Трехмерная поверхностная волна в полупространстве и кромочные волны в пластинах в случае смешанных граничных условий на поверхности распространения

Полный текст

Введение. Существование волн, распространяющихся вдоль поверхности полупространства и экспоненциально затухающих при удалении от нее (поверхностные волны), было впервые установлено Рэлеем в 1885 г. [1]. Впоследствии было обнаружено множество других типов поверхностных волн (см., например, обзор [2] и недавние работы [3-8]), а также волны, аналогичные волне Рэлея и распространяющиеся вдоль кромки пластины или оболочки [9- 16]. Как правило, во всех случаях, когда изучаются поверхностные волны в однородном теле, на поверхности ставятся условия свободного края. В данной работе показано, что трехмерная поверхностная волна в изотропном полупространстве может существовать не только в случае свободной от закреплений поверхности, но и в случае, когда на поверхности запрещено перемещение в одном из тангенциальных направлений. Этот факт отмечен также в работе [17], где задача решается другим методом. В отличие от случая свободной поверхности, скорость трехмерной поверхностной волны в случае смешанных граничных условий на поверхности зависит от направления распространения волны. Графики указанной зависимости приведены в данной работе. Наличие поверхностной волны в полупространстве со смешанными граничными условиями на поверхности указывает на возможность существования кромочных волн в пластинах со смешанными граничными условиями на торце. В данной работе изучаются кромочные волны в пластине со свободными лицевыми поверхностями в случае, когда на торце запрещено перемещение в одном из тангенциальных направлений. При этом рассматривается не только первая волна, аналогичная волнам, описываемым приближенными двумерными теориями пластин, но и волны высшего порядка, которые можно описать только исходя из трехмерных уравнений теории упругости. Для случая условий свободного края на торце пластины волны высшего порядка изучены в работах [18-20]. 1. Трехмерная поверхностная волна в полупространстве в случае смешанных граничных условий на поверхности. Рассмотрим гармонические колебания полупространства, занимающего в декартовых координатах область 0 x < ∞, -∞ < y < ∞, -∞ < z < ∞. Введем безразмерные переменные по следующим формулам: x = hπ -1 x, y = hπ -1 y, z = hπ -1 z, {ux , uy , uz } = hπ -1 {ux , uy , uz }, ω = hπ -1 ωc-1 , 2 {σx , σy , σz , σxy , σxz , σyz } = E[2(1 + ν)]-1 {σx , σy , σz , σxy , σxz , σyz }, 54 (1) Трехмерная поверхностная волна в полупространстве и кромочные волны в пластинах . . . где u = {ux , uy , uz } - вектор перемещения; σx , σy , σz , σxy , σxz , σyz - компоненты тензора напряжений; E - модуль Юнга; ν - коэффициент Пуассона; c2 - скорость волны сдвига; ω - круговая частота; h - некоторая величина, имеющая размерность длины. Временной множитель eiωt и знак «∼», обозначающий безразмерные переменные, далее опущены. После введения безразмерных переменных по формулам (1) в уравнениях остается единственный параметр - коэффициент Пуассона ν. Таким образом, значения модуля Юнга E на приведенные ниже результаты не влияют. Запишем выражения перемещений через упругие потенциалы Ламе ϕ и ψ: u = grad ϕ + rot ψ. (2) Выражения напряжений через потенциалы ϕ и ψ приведены в работе [20]. Представление (2) следует дополнить условием div ψ = 0, которое является достаточным для получения однозначного представления компонентов вектора перемещения в упругом теле в виде (2). Функции ϕ и ψ должны удовлетворять уравнениям Гельмгольца: ∆ϕ + κ2 ω 2 ϕ = 0, ∆ψ + ω 2 ψ = 0, (3) где ∆ - трехмерный оператор Лапласа, κ = (1 - 2ν)/2(1 - ν). На поверхности полупространства x = 0 поставим смешанные граничные условия вида σx = 0, σx = 0, uy = 0, σxz = 0; σxy = 0, uz = 0. (4) (5) Частные решения уравнений (3) ищем в виде ϕ = C1 e-r1 x ei(ωt-(γy+sz)) , ψ = Ce-r2 x ei(ωt-(γy+sz)) , (6) где C = {C3 , C4 , C2 } - вектор произвольных констант. Подставляя (6) в (3), найдем r1 , r2 : r1 = γ 2 + s 2 - κ2 ω 2 , r2 = γ 2 + s2 - ω 2 . Подставляя представления (6) в граничные условия (4), получим систему однородных линейных уравнений относительно постоянных C1 , C2 , C3 , C4 . Условие существования нетривиального решения этой системы приводит к дисперсионному уравнению (2s2 + 2γ 2 - ω 2 )2 - 4r1 r2 s2 (ω 2 - γ 2 )- - (γ 2 + s2 - ω 2 )(6s2 γ 2 + 4γ 4 - 4γ 2 ω 2 ) + 2r1 r2 γ 2 s2 = 0. (7) Введем параметр α, характеризующий направление распространения волны и связанный с параметрами s и γ соотношениями s = γ1 sin α, где γ1 = γ = γ1 cos α, s2 + γ 2 . Тогда дисперсионное уравнение (7) запишется в виде (2 - ϑ)(2 sin2 α - ϑ) + ϑ cos2 α - 4r1 r2 sin2 α = 0, (8) 55 А р д а з и ш в и л и Р. В., В и л ь д е М. В., К о с с о в и ч Л. Ю. √ √ где r1 = 1 - κ2 ϑ, r2 = 1 - ϑ, ϑ = c2 , c = ω/γ1 - фазовая скорость трехмерной поверхностной волны, отнесенная к скорости волны сдвига. Покажем, что уравнение (8) имеет единственный корень, которому соответствует нетривиальное решение системы. Рассмотрим функцию: D(ϑ, κ, α) = (2 - ϑ)(2 sin2 α - ϑ) + ϑ cos2 α - 4r1 r2 sin2 α, Dϑ (ϑ, κ, α) = -2 - 2 sin2 α + 2ϑ + (1 - ϑ)κ2 + (1 - κ2 ϑ) (1 - ϑ)(1 - κ2 ϑ) (κ - 1)2 (κ + 1)2 Dϑ (ϑ, κ, α) = 2 + sin2 α . (1 - κ2 ϑ)3/2 (1 - ϑ)3/2 , (9) (10) Воспользуемся достаточным условием вогнутости функции. На интервале (0; 1) Dϑ (ϑ, κ, α) > 0, следовательно, уравнение (8) может иметь не более двух корней на данном интервале. Из формул (9), (10) имеем D(0, κ, α) = 0, Dϑ (ϑ, κ, α) < 0. С другой стороны, D(1, κ, α) > 0 ∀α ∈ (0; π/2]. Следовательно, на интервале (0; 1) график функции один раз пересечет ось абсцисс. Таким образом, уравнение (8) имеет единственный корень, не равный нулю. Проведенный анализ показывает, что искомая волна существует при всех значениях α, кроме α = 0. Граничные условия (5) аналогичны граничным условиям (4) с точностью до поворота осей координат. В уравнении (8) следует выполнить замену sin → cos и cos → sin. Если на поверхности полупространства ставятся условия свободного края, то скорость трехмерной поверхностной волны не зависит от направления распространения и совпадает со скоростью волны Рэлея. Анализ, аналогичный описанному выше, показал, что в случае других видов закреплений на поверхности, отличных от (4) и (5), трехмерная поверхностная волна не существует. Зависимость параметра ϑ от угла распространения, полученная в результате численного решения уравнения (8), представлена на рис. 1, a для различных значений коэффициента Пуассона. Значения этого параметра при α = 0.5π совпадают с квадратом скорости волны Рэлея при данном значении ν. На рис. 1, б приведены графики изменения перемещений в поверхностной волне по переменной x. Перемещения вычислены по формулам (2) после определения констант C1 , C2 , C3 , C4 с точностью до произвольного постоянного множителя и нормированы на значение перемещения ux при x = 0. 2. Кромочные волны в пластинах: асимптотический анализ. Рассмотрим гармонические колебания упругой пластины, занимающей в размерных декартовых координатах (x, y, z) область 0 x < ∞, -h y h, -∞ < z < ∞. Для описания колебаний пластины применим трехмерные уравнения теории упругости. Введем безразмерные переменные по формулам (1), где h обозначает теперь полутолщину пластины. Знак «∼», обозначающий безразмерные переменные, далее опустим. Уравнения для потенциалов ϕ и ψ, а также выражения для перемещений и напряжений через них будут выглядеть так же, как и в случае полупространства. На лицевых поверхностях y = ±π ставятся граничные условия свободного края σy = σxy = σyz = 0. 56 (11) Трехмерная поверхностная волна в полупространстве и кромочные волны в пластинах . . . а б Рис. 1. График зависимости фазовой скорости трехмерной поверхностной волны от угла распространения для различных значений коэффициента Пуассона (a) и форма данной волны (б) при α = π/3 и ν = 0.25 Будем изучать гармонические кромочные волны, распространяющиеся вдоль кромки пластины x = 0 в направлении оси z. Для удобства представим искомое решение в виде стоячей волны, то есть будем считать, что напряженнодеформированное состояние изменяется по переменной z по гармоническому закону. При x = 0 поставим одно из следующих граничных условий: σx = Tg (y) cos sz, σx = Tg (y) cos sz, uy = 0, σxz = 0, σxy = 0, uz = 0, (12) (13) где Tg (y) - заданная функция переменной y, s - некоторое число. Резонансные частоты рассматриваемой задачи соответствуют собственным частотам однородной задачи с граничными условиями (4) и (5) при x = 0 соответственно, при этом следует искать те решения однородной задачи, которые соответствуют принятому закону изменения НДС по переменной z и затухают при x → ∞. На бесконечности ставится условие отсутствия источников энергии. Решение однородной задачи (3), (11) можно представить в виде суммы двух кромочных волн, распространяющихся в противоположных направлениях вдоль оси z. Фазовая скорость кромочной волны определяется по формуле c = ω0 /s, где ω0 - собственная частота задачи (3), (11), (4) или (5) или резонансная частота задачи (3), (11), (12) или (13). Рассмотрим однородную краевую задачу (3), (11), (4). Примем, что значение параметра γ фиксировано, и запишем асимптотики при s → ∞ для напряжений, входящих в граничные условия (11) в антисимметричном случае: R σy = C 2s2 1 - 2 θ1 γ2 1+O 2 θ2 s R R r r - ω 2 e-s˜1 x + 2γ 2 e-s˜2 x × × sin (γy) cos (sz) , 57 А р д а з и ш в и л и Р. В., В и л ь д е М. В., К о с с о в и ч Л. Ю. θ1 -s˜1 x θ2 θ γ2 R rR e r + 3 + 1 + 2 e-s˜2 x × θ θ θ2 s γ2 × 1+O 2 cos (γy) cos (sz) , (14) s R σxy = C γs 2 -4 R σyz = C γs 2 r -4e-s˜1 x + 3 - R 2 γ 2 θ2 γ2 + 2 1+O 2 s2 θ s R r e-s˜2 x × × cos (γy) sin (sz) , где r1 = ˜R θ1 = θ1 θ 1+ θ2 - κ2 , γ2 , s2 θ2 = r2 = ˜R θ2 θ θ2 - 1, γ2 , s2 1 θ=√ , ϑ 1+ ϑ - корень дисперсионного уравнения (8). В симметричном случае в формулах (14) следует выполнить замену sin -→ cos, cos -→ sin, γ -→ -γ. Формулы (14) показывают, что при s → ∞ наибольшим из напряжений, входящих R в граничные условия на лицевых поверхностях, является напряжение σy . Чтобы удовлетворить всем граничным условиям однородной задачи с асимптотически малой погрешностью, достаточно положить γ = n, n = 1, 2, . . . в антисимметричном случае и γ = n + 0.5, n = 0, 1, . . . в симметричном случае. Таким образом, в качестве первого приближения собственной формы колебаний рассматриваемой пластины можно принять форму трехмерной волны Рэлея. Подставляя (14) в выражение γ1 = θω, связывающее частоту и волновое число в поверхностной волне, получим асимптотику собственных частот при s → ∞: (∞) ωn = 0 ωn в антисимметричном случае, 0 ωn+0.5 в симметричном случае, (15) 0 где ωj = s2 + j 2 /θ. Формула (15) показывает, что в рассматриваемой пластине существует бесконечное счетное множество кромочных волн высшего порядка. Получим асимптотику фазовых скоростей кромочных волн высшего порядка при s → ∞: c(∞) = n 1 + n2 /s2 /θ 1 + (n + 0.5)2 /s2 /θ в антисимметричном случае, в симметричном случае. (16) Из (8) следует, что если s → ∞, то θ → 1/cR , следовательно, фазовые скорости кромочных волн высшего порядка в случае граничных условий (4) стремятся к скорости волны Рэлея. Рассмотрим однородную краевую задачу (3), (11), (5). Аналогично случаю с граничными условиями (4) можно построить асимптотики и удовлетворить граничным условиям (11) с асимптотически малой погрешностью при s → ∞. 58 Трехмерная поверхностная волна в полупространстве и кромочные волны в пластинах . . . Асимптотики собственных частот и фазовых скоростей кромочных волн при s → ∞ имеют вид (15), (16) соответственно с точностью до замены антисимметричного случая на симметричный и наоборот. Из дисперсионного уравнения при данных граничных условиях следует, что θ → 1 при s → ∞, следовательно, фазовые скорости кромочных волн высшего порядка в случае граничных условий (5) стремятся к скорости волны сдвига. 3. Кромочные волны в случае смешанных граничных условий на торце: численные результаты. Для подтверждения теоретических выводов была проведена серия численных экспериментов. Метод численного решения задачи, основанный на разложении по модам, описан в [20]. С вычислительной точки зрения удобнее исследовать рассматриваемые волны исходя из задачи о вынужденных колебаниях с неоднородными граничными условиями (12) или (13) и используя отмеченное выше соответствие между собственной частотой однородной задачи и резонансной частотой неоднородной задачи. Резонансные частоты определялись численно методом подбора частоты, на которой достигается максимум амплитуды колебаний. Результаты численных расчетов подтверждают проведенный выше асимптотический анализ. В симметричном случае при граничных условиях (4) найдена фундаментальная волна, поведение которой отлично от поведения прочих кромочных волн высшего порядка. Ее фазовая скорость стремится не к скорости волны Рэлея, а к некоторой другой величине, не совпадающей также со скоростью угловой волны в четверти пространства [21]. В антисимметричном случае обнаружена дополнительная волна высшего порядка (ей присвоен номер 0.5), значение фазовой скорости которой в коротковолновом пределе совпадает с соответствующим значением для симметричной фундаментальной волны. На рис. 2, а представлены графики фазовой скорости симметричной фундаментальной волны при различных коэффициентах Пуассона. На рис. 2, б фазовые скорости половинной кромочной волны высшего порядка в антисимметричном случае (толстые сплошные линии) представлены в сравнении с фазовой скоростью симметричной фундаментальной волны (тонкие сплошные линии) при различных коэффициентах Пуассона. На рис. 3 приведены графики для ν = 0.45 в случае граничных условий (4), на рис. 4 для ν = 0.25 в случае граничных условий (5). На них представлены группы графиков, соответствующих каждой найденной волне за исключением половинной, описанной выше. Каждая группа включает три графика, представляющих величину δR = ω - s/θ, где жирным линиям соnum (численное решение), штрихпунктирным линиям - ω 0 , ответствует ω = ωk j 0 0 а тонким - ωj+0.5 на рис. 3, а и ωj-0.5 на рис. 3, б и рис. 4, где j - номер волны, указанный на графиках. 4. Заключение. Асимптотический и численный анализ кромочных волн в пластине показал наличие бесконечного счетного множества кромочных волн высшего порядка. Кромочные волны, как правило, демпфируются распространяющимися модами. Исключение составляет случай фундаментальных волн. Данный факт имеет место и для кромочных волн, исследованных в настоящей работе. Заметим, что в случае свободного торца фазовые скорости волн высшего порядка стремятся к скорости волны Рэлея, а в данной работе показано, что фазовая скорость половинной кромочной волны высшего по59 А р д а з и ш в и л и Р. В., В и л ь д е М. В., К о с с о в и ч Л. Ю. рядка в случае закрепления торца стремится к некоторой другой величине, к которой также стремится фазовая скорость симметричной фундаментальной волны. а б Рис. 2. Фазовые скорости половинной кромочной волны в антисимметричном случае (a) и симметричной фундаментальной волны (б) при различных коэффициентах Пуассона а б Рис. 3. Результаты расчетов для случая свободных боковых сторон и смешанных граничных условий (4) на торце: а - антисимметричный случай, б - симметричный случай а б Рис. 4. Результаты расчетов для случая свободных боковых сторон и смешанных граничных условий (5) на торце: а - антисимметричный случай, б - симметричный случай 60 Трехмерная поверхностная волна в полупространстве и кромочные волны в пластинах . . .

Об авторах

Роман Вячеславович Ардазишвили

Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского (национальный исследовательский университет)

Email: ardazishvili.roman@yandex.ru
аспирант, каф. математической теории упругости и биомеханики Россия, 410012, Саратов, ул. Астраханская, 83

Мария Владимировна Вильде

Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского (национальный исследовательский университет)

Email: mv_wilde@mail.ru
(д.ф.-м.н., проф.; mvwilde@mail.ru; автор, ведущий переписку), профессор, каф. математической теории упругости и биомеханики Россия, 410012, Саратов, ул. Астраханская, 83

Леонид Юрьевич Коссович

Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского (национальный исследовательский университет)

Email: president@sgu.ru
(д.ф.-м.н., проф.; president@sgu.ru), заведующий кафедрой, каф. математической теории упругости и биомеханики; президент Саратовского государственного университета имени Н. Г. Чернышевского Россия, 410012, Саратов, ул. Астраханская, 83

Список литературы

Дополнительные файлы