Том 18, № 4 (2014)

В статье для гиперболического дифференциального уравнения четвертого порядка с некратными характеристиками рассмотрена задача Коши. Обобщение этой задачи выполнено на основе решения аналогичной задачи Коши для гиперболического уравнения третьего порядка с некратными характеристиками, для которой построено решение в виде, аналогичном формуле Даламбера. Получено регулярное решение задачи Коши для гиперболического уравнения четвертого порядка с некратными характеристиками в явном виде. Указанное решение также является аналогом формулы Даламбера. В результате исследований сформулирована теорема о существовании и единственности регулярного решения задачи Коши для гиперболического уравнения четвертого порядка с некратными характеристиками. В статье исследуется задача Коши для системы гиперболических дифференциальных уравнений четвертого порядка общего вида с некратными характеристиками.

В характеристической области исследованы нелокальные задачи для модельного гиперболического уравнения второго порядка, тип и порядок которого вырождается на одной и той же линии $y = 0$. С помощью операторов дробного интегро-дифференцирования произвольного порядка на характеристической части границы области задано нелокальное условие, поточечно связывающее дробные производные и интегралы от искомого решения. Для различных значений порядков операторов дробного интегро-дифференцирования, входящих в краевое условие, доказана однозначная разрешимость рассматриваемых задач или установлена неединственность их решения.

Получено численное решение статической пространственной контактной задачи о вдавливании прямоугольного штампа с плоским основанием в упругое шероховатое полупространство при наличии трения Кулона и неизвестными заранее зонами сцепления и проскальзывания. Учет шероховатости в этой задаче осуществлялся на основе сферической модели микровыступов путем введения в выражения относительных смещений взаимодействующих тел нелинейных слагаемых, характеризующих смятие и сдвиг поверхностных микронеровностей. Проанализировано влияние значений коэффициента трения и параметров микронеровностей на размеры и форму зоны сцепления, а также на распределение касательных контактных напряжений. Показано, что учет сдвига поверхностных микронеровностей, образующих шероховатость, может приводить к существенному увеличению размеров зоны сцепления.

Рассмотрена краевая задача установившейся ползучести для толстостенной трубы с внешним эллиптическим контуром, находящейся под внутренним давлением. Приближенное аналитическое решение данной задачи строится для плоского деформированного состояния методом малого параметра до второго приближения включительно. Используется гипотеза несжимаемости материала для деформаций ползучести. В качестве малого параметра используется величина сжатия эллипса для внешнего контура трубы. Анализ аналитического решения выполнен в зависимости от параметра нелинейности установившейся ползучести и параметра сжатия эллипса - отношения разности большой и малой полуоси эллипса к большой полуоси, являющейся внешним радиусом невозмущенной толстостенной трубы. Показано, что при возрастании величины сжатия эллипса до 0.1 внешнего радиуса трубы тангенциальные напряжения в опасном сечении при θ = π/2 возрастают в 1.7-1.8 раза. Приводятся результаты расчетов в табличной и графической форме.

Предложен метод решения связанной краевой задачи деформирования твёрдого тела из пластически разупрочняющегося материала с учётом его повреждённости. Исходными данными для расчёта являются поля деформаций и напряжений, полученные по результатам моделирования поведения условно неповреждённой конструкции при действии фиктивных сил. В предположении эквивалентности деформаций условно неповреждённого и реального тел по соотношениям эндохронной теории пластичности для каждой точки конструкции рассчитывается параметр повреждённости, который связывает компоненты тензора истинных напряжений условно неповреждённой среды и компоненты тензора номинальных напряжений реальной среды. Зная последний тензор, можно вычислить обобщённые силы реальной конструкции и расчётным путём установить области закритического деформирования материала. Решались задачи о растяжении пластин малой толщины, ослабленных центральным круговым отверстием и полукруговыми вырезами. Поля деформаций и истинных напряжений были получены численным расчётом в конечно-элементном пакете и использованы для определения номинальных напряжений реальной конструкции. Построены зоны пластического разупрочнения материала; установлено, что до момента, предшествующего разрушению, в области концентрации напряжений реализуется закритическая стадия, хотя диаграмма «обобщённое перемещение - обобщённая нагрузка» для пластин соответствует стадии пластического упрочнения. Выполнена проверка адекватности метода решения краевой задачи для растягиваемых образцов из сплава АД1 экспериментальным данным. Наблюдается соответствие расчётных и опытных результатов.

Доказана единственность решения в малом (в смысле отсутствия бесконечно близких решений) краевой задачи равнонапряженного армирования металлокомпозитных пластин, работающих в условиях установившейся ползучести материалов всех фаз композиции, когда помимо статических и кинематических граничных условий и краевых условий для плотностей армирования, которые естественны в таких задачах, на контуре пластины задаются дополнительные краевые условия для углов армирования. В большом (в смысле существенного различия решений) эта задача в силу нелинейности статических граничных условий и условий равнонапряженности арматуры может иметь несколько, но не бесконечно близких, альтернативных решений. Исследование проблемы единственности решения указанной задачи необходимо при изучении вопроса корректности постановки задач равнонапряженного армирования.

Рассматривается один из аспектов задачи отнесения астероида к классу потенциально опасных для Земли астероидов, а именно, проблема оценки параметра MOID (Minimum Orbital Intersection Distance), характеризующего минимальное расстояние между двумя конфокальными гелиоцентрическими орбитами небесных тел. Рассмотрены аналитические, численные и численно-аналитические методы, применяемые для оценки параметра MOID. Дано краткое описание аналитических методов К. В. Холшевникова и G. F. Gronchi, считающихся классическими. Поставлена задача вычисления параметра MOID для большого количества астероидов (более 10 000) с максимальной скоростью расчетов и возможностью параллелизации процесса. Предложен численный метод оценки, имеющий в основе геометрические соображения относительно расположения тел на орбитах. Рассматриваются два тела: A и E. Так как в постановке задачи требуется рассчитать минимальное расстояние между орбитами, информация о фактических положениях тел на их орбитах не рассматривается. Для тела A просчитывается полный оборот по орбите. Для каждого положения тела A находится соответствующее ему положение тела E. Положение тела E рассчитывается из следующего предположения. В рассмотрение вводится плоскость P , содержащая тело A, Солнце и перпендикулярная плоскости орбиты тела E. Из двух точек, в которых плоскость P пересекает орбиту тела E, считается, что тело E находится в ближайшей к телу A. Таким образом, положение тела E будет зависеть от положения тела A. На основе геометрических соотношений из треугольника, образованного Солнцем и двумя телами, находится расстояние между телами A и E. После просчета с определенным шагом одного полного оборота тела A по орбите получается набор значений расстояний, из которого определяются области локальных минимумов дискретного представления функции расстояния между орбитами тел A и E. Затем производится процедура уточнения найденных значений локальных минимумов дискретного представления функции расстояния. В итоге за минимальное расстояние между орбитами (параметр MOID) принимается наименьший из найденных локальных минимумов. Достоинства метода: высокая скорость и настраиваемая точность вычислений, возможность использования параллельных вычислений. Проведены сравнительные испытания описываемого метода. Полученные результаты согласуются с классическим методом.

С помощью представления времени в комплексной форме интеграл по траекториям, описывающий временное изменение волновой функции квантовой частицы, преобразуется к вещественному виду. Подобная процедура необходима для того, чтобы иметь возможность присвоить меру множествам виртуальных траекторий в континуальном интеграле, определяющем амплитуду перехода между квантовыми состояниями. Квантовая амплитуда перехода в форме континуального интеграла является вещественной функцией модуля комплексного времени для всех мнимых значений последнего. При этом отрицательные значения времени соответствуют обратной последовательности событий. В силу обратимости законов механики при описании квантовой эволюции в виде движения индивидуальных точек по виртуальным траекториям знак времени не имеет значения. Поэтому при определении интегральной меры рассматривается отрицательная полуось мнимого времени, для которой квантовый интеграл по траекториям имеет вид интеграла Винера с мерой в форме интеграла Эйнштейна-Смолуховского. Что касается описания коллапса волновой функции, то из-за его необратимости во времени последовательность событий, определяемая модулем комплексного времени, не должна нарушаться. Вследствие этого указанное преобразование интеграла для описания коллапса может производиться только в верхней полуплоскости комплексного времени. Показана возможность аналитического продолжения меры Винера на верхнюю полуплоскость комплексного времени, что обеспечивает существование квантового континуального интеграла для любых значений комплексного времени. Это обстоятельство позволяет представить интеграл по траекториям в вещественном виде как функцию мнимого времени для прямой последовательности событий. Тем самым появляется возможность учесть влияние имеющей место при коллапсе скачка потенциальной энергии в функционалах действия на вес соответствующих виртуальных траекторий.