Cauchy problem for the system of the general hyperbolic differential equations of the forth order with nonmultiple characteristics

Full Text

Введение. Известно, что в теории гиперболических уравнений основополагающую роль играет понятие характеристики. Краевые задачи для гиперболических уравнений и систем гиперболических уравнений третьего и более высокого порядка с некратными характеристиками в некоторых случаях удается решить без вспомогательных функций (функций Римана [1, 2], Римана- Адамара). Теорема существования и единственности решения задачи Коши в действительном пространстве для линейной системы гиперболических уравнений с аналитическими коэффициентами была впервые доказана в 1901 г. Хольмгреном [3]. Для линейной системы с произвольно гладкими, но неаналитическими коэффициентами и для системы гиперболических уравнений высшего порядка теорема существования и единственности решения задачи Коши была доказана И. Г. Петровским [4]. В настоящей работе получено решение задачи Коши для гиперболического уравнения четвертого порядка в явном виде, аналогичном формуле Даламбера, а также приведена задача Коши для системы уравнений гиперболического типа четвертого порядка. 1. Предварительные сведения. Ранее авторами [5] для гиперболического уравнения третьего порядка a0 uxxx + a1 uxxy + a2 uxyy + a3 uyyy = 0, (1) где a0 , a1 , a2 , a3 = 0 - некоторые действительные постоянные, с характеристиками y = λ1 x + C1 , y = λ2 x + C2 , y = λ3 x + C3 при λ1 + λ2 + λ3 = a1 /a0 , λ1 λ2 λ3 = a3 /a0 была рассмотрена задача Коши. Решением задачи Коши для уравнения (1) с условиями на нехарактеристической линии y = 0: u(x, y) y=0 x ∈ R, = α(x), ∂u = β(x), x ∈ R, ∂n y=0 ∂2u = γ(x), x ∈ R, ∂n2 y=0 где n = (0, 1) - нормаль к прямой l, является функция λ3 1 u(x, y) = 3 a1 λ1 - λ2 ( a0 - λ1 ) + 1 + λ3 1 3 - λ2 ( a1 - λ ) + λ1 1 1 a0 λ3 2 + 3 a1 λ2 - λ2 ( a0 - λ2 ) + 2 a3 a0 λ3 2 + 3 a1 λ2 - λ2 ( a0 - λ2 ) + 2 λ3 3 + 3 λ3 - λ2 ( a1 - λ3 ) + 3 a0 8 a3 a0 a3 a0 y a1 - λ 1 a0 α x- + λ1 a0 a3 a0 a3 a0 λ1 y x- λ 1 γ(t) x - 0 y a1 - λ 2 a0 α x- + λ2 a0 a3 a0 a3 a0 λ2 y x- λ 2 γ(t) x - 0 y a1 - λ 3 a0 α x- + λ3 a0 y x- λ 1 β(t)dt + 0 y - t dt + λ1 y x- λ 2 β(t)dt + 0 y - t dt + λ2 y x- λ 3 0 β(t)dt + Задача Коши для системы уравнений гиперболического типа. . . λ3 3 + 3 a1 λ3 - λ2 ( a0 - λ3 ) + 3 a3 a0 a3 a0 λ 3 y x- λ 3 γ(t) x - 0 y - t dt . (2) λ3 Пусть y a1 - λa0 F (x, y, λ) = α x - + λ a0 y x- λ 0 a3 β(t)dt + a0 λ y x- λ γ(t) x - 0 y - t dt, λ тогда функция (2) из класса C 3 (R2 ) представима в виде 3 u(x, y) = k=1 λ3 k λ3 - λ2 ( a1 - λk ) + k k a0 a3 a0 F (x, y, λk ). (3) Полученную формулу (3) назвали аналогом формулы Даламбера для гиперболического уравнения третьего порядка. В работе [5] приведено представление распространения начального отклонения, начальной скорости и начального ускорения некоторого колебательного процесса [6]. 2. Задача Коши для уравнения гиперболического типа четвертого порядка с некратными характеристиками. Рассмотрим дифференциальное уравнение гиперболического типа четвертого порядка в частных производных общего вида a0 uxxxx + a1 uxxxy + a2 uxxyy + a3 uxyyy + a4 uyyyy = 0, (4) где a0 , a1 , a2 , a3 , a4 - действительные ненулевые постоянные. Уравнение a0 λ4 - a1 λ3 + a2 λ - a3 λ + a4 = 0 является характеристическим для уравнения (4), а его интегралы - характеристиками. Пусть характеристическое уравнение (4) имеет четыре различных действительных корня λ1 , λ2 , λ3 , λ4 = 0, тогда λ1 + λ2 + λ3 + λ4 = - a1 , a0 λ1 λ2 + λ1 λ3 + λ1 λ4 + λ2 λ3 + λ2 λ4 + λ3 λ4 = λ1 λ2 λ3 + λ1 λ2 λ4 + λ1 λ3 λ4 + λ2 λ3 λ4 = - a3 , a0 λ1 λ2 λ3 λ4 = a4 . a0 a2 , a0 Семейства линий y - λ1 x = C1 , y - λ2 x = C2 , y - λ3 x = C3 , y - λ4 x = C4 являются характеристиками уравнения (4), C1 , C2 , C3 , C4 ∈ R. Как известно [5, 7] общее решение уравнения (4) из класса четырежды непрерывно дифференцируемых функций C 4 (R2 ) представляется в виде u(x, y) = f1 (y - λ1 x) + f2 (y - λ2 x) + f3 (y - λ3 x) + f4 (y - λ4 x). Задача Коши. В плоскости R2 ≡ {(x, y) : x ∈ R, y ∈ R} найти регулярное решение u(x, y) ∈ C 4 (R2 ) уравнения (4), удовлетворяющее условиям на нехарактеристической линии y = 0: u(x, y) y=0 = α(x), ∂u ∂n y=0 = β(x), ∂2u ∂n2 y=0 = γ(x), ∂3u ∂n3 y=0 = σ(x), (5) 9 А н д р е е в А. А., Я к о в л е в а Ю. О. где α(x), β(x), γ(x), σ(x) ∈ C 4 (R); n = (0, 1) - нормаль к нехарактеристической линии. Регулярным в плоскости R2 решением [8, 9] задачи Коши (5) уравнения (4) будем называть функцию u(x, y) ∈ C 4 (R2 ), имеющую в плоскости все непрерывные частные производные, входящие в уравнение (4), и удовлетворяющую уравнению (4) и условиям задачи Коши (5) в обычном смысле. Ограничения на нехарактеристическую линию уравнения четвертого порядка такие же, как и для уравнения второго порядка: эта линия не может дважды пересекать любую характеристику из любого другого семейства [10, 11]. Определим функции f1 , f2 , f3 , f4 таким образом, чтобы удовлетворялись условия задачи Коши (5): f1 (-λ1 x) + f2 (-λ2 x) + f3 (-λ3 x) + f4 (-λ4 x) = α(x), f1 (-λ1 x) + f2 (-λ2 x) + f3 (-λ3 x) + f4 (-λ4 x) = β(x), f1 (-λ1 x) + f2 (-λ2 x) + f3 (-λ3 x) + f4 (-λ4 x) = γ(x), f1 (-λ1 x) + f2 (-λ2 x) + f3 (-λ3 x) + f4 (-λ4 x) = σ(x). Тогда получим - λ3 f1 (-λ1 x) - λ3 f2 (-λ2 x) - λ3 f3 (-λ3 x) - λ3 f4 (-λ4 x) = α (x), 1 2 3 4 λ2 f1 (-λ1 x) + λ2 f2 (-λ2 x) + λ2 f3 (-λ3 x) + λ2 f4 (-λ4 x) = β (x), 1 2 3 4 - λ1 f1 (-λ1 x) - λ2 f2 (-λ2 x) - λ3 f3 (-λ3 x) - λ4 f4 (-λ4 x) = γ (x), f1 (-λ1 x) + f2 (-λ2 x) + f3 (-λ3 x) + f4 (-λ4 x) = σ(x). После некоторых преобразований имеем fk (-λk x) = (-1)k a1 + λk a0 α (x) - β (x)- 4 a0 m=1, m=k (λk - λm ) a4 + λk a3 a4 - γ (x) + σ(x) , k = 1, 2, 3, 4. (6) a0 λk a0 λ2 k После интегрирования (6) получим λ2 y 2 y + k fk (0) x - + λk 2 λk y y α x- - α(0) - α (0) x - - λk λk fk (y - λk x) = fk (0) - λk fk (0) x - + (-1)k+1 λ3 k 4 m=1, m=k (λk - α (0) y x- 2 λk y x- λ k × 0 10 - λm ) (-1)k λ3 k 2 + 4 m=1, m=k (λk β(t)dt - β(0) x - a1 + a0 λk × a0 - λm ) y β (0) y - x- λk 2 λk 2 + Задача Коши для системы уравнений гиперболического типа. . . + y x- λ (-1)k λ3 k a4 + a3 λk 4 a0 λ2 k m=1, m=k (λk - λm ) - γ(0) y x- 2 λk γ(t) x - 0 y - t dt- λ1 (-1)k+1 λ3 k 2 + 4 m=1, m=k (λk y x- λ a4 × - λm ) a0 λk σ(t) y -t x- 2 λ1 k × k 0 2 dt, k = 1, 2, 3, 4. (7) Подставляя в формулу общего решения найденные выражения (7) для функций fk , получим 4 u(x, y) = k=1 (-1)k+1 λ3 k 4 m=1, m=k (λk - λm ) F (x, y, λk ), (8) где y x- λ a1 + a0 λk y - F (x, y, λ) = α x - λ a0 a4 + a3 λ k - a0 λ 2 k k β(t)dt- 0 y x- λ k γ(t) x - 0 a4 + a0 λ k y - t dt+ λk y x- λ k 0 σ(t) y x- -t 2 λk 2 dt. Непосредственной подстановкой можно проверить, что формула (8) удовлетворяет уравнению (4) и условиям задачи Коши (5). Будем называть формулу (8) аналогом формулы Даламбера для гиперболического уравнения четвертого порядка. Приведенные исследования позволяют сформулировать следующую теорему. Теорема. Если α(x), β(x), γ(x), σ(x) ∈ C 4 (R), то существует единственное регулярное решение u(x, y) ∈ C 4 (R2 ) задачи Коши (5) уравнения (4), которое имеет вид (8). 3. Задача Коши для системы гиперболических уравнений четвертого порядка общего вида. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка общего вида с двумя независимыми переменными x, y ∈ R на плоскости, не содержащую производные порядка меньше четвертого, AUxxxx + BUxxxy + CUxxyy + DUxyyy + Uyyyy = 0, (9) где U (x, y) = (u1 (x, y), u2 (x, y)) - двумерная вектор-функция, A, B, C, D - постоянные квадратные матрицы второго порядка. Пусть матрицы A, B, C, D попарно коммутирующие [12, 13], тогда существует такая матрица T , что одновременно приводит матрицы A, B, C, D к диагональной форме: T -1 AT = ΛA , T -1 BT = ΛB , T -1 CT = ΛC , T -1 DT = ΛD . 11 А н д р е е в А. А., Я к о в л е в а Ю. О. Поскольку матрицы A, B, C, D коммутирующие, тоже можно сказать и о матрицах ΛA , ΛB , ΛC , ΛD , полученных преобразованием подобия [14]. Будем считать, что матрицы ΛA , ΛB , ΛC , ΛD имеют различные ненулевые действительные собственные значения. Задача Коши. Найти регулярное решение U (x, y) ∈ C 4 (R2 ) системы уравнений (9) в плоскости R2 , удовлетворяющее следующим условиям на нехарактеристической линии y = 0: U (x, 0) = S1 (x), ∂2U (x, 0) = S3 (x), ∂n2 ∂U (x, 0) = S2 (x), ∂n ∂3U (x, 0) = S4 (x), ∂n3 (10) где S1 (x), S2 (x), S3 (x), S4 (x) ∈ C 4 (R) - заданные вектор-функции, n = (0, 1) - нормаль к нехарактеристической линии. Для разделения исследуемой системы на отдельные уравнения выполнена замена U = T V, V (x, y) = (v 1 (x, y), v 2 (x, y)) при det T = 0 и совершен переход к системе вида ΛA Vxxxx + ΛB Vxxxy + ΛC Vxyyy + ΛD Vxyyy + Vyyyy = 0, или (11) 1 1 1 1 1 a1 vxxxx + b1 vxxxy + c1 vxxyy + d1 vxyyy + vyyyy = 0, 2 2 2 2 2 a2 vxxxx + b2 vxxxy + c2 vxxyy + d2 vxyyy + vyyyy = 0. Каждое характеристическое уравнение системы (11) имеет четыре различных ненулевых корня λ1 , λ2 , λ3 , λ4 , µ1 , µ2 , µ3 , µ4 соответственно. Решение задачи Коши для каждого уравнения системы может быть получено в соответствии с приведенными выше исследованиями. Решение задачи Коши (10) для системы (9) может быть найдено в виде решения матричного уравнения U = T V .

About the authors

Aleksandr A Andreev

Samara State Technical University

Email: andre01071948@yandex.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; andre01071948@yandex.ru), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Julia O Yakovleva

Samara State University

Email: julia.yakovleva@mail.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; julia.yakovleva@mail.ru; Corresponding Author), Associate Professor, Dept. of Mathematics & Business Informatics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russian Federation

References

Supplementary files