A longitudinal stability of a ribbed cover in a multimodulus elastic medium

Full Text

Введение. В работе [1] описана так называемая деформационная теория ребристых оболочек, главная особенность которой заключается в том, что в ней впервые наряду с реактивной силой учтён реактивный момент от ребра жёсткости. Названная теория подробно изложена в монографии [2]. В частности, уравнения статики конструктивно ортотропной цилиндрической оболочки, получаемые путём «размазывания» регулярной системы стрингеров, ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1278 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец цитирования: А. Ю. К о р а б л е в, Е. И. М и х а й л о в с к и й, Е. В. Т у л у б е н с к а я, Н. А. Б е л я е в а, “Продольная устойчивость ребристой оболочки в разномодульной упругой среде” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 2 (35). С. 89-95. 89 А. Ю. К о р а б л е в, Е. И. М и х а й л о в с к и й, Е. В. Т у л у б е н с к а я, Н. А. Б е л я е в а имеют вид  ∂ 2 u1 -Ct 2   ∂ξ   4w 4w 3u  1  Kν ∂ Kt ∂ Kt ∂ 2  2  c0 Lu = -R q +  2 + 2 2 2 - 2 2 . l  R ∂ξ 4 R ∂ξ ∂ϕ R ∂ξ ∂ϕ    Kn ∂ 4 u2 R2 ∂ξ 4  (1) Здесь первая строка уравнения представляет собой матричную запись уравнений статики цилиндрической оболочки в смещениях; Kν , Kn - жёсткости стрингера при изгибе соответственно в нормальной плоскости и из этой плоскости; Kt - жёсткость при кручении; Ct - жёсткость стрингера при растяжении (сжатии); q1 , q2 , qn - нагрузка; l - расстояние между соседними стрингерами по дуге поперечного сечения; ξ = x/R; ϕ = y/R; R - радиус оболочки. Будем рассматривать оболочку, расположенную на границе двух винклеровских сред различной жёсткости. Примем следующие допущения: i) для расчёта оболочек без рёбер допустимо использовать упрощённую теорию Доннела-Власова [3, табл. 13.2, форм. (13.18с)]; ii) конструктивно ортотропная оболочка испытывает осесимметричную деформацию, т. е. ∂f /∂ϕ = 0 для любой функции f ; iii) стрингеры изгибаются в нормальной плоскости как гибкие стержни, т. е. Kn ∂ 4 u2 ∂ 2 u1 = 0; Ct 2 = 2 ∂ξ R ∂ξ 4 iv) на оболочку действует лишь нормальная нагрузка, т. е. q1 = q2 = 0. Тогда уравнению (1) можно придать вид     u1 2 R 0 Eh 0 , c0 = A u2  = , (2) c0 q 1 - ν2 w n где     A=    d2 () dξ 2 0 -ν 0 1 - ν d2 () 2 dξ 2 d() dξ 0  d() -ν dξ    , 0    a33 a33 = (1 - ν 2 )J 1 h2 + 12 R2 lhR2 d4 () + I, dξ 4 I - тождественный оператор, J - момент инерции поперечного сечения стержня, h - толщина неподкреплённой оболочки, E - модуль Юнга, ν - коэффициент Пуассона материала ребристой оболочки. Для получения из системы (2) соответствующего уравнения относительно функции прогиба воспользуемся операторным методом [4]. «Детерминант» матрицы A имеет вид det A = 90 1 - ν h2 (1 - ν 2 )J d8 () 1 - ν d4 () + + (1 - ν 2 ) 4 . 2 12R2 lhR2 dξ 8 2 dξ Продольная устойчивость ребристой оболочки . . . Заменяя в матрице A последний столбец правой частью уравнения (2) и вычисляя «детерминант» так составленной матрицы, получим det Aw = 1 - ν R2 d4 qn . 2 c0 dξ 4 Применяя формально правило Крамера, можно записать w = det Aw /det A или (det A)w = det Aw . Последнее равенство после элементарных преобразований представляет искомое уравнение в виде 1+ EJ d4 w R4 + 4b4 w = qn , ld0 dξ 4 d0 (3) где 4b4 = 12(1 - ν 2 ) R2 , h2 d0 = Eh3 . 12(1 - ν 2 ) Представим нормальную нагрузку в виде суммы qn = qn + qn . (4) В условиях наличия внутри и вне оболочки винклеровых сред различной жёсткости c1 , c2 соответственно, следуя [5], можно записать qn = -c1 w+ - - c2 w- . Кроме этого, при рассмотрении продольной устойчивости цилиндрической оболочки от действия сжимающих усилий T0 следует положить [3] qn = - T0 d2 w . R2 dξ 2 Выполним замену ˜ πR ξ = πR x = πx ∈ [0, π], ξ= L L R L где L - длина оболочки, и подставим соотношения (4) в уравнение (3), сохра˜ нив за новой переменной ξ прежнее обозначение ξ, окончательно получим (1 + α) d4 w d2 w + 4β 4 w + λ 2 + k1 w+ + k2 w- = 0. dξ 4 dξ (5) Здесь α= EJ T0 L2 12(1 - ν 2 )L4 Eh3 ci L4 , λ = 2 , 4β 4 = , d0 = , ki = 4 , ld0 π d0 π 4 R 2 h2 12(1 - ν 2 ) π d0 (6) где T0 - сжимающие усилия. Обратим внимание, что параметр λ зависит от сжимающих усилий T0 . 1. Постановка задачи. Рассмотрим дифференциальное уравнение (5): (1 + α)wIV + 4β 4 w + k1 w+ + k2 w- = -λw (7) 91 А. Ю. К о р а б л е в, Е. И. М и х а й л о в с к и й, Е. В. Т у л у б е н с к а я, Н. А. Б е л я е в а и найдём минимальное значение λ, соответствующее минимальной нагрузке, при котором краевая задача с граничными условиями шарнирного опирания w(0) = w(π) = 0; w (0) = w (π) = 0 имеет нетривиальное решение. Проинтегрируем по частям функционал, образованный уравнением (7), умноженный на w(ξ). Имеем π w- 2 dξ = w+ 2 dξ + k2 w2 dξ + k1 0 0 0 0 π π π 2 w dξ + 4β 4 (1 + α) π 2 w dξ. (8) =λ 0 Заменим формулу (8) приближённой с использованием дискретного представления функции w, задаваемой её значениями на равномерной сетке, т. е. wi = w(xi ), i = 0, 1, . . . , n. Аппроксимируем производные конечно-разностными схемами wi = wi+1 - wi-1 ; 2h wi = wi+1 - 2wi + wi-1 . h2 Интегралы будем вычислять по квадратурной формуле трапеций: π f (ξ)dξ = 0 π n f (ξ0 ) f (ξn ) + f (ξ1 ) + f (ξ2 ) + ... + f (ξn-1 ) + 2 2 . Значения срезок функции в узлах сетки представляем формулами w+ (ξi ) = bi wi , w- (ξi ) = (1 - bi )wi , bi = 1, wi > 0, 0, wi 0. Граничные условия шарнирного опирания аппроксимируем формулами w-1 = wn+1 = 0, w0 = w1 /2, wn = wn-1 /2. После преобразования уравнение (7) примет вид Aw + C w = λQw. ˜ ˜ ˜ Таким образом, необходимое условие минимума функционала имеет вид Aw + C w - λQw = 0, ˜ ˜ ˜ где матрицы A, Q - пятидиагональные:  3.25 -3.5 1  -3.5 6 -4 1   1 -4 6 -4 1 1+α . . . . . A=  h3  1 -4 6 -4 1   1 -4 6 -3.5 1 -3.5 3.25 92      ;    Продольная устойчивость ребристой оболочки . . .  2.75 -0.5 -1  -0.5 2 0 -1   -1 0 2 0 -1 1  . . . . . Q=  4h  -1 0 2 0 -1   -1 0 2 -0.5 -1 -0.5 2.75      ;    C = diag k1 bi + k2 (1 - bi ) + 4β 4 h. 2. Комбинированный алгоритм. Для решения задачи будем использовать комбинированный алгоритм, который включает в себя применение на первой стадии алгоритма полного перебора вариантов (ППВ), а на последующих - локального перебора вариантов (ЛПВ) [6]. Для построения части собственного спектра уравнения применяется алгоритм ППВ форм изгиба, который заключается в следующем: i) перебираются все 2m-1 возможных представления вектора формы b = [b1 , b2 , . . . , bm-1 ] ; ii) для каждого варианта вектора формы решается задача на собственные значения; iii) запоминается собственная пара (число и форма), для которой форма изгиба согласуется с выбранным вектором формы. В процессе применения алгоритма ППВ получаем качественно адекватную форму, то есть собственную форму, имеющую устойчивый с ростом m вид графика. После этого будем применять алгоритм ЛПВ, используя в качестве приближения полученную качественно адекватную форму: j) последовательно удваиваем число узлов сетки путём деления интервалов пополам; jj) осуществляем перебор вариантов лишь вблизи корней последнего приближения к искомой собственной форме; jjj) процесс продолжается до тех пор, пока соответствующее собственное значение не стабилизируется с требуемой точностью. Проблема нахождения собственных пар для каждого вектора формы решалась с использованием QR-алгоритма, описанного в [8]. Исходная задача Aw + C w - λQw = 0 ˜ ˜ ˜ приводится к виду Q-1 (A + C)w = λw. ˜ ˜ ˜ ˜ Введём следующее обозначение A = Q-1 (A + C). Здесь A - симметричная положительно определённая матрица, значит, она имеет вещественные собственные числа. В соответствии с теоремами 3.2.20 и 3.2.46 из [7] реализуется следующий итерационный процесс: ˜ ˜ 1) A0 = A; ˜ ˜ 2) Q(k) R(k) = A(k-1) A(k) = R(k) Q(k) . 93 А. Ю. К о р а б л е в, Е. И. М и х а й л о в с к и й, Е. В. Т у л у б е н с к а я, Н. А. Б е л я е в а Все полученные матрицы Q(i) перемножаются. В результате столбцы полученной матрицы будут представлять собой собственные векторы, а на диаго˜ нали последней матрицы A(k) будут находиться собственные числа. Таким образом с использованием QR-алгоритма на каждом шаге комбинированного алгоритма возможно эффективное отыскание собственных пар. 3. Численное решение. Применим комбинированный «ППВ+ЛПВ»-алгоритм (ППВ при n = 6, ЛПВ при n = 24) при k1 = 16 и k2 = 18. Значения параметра α будем изменять в пределах от 0 до 90. Зафиксируем значение параметра 4β 4 = 43.68 и согласно формуле (6) получим следующие значения. α λ 0 17.5 10 61.7 30 91.9 50 112.1 70 132.3 90 152.5 Из полученных значений видно, что при увеличении параметра α (α = 0 - оболочка, не подкреплённая стрингерами) прочность оболочки повышается, т. к. увеличивается значение λ, а значит, и значение первой критической силы. Фиксируя значения L и ν, получаем зависимость λ от h/R и α. На рисунке приведены графики зависимости λ от h/R при α = 10, 50 и 90 (L = 200 см, ν = 0.3). Заключение. В результате проведённого численного эксперимента видно, что при увеличении параметра α и при уменьшении h/R значение λ увеличивается, в результате чего повышается прочность оболочки. Полученные результаты согласуются с результатами, полученными в статье [6].

About the authors

Anatoly Yu Korablev

Syktyvkar State University

Email: astroori@mail.ru
Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Modeling and Cybernetics 55, Oktyabr'skiy pr., Syktyvkar, 167001, Russian Federation

Eugeny I Mikhailovsky

Syktyvkar State University

(12.07.1937-11.07.2013) (Dr. Phys. & Math. Sci.) 55, Oktyabr'skiy pr., Syktyvkar, 167001, Russian Federation

Elena V Tulubenskaya

Syktyvkar State University

Email: vetamile@rambler.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Mathematical Modeling and Cybernetics 55, Oktyabr'skiy pr., Syktyvkar, 167001, Russian Federation

Nadezhda A Belyaeva

Syktyvkar State University

Email: belyayevana@mail.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.), Professor, Dept. of Mathematical Modeling and Cybernetics 55, Oktyabr'skiy pr., Syktyvkar, 167001, Russian Federation

References

Supplementary files