Creep theory inverse problem for non-work-hardening body

Full Text

1. Рассмотрим односвязное тело объема V с поверхностью S, определяющие уравнения деформирования которого имеют вид [1] εkl = aklmn σmn + εc , kl k, l = 1, 2, 3, (1) где εkl , εc σkl , aklmn = amnkl - компоненты тензоров полных деформаций, деkl формаций ползучести, напряжений и упругих податливостей соответственно; по повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 3. Компоненты εkl предполагаются малыми и выражающимися через компоненты перемещений ukl известными соотношениями Коши. Компоненты скоростей деформаций ползучести εc = ηkl (точка обозна˙kl чает дифференцирование по времени t) являются функциями напряжений ηkl = ηkl (σmn ) , k, l, m, n = 1, 2, 3, (2) причем для произвольных бесконечно малых приращений δσkl и соответствуISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1320 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец цитирования: И. Ю. Ц в е л о д у б, “Обратная задача теории ползучести для неупрочняющегося тела” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 2 (35). С. 115-124. 115 И. Ю. Ц в е л о д у б ющих им приращений δηkl имеет место неравенство δσkl δηkl 0. (3) Соотношения (2) описывают процесс ползучести неупрочняющегося тела. Неравенство (3) выражает известный постулат Друккера для вязких деформаций. Вопросы, связанные с выяснением ограничений, накладываемых условием (3) на функции (2), достаточно подробно изложены в [2, 3]. Общие теоремы для рассматриваемых сред приведены в [1]. Сформулируем обратную задачу теории ползучести: какие внешние нагрузки pk = pk (t), 0 t < t∗ , (считаем, что массовые силы отсутствуют) нужно приложить к поверхности тела, находящегося при t < 0 в естественном недеформированном состоянии, чтобы в момент времени t = t∗ после снятия этих нагрузок тело приняло заданную форму, т.е. при t = t∗ перемещения uk = ur на S, где ur - заданные функции точек поверхности (k = 1, 2, 3). k k Решение этой задачи может быть неединственным, т.е. может существовать множество путей нагружения pk = pk (t), при которых тело деформируется из исходного состояния в заданное. В данной работе рассмотрим только один частный случай: pk = const при 0 t < t∗ (k = 1, 2, 3). Утверждение. Если существует решение рассматриваемой задачи для указанного случая (pk = const при 0 t < t∗ , k = 1, 2, 3), то при некоторых условиях, указанных ниже, оно будет единственным. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим процесс деформирования тела при заданных условиях: 0 t < t∗ , pk = const на S, k = 1, 2, 3. Пусть существуют два решения этой задачи, разности соответствующих величин будем обозначать с помощью символа ∆. Так как ∆pk = 0 на S, на основании уравнения ˙ виртуальных работ [4] получим ∆σkl ∆εkl dV = 0. ˙ (4) V Поле напряжений, возникающих в теле, в любой момент времени можe e но представлять в виде σkl = σkl + ρkl , где σkl соответствует решению чисто упругой задачи с теми же внешними нагрузками на S; ρkl - компоненты остаточных напряжений, т.е. тех напряжений, которые возникли бы в теле после снятия внешних нагрузок в текущий момент времени [4]. Последние, как и их производные по t, являются самоуравновешенными при любом t, им соe ответствуют нулевые нагрузки на S. Кроме того, σkl = const, т.е. σkl = 0, ˙e поскольку pk = const на S. Интегрируя равенство (4) по t от 0 до t∗ , с учётом (1), (2) и сделанных замечаний получим1 1 При выводе (5) использовалась процедура интегрирования по частям, а также равенства σkl = 0 и ˙e e aklmn ∆σmn ∆ρkl dV = V e aklmn ∆ρmn ∆σkl dV = V e aklmn ∆ρmn ∆σkl dV = 0, ˙ V e так как поле ∆εe = aklmn ∆σmn является совместным (соответствует решению упругой kl задачи), а поля ∆ρkl , ∆ρkl - самоуравновешенными [4]. ˙ 116 Обратная задача теории ползучести для неупрочняющегося тела e e aklmn ∆σkl ∆σmn + ∆ρkl ∆ρmn + ∆σkl ∆εc dV kl V - 1 2 aklmn ∆ρkl ∆ρmn dV V t∗ 0 t∗ 0 - t∗ - ∆σkl ∆ηkl dV dt = 0. (5) 0 V e e Ввиду того, что ∆σkl (0) = ∆σkl t∗ и ∆ρkl (0) = ∆εc (0) = 0, равенство (5) kl примет вид I1 - I2 = 0, aklmn ∆ρkl ∆ρmn + ∆σkl ∆εkl dV I1 = V I2 = 1 2 t=t∗ , t∗ aklmn ∆ρkl ∆ρmn dV V t=t∗ ∆σkl ∆ηkl dV dt. + 0 V Величину I1 можно представить в форме ∆εr ∆σkl dV kl I1 = V t=t∗ , где εr = aklmn ρmn + εkl - поле остаточных деформаций, возникающих в теле kl при t = t∗ после снятия внешних нагрузок. В силу уравнения виртуальных работ ∆εr ∆σkl dV. kl I1 = S Следовательно, и I2 = 0, что возможно только в том случае, если во всем объёме тела ∆ρkl (t∗ ) = 0 и ∆σkl ∆ηkl = 0 в любой момент времени t (0 t < t∗ ), поскольку из (3) следует аналогичное неравенство для конечных разностей [3]. Последнее равенство для сжимаемого при ползучести тела возможно только при ∆σkl = 0, а для несжимаемого - при ∆σkl = ∆pδkl , где δkl - компоненты единичного тензора [3]. Из уравнений равновесия и в силу того, что pk = const на S, следует, что ∆p = const. Таким образом, для несжимаемой при ползучести среды два решения рассматриваемой задачи могут отличаться только на величину произвольного постоянного гидростатического давления. Это очевидно, поскольку последнее в этом случае не влияет на процесс ползучести [3], а упругие деформации, соответствующие этой величине, вычтутся из решения при разгрузке в момент t = t∗ . Если на части поверхности тела известны внешние нагрузки или одна из диагональных компонент тензора напряжений (как, например, в случае плоского напряженного состояния), то ∆p = 0. Утверждение доказано. 2. Рассмотрим случай плоского напряженного состояния, когда тело представляет собой изотропную тонкую пластинку и решение обратной задачи о её деформировании в заданное состояние при постоянных внешних нагрузках единственно. Считаем, что осреднённая плоскость пластинки занимает односвязную область, ограниченную замкнутым гладким контуром L. Соотношения (2) возьмём в виде общепринятых однородных функций степени n [5]. Тогда для скоростей полных деформаций в системе координат Oxy, выбранной в срединной плоскости пластинки, будем иметь εx = ˙ 1 n-1 2σx - σy (σx - ν σy ) + Bσi ˙ ˙ , E 2 117 И. Ю. Ц в е л о д у б 1 n-1 2σy - σx (σy - ν σx ) + Bσi ˙ ˙ , E 2 1+ν n-1 3 σxy + Bσi ˙ σxy , εxy = ˙ E 2 εy = ˙ (6) где E - модуль Юнга, ν - коэффициент Пуассона; B, n - константы ползу2 2 2 чести; σi = σx + σy - σx σy + 3σxy - интенсивность напряжений. Предполагаем, что n > 1, тем самым обеспечивается выполнимость (3) [2, 3]. Пусть после деформирования пластинки в течение времени t∗ под действием постоянных внешних нагрузок и их последующего снятия при t = t∗ требуется получить перемещения точек границы L вида ux = c x + δux1 (x, y) + δ 2 ux2 (x, y) + . . . , uy = c y + δuy1 (x, y) + δ 2 uy2 (x, y) + . . . , (7) где c, δ - константы, 0 < δ < 1, т.е. ux , uy могут быть представлены в виде рядов по степеням малого параметра δ. Для определённости примем, что c > 0. Для решения данной задачи применим метод возмущений [6]. При δ = = 0 условия (7) соответствуют однородному деформированному состоянию, вызванному равномерным растяжением по осям x и y. Для нахождения нулевого приближения положим σx = σy = σ0 = const; σ0 > 0 при 0 t < t∗ . Из (6) получим, что после разгрузки при t = t∗ 1 n εx = εy = Bσi t∗ . 2 Легко видеть, что в силу (7) должно быть εx = εy = c, следовательно, σ0 = 2c Bt∗ 1/n . Для нахождения последующих приближений все напряжения, перемещения и деформации при 0 t < t∗ представим в виде рядов по степеням δ. С использованием методики [6] из (6) для скоростей полных деформаций k-того приближения нетрудно получить ∂ uxk ˙ 1 f0 = (σxk - ν σyk ) + ˙ ˙ (σxk - ν1 σyk ) + ηx0k , ∂x E E ∂ uyk ˙ 1 f0 εyk = ˙ = (σyk - ν σxk ) + ˙ ˙ (σyk - ν1 σxk ) + ηy0k , ∂y E E ∂ uyk ˙ 1 ∂ uxk f0 ˙ 1 = + = (1 + ν)σxyk + (1 + ν1 )σxyk + ηxy0k , 2 ∂y ∂x E E εxk = ˙ εxyk ˙ (8) n-1 где ν1 = (3 - n)/(3 + n), -1 < ν1 < 1/2; f0 = BEσ0 (n + 3)/4; ηx0k , ηy0k , ηxy0k - функции координат и времени, зависящие от компонент напряжений не выше (k - 1) приближения. Например, для первого приближения ηx01 = = ηy01 = ηxy01 = 0, для второго ηx02 = 118 n-2 Bσ0 2 2 (n - 1) (n + 9)σx1 + (n - 3)σy1 (σy1 + 2σx1 ) + 12σxy1 , 16 Обратная задача теории ползучести для неупрочняющегося тела ηy02 = n-2 Bσ0 2 2 (n - 1) (n + 9)σy1 + (n - 3)σx1 (σx1 + 2σy1 ) + 12σxy1 , 16 n-2 3Bσ0 ηxy02 = (n - 1)σxy1 (σx1 + σy1 ). 4 Всюду в дальнейшем индексы k , входящие в (8), будем опускать, считая функции ηx0 , ηy0 , ηxy0 известными для рассматриваемого приближения. Для каждого приближения введём функцию напряжений Φ = Φ(x, y, t), при этом [7] ∂2Φ ∂2Φ ∂2Φ , σy = , σxy = - . (9) σx = ∂y 2 ∂x2 ∂x∂y Подставляя (8), (9) в известное уравнение совместности скоростей деформаций, получим ˙ ˙ (10) ∆2 Φ + f0 ∆2 Φ = F0 (x, y, t), где ∆2 - бигармонический оператор, ∂ 2 ηxy0 ∂ 2 ηy0 ∂ 2 ηx0 ˙ F0 = E - - . ∂x∂y ∂x2 ∂y 2 Интегрируя (10) как обыкновенное дифференциальное уравнение относительно ∆2 Φ и учитывая, что ∆2 Φ = 0 при t = 0 (что соответствует упругому распределению напряжений), найдём t ∆2 Φ = e-f0 t ˙ F0 ef0 t dt. (11) 0 Предположим, что функции ηx0 , ηy0 , ηxy0 при любом 0 t < t∗ являются аналитическими в занятой пластиной области. Тогда возможен переход к комплексным переменным z = x+iy, z = x-iy, при этом функции перемен¯ ных и y аналитически продолжаются в область комплексных значений при подстановке x = (z + z )/2, y = (z - z )/2i, а z и z считаются независимыми ¯ ¯ ¯ комплексными переменными [8]. При указанной замене (11) примет вид t ˙ ˙ ∂4U ∂2ε ∂2ε ˙ ¯ ∂2I = -Ee-f0 t ef0 t + 2 +2 dt, ∂z 2 ∂ z 2 ¯ ∂ z 2 ∂z ¯ ∂z∂ z ¯ 0 t ¯ z+z z-z ¯ , ,t , ε = ηy0 - ηx0 + 2iηxy0 dt, U (z, z , t) = Φ ¯ 2 2i 0 16 t t ηy0 - ηx0 - 2iηxy0 dt, ε= ¯ (12) I= 0 ηx0 + ηy0 dt. 0 Общее решение (12) представим в форме U = U0 (z, z , t) + U1 (z, z , t) + U2 (z, z ) , ¯ ¯ ¯ (13) где U0 = - E -f0 t e 16 t 0 ˙ ˙ ¯ ˙ F + F + 2Q ef0 t dt, z z z0 z0 F = εdzdz, 119 И. Ю. Ц в е л о д у б ¯ F = z ¯ z ¯ z ¯ z0 ¯ z0 ¯ z z0 ¯ εd¯d¯, z z z0 Q= Idzd¯, z U1 , U2 - бигармоничны, т.е. Ui = z ϕi + z ϕi + χi + χi /2 (i = 1, 2) [7], при¯ ¯ ¯ чём последние выбираются таким образом, что сумма U0 + U1 соответствует решению, дающему нулевые нагрузки на L в любой момент t (0 t < t∗ ), а U2 - решению задачи теории упругости с искомыми граничными условиями. Отметим, что функции ϕ2 и χ2 не зависят от t, поскольку внешние нагрузки на L постоянны. Компоненты напряжений определяются из соотношений (9), которые можно представить в виде σx + σy = 4 ∂2U , ∂z∂ z ¯ σy - σx + 2iσxy = 4 ∂2U . ∂z 2 (14) Найдём общие напряжения для перемещений и их скоростей при 0 t < t∗ . Для этого из первого уравнения (8) вычтем второе и прибавим третье, умноженное на 2i. Это после введения комплексного перемещения W = ux + iuy с учётом (14) даёт 2 ˙ ˙ ˙ 4 (1 + ν) ∂ 2 U 4 (1 + ν1 ) ∂ 2 U ∂W ˙ =- - f0 2 - ε, ¯ ∂z ¯ E ∂z2 ˙ E ∂z ˙ отсюда ˙ 2 (1 + ν) ∂ U 2 (1 + ν1 ) ∂U 1 ˙ W =- - f0 - E ∂z ¯ E ∂z ¯ 2 z ¯ ˙ εd¯ + f1 (z, t) . ¯ z (15) z0 ¯ Входящую в (15) функцию f1 = f1 (z, t) определим из условия удовлетворения сумме двух уравнений (8), которое можно записать так: ˙ ˙ ¯ 4 (1 - ν) ∂ 2 U 4 (1 - ν1 ) ∂ 2 U ∂w ∂w ˙ ˙ + = + f0 + I. ∂z ∂z ¯ E ∂z∂ z ¯ E ∂z∂ z ¯ Подставляя в это соотношение выражение для w из (15), аналогичное ˙ ˙ представление для w и учитывая (13), получим ¯ f1 - 4 4 ¯ ˙ (ϕ + f0 ϕ ) = - f1 - ˙ ϕ + f0 ϕ ¯ ¯ E E , где ϕ = ϕ1 + ϕ2 , штрих обозначает дифференцирование по z. Последнее равенство возможно только при f1 - 4 ϕ + f0 ϕ = ic1 (t), ˙ E где c1 (t) - действительнозначащая функция. Отсюда f1 (z, t) = 120 4 (ϕ + f0 ϕ) + ic1 (t)z + c2 (t), ˙ E Обратная задача теории ползучести для неупрочняющегося тела где c2 (t) - комплекснозначная функция. Отбрасывая в выражении для f1 последние два слагаемых, дающие только жёсткое смещение, с учётом (13), (15) после некоторых упрощений найдём w= ˙ 2 (ν - ν1 ) ∂U0 1 + ν ∂ ˙ ˙ ¯ ˙ F - κ F + 2Q + f0 + E ∂z ¯ 8 ∂z ¯ 1+ν 1 + ν1 ˙ ¯ ¯ ˙ + κϕ - zϕ - ψ + ˙ ¯ f0 κ1 ϕ - z ϕ - ψ , (16) ¯ E E где ψ = ψ1 + ψ2 , ψi = κi , i = 1, 2; 3 - ν1 3-ν , κ1 = . κ= 1=ν 1 + ν1 Интегрируя (16) по времени от 0 до t и учитывая, что при t = 0 выпол¯ няется F = F = Q = 0, после несложных выкладок получим w= t ν1 - ν ∂ 1+ν ∂ ¯ ¯ f0 e-f0 t F + F + 2Q ef0 t dt + F - κ F + 2Q + 8 ∂z 0 ¯ 8 ∂z ¯ t 1+ν 1 + ν1 ¯ ¯ + κϕ - z ϕ - ψ + ¯ f0 κ1 ϕ - z ϕ - ψ dt. (17) ¯ E E 0 После снятия внешних нагрузок при t = t∗ произойдёт упругая разгрузка, поэтому выражения для остаточных напряжений и перемещений получаются из (13), (14) (17) путём вычитания членов, соответствующих функциям ϕ = ϕ(z) и ψ2 = ψ2 (z). Так, для остаточных перемещений найдём wr = g(z, z ) + ¯ 1 + ν1 ¯ f0 t∗ κ1 ϕ - z ϕ2 - ψ2 , ¯ E (18) где g= t∗ 1+ν ∂ ν1 - ν ∂ ¯ ¯ ˙ F -κ F +2Q ef0 t∗ dt+ f0 e-f0 t∗ F -κ F +2Q t=t∗ + 8 ∂z 0 ¯ 8 ∂z ¯ t∗ 1+ν 1 + ν1 + κϕ1 - z ϕ1 - ϕ1 t=t∗ + ¯ ¯ f0 κ1 ϕ1 - z ϕ1 - ϕ1 dt. ¯ ¯ E E 0 Полученные выше общие соотношения для напряжений и перемещений определяют очевидную последовательность решения задачи о деформировании пластинки в заданное состояние. Она заключается в следующем. По ˙ известным величинам ε, ε, I, которые являются функциями z, z и t, находят˙ ¯ ˙ ¯ ˙ , Q, F , F , Q, а следовательно, из (13) и U = U (z, z , t). Затем на L ˙ ¯ ¯ ся F , F ¯ 0 0 вычисляется значение ∂U0 ∂U0 ∂U0 f= +i =2 , ∂x ∂y ∂z ¯ которое компенсируется выбором функций ϕ1 = ϕ1 (z, t) и ψ1 = ψ1 (z, t) так, что суммарное решение, соответствующее U0 + U1 , даёт ненулевые нагрузки на L при любом t (0 t < t∗ ). Подобная задача нахождения ϕ1 и ψ1 рассмотрена в [7]. 121 И. Ю. Ц в е л о д у б После того как найдены функции ϕ1 = ϕ1 (z, t) и ψ1 = ψ1 (z, t), для определения ϕ2 = ϕ2 (z) и ψ2 = ψ2 (z) из (18) получим 1 + ν1 ¯ ¯ f0 t∗ κ1 ϕ2 - z ϕ2 - ψ2 = wr - g E на L, где правая часть этого равенства неизвестна. Эта задача также рассмотрена в [7]. Легко видеть, что если область плоскости z, занятая пластиной, конформно отображается на круг единичного радиуса плоскости ζ при помощи функции z = ω(ζ), являющейся полиномом, то решение для любого приближения может быть получено в замкнутом виде. Соответствующие формулы для нахождения ϕi и ψi (i = 1, 2) приведены в [7]. В качестве простейшего примера рассмотрим задачу о круглой пластинке единичного радиуса, которая деформируется под действием постоянных внешних нагрузок в течение времени t∗ и которая при t = t∗ после снятия этих нагрузок должна иметь на границе радиальное и окружное остаточные перемещения вида ur = c + δα cos 3θ, uθ = δβ sin 3θ, где c, α, β - константы. Используя изложенную выше методику и опуская достаточно громоздкие выкладки, для первого приближения получим U0 = ϕ1 = ψ1 = 0, ϕ= a 4 n-1 z , 12Bσ0 t∗ ψ2 = - b n-1 z 6Bσ0 t∗ 2 , где 2c 1/n , Bt∗ для второго приближения - σ0 = U0 = - a= 4(α + β) , κ1 b = 2 (a + α - β) ; ¯ ¯ 2n + 51 4 4 AG(t) 2 (2n + 3) z 7 z + z 7 z a + z z + ¯ 36 14 16 AG(t) z6 + z6 ¯ 3 + ab + 3z 3 z 3 + b2 z 2 z 2 , ¯ ¯ 36 10 4 AG(t) 2n + 3 2 7 2n + 51 2 9 3 a z + a - ab + b2 z , 18 14 8 2 4 AG(t) n-1 ψ1 = - abz 5 , G(t) = 1 - e-f0 t , A = 2 2n-1 2 , 30 B σ0 t∗ (n + 3) A(n + 3) 2 2 7 2n + 27 2 z A(n + 3) ϕ2 = - a z + a - 12ab + 3b2 , ψ2 = abz 5 . 36 7 2 2n 45 ϕ1 = Из вышеперечисленных формул вытекает, что для получения заданной формы пластинки к её границе следует приложить следующие постоянные усилия (с учётом двух приближений): 122 Обратная задача теории ползучести для неупрочняющегося тела σr = σ0 + σrθ = 2δ 2(α + β) α-β+ cos 3θ- n-1 κ1 3Bσ0 t∗ (n - 1)δ 2 3 2(α + β)2 8(α2 - β 2 ) - + (α - β)2 + cos 6θ , 2n-1 2 n κ1 κ1 9B 2 σ0 t∗ 2(α + β) -α+β κ1 2δ 8(n - 1)(α + β)δ 2 sin 3θ - sin 6θ , n-1 2n-1 2 3Bσ0 t∗ 9B 2 σ0 t∗ κ1 а при t = t∗ эти нагрузки снять. В заключение отметим, что в случае линейной вязкоупругой среды Максвелла, т.е. при n = 1, задачи, аналогичные рассмотренным выше, могут быть решены без использования метода малого параметра, поскольку общие соотношения (6) между скоростями деформаций и напряжениями и линеаризованные (8) при n = 1, совпадают.

About the authors

Igor Yu Tsvelodub

M. A. Lavrentyev Institute of Hydrodynamics, Siberian Branch of RAS

Email: itsvel@hydro.nsc.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.)), Head of Laboratory, Laboratory of Static Strength, Dept. of Structural Mechanics 15, Lavrentyeva pr., Novosibirsk, 630090, Russian Federation

References

Supplementary files