Problems of optimal and hard control over solutions of special type of nonstationary Sobolev type equations

Full Text

Введение. Пусть X, Y и U - гильбертовы пространства. Пусть операторы L ∈ L(X; Y), M ∈ Cl(X; Y) и B ∈ L(U; Y). Рассмотрим задачу Шоуолтера- Сидорова [1] P (x(0) - x0 ) = 0 (1) для уравнения соболевского типа [2-4] Lx(t) = a(t)M x(t) + f (t) + Bu(t) ˙ (ker L = {0}), t ∈ [0, τ ], (2) где вектор-функции u : [0, τ ] → U, f : [0, τ ] → Y и скалярная функция a : [0, τ ] → R+ будут определены в дальнейшем. ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1286 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец цитирования: М. А. С а г а д е е в а, А. Н. Ш у л е п о в, “Задачи оптимального и ж¨сткого управления решениями специального вида нестационарных уравнений собоe левского типа” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 2 (35). С. 33-38. 33 М. А. С а г а д е е в а, А. Н. Ш у л е п о в Нашей задачей является нахождение минимума функционала вида 1 τ (q) z (q) (t) - zd (t) J(u) = α q=0 0 2 dt+ Z k τ Nq u(q) (t), u(q) (t) + (1 - α) q=0 0 U dt, (3) где α ∈ (0, 1], k = 0, 1, . . . , p + 1, Nq ∈ L(U) - самосопряжённые и положительно определённые операторы, z = Cx, оператор C ∈ L(X; Z), а zd = zd (t, s) - плановое наблюдение из некоторого гильбертова пространства наблюдений Z. Отметим, что α ∈ (0, 1] и (1 - α) - весовые коэффициенты целей оптимального управления, заключающиеся в достижении плановых показателей наблюдаемой величины без скачкообразных изменений (первое слагаемое в (3)) и минимизации расходуемых для этого ресурсов управления (второе слагаемое в (3)). При α = 1 в функционале (3) исчезает второе слагаемое и мы получаем задачу жёсткого управления, т.е. когда при оптимизации затраты на достижение цели не интересны. 1. Относительно p-радиальные операторы. Доказательства утверждений этой части можно найти в работе [3]. Обозначим ρL (M ) = {µ ∈ C : (µL - M )-1 ∈ L(F; U)}, L Rµ (M ) = (µL - M )-1 L, LL (M ) = L(µL - M )-1 , µ µ ∈ ρL (M ), p p L R(λ,p) (M ) = σ L (M ) = C \ ρL (M ), L Rλk (M ), LL (M ) = (λ,p) k=0 LLk (M ), λk ∈ ρL (M ) (k = 0, p). λ k=0 Определение 1. Оператор M называется p-радиальным относительно оператора L (или, коротко, (L, p)-радиальным), если (i) ∃ω ∈ R ∀µ > ω ⇒ µ ∈ ρL (M ); (ii) ∃K > 0 ∀µk > ω, k = 0, p, ∀n ∈ N K L max{ (R(µ,p) (M ))n L(X) , (LL (M ))n L(Y) } . p (µ,p) n k=0 (µk - ω) Также введём обозначения L X0 = ker R(µ,p) (M ), Y0 = ker LL (M ), L0 = L (µ,p) X0 , M0 = M domM ∩X0 . L Через X1 (Y1 ) обозначим замыкание линеала imR(µ,p) (M ) (imLL (M )), а (µ,p) ˜ (Y) - замыкание линеала X0 +imRL (M ) (Y0 +imLL (M )) в норме ˜ ˙ ˙ через X (µ,p) (µ,p) пространства X (Y). Определение 2. Сильно непрерывное отображение V • : R+ → L(V) называется сильно непрерывной полугруппой разрешающих операторов (или просто разрешающей C0 -полугруппой), если 34 Задачи оптимального и жёсткого управления решениями специального вида . . . (i) V s V t = V s+t ∀s, t > 0; (ii) v(t) = V t v0 есть решение этого уравнения для любого v0 из плотного в V линеала. Полугруппу {V (t) ∈ L(V) : t ∈ R+ } будем называть экспоненциально ограниченной с константами C, ω, если ∃C > 0 ∃ω ∈ R ∀t ∈ R+ V (t) L(V) Ceωt . Теорема 1. Пусть оператор M (L, p)-радиален. Тогда существует экспоненциально ограниченная c константами K, ω из определения 1 и сильно непрерывная разрешающая полугруппа для однородного уравнения (2) при ˜ a ≡ 1, рассматриваемого на подпространстве X. Замечание 1. Операторы разрешающей полугруппы для уравнения (2) при a ≡ 1 и t > 0 можно представить в виде X t = s - lim k→∞ t L- M k k -1 L = s - lim k→∞ k L R k (M ) t t k , принимая во внимание поправки формулы, обсуждаемые в работе [5]. ˜ Замечание 2. Единицей полугруппы {X t ∈ L(X) : t ∈ R+ } является проектор P вдоль X0 на X1 . Определение 3. Оператор M называется сильно (L, p)-радиальным, если при любых λ, µ0 , µ1 , ..., µp > ω выполняются следующие условия: ◦ ◦ (i) существует плотный в Y линеал Y такой, что для всех y ∈Y const(y) M (λL - M )-1 LL (M )y Y ; (µ,p) p (λ - ω) (µk - ω) k=0 (ii) L R(µ,p) (M )(λL - M) -1 K L(Y;X) . p (λ - ω) (µk - ω) k=0 Теорема 2. Пусть оператор M сильно (L, p)-радиален. Тогда (i) X = X0 ⊕ X1 , Y = Y0 ⊕ Y1 ; (ii) Lk = L Xk ∈ L(Xk ; Yk ), Mk = M domM ∈ Cl(Xk ; Yk ), k domMk = domM ∩ Xk , k = 0, 1; -1 (iii) существуют операторы M0 ∈ L(Y0 ; X0 ) и L-1 ∈ L(Y1 ; X1 ). 1 2. Оптимальное и жёсткое управления решениями задачи Шоуолтера- Сидорова для нестационарного уравнения Определение 4. Вектор-функция x ∈ H 1 (X) = {x ∈ L2 (0, τ ; X) : x ∈ L2 (0, τ ; X)} ˙ называется сильным решением уравнения (2), если она почти всюду на (0, τ ) обращает его в тождество. Сильное решение x = x(t) уравнения (2) называется сильным решением задачи Шоуолтера-Сидорова (1), (2), если оно удовлетворяет (1). 35 М. А. С а г а д е е в а, А. Н. Ш у л е п о в Обозначим N0 ≡ N ∪ {0}. Построим гильбертово пространство H p+1 (Y) = {y ∈ L2 (0, τ ; Y) : y (p+1) ∈ L2 (0, τ ; Y), p ∈ N0 } со скалярным произведением p+1 τ y (q) , z (q) [y, z] = q=0 0 Y dt. Теорема 3. Пусть оператор M сильно (L, p)-радиален, p ∈ N0 , а функция a ∈ C p+1 ([0, τ ); R+ ). Тогда для любых x0 ∈ X и f ∈ H p+1 (Y) существует единственное сильное решение x ∈ H 1 (X) задачи Шоуолтера-Сидорова (1) для уравнения (2), причём t t a(ζ)dζ x(t) = X 0 a(ζ)dζ t P x0 + X s 0 L-1 Q(f (s) + Bu(s))ds- 1 p -1 -1 (M0 L0 )k M0 (I -Q)(AD)kA (f (t) + Bu(t)) , (4) - k=0 где (Ah)(t) = a-1 (t)h(t), (Dh)(t) = dh (t). dt Д о к а з а т е л ь c т в о этой теоремы аналогично доказательству теоремы 4 из работы [6] и потому не приводится. 1 Определение 5. Вектор-функцию v ∈ H∂ (U) назовем оптимальным управлением (жестким управлением) решениями задачи (1), (2), если J(v) = min 1 (x,u)∈X×H∂ (U) J(u), α ∈ (0, 1) (α = 1), (5) 1 1 где пары (x, u) ∈ X × H∂ (U) удовлетворяют (1), (2), а H∂ (U) - некоторое 1(U). замкнутое и выпуклое подмножество в H Теорема 4. Пусть оператор M сильно (L, p)-радиален, p ∈ N0 , функция a ∈ C p+1 (R+ ; R+ ). Тогда при любых x0 ∈ X, f ∈ H p+1 (Y) существует единp+1 ственное оптимальное управление v ∈ H∂ (U) задачи (1)-(3), (5). Д о к а з а т е л ь с т в о. Зафиксируем x0 ∈ X, f ∈ H 1 (Y), и рассмотрим (4) как отображение G : u → x(u). В условиях предыдущей теоремы отображение G : H p+1 (U) → H 1 (X), определенное формулой (4), непрерывно. Теперь перепишем функционал качества (3) в виде J(u) = Cx(t; u) - zd 2 H 1 (Z) + [η, u], где η (k) (t) = Nk u(k) , k = 0, 1, . . . , p + 1. Откуда J(u) = π(u, u) - 2λ(u) + zd - Cx(t; 0) 36 2 , H 1 (Z) Problems of Optimal and Hard Control over Solutions of Special Type . . . где π(u, u) = C(x(t; u) - x(t; 0)) 2 H 1 (Z) + [η, u] - билинейная непрерывная коэрцитивная форма на H 1 (U), а λ(u) = zd - Cx(t; 0), C(x(t; u) - x(t; 0)) H 1 (Z) - линейная непрерывная на H 1 (U) форма. А значит, утверждение теоремы следует из [7, гл. 1]. Следствие. Пусть оператор M сильно (L, p)-радиален, p ∈ N0 , функция a ∈ C p+1 (R+ ; R+ ). Тогда при любых x0 ∈ X, f ∈ H p+1 (Y) существует единp+1 ственное жёсткое управление v ∈ H∂ (U) задачи (1)-(3), (5).

About the authors

Minzilia A Sagadeeva

South Ural State University (National Research University)

Email: sagadeeva_ma@mail.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Information-Measuring Technique 76, Lenin av., Chelyabinsk, 454080, Russian Federation

Andrey N Shulepov

South Ural State University (National Research University)

Email: andrewn92@mail.ru
Graduate Student, Dept. of Mathematical Physics Equations 76, Lenin av., Chelyabinsk, 454080, Russian Federation

References

Supplementary files