем интервале > 0, может иметь точки ( экстремума и) перегиба и может менять знак. Поскольку из (21) = 21 () 23 0 () , при > 0 условие убывания () на некотором 3 интервале имеет вид 0 () 6 2 (), т.е () 6 32 1 . Точки экстремума и перегиба () - корни уравнений 3 () = 1 , 2 3 0 () = (). 2 (23) Если 0 () ограничена, то объемная деформация ограничена: () = = 0 (). Если обе ФП ограничены, то обе КП (20), (21) имеют при > горизонтальные асимптоты: ) ( 1 11 () = () + 0 () , 3 318 ( 1 ) 1 () = () + 0 () . 2 3 На рис. 3, a приведены КП (19)-(21), порожденные моделью (10) с = 0.1, 0 = 0.1, = 0.01, 0 = 0.005, = 0.005, 0 = 0.004 (времена объемной и сдвиговой ретардации совпадают: = 1/ = 10, мгновенный и длительный 1 1 модули сдвига - = 13 ( )1 = 200 = 100 3 и = 3 3 , а объемные модули - = 1/(0 0 ) = 1000 и = 1/0 = 200) при = 1 и разных давлениях : / = 0; 13 ; 23 ; 1; 2; 3; 4; 5, т.е. = 13 ; 0; 13 ; 23 ; 53 ; 83 ; 11 3 ; 14 3 (КП 0, 1-7): [ )] 1 ( 11 = + 0 0 0 , 3 [ 1 )] 1 1 ( = + + 0 0 0 . 2 2 3 КП 11 () расположены выше оси времени, КП = 22 - ниже (синие КП), а объемные КП ()/3 показаны штриховыми линиями; деформации измеряются в процентах. С ростом параметра (с убыванием ) все КП смещаются вниз вдоль оси деформации. Так как () = < и 0 () = 0 < , при > любая КП обладает горизонтальной асимптотой (24) (зависящей от и , но не зависящей от и 0 ): ( ) ( 1 ) 1 1 () = 0 , 11 () = + 0 , () = + 0 . 3 2 3 В случае 0 = осевая и поперечная КП не имеют точек экстремума: [ ( ) ] 1 1 11 () = + 0 + 0 , 3 3 ] ( 1 [ 1 1 1 ) 0 , () = + 0 + 2 3 2 3 а превращение возрастающей КП в убывающую происходит при том значении , которое обращает в нуль множитель при , т.е. при = 3/0 для 11 () и = 23 /0 для (). На рис. 3, b приведены КП (19)-(21), порожденные моделью (10) с = 0.1, 0 = 1 (времена сдвиговой и объемной ретардации различны: = 1/ = 10 и 0 = 1/0 = 1), = 0.010, 0 = 0.005, = 0.005, 0 = 0.004 при = 1 и разных давлениях : / = 0; 13 ; 32 ; 1; 2; 3; 4 (кривые 0, 1-6). С ростом / КП (19)- (21) смещаются вниз вдоль оси деформации, на осевой КП 11 () появляется точка минимума и точка перегиба, а при достаточно большом давлении 11 () становится отрицательной (см. КП 7 для / = 5). Поперечная деформация () (синие КП) имеет точку максимума лишь при < /3 (см. КП 0), а при > /3 () убывает на всей полуоси. На рис. 4 приведены КП фрактальных моделей семейства (11) с одинаковыми сдвиговыми ФП () (c = 0.5, = 0.005, = 0.01) и двумя разными объемными ФП 0 (): c 0 = 0.01, 0 = 0.001, = 0.2 < (рис. 4, a) и с = 0.8 > (рис. 4, b) при = 1 и разных давлениях : / = 0; 31 ; 32 ; 1; 2; 1 1 2 5 8 11 14 3; 4; 5 (т.е. = 3 ; 0; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ) на рис. 4, a (кривые 0, 1-7), и / = 0; 13 ; 32 ; 1; 43 ; 53 ; 2 на рис. 4, b (кривые 0, 1-6). На рис. 4, b есть точка максимума у осевой деформации, точка минимума у поперечной деформации (синие КП) и смены знака. Рис. 3. Кривые ползучести (19)-(21) моделей (10) при фиксированном = 1 и разных величинах давления (значения / = 0; 13 ; 23 ; 1; 2; 3; 4; 5 соответствуют кривым 0, 1-7): а) для модели с = 0.1, 0 = 0.1; b) для модели с = 0.1, 0 = 1 (онлайн в цвете) [Figure 3 (color online) shows the creep curves (19)-(21) generated by models (10) with the fixed value of = 1 and different values of pressure (values of / = 0; 31 ; 23 ; 1; 2; 3; 4; 5 correspond to curves 0, 1-7); Fig. (a) corresponds to the model with = 0.1, 0 = 0.1; Fig. (b) corresponds to the model with = 0.1, 0 = 1] Рис. 4. Кривые ползучести (19)-(21) моделей вида (11) при фиксированном = 1 и разных величинах давления (КП 0, 1-7): a) = 0.2 < ; b) = 0.8 > (онлайн в цвете) [Figure 4 (color online) shows the creep curves (19)-(21) generated by models (11) with the fixed value of = 1 and different values of pressure ; Fig. (a) corresponds to value of = 0.2 < , and values of / = 0; 31 ; 23 ; 1; 2; 3; 4; 5 correspond to curves 0, 1-7; Fig. (b) corresponds to value of = 0.8 > , and values of / = 0; 31 ; 23 ; 1; 43 ; 53 ; 2 correspond to curves 0, 1-6] 5. Зависимость свойств коэффициента поперечной деформации от давления. Из уравнений кривых ползучести (20) и (21) найдем КПД = /11 при нагружениях (4): 30 () 3() 20 () = 0.5 , (25) 6() + 20 () 6() + 20 () ( ) 3 9 (; ) = (; ) , () := 0.5 = 1 + , = 3, (26) 6 + 2 6 + 2 (, ) = где := sgn = ±1, := ванного состояния: 1 3 / , (, ) := / - параметр вида деформиро- (, ) = 0 ()/| |() = 0 ()/(), ( )0.5 где = 23 = | |() - интенсивность деформаций.(Аналогичный па) раметр вида напряженного состояния := 30 ()/() = 3 /| | = 3 не зависит от времени для нагружения (4); это верно и для параметров Лоде тензоров () и () (они не зависят и от ): = 22 1 3 11 = 1, = 1 3 11 = 11 = 1 11 для любых > 0, > 0 и > 0. Очевидно, () = 32 (1 2)/(1 + ), = 1. Из (25) следует специфичное свойство линейного ОС (1): КПД зависит лишь от отношения / (не входящего в аргументы материальных функций, в отличие от нелинейных ОС [55]), а не от и по отдельности. Это свойство можно использовать как индикатор (не)применимости ОС (1) при анализе данных испытаний некоторого материала. В дальнейшем будем для определенности рассматривать случай > 0 ( = 1). [ 1 ) Если > 0, т.е. 0; 3 , имеем () > 0, () > 0 и () < 0.5 при > 0, а возрастание () влечет неравенствo () > (0) и оценку снизу [ ]1 (она учитывает момент для КПД (25) () > 0.5 30 () 6(0) + 20 () времени, специфику ФП и программы нагружения). Из () > 0 следует более универсальная (но более грубая) оценка () > 1 при всех > 0, справедливая для любых ФП и любых > 0, > 0. Для нерегулярных моделей с (0) = 0 и 0 (0) = 0 формула (25) дает в пределе при > 0 (0+) = 1 для любых > 0, > 0, а для моделей с 0 (0) = 0 и (0) [ = 0) имеем (0+) = 0.5. Таким образом, для любых ФП в случае 0; 31 справедлива оценка для КПД 1 < () < 0.5, установленная выше в случае = 0, и эта оценка точна (неулучшаема). В случае = 31 имеем () 0, () 0 и () 0.5. А в случае > 31 будет < 0, () < 0 и неравенство 1 < () < 0.5 не выполняется при всех : если () (3; 0), то () > 0.5 по (26), а если () < 3, то () < 1 (и 11 () < 0). Таким образом, при нагружениях вида (4) КПД (25) может быть отрицательным не только за счет положительности () (как в случае одноосного растяжения и при < 31 ), но и из-за отрицательности 11 () (при > 13 и () < 3). Критерий отрицательности КПД () на некотором интервале имеет вид () > 1.5 или () < 3, т.е. 3 () < 2 0 () или 3 () > . 0 () (27) При = 0 множество решений неравенств пусто; с ростом || оно может только расширяться (как в случае > 0, так и < 0). Если (0) = 0, а 0 (0) = 0, то при всех < 31 множество решений (27) содержит правую окрестность точки = 0. Если () ограничена, а 0 () не ограничена, то при любом < 31 множество решений (27) содержит некоторый луч [ ; +), где = - решение уравнения 0 () = 23 ()/ (единственное в силу возрастания 0 ). Если обе ФП ограничены, (, ) и (, ) имеют горизонтальные асимптоты при > : (, ) = , (, ) = 3 2 , 3 + := () > 0. 0 () (28) , то 1 < (, ) < 0.5, а если > 13 , то (, ) / [1; 0.5]. Если < 31 3 Предел (, ) отрицателен в двух случаях: < 3 или > 2 (второй интервал непуст лишь при 32 < 31 ), т.е. критерий отрицательности (, ) - совокупность неравенств 1 1 3 > + 3 или 0 < < . 3 3 2 (29) Равновесные значения (, ) и (, ) при > могут существовать и для неограниченных ФП, если существует конечный предел (, ); например, ( ) для модели (11) с = имеем (, ) = 0 / и (, ) = 0 / , а при = равновесные значения не зависят от величины : если < , то (, ) = 0 и (, ) = 0.5, а если > , то (, ) = ± и (, ) = 1. Докажем, что КПД (25) (в случае > 0) убывает по и возрастает по в любой момент времени (что и наблюдается в испытаниях материалов). Функция = () = 1 + 4.5(3 + )1 , = 3, из (26) убывает на интервалах (, 3) и (3, +), = 0.5 при = 0, а при > ± имеем > 1, /11 > 3 и /11 > 0. Так как в случае > 0 параметр (, ), очевидно, возрастает по и убывает по (в силу 0 () > 0), то из убывания функции () следует, что (, ) убывает по и возрастает по (при фиксированном ). Исследуем интервалы монотонности (). Дифференцируя (26), получим одинаковы, и потому совпадают интервалы формулу (16). Знаки () и () монотонности () и () (точнее, при > 13 у интервалов монотонности () могут быть дополнительные границы в точках, в которых () = 3, т.е. = ()2 11 () = 0: в них () имеет разрывы второго рода). Так как () 0 и () [0 ()() 0 ()()], то при = 13 будет () 0, а при = 13 критерий (нестрогого) возрастания () (т.е. убывания ()) на некотором интервале времени имеет вид [0 ()() 0 ()()] 6 0, 322 или 0 ()/0 () 6 ()/() (поскольку 0 ()() > 0 при всех > 0, то поделив первое неравенство на это выражение, получим критерий возрастания () при = 31 в форме с разделенными сдвиговыми и объемными ФП). Критерий (30) отличается от аналогичного критерия (18) в случае одноосного растяжения (при = 0) только множителем , который отрицателен при > 31 ; при < 13 он совпадает с (18). Переменные и разделяются в (30) (это следствие линейности ОС), и при фиксированных ФП смена знака параметра нагружения приводит к синхронной замене интервалов возрастания () и () на интервалы убывания. Случай равенства в (30) дает уравнение для точек экстремума: 0 ()/0 () = ()/(). (31) Оно не зависит от и и в точности такое же, как и в случае одноосного растяжения, т.е. наложение давления не сдвигает точки экстремума () (если они есть), и потому множества точек экстремума и интервалы монотонности всех графиков КПД (25) с разными и совпадают. Невыполнение этого свойства у семейства экспериментальных кривых (, ) некоторого материала - признак нелинейности его поведения и индикатор неприменимости ОС (1) для его моделирования. На рис. 5 приведены графики (, ) и (, )/3 при фиксированном =1 и давлениях : / = /3, = 0; 1; . . . ; 5 (кривые 0, 1-5) для двух моделей вида (10) с одинаковыми сдвиговыми ФП () ( = 0.010, = 0.005, = 0.1, время сдвиговой ретардации = 1/ = 10) и двумя разными объемными ФП 0 () с 0 = 0.005 и 0 = 0.004, различающимися только временами объемной ретардации: 0 = = 0.1 (рис. 5, a) и 0 = 1 (рис. 5, b). КП этих двух моделей приведены на рис. 3, a и 3, b. Любой график () (сплошные кривые 0-5 на рис. 5) и () (штриховые ( кривые 0-5) имеет при > горизонтальную асимптоту (28): () = 32 0 )/(3 + 0 ), а () = 0 /. Чем больше давление , тем выше лежит график () и ниже - график (). Если < /3, то () < 0.5 и () > 0, при = /3 () 0.5, () 0 (прямые 1), а если > /3, то () > 0.5 и () < 0. При достаточно большом - когда на некотором интервале () < 3, а 11 () < 0 (см. КП 7 для / = 5 на рис. 3, b), - КПД () становится отрицательным на этом интервале (и меньшим 1), а равновесное значение () отрицательно при < 3/0 = 6. КПД модели с 0 = 1 (рис. 5, b) отличаются наличием точек максимума или минимума (в один и тот же момент времени, не зависящий от и ). Для сравнения приведены графики () для модели с упругим изменением объема, т.е. с 0 = 0 и 0 () = 0 (штрих-пунктирные кривые); они стремятся к[ тем же ) асимптотам, но всегда монотонны на всей полуоси > 0: если 0; /3 , то () возрастает, а если > /3, то () убывает. На рис. 6 приведены графики (, ) и (, )/3 (штриховые линии) двух фрактальных моделей вида (11) с одинаковыми сдвиговыми ФП () ( = 0.5, = 0.005, = 0.01) и двумя разными объемными ФП 0 (): с 0 = 0.01, 0 = 0.001, = 0.2 < (рис. 6, a) и с = 0.8 > (рис. 6, b) при фиксированном = 1 и разных величинах давления : / = /3, = 0; 1; . . . ; 4 на рис. 6, a (кривые 0, 1-4) и / = 0; 16 ; 13 ; 36 ; 32 ; 1; 2; 3 на рис. 6, b (кривые 0, 1-7). КП этих двух моделей приведены на рис. 4. На рис. 6, a все графики () и () имеют точки максимума или минимума (в один и тот же момент времени) и общую горизонтальную асимптоту при > , не зависящую от Рис. 5. Графики КПД () и параметра вида деформированного состояния ()/3 для модели (10) при фиксированном = 1 и разных величинах давления (кривые 0, 1-5): a) 0 = = 0.1; b) = 0.1, 0 = 1 (онлайн в цвете) [Figure 5 (color online) shows the Poisson’s ratio () and strain triaxiality ratio ()/3 for model (10) under loadings with the fixed value of = 1 and different values of pressure (values of / = 0; 31 ; 23 ; 1; 43 ; 53 correspond to curves 0, 1-5); Fig. (a) corresponds to the model with 0 = = 0.1; Fig. (b) corresponds to the model with = 0.1, 0 = 1] Рис. 6. Графики КПД () и параметра вида деформированного состояния ()/3 для фрактальной модели (11) при фиксированном = 1 и разных величинах давления : а) = 0.2 < ; b) = 0.8 > (онлайн в цвете) [Figure 6 (color online) shows the Poisson’s ratio () and strain triaxiality ratio ()/3 for fractal model (11) under loadings with the fixed value of = 1 and different values of pressure ; Fig. (a) corresponds to the model (11) with = 0.2 < , and values of / = 0; 13 ; 23 ; 1; 34 correspond to curves 0, 1-4; Fig. (b) corresponds to the model (11) with = 0.8 > , and values of / = 0; 16 ; 13 ; 36 ; 23 ; 1; 2; 3 correspond to curves 0, 1-7] и : () = 0.5 и () = 0, поскольку = 0.2 < . При < /3 будет () < 0.5, а при > /3 имеем () > 0.5 (кривые 2-4). Начальное значение (0) = 0 / = /10 близко к нулю и потому начальное значение КПД (0) близко к 0.5. На рис. 6, b все графики () и () стремятся к общей горизонтальной асимптоте: () = + и () = 1, поскольку = 0.8 > . Они не имеют экстремумов: - если < /3, то () возрастает, а () убывает до () = 1 (кривые 1, 2); - если > /3, то () убывает, а () имеет разрыв второго рода в точке ^ = (), в которой 11 (, ) = 0 (т.е. (, ) = 3), и возрастает на каждом из интервалов (0; ^) и (^; +) (кривые 4-7). 6. Случай постоянства коэффициента поперечной деформации. Предположение о независимости коэффициента Пуассона от времени часто применяется для упрощения решения краевых задач. В силу (26) критерий постоянства КПД (25) равносилен постоянству параметра (), он налагает связь на сдвиговую и объемную ФП: () = , или 0 () = (), > 0, (32) (в силу (26) = 1 + 4.5/(3 + ) и = 3(0.5 )(1 + )1 ). Тождество (32) не может выполняться при всех (всех > 0 для некоторого фиксированного ) или хотя бы для двух разных значений , если (и ) не зависит от , за исключением случая несжимаемого материала (с 0 () 0, = 0.5). Из (32) следует, что = , > 0, и (32) принимает вид 0 () = (), т.е. совпадает с критерием постоянства КПД (15) при одноосном нагружении (при = 0). Для такой модели (с одной материальной функцией и параметром ) = 1 + 4.5(3 + )1 и по (20) ( ( 1 1 ) 1 ) 11 = 1 + (), = + (), (33) 3 2 3 т.е. все осевые и поперечные КП (с произвольными > 0, > 0) подобны и являются монотонными и выпуклыми (вверх или вниз) функциями времени при > 0, в частности, 11 () возрастает и выпукла вверх при любом > 3/, а () - при > 3/(2). Физический смысл материального параметра : = 0 (0)/(0) = 3/ (отношение мгновенных модулей). Гипотеза о постоянстве КПД существенно обедняет спектр возможных форм КП 11 () и () (они уже не могут иметь точки экстремума и перегиба) и расширяет список индикаторов неприменимости модели. 7. Случай упругой зависимости объемной деформации от среднего напряжения. Если 0 () = = const > 0, т.е. когда объемная ползучесть считается отсутствующей, имеем [ [ 1 1] 1 ] = , 11 (; , ) = () + , (; , ) = () + , (34) 3 2 3 3() 2 3 (, ) = = 0.5 , (, ) = . (35) 6() + 2 6() + 2 () Для любых > 0, > 0 деформация () постоянна, 11 () возрастает и выпукла вверх, а () убывает и выпукла вниз при > 0, ибо [ ) и () < 0. Если 0; /3 (тогда > 0), то () > 0 и убывает, () возрастает при > 0 (см. штрих-пунктирные кривые на рис. 6), как и при одноосном растяжении, а модуль () может быть немонотонным, если выполнено неравенство (0) < 23 < () (означающее, что (0) > 0 1 и () < 0). Если же > 3 (тогда < 0), то () < 0 и возрастает при ( ) ( ) > 0, а () убывает на каждом из интервалов 0; ^ и ^; + , где ^() - решение уравнения (, ) = 3, т.е. () = /3. Решение (точка разрыва второго рода у ()) существует, если (0) < /3 < () (тогда оно единственно, ибо () возрастает); если решения нет, то () убывает на всем луче [0; +). Критерий отрицательности КПД (27) принимает вид 32 () < или 3() < . Первое неравенство работает при < 13 , а второе - при > 13 . Если одно из них справедливо в некоторый момент времени = , то () < 0 при всех [0; ) (в силу возрастания ()). Из (35) следует, что при > () стремится к пределу = (3 2)/ (6 + 2), = () 6 . Если () < , то < 0, 5, а если () = , то = 0, 5. Критерий независимости КПД от времени (32) выполняется только в двух случаях: 1) при = 0 (несжимаемый материал), тогда () 0.5 для любых > 0, > 0; 2) () = = const (упругий материал), но тогда КПД = 0.5 3 (6 + 2)1 зависит от ( . ) ( ) ( ) Как и в общем случае, ; , и семейства КП ; , и ; , 11 ( ) возрастают по и и убывают по , а КПД ; , убывает по и и возрастает по . Модель с 0 () = const обладает весьма специфичным свойством: разность любых двух КП (34) (осевых или поперечных) с одинаковым уровнем , но разными давлениями 1 , 2 > 0, не зависит от времени: для любых , 1 , 2 > 0 и > 0 11 (; , 2 ) 11 (, , 1 ) = , (; , 2 ) (, , 1 ) = , (36) (2 1 ) = 31 (1 2 ), т.е. КП с разными давлениями погде := 13 лучаются друг из друга сдвигом вдоль оси деформации 11 или (причем на одинаковую величину , пропорциональную разности давлений, для осевых и поперечных деформаций). Указанные свойства, особенно тождества (36) с разными значениями , , 1 , 2 > 0 и тождество 11 (, , ) + + 2 (, , ) = (в частности независимость от времени его левой части, т.е. объемной деформации), можно (и удобно) использовать как индикаторы применимости гипотезы об отсутствии объемной ползучести в сочетании с ОС (1) по результатам серии испытаний материала на ползучесть при совместном действии растягивающей силы и давления (с разными уровнями и ), в которых регистрируются продольная и поперечная деформации 11 (; , ) и (; , ). ФП 0 , т.е. постоянная ( ) , легко находится по данным таких испытаний из соотношения ; , = по измеренной величине ( ) ( ) = 11 , , + 2 , , . ФП () можно найти из уравнения КП (34) или из тождества 11 (, , ) (, , ) = 1.5 () (детальная разработка ме тодик идентификации ОС (1) - тема других статей). Нарушение указанных свойств у данных испытаний реономных материалов (см., например, данные в [5, 6, 20]) свидетельствует о недопустимости пренебрежения объемной ползучестью. 8. Заключение. Аналитически изучены общие качественные свойства семейств кривых объемной, продольной и поперечной ползучести (19)-(21), порождаемых линейным ОС (1) с произвольными функциями сдвиговой и объемной ползучести (), 0 () при двухпараметрических нагружениях вида (4): интервалы монотонности и выпуклости осевой и поперечной деформаций 11 () и (), точки экстремума, перемены знака и асимптотика КП, их зависимость от параметров и нагружения (4) и от качественных характеристик функций ползучести. Выведена формула (26), связывающая коэффициент Пуассона = ()/11 (), точнее, коэффициент поперечной деформации (КПД), и параметры вида деформированного и напряженного состояний = ()/() = 0 ()/() и := 13 / = 0 ()/(), исследовано выражение (25) для КПД через время, параметры нагружения (4) и функции ползучести ОС (1). Существенное отличие линейного ОС от нелинейных ОС вязкоупругости [55, 91] состоит в том, что при одноосном нагружении КПД и осевая податливость не зависят от уровня напряжения и от его знака, а при совместном действии растягивающей нагрузки и давления КПД зависит только от относительной величины давления / (от параметра ), не входящего в аргументы материальных функций, и отношения функций ползучести (отсутствие этих свойств у данных испытаний реономных материалов свидетельствует о нелинейности их поведения - см., например, [5, 6, 13, 14, 20, 31, 40]). Найдены условия монотонности и немонотонности () и () и критерий отрицательности КПД на некотором интервале времени, получены точные оценки для диапазона изменения КПД. Показано, что объемная ползучесть материала и величина параметра нагружения / существенно влияют на качественное поведение кривых осевой и поперечной ползучести 11 () и () и КПД. Доказано, что линейное ОС (1) способно качественно моделировать немонотонное изменение и знакопеременность поперечной деформации () и отрицательность КПД даже при нулевом давлении (см. данные испытаний в [5, 6, 19, 42, 43, 49]), а осевая деформация 11 () может стать немонотонной при / > 13 . Основные доказанные утверждения собраны в теореме. Теорема. Пусть функции ползучести () и 0 () в ОС (1) положительны, непрерывно дифференцируемы, возрастают и нестрого выпуклы вверх на полуоси > 0. Тогда семейства кривых ползучести (19)-(21), порождаемые ОС (1) при нагружениях вида (4) (с > 0, > 0 и 6 31 ), и коэффициент поперечной деформации (25) обладают следующими свойствами. 1. Семейства КП (19)-(21) возрастают по параметру нагружения := 13 / и (неограниченно) убывают по при любых и . 2. КПД = (, )/11 (, ) выражается формулами (25) и (26) и зависит только от отношений / и 0 ()/(); КПД убывает по и возрастает по . 3. Критерий отрицательности () на некотором интервале времени имеет вид (27), с ростом || область отрицательности может только расширяться. 4. КПД () может иметь точки максимума и минимума, они явля327 5. 6. 7. 8. 9. 10. ются корнями уравнения (31); множества точек экстремума и интервалы монотонности всех графиков КПД с разными и совпадают; критерий неубывания () на некотором интервале времени - неравенство (30). ( ( ]) Если 0 6 < 13 0; 13 , то () > 0 и 11 () > 0, объемная и осевая КП (19) и (20) возрастают по и выпуклы вверх на полуоси > 0, а поперечная деформация () может менять знак и не обязана быть монотонной или выпуклой функцией : () может убывать на всем луче > 0 и может иметь точки экстремума или перегиба (корни уравнений (23)). Если 0 6 < 31 , то () > 0 при > 0, КПД меняется в диапазоне 1 < (, ) < 0.5, причем () может быть немонотонной функцией времени и может менять знак (даже при = 0). , то () 0, () 0.5, осевая КП имеет вид 11 () = Если = 31 = (), возрастает и выпукла вверх при > 0, а () = 0.511 () и убывает. ( ) Если > 31 , то ; , < 0 и убывает по , поперечная деформация (21) отрицательна, убывает и выпукла вниз на полуоси > 0, а осевая КП 11 () может быть (в зависимости от соотношения между () и 0 ()) возрастающей или убывающей на луче > 0, может иметь точки экстремума (корни уравнения (22)) и точки перегиба и может менять знак. , то () < 0, неравенство 1 < () < 0.5 для КПД Если > 31 не выполняется при всех : если () (3; 0), то () > 0.5, а если () < 3, то () < 1 (и 11 () < 0). Если обе ФП ограничены, то КП (19)-(21), (, ) и (, ) имеют горизонтальные асимптоты (24) и (28) при > ; если < 13 , то 1 1 < (, ) < 0.5, а если > 3 , то (, ) / [1; 0.5]; критерий отрицательности предела (, ) - совокупность неравенств (29). Обнаруженные свойства КП и КПД (прежде всего, пп. 1, 2, 4-9 теоремы) удобно использовать как маркеры границы области линейного поведения материалов при анализе данных испытаний на ползучесть по программам нагружения (4) и как индикаторы неприменимости ОС (1) для моделирования в случае их нарушения в испытаниях материала. Исследованы специфические свойства КП, порождаемых линейным ОС (1) в сочетании с предположением о линейно-упругом изменении объема или гипотезой о постоянстве коэффициента Пуассона (пп. 6, 7). Пренебрежение объемной ползучестью, как и пренебрежение изменением коэффициента Пуассона, существенно обедняет спектр возможных форм КП 11 () и () (они уже не могут иметь точки экстремума и перегиба) и расширяет список индикаторов неприменимости подобных моделей (с одной материальной функцией), в частности, КП (33) и (34) и КДП (35) не могут иметь точек экстремума и перегиба: они монотонны и выпуклы вверх или вниз (см., например, экспериментальные данные в [12, 13, 25, 28, 33, 38, 39]). Таким образом, в статье показано, что линейное ОС вязкоупругости (1) для нестареющих изотропных сред, пренебрегающее влиянием шаровой и девиаторной частей тензоров напряжений и деформаций друг на друга и влиянием их третьих инвариантов, в принципе, способно качественно воспроиз328 водить все основные эффекты, связанные с поведением КПД (монотонность, немонотонность, знакопеременность, отрицательность КПД, его стабилизация с течением времени и т.п.), за исключением зависимости КПД от уровня напряжения и стабилизации семейства осевых КП 11 (, ) с фиксированным при достаточно высоком давлении [5, 6, 20].×
Об авторах
Андрей Владимирович Хохлов
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Научно-исследовательский институт механики
Email: andrey-khokhlov@ya.ru
кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник 1, Michurinsky prospekt, Moscow, 119192, Russian Federation
Список литературы
- Береснев Б. И., Мартынов Е. Д., Родионов К. П., Пластичность и прочность твердых тел при высоких давлениях, Наука, М., 1970, 581 с.
- Москвитин В. В., Сопротивление вязкоупругих материалов (применительно к зарядам ракетных двигателей на твердом топливе), Наука, М., 1972, 328 с.
- Айнбиндер С. Б., Алксне К. И., Тюнина Э. Л., Лака М. Г., Свойства полимеров при высоких давлениях, Химия, М., 1973, 192 с.
- Айнбиндер С. Б., Тюнина Э. Л., Цируле К. И., Свойства полимеров в различных напряженных состояниях, Химия, М., 1981, 232 с.
- Гольдман А. Я., Объемная деформация пластмасс, Машиностроение, Л., 1984, 232 с.
- Гольдман А. Я., Прогнозирование деформационно-прочностных свойств полимерных и композиционных материалов, Химия, Л., 1988, 272 с.
- Mileiko S. T., "Creep and Creep Rupture", Metal and ceramic based composites, Composite Materials Series, 12, Elsevier, Amsterdam, 1997, 307-332
- Мошев В. В., Свистков А. Л., Гаришин О. К. и др., Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов, УрО РАН, Екатеринбург, 1997, 508 с.
- Глезер А. М., Пермякова И. Е., Громов В. Е., Коваленко В. В., Механическое поведение аморфных сплавов, Сиб. гос. индустр. ун-т, Новокузнецк, 2006, 416 с.
- Valiev R. Z., Pushin V. G., "Bulk nanostructured metallic materials: Production, structure, properties, and functioning", Physics of Metals and Metallography, 94 (2002), S1-S3
- Баженов С. Л., Берлин А. А., Кульков А. А., Ошмян В. Г., Полимерные композиционные материалы. Прочность и технологии, Интеллект, М., 2009, 352 с.
- Брехова В. Д., "Исследование коэффициента Пуассона при сжатии некоторых кристаллических полимеров постоянной нагрузкой", Механика полимеров, 1965, № 4, 43-46
- Дзене И. Я., Путанс А. В., "Коэффициент Пуассона при одномерной ползучести полиэтилена", Механика полимеров, 1967, № 5, 947-949
- Лака М. Г., Дзенис А. А., "Влияние гидростатического давления на прочностные свойства полимерных материалов при растяжении", Механика полимеров, 1967, № 6, 1043-1047
- Просвирин В. И., Молчанов Ю. М., "Изменение тонкой структуры поликапролактама при всестороннем сжатии", Механика полимеров, 1968, № 4, 579-585
- Pampillo C. A., Davis L. A., "Volume change during deformation and pressure dependence of yield stress", J. Appl. Phys., 42:12 (1971), 4674-4679
- Powers J. M., Caddell R. M., "The macroscopic volume changes of selected polymers subjected to uniform tensile deformation", Polym. Eng. Sci., 12 (1972), 432-436
- Локощенко А. М., Малинин Н. И., Москвитин В. В., Строганов Г. К., "Об учете влияния гидростатического давления при описании нелинейных вязкоупругих свойств полиэтилена высокой плотности", Механика полимеров, 1974, № 6, 998-1002
- Дзене И. Я., Крегерс А. Ф., Вилкс У. К., "Особенности процесса деформирования при ползучести и повторной ползучести полимеров в условиях одноосного растяжения. Часть 1", Механика полимеров, 1974, № 3, 399-405
- Ольховик О. Е., Гольдман А. Я., "Ползучесть фторопласта при совместном действии растяжения и гидростатического давления", Механика полимеров, 1977, № 3, 434-438
- Ольховик О. Е., Гольдман А. Я., "Ползучесть фторопласта при сдвиге с наложением гидростатического давления", Механика полимеров, 1977, № 5, 812-818
- Гольдман А. Я., Цыганков С. А., "Прогнозирование деформации ползучести полимерных материалов при сложном напряженном состоянии", Механика композитных материалов, 1980, № 6, 1088-1093
- Ольховик О. Е., Баранов В. Г, "Влияние температуры, давления и объема на релаксационные свойства полиэтилена низкой плотности при растяжении", Высокомолек. соед. А, 23:7 (1981), 1443-1452
- Щербак В. В., Гольдман А. Я., "Объемные изменения дисперсно наполненных композитов при испытании в условиях ползучести", Мех. композит. матер., 1982, № 3, 549-552
- Калинников А. Е., Вахрушев А. В., "О соотношении поперечной и продольной деформаций при одноосной ползучести разносопротивляющихся материалов", Мех. композит. матер., 1985, № 2, 351-354
- Knauss W. G., Emri I., "Volume change and the nonlinearly thermoviscoelastic constitution of polymers", Polym. Eng. Sci., 27:1 (1987), 86-100
- Naqui S. I., Robinson I. M., "Tensile dilatometric studies of deformation in polymeric materials and their composites", J. Mater. Sci., 28:6 (1993), 1421-1429
- Delin M., Rychwalski R. W., Kubát J., Kubát M. J., Bertilsson H., Klason C., "Volume changes during flow of solid polymers", J. Non-Cryst. Solids, 172-174 (1994), 779-785
- Delin M., Rychwalski R., Kubát J., "Volume changes during stress relaxation in polyethylene", Rheol. Acta, 34:2 (1995), 182-195
- Tschoegl N. W., "Time Dependence in Material Properties: An Overview", Mech. Time-Depend. Mater., 1:1 (1997), 3-31
- Özüpek S., Becker E. B., "Constitutive Equations for Solid Propellants", J. Engng Mater. Technol., 119:2 (1997), 125-132
- Hilton H. H., "Implications and constraints of time-independent Poisson's Ratios in linear isotropic and anisotropic viscoelasticity", J. Elasticity, 63:3 (2001), 221-251
- Tschoegl N. W., Knauss W. G., Emri I., "Poisson's ratio in linear viscoelasticity - a critical review", Mech. Time-Depend. Mater., 6:1 (2002), 3-51
- Arzoumanidis G. A., Liechti K. M., "Linear viscoelastic property measurement and its significance for some nonlinear viscoelasticity models", Mech. Time-Depend. Mater., 7:3 (2003), 209-250
- Cangemi L., Elkoun S., G'Sell C., Meimon Y., "Volume strain changes of plasticized Poly(vinylidene fluoride) during tensile and creep tests", J. Appl. Polym. Sci., 91:3 (2004), 1784-1791
- Addiego F., Dahoun A., G'Sell C., Hiver J. M., "Volume Variation Process of High-Density Polyethylene During Tensile and Creep Tests", Oil & Gas Science and Technology - Rev. IFP, 61:6 (2006), 715-724
- Ломакин Е. В., "Механика сред с зависящими от вида напряженного состояния свойствами", Физическая мезомеханика, 10:5 (2007), 41-52
- Савиных А. С., Гаркушин Г. В., Разоренов С. В., Канель Г. И., "Продольная и объемная сжимаемость натриево-известкового стекла при давлениях до 10 GPa", Журнал технической физики, 77:3 (2007), 38-42
- Pandini S., Pegoretti A., "Time, temperature, and strain effects on viscoelastic Poisson's ratio of epoxy resins", Polym. Eng. Sci., 48:7 (2008), 1434-1441
- Быков Д. Л., Пелешко В. А., "Определяющие соотношения деформирования и разрушения наполненных полимерных материалов в процессах преобладающего осевого ратяжения в различных барометрических условиях", Изв. РАН. МТТ, 2008, № 6, 40-65
- Shekhar H., Sahasrabudhe A. D., "Longitudinal Strain Dependent Variation of Poissons Ratio for HTPB Based Solid Rocket Propellants in Uni-axial Tensile Testing", Prop., Explos., Pyrotech., 36:6 (2011), 558-563
- Tscharnuter D., Jerabek M., Major Z., Lang R. W., "Time-dependent Poisson's ratio of polypropylene compounds for various strain histories", Mech. Time-Depend. Mater., 15:1 (2011), 15-28
- Grassia L., D'Amore A., Simon S. L., "On the Viscoelastic Poisson's Ratio in Amorphous Polymers", Journal of Rheology, 54:5 (2010), 1009-1022
- Cui H. R., Tang G. J., Shen Z. B., "Study on viscoelastic Poisson's ratio of solid propellants using digital image correlation method", Prop., Explos., Pyrotech., 41:5 (2016), 835-84
- Lakes R., "Foam structure with a negative Poisson's ratio", Science, 235:4792 (1987), 1038-1040
- Friis E. A., Lakes R. S., Park J. B., "Negative Poisson's ratio polymeric and metallic materials", J. Mater. Sci., 23:12 (1988), 4406-4414
- Берлин А. А., Ротенбург Л., Басэрт Р., "Особенности деформации неупорядоченных полимерных и неполимерных тел", Высокомолек. соед. А, 34:7 (1992), 6-32
- Milton G. W., "Composite materials with Poisson's ratios close to $-1$", J. Mech. Phys. Solids, 40:5 (1992), 1105-1137
- Lakes R. S., Elms K., "Indentability of conventional and negative Poisson's ratio foams", J. Compos. Mater., 27:12 (1993), 1193-1202
- Caddock B. D., Evans K. E., "Negative Poisson ratios and strain-dependent mechanical properties in arterial prostheses", Biomaterials, 16:14 (1995), 1109-1115
- Chan N., Evans K. E., "Indentation resilience of conventional and auxetic foams", J. Cell. Plastics, 34:3 (1998), 231-260
- Alderson K. L., Fitzgerald A., Evans K. E., "The strain dependent indentation resilience of auxetic microporous polyethylene", J. Mater. Sci., 35:16 (2000), 4039-4047
- Конек Д. А., Войцеховски К. В., Плескачевский Ю. М., Шилько С. В., "Материалы с отрицательным коэффициентом Пуассона (обзор)", Механика композиционных материалов и конструкций, 10:1 (2004), 35-69
- Greer A. L., Lakes R. S., Rouxel T., Greaves G. N., "Poisson's ratio and modern materials", Nature Materials, 10:11 (2011), 823-837
- Хохлов А. В., "Моделирование зависимости кривых ползучести при растяжении и коэффициента Пуассона реономных материалов от гидростатического давления с помощью нелинейно-наследственного соотношения Работнова", Механика композиционных материалов и конструкций, 24:3 (2018), 407-436
- Голуб В. П., "Исследования в области циклической ползучести материалов (обзор)", Прикл. механика, 23:12 (1987), 3-19
- Krempl E., Khan F., "Rate (time)-dependent deformation behavior: an overview of some properties of metals and solid polymers", Int. J. Plasticity, 19:7 (2003), 1069-1095
- Knauss W. G., Emri I., Lu H., "Mechanics of Polymers: Viscoelasticity", Springer Handbook of Experimental Solid Mechanics, ed. W. N. Sharpe, Springer, Boston, MA, 2008, 49-96
- Khan F., Yeakle C., "Experimental investigation and modeling of non-monotonic creep behavior in polymers", Int. J. Plasticity, 27:4 (2011), 512-521
- Drozdov A. D., "Time-dependent response of polypropylene after strain reversal", Int. J. Solids Struct., 47:24 (2010), 3221-3233
- Kästner M., Obst M., Brummund J., Thielsch K., Ulbricht V., "Inelastic material behavior of polymers - Experimental characterization, formulation and implementation of a material model", Mech. Mat., 52 (2012), 40-57
- Fernandes V. A., De Focatiis D. S., "The role of deformation history on stress relaxation and stress memory of filled rubber", Polymer Testing, 40 (2014), 124-132
- Drozdov A. D., Dusunceli N., "Unusual mechanical response of carbon black-filled thermoplastic elastomers", Mech. Mat., 69:1 (2014), 116-131
- Хохлов А. В., "Кривые длительной прочности, порождаемые линейной теорией вязкоупругости в сочетании с критериями разрушения, учитывающими историю деформирования", Труды МАИ, 2016, № 91, 1-32
- Хохлов А. В., "Анализ общих свойств кривых ползучести при циклических ступенчатых нагружениях, порождаемых линейной теорией наследственности", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 21:2 (2017), 326-361
- Хохлов А. В., "Анализ свойств кривых ползучести с произвольной начальной стадией нагружения, порождаемых линейной теорией наследственности", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 22:1 (2018), 65-95
- Хохлов А. В., "Двусторонние оценки для функции релаксации линейной теории наследственности через кривые релаксации при ramp-деформировании и методики ее идентификации", Изв. РАН. МТТ, 2018, № 3, 81-104
- Хохлов А. В., "Анализ общих свойств кривых ползучести при ступенчатом нагружении, порождаемых нелинейным соотношением Работнова для вязкоупругопластичных материалов", Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2017, № 3, 93-123
- Хохлов А. В., "Анализ свойств кривых релаксации с начальной стадией ramp-деформирования, порождаемых нелинейной теорией наследственности Работнова", Мех. композит. матер., 54:4 (2018), 687-708
- Хохлов А. В., "Сравнительный анализ свойств кривых ползучести, порождаемых линейной и нелинейной теориями наследственности при ступенчатых нагружениях", Матем. физика и компьютер. моделир., 21:2 (2018), 27-51
- Хохлов А. В., "Свойства семейства диаграмм деформирования, порождаемых нелинейным соотношением Работнова для вязкоупругопластичных материалов", Изв. РАН. МТТ, 2019, № 2, 29-47
- Ferry J. D., Viscoelastic Properties of Polymers, Wiley, New York, 1961, xx+482 pp.
- Ильюшин А. А., Победря Б. Е., Основы математической теории термовязкоупругости, Наука, М., 1970, 280 с.
- Christensen R. M., Theory of Viscoelasticity. An Introduction, Academic Press, New York, 1982, xii+364 pp.
- Бугаков И. И., Ползучесть полимерных материалов, Наука, М., 1973, 287 с.
- Работнов Ю. Н., Элементы наследственной механики твердых тел, Наука, М., 1977, 384 с.
- Виноградов Г. В., Малкин А. Я., Реология полимеров, Химия, М., 1977, 440 с.
- Malkin A. Ya., Mansurov V. A., Begishev V. P., "Method of measuring the relaxational properties of elastomers during network formation", Polymer Science U.S.S.R., 29:3 (1987), 741-745
- Tschoegl N. W., The phenomenological theory of linear viscoelastic behavior. An introduction, Springer-Verlag, Berlin, 1989, xxv+769 pp.
- Drozdov A. D., Mechanics of viscoelastic solids, John Wiley & Sons, Chichester, 1998, xii+472 pp.
- Адамов А. А., Матвеенко В. П., Труфанов Н. А., Шардаков И. Н., Методы прикладной вязкоупругости, УрО РАН, Екатеринбург, 2003, 411 с.
- Brinson H. F., Brinson L. C., Polymer Engineering Science and Viscoelasticity, Springer, Boston, MA, 2008, xvi+446 pp.
- Lakes R. S., Viscoelastic Materials, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2009, xvi+461 pp.
- Mainardi F., Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity. An introduction to mathematical models, World Scientific, Hackensack, NJ, 2010, xx+347 pp.
- Christensen R. M., Mechanics of Composite Materials, Dover Publ., New York, 2012, 384 pp.
- Bergström J., Mechanics of Solid Polymers. Theory and Computational Modeling, Elsevier; William Andrew, New York, 2015, 520 pp.
- Георгиевский Д. В., Климов Д. М., Победря Б. Е., "Особенности поведения вязкоупругих моделей", Изв. РАН. МТТ, 2004, № 1, 119-157
- Ломакин В. А., Колтунов М. А., "Моделирование процесса деформации нелинейных вязко-упругих сред", Механика полимеров, 1967, № 2, 221-226
- Работнов Ю. Н., "Равновесие упругой среды с последействием", ПММ, 12:1 (1948), 53-62
- Работнов Ю. Н., Ползучесть элементов конструкций, Наука, М., 1966, 752 с.
- Хохлов А. В., "О возможности описания знакопременности и немонотонности зависимости от времени коэффициента Пуассона при ползучести с помощью нелинейной модели вязкоупругопластичности типа Максвелла", Деформация и разрушение материалов, 2019, № 3, 16-24
Дополнительные файлы
![](/img/style/loading.gif)