Potential fields of free energy at the stages of hardening and softening of the Hencky medium at nonpositivity of volume deformation

Full Text

Введение. Разупрочняющиеся материалы, кривые одноосного деформирования которых имеют падающие ветви, известны достаточно давно и, естественно, все время привлекали внимание исследователей, как теоретиков, так и экспериментаторов [1-15]. На частных примерах было показано, что введение в рассмотрение разупрочнения материала приводит к более точному определению предельной несущей способности элементов конструкций. Однако построение теории определяющих соотношений для сред, обладающих свойством деформационного разупрочнения, еще далеко от завершения. В работе [16] предпринята попытка разработки частной модели материала Генки с разупрочнением при диагональном тензоре деформаций и условии неположительности объёмных деформаций. В предлагаемой авторами статье исследуются геометрические характеристики функции свободной энергии, определяющей свойства материала в предложенной модели. 1. При активном квазистатическом деформировании в изотермическом ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1307 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец цитирования: К. В. Б е р д н и к о в, В. В. С т р у ж а н о в, “Потенциальные поля свободной энергии на стадиях упрочнения и разупрочнения среды Генки при неположительности объ¨мной деформации” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. e № 2 (35). С. 82-88. 82 Потенциальные поля свободной энергии на стадиях упрочнения и разупрочнения . . . процессе функция свободной энергии для среды Генки с упрочнением имеет вид [17] θ Γ 1 θ dθ + T (Γ) dΓ. (1) F (Γ, θ) = K 3 0 0 Здесь θ - относительное изменение объёма, T - интенсивность касательных напряжений, Γ - интенсивность деформаций сдвига, T (Γ) = Gs (Γ)Γ - уравнение единой кривой, Gs - секущий модуль единой кривой. Объёмная деформация упругая, т. е. объёмный модуль постоянен (K = const) и равен объёмному модулю в упругости. В процессе деформирования материал переходит в стадию разупрочнения. Если предположить, что и в этом случае объёмный модуль не изменяется, что возможно только тогда, когда объёмная деформация неположительна, то свободная энергия будет также описываться формулой (1), причём единая кривая уже обладает падающей до нуля ветвью [16]. Свободная энергия, являясь потенциалом напряжений, определяет в пространстве (Γ, θ) некоторое потенциальное поле с линиями уровня, заданными уравнениями F (Γ, θ) = C (C = const). Вектор-градиент функции F , компонентами которого являются объёмные напряжения, связанные с объёмными деформациями модулем K, и интенсивность касательных напряжений T , ортогонален к линиям уровня данного потенциального поля, направлен в сторону возрастания функции F и задаёт определяющие соотношения среды Генки. 2. Сначала возьмем единую кривую деформирования, которая аппроксимируется кусочно-линейной функцией с падающим участком. Пусть для определённости  GΓ, 0 Γ ΓT ;   G (Γ - ΓT ) /6 + G/50, ΓT < Γ ΓB ; T (Γ) =  -G (Γ - ΓB ) /2 + G/40, ΓB < Γ ΓZ ;  0, ΓZ < Γ. Здесь G - модуль сдвига в упругости, ΓT = 0.02 - предел текучести, ΓB = = 0.05 - предел прочности при сдвиге, ΓZ = 0.1 - интенсивность деформаций сдвига при разрушении материала под действием касательных напряжений. В упругости (0 Γ ΓT ) выражение свободной энергии (1) имеет вид 1 Γ2 F1 (Γ, θ) = Kθ2 + G . 6 2 Линиями уровня потенциального поля, определяемого этой функцией, являются эллипсы с центром в начале координат, с отношением полуосей, равным 3G/K. Возрастание функции F1 происходит при удалении от центра. В дальнейшем при построении линий уровня потенциальных полей будем использовать значения K = 5 · 105 МПа, G = 76 · 103 МПа. При переходе на стадию упрочнения (ΓT < Γ ΓB ) функция свободной энергии принимает значение 1 F2 (Γ, θ) = F1 (ΓT , θ ) + K 3 θ Γ θ dθ + θ T (Γ) dΓ, ΓT 83 К. В. Б е р д н и к о в, В. В. С т р у ж а н о в или после проведения необходимых преобразований 1 1 1 1 1 1 F2 (Γ, θ) = Kθ2 + GΓ2 + GΓ - GΓ2 - GΓ2 - GΓT . T T 6 12 60 2 12 60 (2) Здесь (ΓT , θ ) - точка выхода пути деформирования из области упругости в область упрочнения. Из выражения (2) следует, что функция свободной энергии в области упрочнения не зависит от координаты θ . Линии уровня потенциальной функции (2) представляют собой эллипсы с центром в точке (-0.1; 0) с отношением полуосей, равным 0.5G/K. При удалении от центра функция F2 возрастает. Отметим, что функции F1 и F2 в трехмерном пространстве (Γ, θ, F ) определяют расширяющиеся в положительном направлении оси OF эллиптические параболоиды с вершинами, расположенными на плоскости (Γ, θ) соответственно в точках (0; 0) и (-0.1; 0). После выхода на стадию разупрочнения (ΓB < Γ ΓZ ) имеем 1 F3 (Γ, θ) = F2 (ΓB , θ ) + K 3 θ Γ θ dθ + θ T (Γ) dΓ. ΓB Осуществляя некоторые преобразования, находим 1 1 1 5 1 1 1 F3 (Γ, θ) = Kθ2 - GΓ2 + GΓ + GΓ2 - GΓT + GΓ2 - GΓB . T B 6 4 20 12 60 3 30 (3) Здесь (ΓB , θ ) - точка выхода пути деформирования в область разупрочнения. Из формулы (3) следует независимость функции свободной энергии от координаты θ . Линиями уровня функции (3) являются гиперболы, вершина крайней левой ветви которых расположена в точке (0.1; 0). При удалении от оси OΓ функция F3 убывает. В трёхмерном пространстве (Γ, θ, F ) функция F3 определяет гиперболический параболоид - поверхность в виде седла, построенную относительно точки (0.1; 0). На последней стадии деформирования (Γ > ΓZ ), когда материал уже не сопротивляется сдвигу, свободная энергия описывается следующим выражением: θ 1 5 θ dθ = Kθ2 + GΓ2 - T 6 12 θZ 1 1 1 1 1 - GΓ2 + GΓ2 - GΓB + GΓZ - GΓT . Z B 4 3 30 4 60 Линии уровня этой функции - прямые, параллельные оси OΓ. Возрастание функции F4 происходит при удалении от оси. На рис. 1 изображены линии уровня потенциальных полей, описанных выше, и некоторый гипотетический путь деформирования элемента среды. 3. Пусть теперь единая кривая деформирования на участке 0 Γ ΓZ задана гладкой функцией T (Γ) = G(1-10Γ)Γ. Tогда свободная энергия определяется функцией 1 F4 (Γ, θ) = F3 (ΓZ , θZ ) + K 3 F (θ, Γ) = 84 Kθ2 6 + GΓ2 2 - 10GΓ3 3, 0 Γ ΓZ ; Kθ2 6 + GΓ2 2 - 10GΓ3 3, ΓZ < Γ. z Z Потенциальные поля свободной энергии на стадиях упрочнения и разупрочнения . . . Рис. 1. Линии уровня потенциальных полей и некоторый гипотетический путь деформирования элемента среды [Figure 1. The contour lines of potential fields, and some hypothetical deformation path for an element of medium] Рис. 2. Линии уровня в случае гладкой единой кривой деформирования и некоторый гипотетический путь деформирования элемента среды [Figure 2. The contour lines of potential fields in the case of a smooth uniform deformation curve, and some hypothetical deformation path for an element of medium] 85 К. В. Б е р д н и к о в, В. В. С т р у ж а н о в Линии уровня показаны на рис. 2. Сначала путь деформирования пересекает эллипсы, центры которых и отношение полуосей непрерывно изменяются. Затем пересекает гиперболы, центры которых также изменяются непрерывно. И, наконец, выходит в область разрушения, где материал может сопротивляться только гидростатическому сжатию. Отсюда линии уровня свободной энергии суть прямые, параллельные оси OΓ. Заключение 1. В пространстве деформаций в общем случае существует множество потенциальных полей, определяющих свойства материала, и путь деформирования переходит из одного поля в другое. 2. На стадии упрочнения, когда линиями уровня являются эллипсы, а функция свободной энергии представляет собой эллиптический параболоид (выпуклая вниз поверхность), материал устойчиво сопротивляется деформированию. На стадии разупрочнения, когда линиями уровня являются гиперболы, а функция свободной энергии определяет гиперболический параболоид (выпуклая вверх поверхность), материал является собственно неустойчивым. 3. При упрочнении материала задачи механики по определению напряжённо-деформированного состояния являются задачами эллиптического типа, что гарантирует единственность решения. Переход в стадию разупрочнения сопровождается сменой типа задачи - она становится гиперболической, что должно приводить к неединственности решений.

About the authors

Kirill V Berdnikov

Institute of Engineering Science, Ural Branch of RAS

Email: kir.berdnikov@mail.ru
Postgraduate Student, Lab. of Matherial Micromechanics 34, Komsomolskaya st., Ekaterinburg, 620049, Russian Federation

Valery V Struzhanov

Institute of Engineering Science, Ural Branch of RAS

Email: stru@imach.uran.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.), Chief Researcher, Lab. of Matherial Micromechanics 34, Komsomolskaya st., Ekaterinburg, 620049, Russian Federation

References

Supplementary files