On Leibniz-Poisson special polynomial identities

Full Text

Векторное пространство A над полем K с двумя K-билинейными операциями умножения · и {,} называется алгеброй Лейбница-Пуассона, если относительно операции · пространство A является коммутативной ассоциативной алгеброй с единицей, относительно операции {,} - алгеброй Лейбница, и данные операции связаны правилами {a · b, c} = a · {b, c} + {a, c} · b, {c, a · b} = a · {c, b} + {c, a} · b, где a, b, c ∈ A. При этом алгебра Лейбница A(+, {,}, K) над полем K определяется тождеством {{x, y}, z} = {{x, z}, y} + {x, {y, z}}. ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1298 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец цитирования: С. М. Р а ц е е в, О. И. Ч е р е в а т е н к о, “О тождествах специального вида в алгебрах Лейбница-Пуассона” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 2 (35). С. 9-15.. 9 С. М. Р а ц е е в, О. И. Ч е р е в а т е н к о Алгебры Лейбница-Пуассона были введены в работе [1] и активно изучались в работах [2-8]. Данные алгебры являются обобщениями алгебр Пуассона. Заметим, что если в алгебре Лейбница выполнено тождество {x, x} = 0, то она будет являться алгеброй Ли, поэтому, если данное тождество выполнено в алгебре Лейбница-Пуассона, то данная алгебра будет являться алгеброй Пуассона. Алгебры Пуассона возникают естественным образом в некоторых разделах алгебры, дифференциальной геометрии, топологии, современной теоретической физики и т. д. Исследование полиномиальных алгебр Пуассона началось сравнительно недавно, но тем не менее в данном направлении получен ряд интересных результатов [9-17]. Заметим также, что с использованием свободных алгебр Пуассона и Пуассоновых скобок У. У. Умирбаевым и И. П. Шестаковым [18] была решена известная проблема Нагаты [19] о существовании диких автоморфизмов свободной ассоциативной алгебры над полем характеристики 0 с тремя порождающими. Пусть F (X) - свободная алгебра Лейбница-Пуассона, где X = {x1 , x2 , x3 , . . . } - счётное множество свободных образующих. Обозначим через Pn пространство в F (X), состоящее из полилинейных элементов степени n от переменных x1 , . . . , xn . Выделим в пространстве P2n подпространство Q2n , порождённое элементами вида {xa1 , xa2 } · {xa3 , xa4 } · . . . · {xa2n-1 , xa2n }. Тогда данное пространство есть линейная оболочка следующих элементов: Q2n = {xτ (1) , xτ (2) } · {xτ (3) , xτ (4) } · . . . · {xτ (2n-1) , xτ (2n) } | τ ∈ S2n , τ (1) < τ (3) < · · · < τ (2n - 1) K. Определим также подпространство Rn в Pn , порождённое элементами вида {xa1 , xa2 } · {xa3 , xa4 } · . . . · {xa2m-1 , xa2m } · xα2m+1 · . . . · xαn . Тогда пространство Rn является линейной оболочкой элементов следующего вида: Rn = {xτ (1) , xτ (2) } · {xτ (3) , xτ (4) } · . . . · {xτ (2m-1) , xτ (2m) } · xτ (2m+1) · . . . · xτ (n) | τ ∈ Sn , 0 2m n, τ (1) < τ (3) < · · · < τ (2m - 1), τ (2m + 1) < τ (2m + 2) < · · · < τ (n) K . Пусть V - некоторое многообразие алгебр Лейбница-Пуассона (все необходимые сведения о многообразиях PI-алгебр можно найти, например, в монографиях [20-22]), Id(V) - идеал тождеств многообразия V. Обозначим Pn (V) = Pn /(Pn ∩ Id(V)), cn (V) = dim Pn (V), Q2n (V) = Q2n /(Q2n ∩ Id(V)), q2n (V) = dim Q2n (V), Rn (V) = Rn /(Rn ∩ Id(V)), rn (V) = dim Rn (V). Пространства Q2n (V) и Rn (V) многообразий алгебр Пуассона V активно изучались в работах [9-11, 13, 23]. Это обусловлено следующим обстоятельством. Обозначим T2n = {τ ∈ S2n | τ (1) < τ (2), τ (3) < τ (4), . . . , τ (2n - 1) < τ (2n), 10 О тождествах специального вида в алгебрах Лейбница-Пуассона τ (1) < τ (3) < · · · < τ (2n - 1)}. Теорема 1 [9]. Пусть V - многообразие алгебр Пуассона над полем нулевой характеристики, в котором выполнено нетривиальное тождество. Тогда в V выполняется нетривиальное тождество вида ατ {xτ (1) , xτ (2) } · {xτ (3) , xτ (4) } · . . . · {xτ (2n-1) , xτ (2n) } = 0, ατ ∈ K. τ ∈T2n Далее нам понадобится следующая лемма, которую приведем без доказательства, так как она является частным случаем предложения 4 работы [1]. Лемма. Пусть V - некоторое многообразие алгебр Лейбница-Пуассона над произвольным полем. Тогда справедливы следующий утверждения: (i) полилинейные элементы u2n (x1 , . . . , x2n ), s = 1, . . . , q2n (V), s образуют базис пространства Q2n (V) тогда и только тогда, когда полилинейные элементы от переменных x1 , . . . , xn вида x1 · . . . · xn , 2 2k xi1 · . . . · xin-2k · u2k (xj1 , . . . , xj2k ), s n, s = 1, . . . , q2k (V), i1 < · · · < in-2k , j1 < · · · < j2k , образуют базис пространства Rn (V); (ii) для любого натурального числа n выполнено равенство 2k Cn q2k (V), rn (V) = 1 + 2 2k n 2k где Cn - число сочетаний из n по 2k. Теорема 2. Пусть V - нетривиальное многообразие алгебр Лейбница- Пуассона над произвольным полем. Тогда либо 1) rn (V) 2n-1 для любого n, либо 2) найдется такой многочлен a2N x2N + · · · + a1 x + a0 степени 2N 0 из кольца Q[x], что для любого n 2N будет выполнено равенство rn (V) = a2N n2N + · · · + a1 n + a0 , a2N = 0, причём либо 2a) rn (V) 1+ n(n - 1) ,n 2 1 (2N )! 1, и a2N 1 , N! либо 2b) rn (V) = 1 для любого n. 11 С. М. Р а ц е е в, О. И. Ч е р е в а т е н к о Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть последовательность {rn (V)}n 1 не ограничена полиномом. Тогда из предложения 5 работы [1] следует, что для любого натурального n выполнено неравенство q2n (V) > 0. С учётом леммы получаем 2k 2k rn (V) = 1 + Cn q2k (V) 1 + Cn = 2n-1 . 2 2k n 2 2k n Пусть теперь последовательность {rn (V)}n 1 ограничена полиномом. Пусть N - максимальное число, при котором q2N (V) > 0. Тогда из леммы следует, что для любого n 2N будет выполнено равенство N 2k Cn q2k (V), rn (V) = 1 + k=1 то есть найдётся такой многочлен степени 2N циентами, что rn (V) = a2N n2N + · · · + a1 n + a0 , 0 с рациональными коэффиa2N = 0, n 2N. Пусть N > 0. Так как (2n)! n! 2N будет выполнено двойное неравенство q2n (F (X)) для любого n, для любого n N N 2k Cn 2k Cn · rn (V) k=0 k=0 (2k)! . k! (1) Поэтому 1 (2N )! a2N 1 . N! При этом заметим, что rn (V) 2 1 + Cn · q2 (V) 1+ n(n - 1) . 2 Если N = 0, то rn (V) = 1 для любого n. Заметим, что аналогичный результат для полилинейных частей унитарных ассоциативных алгебр над произвольным полем получен в работе [24]. Пусть Λ2n - алгебра Грассмана с единицей, 2n образующими элементами {e1 , . . . , e2n } и операцией умножения ∧. Введём в алгебре Λ2n два новых умножения: 1 a · b = (a ∧ b + b ∧ a), {a, b} = a ∧ b - b ∧ a, a, b ∈ Λ2n . 2 Обозначим полученную алгебру Пуассона (Λ2n , +, ·, {,}) через G2n . В работе [12] показано, что в случае основного поля нулевой характеристики для 12 О тождествах специального вида в алгебрах Лейбница-Пуассона произвольного натурального числа N последовательность {rn (G2N )}n стигает нижней границы в неравенстве (1): 1 до- N 2k Cn , n cn (G2N ) = rn (G2N ) = 2N. k=0 Заметим, что существует бесконечно много попарно различных многообразий алгебр Лейбница-Пуассона V, у которых последовательность {rn (V)}n 1 достигает нижней границы полиномиального роста. Пусть SUN = SUN (K) - алгебра строго верхнетреугольных матриц порядка N над полем K и операLP цией умножения ∧. В векторном пространстве UN = SUN × SUN × K над полем K определим две операции умножения · и {,} следующим образом: (x1 , x2 , α) · (y1 , y2 , β) = (βx1 + αy1 , βx2 + αy2 , αβ), {(x1 , x2 , α), (y1 , y2 , β)} = ([x1 , y1 ], x2 ∧ y1 ,0), LP где [x1 , y1 ] = x1 ∧ y1 - y1 ∧ x1 , (x1 , x2 , α), (y1 , y2 , β) ∈ UN . В работе [25] LP показано, что для полученной алгебры Лейбница-Пуассона UN над полем нулевой характеристики верны следующие равенства: LP LP q2 (UN ) = 1, q2n (UN ) = 0, n > 1, n(n - 1) LP , n 1, rn (UN ) = 1 + 2 min{n,N -1} LP cn (UN ) = 1 + k Cn · k!, n 1. k=2

About the authors

Sergey M Ratseev

Ulyanovsk State University

Email: RatseevSM@mail.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Information Security & Control Theory 42, L. Tolstoy st., Ulyanovsk, 432017, Russian Federation

Olga I Cherevatenko

Ulyanovsk State I. N. Ulyanov Pedagogical University

Email: chai@pisem.net
(Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics 4, Ploshchad’ 100-letiya so dnya rozhdeniya V. I. Lenina, Ulyanovsk, 432063, Russian Federation

References

Supplementary files