Compliance functions of electromagnetoelastic piezoelectric and piezomagnetic half-plane and half-space with functionally graded or layered coatings

Full Text

Введение. Многие использующиеся на практике кристаллические и ком- позитные материалы, обладающие пьезоэффектом, демонстрируют также пьезомагнитный и магнитоэлектрический эффекты [1]. Электромагнитоупру- гие материалы способны преобразовывать один вид энергии в другой и широ- ко применяются, в том числе в виде покрытий, для изготовления приемопе- редатчиков, акустических устройств, а также сенсоров и актуаторов в мик- роэлектромеханических устройствах [2-5]. Прогнозирование поведения тел сложной структуры с покрытиями из таких материалов является нетриви- альной задачей. Контактные задачи для однородных электромагнитоупругих пьезоэлек- трических пьезомагнитных тел могут быть решены в точном замкнутом ана- литическом виде. В частности, были получены точные аналитические реше- ния осесимметричных контактных задач о вдавливании кругового штампа с плоским основанием, конического и сферического штампов [6]. Решения получены для двух основных видов электромагнитных граничных условий: считалось, что штамп изолирован или является идеальным проводником. B. Rogowski и W. Kalinski построили точное решение осесимметричной кон- тактной задачи о вдавливании усеченного конического проводящего штам- па [7]. Получены точные аналитические решения для двумерных контакт- ных задач о вдавливании движущегося изолированного или проводящего штампа с плоским основанием или параболической формы [8]; о вдавлива- нии и скольжении с трением треугольного и параболического изолированных штампов [9]; о вдавливании и скольжении с трением проводящего штампа c плоским основанием [10] и параболической формы [11]. С помощью методов теории функций комплексной переменной были построены аналитические ре- шения одномерных контактных задач для упругих тел с покрытиями [12-14]. В литературе известно достаточно небольшое количество исследований, посвященных двумерным контактным задачам для электромагнитоупругих тел с покрытиями. Ma, Ke и Wang решили серию плоских контактных задач для электромагнитоупругой пьезоэлектрической пьезомагнитной полуплос- кости с функционально-градиентным (ФГ) покрытием. Ими решены контакт- ные задачи о вдавливании проводящего плоского и параболического штам- пов [15]; о вдавливании и скольжении с трением плоского проводящего штам- па [16], в том числе с учетом термофрикционного разогрева [17]. Рассмотре- но только экспоненциальное изменение свойств по глубине покрытия. С ис- пользованием интегральных преобразований Фурье контактные задачи све- дены к решению систем сингулярных интегральных уравнений, которые ре- шены численно с использованием методов, основанных на методе коллока- ции [18, 19]. Для контактных задач с трением при построении решения исполь- зовался итерационный алгоритм, на первом шаге которого решалась задача без трения, а на втором и каждом последующем шагах решение уточнялось. 476Функции податливости электромагнитоупругой неоднородной полуплоскости. . . В работе [20] решена контактная задача о вдавливании и скольжении с тре- нием параболического штампа в слой, состоящий из двух ФГ слоев с экспо- ненциальным изменением свойств по глубине, с использованием аналогичной схемы построения численного решения сингулярных уравнений и метода ко- нечных элементов. В работе [21] рассматривается трехмерная задача о вдав- ливании и скольжении с учетом трения изолированной сферы по поверхности электромагнитоупругого слоя, лежащего на жестком основании, с учетом по- верхностных эффектов, поверхностные эффекты моделируются с применени- ем моделей Gurtin-Murdoch [22] и Huang-Yu [23]. Следует также упомянуть подходы, использующие различные техники усреднения. Они оказываются эффективными при моделировании микроструктурных гетерогенных мате- риалов [24, 25], однако, плохо подходят для моделирования слоистых тел или тел с покрытиями. Для решений контактных задач для электромагнитоупругих тел со сло- истыми или ФГ-покрытиями при произвольном изменении свойств по глу- бине может быть эффективно использован приближенный аналитический ме- тод [26, 27]. Он позволяет в аналитическом виде получить решения контакт- ных задач, асимптотически точные для покрытий большой и малой толщины и обладающие высокой точностью для покрытий средней толщины [28]. Данная работа посвящена построению функций податливости электро- магнитоупругого полупространства и полуплоскости с ФГ или слоистыми покрытием. Функции податливости являются трансформантами ядер инте- гральных уравнений, соответствующих плоским или осесимметричным ста- тическим контактным задачам. Показана линейная связь между функция- ми податливости и образами (Фурье или Ханкеля) функций Грина. Изучены свойства функций податливости и установлена возможность построения при- ближенных аналитических решений ряда плоских и осесимметричных кон- тактных задач. 1. Равновесие упругой полуплоскости с неоднородным по глу- бине покрытием. Рассмотрим электромагнитоупругую трансверсально-изо- тропную неоднородную пьезоэлектрическую пьезомагнитную полуплоскость. Введем декартову систему координат (x, z) таким образом, чтобы прямая z = 0 совпадала с поверхностью полуплоскости, а ось z являлась осью симмет- рии всех шести групп электромагнитноупругих свойств. Считаем, что упру- гие модули c 11 , c 12 , c 13 , c 33 , c 44 ; пьезоэлектрические коэффициенты e 31 , e 15 , e 33 ; пьезомагнитные коэффициенты h 31 , h 15 , h 33 ; диэлектрические проница- емости 11 , 33 ; магнитные проницаемости 11 , 33 и коэффициенты электро- магнитной связи d 11 , d 33 неоднородной полуплоскости изменяются с глубиной по следующим законам: { (c) f kj (z), H 6 z 6 0, f kj = (s) f kj = const, < z < H, (c) где f kj (z) - непрерывно дифференцируемые или кусочно-постоянные функ- ции, описывающие изменение электромагнитоупругих свойств по глубине по- (s) крытия толщины H; f kj - некоторые постоянные, описывающие свойства од- нородной полубесконечной подложки. Здесь и далее индексы (c) и (s) соот- ветствуют покрытию и подложке. 477 Обозначим через u и w упругие смещения вдоль осей x и z соответственно; x , z xz - нормальные и касательные напряжения; и - электрический и магнитный потенциалы; D x , D z и B x , B z - компоненты векторов электри- ческой и магнитной индукции. Считаем, что на границе стыка покрытия и подложки выполнены условия непрерывности: z = H : w (c) = w (s) , u (c) = u (s) , (c) = (s) , (c) = (s) , (c) (s) (c) (s) (c) (s) (c) (s) z = z , xz = xz , D z = D z , B z = B z . (1) Пусть на поверхности покрытия действуют одновременно распределенная касательная и нормальная нагрузка в некоторой области a 6 x 6 a. Кроме того, в этой области заданы нормальные компоненты электрической и маг- нитной индукции. Вне области a 6 x 6 a поверхность покрытия свободна от механической нагрузки, электрически и магнитно изолирована: { {p(x), (x), q(x), b(x)} , |x| 6 a, (2) z = 0 : { z , xz , D z , B z } = 0, |x| > a. Линейные определяющие соотношения электромагнитоупругой пьезоэлек- трической пьезомагнитной среды имеют вид [29] w u + c 13 + e 31 + h 31 , x z z z w u + c 33 + e 33 + h 33 , z = c 13 x z z z ( u w ) xz = c 44 + + e 15 + h 15 ; z x x x ( u w ) + 11 d 11 ; D x = e 15 z x x x u w D z = e 31 + e 33 33 d 33 ; x z z z ( u w ) B x = h 15 + 11 d 11 z x x x u w B z = h 31 + h 33 d 33 33 . x z z z x = c 11 (3) Уравнения равновесия и уравнения электро- и магнитостатики имеют вид x xz z xz D x D z B x B z + = 0; + = 0; + = 0; + = 0. x z z x x z x z (4) Считаем, что смещения, электрический и магнитный потенциалы затуха- ют на бесконечности: u, w, , > 0 при z > . (5) 2. Равновесие упругой полуплоскости с ФГ-покрытием. Восполь- зуемся преобразованием Фурье: 1 f (x, z) = f (, z) exp(ix)d. 2 478Функции податливости электромагнитоупругой неоднородной полуплоскости. . . Подставим (3) в (4) и, записывая смещения, электрический и магнитный потенциалы в виде преобразований Фурье, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно трансформант Фурье: c 44 u 0 = 2 c 11 u 0 c 44 ( u 0 + w) b 1 w e 15 b 2 h 15 b 3 ; c 33 w + e 33 + h 33 = = c 13 u 0 + b 1 u 0 c 33 w e ( 33 h 33 + ) + 2 c 44 w + e 15 + h 15 ; e 33 w 33 d 33 = (6) = e 31 u 0 + b 2 u 0 e 33 w + ( 33 + d 33 + ) + 2 e 15 w 11 d 11 ; h 33 w d 33 33 = = h 31 u 0 + b 3 u 0 h 33 w + ( d 33 + 33 + ) + 2 h 15 w d 11 11 . Выше использованы следующие обозначения: v u = i u 0 , i = 1, b 1 = (c 13 + c 44 ) , b 2 = (e 15 + e 31 ) , b 3 = (h 31 + h 15 ) . Аналогично, в осесимметричной постановке, используя вместо преобразова- ний Фурье преобразования Ханкеля, можно получить систему дифференци- альных уравнений (6). Для однородной подложки (z < H) систему (6) можно переписать в бо- лее простом виде: c 44 u 0 = 2 c 11 u 0 b 1 w b 2 b 3 ; ( ) A 33 w + e 33 + h 33 = b 1 u 0 + 2 c 44 w + e 15 + h 15 ; ( ) e 33 w 33 d 33 = b 2 u 0 + 2 e 15 w 11 d 11 ; ( ) h 33 w d 33 33 = b 3 u + 2 h 15 w d 11 11 . (7) 0 Характеристическое уравнение системы обыкновенных дифференциаль- ных уравнений имеет вид c 44 t 2 c 11 2 b 1 t b 2 t b 3 t b 1 t c 33 t 2 c 44 2 e 33 t 2 e 15 2 h 33 t 2 h 15 2 = 0. b 2 t e 33 t 2 e 15 2 11 2 33 t 2 d 11 2 d 33 t 2 b 3 t h 33 t 2 h 15 2 d 11 2 d 33 t 2 11 2 33 t 2 Очевидно, что решение можно записать в виде t k = k . Возможно три различных случая [8]: Случай 1. Четыре пары комплексно-сопряженных корней (вещественная часть не равна нулю): 1 = 5 = o 1 + i 1 , 2 = 6 = o 1 i 1 , 3 = 7 = o 3 + i 3 , 4 = 8 = o 3 i 3 . 479 Случай 2. Две пары вещественных корней, равных по модулю, но имею- щих разный знак, и две пары комплексно сопряженных корней с ненулевой вещественной частью: 1 = 5 = o 1 , 2 = 6 = o 2 , 3 = 7 = o 3 + i 3 , 4 = 8 = o 3 i 3 . Случай 3. Четыре пары вещественных корней: 1 = 5 = o 1 , 2 = 6 = o 2 , 3 = 7 = o 3 , 4 = 8 = o 4 . Тогда общее решение системы (7) имеет вид: (s) u 0 (, z) = (s) (, z) = 4 k=1 4 S k () k 1k e k z , w (s) (, z) = 4 S k () k 2k e k z , k=1 S k () k 3k e k z , (s) (, z) = 4 S k () k 4k e k z . k=1 k=1 (k jk ) 4 j=1 Здесь - собственные векторы, их компоненты зависят только от элек- троманитоупругих свойств подложки (не зависят от ); постоянные S k () необходимо определить из граничных условий. Выше было учтено условие (5), из которого следует, что коэффициенты при k c отрицательной веще- ственной частью равны нулю. Перепишем (3) в образах Фурье: xz = i(c 44 w + e 15 + h 15 c 44 u 0 ); z = c 33 w + e 33 + h 33 c 13 u 0 ; z = e 33 w D 33 d 33 e 31 u 0 ; z = h 33 w B d 33 33 h 31 u 0 . Тогда граничные условия (1) примут следующий вид: (c) (s) w (c) = w (s) , u 0 = u 0 , (c) = (s) , (c) = (s) , (c) (s) (s) (s) (s) (s) 0 , z = c 33 w (s) + e 33 (s) + h 33 (s) c 13 u z = H : (s) (s) (s) (s) d (s) (s) e (s) u z (c) = e (s) w D 33 33 33 31 0 , (s) (s) d (s) (s) (s) (s) h (s) u z (c) = h (s) w B 33 33 33 31 0 , (c) (s) (s) (s) (s) (s) (s) xz = i(c 44 w + e 15 (s) + h 15 (s) c 44 u 0 ). Будем разыскивать решение системы (6) в виде линейных комбинаций: ( (c) (c) (c) (c) ) x (c) = u , w , q , b , x (c) (, z) = 480 a (, z) · y () , ( ) y = i , p , q , b , a = (a kj ) 4 k,j=1 . (8)Функции податливости электромагнитоупругой неоднородной полуплоскости. . . Тогда граничные условия при z = H примут вид (s) a 1j = u 0 , a 2j = w (s) , a 3j = (s) , a 4j = (s) , (c) (c) (c) (s) (c) (c) (c) (c) c 33 a 2j + e 33 a 3j + h 33 a 4j c 13 a 1j = (s) (s) (s) (s) (s) (s) = c 33 w + e 33 (s) + h 33 (s) c 13 u 0 , e 33 a 2j 33 a 3j d 33 a 4j e 31 a 1j = (s) (s) (s) (s) (s) (s) = e 33 w 33 (s) d 33 (s) e 31 u 0 , (c) (c) (c) (9) (c) h 33 a 2j d 33 a 3j 33 a 4j h 31 a 1j = (s) (s) (s) (s) (s) (s) = h 33 w d 33 (s) 33 (s) h 31 u 0 , (c) (c) (c) (c) c 44 a 2j + e 15 a 3j + h 15 a 4j c 44 a 1j = (s) (s) (s) (s) (s) (s) = c 44 w + e 15 (s) + h 15 (s) c 44 u 0 . Учитывая (8), граничные условия (2) можно записать в виде (c) (c) (c) (c) 1j c 44 (0)a 2j + e 15 (0)a 3j + h 15 (0)a 4j c 44 (0)a 1j (c) (c) (c) (c) c 33 (0)a 2j + e 33 (0)a 3j + h 33 (0)a 4j c 13 (0)a 1j 2j z =0: e (c) (0)a (c) (0)a d (c) (0)a e (c) (0)a = . (10) 1j 3j 2j 3j 4j 33 33 33 31 (c) (c) (c) (c) h 33 (0)a 2j d 33 (0)a 3j 33 (0)a 4j h 31 (0)a 1j 4j Здесь j = 1, 2, 3, 4, kj - символ Кронекера. Таким образом, для определения векторов a j = (a kj ) 4 k=1 получаем четыре краевые двухточечные задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэф- фициентами (6) с граничными условиями (9) и (10). Нетрудно убедиться, что kj (, z) = 1 a kj (, z) G (11) есть образы (Фурье для плоской задачи и Ханкеля для осесимметричной) функций Грина. Введем функции L kj () = a kj (/H, 0) , kj L = (L kj ) 4 k,j=1 . (12) Здесь постоянные kj выбраны таким образом, чтобы выполнялось условие a kj (, 0) = kj . > Значения kj зависят только от свойств поверхности покрытия (z = 0). Ана- логично терминологии [30, 31], будем называть их функциями податливости электромагнитоупругой полуплоскости (полупространства) с неоднородным по глубине покрытием. Для ФГ-покрытия с произвольным характером изме- нения свойств по глубине функции податливости могут быть построены лишь численно. Аналитические выражения для функций податливости можно по- строить при отсутствии неоднородности (свойства в покрытии постоянны, 481 то есть покрытие однородное) и для некоторых частных случаев неоднород- ности: кусочно-постоянное изменение свойств (слоистые кусочно-однородные покрытия), экспоненциальное изменение свойств (при этом важно, чтобы по- казатель экспоненты совпадал для всех законов изменения электромагнито- упругих свойств) и т.п. Установлено, что матрица L является симметричной, т.е. L kj () L jk (). Таким образом, имеем 10 независимых функций податливости. Кроме того, выполнено: L kj () > 0 при k, j = 2, 3, 4 и k = j = 1. Положительность или знакопеременность функций L 1j () при j = 2, 3, 4 зависит от отноше- ния свойств подложки и покрытия и исследована в параграфе 5. Кроме того, функции L kj () при k, j = 2, 3, 4 и k = j = 1 являются четными, а функции L 1j () при j = 2, 3, 4 - нечетными. Поэтому в дальнейшем будем рассмат- ривать их лишь в диапазоне > 0. Для построения функций Грина можно использовать технику, основан- ную на результатах В. А. Бабешко [32]. Известно, что четная, вещественная, непрерывная на всей вещественной оси и затухающая на бесконечности функ- ция может быть аппроксимирована следующими выражениями: f j () = ( 2 + D j 2 ) 1 . (13) Используя подход С. М. Айзиковича [27], построим аппроксимации функций податливости выражениями N kj L kj () kj () = 2 + A 2 kjn n=1 2 2 + B kjn , A kjn , B kjn C, ( ) а разницу L kj () kj () 1 аппроксимируем в виде (13). В итоге получим M kj N kj L kj () = 2 + A 2 kjn n=1 2 + 2 B kjn + n=1 C kjn + R s (), 2 + D kjn 2 (14) где R s () = O( s ), > 0; R s () = O( s1 ), > ; s = min(2N kj , 2M kj +1). Коэффициенты A kjn , B kjn либо вещественны, либо являются комплекс- но сопряженными, то есть выражение kj () вещественно. Для построения функций Грина требуется обратить интегральные преобразования (Фурье или Ханкеля), используя (11) и (12). Для функций податливости, записан- ных в виде (14), это удается проделать аналитически. Аналогично это было сделано для задачи о действии нормальной точечной силы и точечного заряда в работе [33]. 3. Частные случаи изменения свойств по глубине покрытия. Для кусочно-однородного покрытия вычисление функций податливости можно упростить. В этом случае для каждого отдельно взятого j-того однородно- го слоя система обыкновенных дифференциальных уравнений (7) принимает 482Функции податливости электромагнитоупругой неоднородной полуплоскости. . . вид (6) и ее решение можно записать в виде (j) u 0 (, z) = (k) (, z) = 8 k=1 8 k=1 S jk () k 1jk e jk z , w (j) (, z) = S jk () k 3jk e jk z , (j) (, z) = 8 k=1 8 S jk () k 2jk e jk z , (15) S jk () k 4jk e jk z . k=1 Подставляя (15) в (9) и (10), получим систему (8n + 4) линейных алгебраи- ческих уравнений для определения постоянных S jk и S k , где n - количество слоев в покрытии. Аналитическое решение системы (6) можно построить также для неко- торых частных случаев законов изменения свойств по глубине покрытия. В частности, если свойства покрытия изменяются экспоненциально, то { (c) (0) f kj (z) = f kj e (z+H) , H 6 z 6 0; f kj = (0) f kj = const, < z < H. В этом случае система (6) также превращается в систему с постоянными коэффициентами. Её решение может быть построено аналитически и, таким образом, построение функций податливости сводится к решению системы ли- нейных алгебраических уравнений. 4. Интегральные уравнения контактных задач. Описанная выше схема построения функций податливости может быть применена при сведе- нии ряда контактных задач к решению интегральных уравнений и их систем. Рассмотрим примеры контактных задач: Контактная задача 1 о вдавливании изолированного штампа. Пусть жест- кий штамп вдавливается без трения в поверхность электромагнитоупругой полуплоскости с покрытием, вся поверхность покрытия электрически и маг- нитно изолирована. В этом случае граничные условия имеют такой вид: |x| 6 a; w = + f (x), z = 0, |x| > a; z =0: xz = D z = B z = 0, < x < +. Используя интегральные преобразования Фурье, получим парное инте- гральное уравнение: ( ) 2 exp(ix) d = 22 f (ax) , |x| 6 1; p 0 ()L 22 () || a (16) p 0 () exp(ix)d = 0, |x| > 1. Здесь p 0 () - трансформанта Фурье контактных давлений при безразмер- ной координате, f (x) - функция профиля штампа, a - полуширина обла- сти контакта, = H/a - безразмерная толщина покрытия. К аналогично- му уравнению сводится контактная задача о вдавливании жесткого штампа в чисто упругую полуплоскость с покрытием, изменяется лишь функция по- датливости и значение постоянной 22 . Его решение построено ранее для 483 штампа с плоским основанием [34] и штампа параболической формы [35]. Для осесимметричной контактной задачи аналогичное уравнение получает- ся заменой преобразования Фурье на преобразование Ханкеля и также было рассмотрено и решено ранее [36]. Контактная задача 2 об электроде на поверхности покрытия. Предпо- ложим, что на поверхность покрытия нанесён идеальный электромагнитный проводник, электрический и магнитный потенциалы известны и равны 0 и 0 . Поверхность покрытия свободна от механических воздействий. В этом случае граничные условия и система интегральных уравнений примут такой вид: = 0 , = 0 , |x| 6 a; D z = B z = 0, |x| > a; z =0: = = 0, < x < ; z xz 2 0 q 0 () L 33 () ix b 0 () L 34 () ix e d + e d = , |x| 6 1; || 33 || 34 a q 0 () L 43 () ix b 0 () L 44 () ix 2 0 , |x| 6 1; e d + e d = 43 44 a || || q 0 () exp(ix)d = b 0 () exp(ix)d = 0, |x| > 1. (17) Это задача со смешанными граничными условиями по электрическим и магнитным компонентам. Построение приближенного аналитического ре- шения подобных систем описано в работах [26] и [37] в осесимметричной по- становке. Контактная задача 3 о вдавливании проводящего штампа без учета сил трения. Пусть в полуплоскость с покрытием вдавливается без трения жест- кий штамп и пусть штамп является идеальным электромагнитным провод- ником. Тогда |x| 6 a; w = + f (x), = 0 , = 0 , D z = B z = z = 0, |x| > a; z =0: xz = 0, < x < ; |x| 6 1: ( ) L 23 () L 24 () ) e ix 2 ( L 22 () d = f (ax) , p 0 () + q 0 () + b 0 () 22 23 24 || a ) ( ix L 32 () L 33 () 2 0 L 34 () e p 0 () + q 0 () + b 0 () d = , || a 32 33 34 ( 2 0 L 42 () L 43 () L 44 () ) e ix p 0 () + q 0 () + b 0 () d = ; (18) 42 43 44 || a |x| > 1 : p 0 () exp(ix)d = q 0 () exp(ix)d = b 0 () exp(ix)d = 0. = 484Функции податливости электромагнитоупругой неоднородной полуплоскости. . . Как видно, функции податливости являются трансформантами ядер ин- тегральных уравнений (16), (17), (18). Поэтому исследование их свойств явля- ется принципиально важным. Свойства трансформант ядер во многом опре- деляют возможность использование того или иного метода решения. В част- ности, приближенный аналитический метод [27] основан на идее аппрокси- мации функций податливости выражениями N kj L kj () kj () = 2 + A 2 kji i=1 2 2 + B kji , A kji = B slm . (19) Заменяя трансформанты ядер парных интегральных уравнений и их систем (16), (17), (18) приближенными выражениями (19), получаем приближенные уравнения, для которых удается построить замкнутые аналитические реше- ния. В работе [27] показано, что полученные решения являются двусторонне асимптотически точными при > 0 и > . Точность приближенных ре- шений для произвольного значения зависит от точности аппроксимации трансформант ядер. При этим погрешность решения является величиной то- го же порядка малости, что и погрешность аппроксимации трансформанты ядра [28]. Было рассмотрено большое количество различных примеров со- четаний материалов покрытий и подложек и законов изменения свойств по глубине и для всех удавалось построить аппроксимации с относительной по- грешностью, не превышающей 0.2 %. 5. Численные результаты и анализ свойств функций податливо- сти. Аналогично работе [30] можно показать, что для функций податливости, соответствующих полуплоскости с ФГ-покрытием, выполнены свойства: L kj () = a kj + b kj || + c kj 2 + O(|| 3 ), || > 0; L kj () = 1 + b kj || 1 + c kj 2 + O(|| 3 ), || > . (20) Для кусочно-однородных покрытий вместо (20) выполнено L kj () = 1 + b kj exp (2 || h 1 ) + O (|| exp (2h 1 )) , || > , где h 1 - толщина верхнего слоя. Для иллюстрации рассмотрим подложку из композитного материала, со- ставленного из пьезоэлектрического материала BaTiO 3 и пьезомагнитного CoFe 2 O 4 [9]: c 11 = 226 GPa, c 1 = 124 GPa, c 33 = 216 GPa, c 44 = 44 GPa, e 15 = 5.8 C/m 2 , e 31 = 2.2 C/m 2 , e 33 = 9.3 C/m 2 , h 15 = 275 N/(A·m), h 31 = 290.2 N/(A·m), h 33 = 350 N/(A·m), 11 = 5.64 10 9 C 2 /(N·m 2 ), 33 = = 6.3510 9 C 2 /(N·m 2 ), 11 = 2.9710 4 N·s 2 /C 2 , 33 = 0.83510 4 N·s 2 /C 2 , d 11 = 5.367 10 12 N·s/(V·C), d 33 = 2737.5 10 12 N·s/(V·C). Рассмотрим однородные покрытия, свойства которых пропорциональны (c) (s) (c) свойствам подложки, но отличаются в раз, т.е. x kj = const и x kj /x kj = = > 0. На рис. 1-4 изображены все 10 функций податливости (L ij = L ji ) для случаев = 2 и = 0.5. Значение функций податливости в нуле в этом случае определяется по формуле lim L kj () = 1 . >0 (21) 485 Рис. 1. Функции податливости L 1j () для однородных покрытий при = 2 и = 0.5 [Figure 1. Compliance functions L 1j () for homogeneous coatings with = 2 and = 0.5] Рис. 2. Функции податливости L 2j () для однородных покрытий при = 2 и = 0.5 [Figure 2. Compliance functions L 2j () for homogeneous coatings with = 2 and = 0.5] Рис. 3. Функции податливости L 3j () для однородных покрытий при = 2 и = 0.5 [Figure 3. Compliance functions L 3j () for homogeneous coatings with = 2 and = 0.5] 486Функции податливости электромагнитоупругой неоднородной полуплоскости. . . Рис. 4. Функции податливости L 4j () для однородных покрытий при = 2 и = 0.5 [Figure 4. Compliance functions L 4j () for homogeneous coatings with = 2 and = 0.5] Графики функций податливости L jj , j = 1, 2, 3, 4, расположены симмет- рично относительно прямой y = 1. Все функции податливости, за исключе- нием L 12 , L 13 , L 14 , являются монотонными и положительными, их значения лежат в интервале (1, 1 ) для < 1 и (1, 1) для > 1. На рис. 5 изображены графики L 22 и L 33 для однородных покрытий при = 0.01, 0.1, 0.5, 2, 10, 100. На обеих осях координат использована логариф- мическая шкала. Интересный факт, что графики функции L 33 , соответствую- щие значениям = 2, 10, 100, практически совпадают с графиками функции L 1 33 для значений = 0.5, 0.1, 0.01. Для того чтобы оценить, насколько близ- ки эти величины, введем относительную характеристику L () jj jj () = sup 1 1 · 100 %, j = 1, 2, 3, 4. L () 1 06< jj 1 ( ). Для описанных Очевидно, что jj () = jj выше однородных покры- тий получены следующие значения: 33 (100) = 4.99 %, 33 (10) = 3.01 %, 33 (2) = 0.44 %. Еще лучшее совпадение наблюдается для L 44 , значение ана- логичной характеристики в этом случае 44 (100) = 0.03 %, 44 (10) = 0.02 %, 44 (2) = 0.003 %. Для других функций податливости такой взаимосвязи не наблюдается. В частности, на рис. 5 видно, что L 22 при = 100 значительно медленнее стремится к значению 1 при > 0. Для однородных покрытий при любом значении скорость сходимости всех функций L kj к единице при > одинакова. Особенными с точки зрения свойств, описанных выше, являются функции L 12 , L 13 , L 14 (см. рис. 5 и 6. Все они немонотонны, наиболее заметно это для L 12 и L 14 . Для однородных покрытий функция L 12 в области 0.5 < < 0.9 имеет точку максимума при < 1 и точку минимума при > 1. Функция L 14 , наоборот, имеет точку максимума при > 1 и минимума при < 1. Максимум и минимум достигаются в области 1.0 < < 1.5. При этом чем больше значение отличается от единицы, тем значение максимума больше, а минимума меньше. Для рассмотренных примеров при 6 0.25 функция L 12 знакопеременна, при > 7.3 знакопеременна L 14 . Этот факт важен с точки зрения выбора метода решения интегрального уравнения. В частности, при- 487 Рис. 5. Функции податливости L 22 () и L 33 () для однородных покрытий при = 0.01, 0.1, 0.5, 2, 10, 100 [Figure 5. Compliance functions L 22 () and L 33 () for homogeneous coatings and = 0.01, 0.1, 0.5, 2, 10, 100] Рис. 6. L 12 () и L 14 () для однородных покрытий при = 0.1, 0.25, 0.5, 2, 4 и 10 [Figure 6. L 12 () and L 14 () for homogeneous coatings with = 0.1, 0.25, 0.5, 2, 4, and 10] ближенный аналитический метод [27] потребует некоторой доработки в этом случае, так как при его реализации требуется строить аппроксимации функ- ций податливости строго положительными выражениями. Рассмотрим ФГ-покрытия, свойства которых на поверхности пропорцио- (s) (c) нальны свойствам подложки, но отличаются в раз, т.е. x kj /x kj (0) = > 0. Свойства внутри покрытия изменяются непрерывно от значения на поверх- ности к значению подложки по одному из следующих законов: 1) линейный ( (s) (c) (surf) (surf) ) z x kj (z) = x kj x kj x kj ; H 2) степенной (c) (surf) x kj (z) = x kj 488 ( ) ( (s) (surf) ) z k x kj x kj ; HФункции податливости электромагнитоупругой неоднородной полуплоскости. . . 3) экспоненциальный (c) exp(kz/H) (s) exp(kz/H) 1 x kj . exp(k) 1 exp(k) 1 (surf) exp(k) x kj (z) = x kj На рис. 7 (слева) изображены графики пяти законов неоднородности при = 0.5: однородного покрытия и ФГ-покрытий с линейным, степенным (k = 2) и экспоненциальным (k = 2 и k = 5) изменением свойств, на рис. 7 (справа) и 8 - соответствующие им функции податливости L 22 , L 12 и L 14 . Графики законов неоднородности не пересекаются, как и графики соот- ветствующих функций податливости L kj , за исключением L 12 , L 13 , L 14 . Гра- фики всех функций податливости упорядочены в той же последовательно- сти, что и графики законов неоднородности (таким образом, наблюдается непрерывность зависимости функций податливости от закона неоднородно- Рис. 7. Графики изменения свойств по глубине однородного и ФГ-покрытий (20), (21) при = 0.5 (слева) и соответствующие им графики L 22 (справа) [Figure 7. Plots of properties variation in depth of homogeneous and functionally graded coatings (20), (21) (left) and corresponding to them plots of L 22 (right)] Рис. 8. Графики L 12 и L 14 , соответствующие покрытиям из рис. 7 (слева) [Figure 8. Plots of L 12 and L 14 corresponding to the coatings from Fig. 7 (left)] 489 сти). Законы изменения свойств по глубине существенно влияют на скорость сходимости всех L kj к единице при > . Медленнее всех к единице сходят- ся L kj для экспоненциальных законов, затем степенных, линейных и быстрее всех сходятся для однородного покрытия. Можно сделать вывод, что на ско- рость сходимости к единице влияет абсолютная величина градиента функции изменения свойств по глубине в нуле - |x kj (c) (0)|. Для ФГ-покрытий функции L 12 и L 14 также ведут себя иначе, чем все остальные. Как и для однородных покрытий, они немонотонны. При этом графики «сглаживаются», приближа- ются к монотонному по мере увеличения |x kj (c) (0)|.

About the authors

Andrey Sergeevich Vasiliev

Don State Technical University

Email: andre.vasiliev@gmail.com
Candidate of physico-mathematical sciences, no status 1, Gagarin Square, Rostov-on-Don, 344000, Russian Federation

References

Supplementary files