Approximate analytical solution of the problem for the tube with elliptic outer contour under steady-state creep condition

Full Text

Введение. Разработка аналитических методов решения краевых задач ползучести для элементов конструкций с возмущенными границами вследствие физической нелинейности определяющих реологических соотношений представляет трудноразрешимую проблему. Один из подходов состоит в линеаризации граничных условий и реологических соотношений на основе метода малого параметра. Постановка задачи установившейся ползучести с возмущенными границами методом малого параметра приведена в монографии Л. М. Качанова [1], где, в частности, для несоосной трубы построено решение © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования М о с к а л и к А. Д. Приближенное аналитическое решение задачи для трубы с эллиптическим внешним контуром в условиях установившейся ползучести // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 4 (37). С. 65-84. doi: 10.14498/vsgtu1365. 65 М о с к а л и к А. Д. в первом приближении. Имеются попытки решения задачи с возмущенными границами в работах [2-4]. Однако, что касается внешних краевых задач реологии (с возмущенными границами), здесь следует отметить ряд работ по устойчивости однородного растяжения полосы или цилиндра из вязкого материала, чувствительного к скорости деформирования, по отношению к малым возмущениям регулярной или произвольной формы свободных границ, решенных методом малого параметра [5-8]. С другой стороны, развиваются методы решения краевых задач с возмущенным по пространственным переменным полем реологических характеристик (внутренние краевые задачи). Так, в работах [9-12] методом малого параметра построены аналитические решения для полей напряжений и скоростей деформаций вплоть до третьего приближения в стохастической краевой задаче установившейся ползучести толстостенной трубы под действием внутреннего давления, а в работах [13, 14] приведены решения аналогичной задачи ползучести для растягиваемой плоскости. Детально метод возмущений (малого параметра) для упругопластических тел изложен в монографии [15] и систематически развивался научной школой Д. Д. Ивлева в работах его учеников [16-19 и др.] на случай различных условий пластичности, составных упругопластических тел, различных типов концентраторов и т. д. Так, эллиптическая форма отверстия в тонкой пластине рассмотрена в работе [20], упругопластическое состояние пространства, ослабленного цилиндрической полостью, под действием давления, продольных и сдвиговых усилий - в диссертации [21]. Для эллиптической упругопластической трубы построено первое приближение методом малого параметра в монографии [22]. Следует отметить, что все подобные задачи решались в упругопластической области. Постановка задач для ползучести имеется в крайне ограниченном числе работ. Целью данной работы является построение приближенного аналитического решения задачи об установившейся ползучести толстостенной трубы с эллиптическим внешним контуром, находящейся под внутренним давлением, методом малого параметра с учетом первого и второго приближений. 1. Постановка задачи. Рассматривается толстостенная труба под действием внутреннего давления q с внутренним контуром в виде окружности радиуса r = h, внешним эллиптическим контуром с большой полуосью r = a и малой полуосью r = b. В качестве малого параметра принимается величина сжатия эллипса δ = (a - b)/a = 1 - 1 - e2 , (1) где e = 1 - b2 /a2 - эксцентриситет эллипса (см. рис. 1). При получении приближенного аналитического решения предполагается, что упругие деформации малы по сравнению с деформациями ползучести и ими можно пренебречь. С физической точки зрения это означает, что рассматриваются установившиеся поля скоростей деформаций ползучести и напряжений, т.е. деформацией ползучести, накопленной на первой стадии и вызванной перераспределением напряжений от упругого состояния до состояния установившейся ползучести, пренебрегаем. Разложение тензора напряжений σij , тензора скоростей деформаций ползучести εij и вектора скоростей перемещений ui по малому параметру до ˙ ˙ 66 Приближенное аналитическое решение задачи о трубе. . . Рис. 1. Схема трубы с возмущенной внешней границей: 1 - внутренний контур трубы r = h; 2 - внешний эллиптический контур трубы; 3 - внешний контур трубы r = a для осесимметричного случая [Figure 1. The scheme of a tube with perturbed outer boundary: 1 - the inner contour of the tube r = h; 2 - the outer elliptic contour of the tube; 3 - the outer contour of the tube r = b for axisymmetric case; δ is the small parameter] членов второго порядка имеет вид (0) (1) (2) σij = σij + δσij + δ 2 σij + O(δ 3 ), (1) (2) (1) (2) εij = ε0 + δ εij + δ 2 εij + O(δ 3 ), ˙ ˙ij ˙ ˙ ui = u0 + δ ui + δ 2 ui + O(δ 3 ), ˙ ˙i ˙ ˙ где индексы 0, 1 и 2 соответствуют нулевому, первому и второму приближениям. Уравнение эллиптического внешнего контура трубы в полярных координатах имеет вид (если принять центр эллипса за полюс): r=b 1 - e2 cos2 θ. Выражая эксцентриситет в последнем соотношении через сжатие δ с использованием формулы (1), имеем r = a(1 - δ) 1 + (δ 2 - 2δ) cos2 θ. Раскладывая полученное выражение для r в степенной ряд по параметру δ и ограничиваясь членами второго порядка включительно, получаем a 3a r = a + (cos 2θ - 1)δ + (cos 4θ - 1)δ 2 . 2 16 (2) Задача решается в условиях плоского деформированного состояния, т. е. когда εzz = 0. ˙ 67 М о с к а л и к А. Д. Предполагается несжимаемость материала для скоростей деформаций на стадии установившейся ползучести, что находит экспериментальное подтверждение [23, 24]: εrr + εθθ = 0. ˙ ˙ (3) Постановка задачи включает в себя уравнения равновесия ∂σrr 1 ∂σrθ σrr - σθθ =- - , (4) ∂r r ∂θ r ∂σrθ ∂σθθ = -r - 2σrθ , (5) ∂θ ∂r которые линейны относительно компонент напряжений и, следовательно, выполняются для каждого приближения. Аналогично, для каждого приближения выполняются уравнения совместности деформаций: ur ˙ ∂ uθ ˙ uθ ˙ ˙ ˙ ∂ ur ˙ 1 ∂ uθ 1 1 ∂ ur , εθθ = ˙ + , εrθ = ˙ + - . (6) ∂r r ∂θ r 2 r ∂θ ∂r r В качестве определяющих соотношений используются соотношения теории установившейся ползучести со степенным законом: εrr = ˙ 3 n-1 (7) εij = Aσe Sij , ˙ 2 где n, A - постоянные характеристики материала, Sij = σij - σkk δij /3 - девиатор напряжений, σe - интенсивность напряжений для случая плоской деформации √ 3 2 2 1/2 σe = σrr - σθθ + 4σrθ . 2 n-1 Разложение σe по малому параметру δ позволяет определить σe , представленное в виде степенного ряда по δ до членов второго порядка включительно: n-1 σe = 3|∆σ (0) | 2 n-1 1+δ (n - 1)∆σ (1) + |∆σ (0) | 2 + δ2 (1) 2 n - 1 (n - 2) ∆σ (1) +2∆σ (2) ∆σ (0) + 4 σrθ 2 [∆σ (0) ]2 , (8) где для удобства записи введены обозначения: (k) (k) ∆σ (k) = σrr - σθθ , k = 0, 1, 2 - номера приближений. Формула (8) используется в определяющих соотношениях (7) с учетом разложения по степеням малого параметра δ до членов второго порядка включительно: εrr = ε0 + δ ε(1) + δ 2 ε(2) = ˙ ˙rr ˙rr ˙rr (1) n - 1 n[∆σ (1) ]2 + 4[σrθ ]2 1 = Lrs ∆σ (0) + δn∆σ (1) + δ 2 n∆σ (2) + · 4 2 ∆σ (0) 68 , (9) Приближенное аналитическое решение задачи о трубе. . . (1) (0) (1) (2) (1) (2) εrθ = εrθ + δ εrθ + δ 2 εrθ = Lrs δσrθ + δ 2 σrθ + ˙ ˙ ˙ ˙ (n - 1)∆σ (1) σrθ ∆σ (0) . (10) Здесь введены следующие обозначения: Q= q a/h p 2 p= , n , -1 √ L = 3A 3 p a Q n n-1 , s = p - 2. Решение для нулевого приближения входит в соотношения (9), (10) и представляет собой решение для соосной толстостенной трубы под внутренним давлением, которое, согласно [24], имеет вид a p , r a (0) σθθ (r) = Q 1 - (1 - p) r a (0) σzz (r) = Q 1 - (1 + p) r (0) σrr (r) = Q 1 - p , (11) p . (0) При этом σrθ = 0 ввиду симметричности задачи для нулевого приближения. Поскольку граница при r = h не возмущена и задано давление q, линеаризованное граничное условие на внутреннем радиусе трубы для последующих (после нулевого) приближений представимо в виде (k) σrr r=h = 0, (k) σrθ r=h = 0, (12) k = 1, 2 - номера приближений. Линеаризованное граничное условие для первого приближения при r = a, согласно [15], зависит от нулевого приближения (11): (1) σrr r=a (1) σrθ r=a (0) Qp Qp dσrr a · (cos 2θ - 1) = - cos 2θ, dr 2 2 2 = ∆σ (0) sin 2θ = -Qp sin 2θ. =- (13) Уравнения (3)-(6), (9), (10) с граничными условиями (12), (13) образуют краевую задачу для нахождения первого приближения в напряжениях и дальнейшего полного построения решения поставленной краевой задачи с учетом первого приближения. 2. Первое приближение метода малого параметра. С учетом вида уравнения внешнего контура (2) и вида граничных условий (13), вводится предположение, что скорость радиальных перемещений u(1) является суммой двух ˙r составляющих, одна из которых зависит от радиуса r и угла θ, а вторая - (1) только от радиуса r; скорость тангенциальных перемещений uθ зависит и ˙ от радиуса r, и от угла θ: u(1) (r, θ) = uR (r, θ) + uψ (r) = uR (r) cos 2θ + uψ (r), ˙r ˙r ˙r ˙r ˙r (14) (1) uθ (r, θ) = uR (r, θ) = uR (r) sin 2θ, ˙ ˙θ ˙θ 69 М о с к а л и к А. Д. где uR = uR (r), uψ = uψ (r), uR = uR (r) - неизвестные подлежащие опреде˙r ˙r ˙r ˙r ˙θ ˙θ лению функции. Представление для скоростей перемещений (14) с учетом условий совместности (6) позволяет выполнить условие несжимаемости материала (3) тождественно. Для этого необходимо потребовать выполнения следующих равенств: duR 2 R uR ˙r ˙ + uθ + r = 0, ˙ dr r r uψ ˙r duψ ˙r + = 0. dr r (15) (16) Уравнение (15) тождественно выполняется путем введения функции скоростей перемещений ζ(r, θ) = R(r) sin 2θ такой, что uR = - ˙r 1 ∂ζ , r ∂θ uR = ˙θ ∂ζ . ∂r (17) Уравнение (16) позволяет определить составляющую скоростей перемещений, независящую от угла θ: C uψ = ˙r r и, следовательно, C εψ = - 2 . ˙rr (18) r Использование представления (17) в выражении (14) позволяет из соотношений (6) получить скорости деформаций ползучести: 1 ∂2ζ duψ 1 ∂ζ r - + , r2 ∂θ r ∂θ∂r dr 1 1 ∂2ζ ∂2ζ 1 ∂ζ = - 2 2+ 2- . 2 r ∂θ ∂r r ∂r (1) ε(1) = -εθθ = ˙rr ˙ (1) εrθ ˙ Так как ζ(r, θ) = R(r) sin 2θ, выражения для скоростей деформаций ползучести примут вид ε(1) ˙rr = (2) -εθθ ˙ = [-2R r -1 + 2Rr -2 duψ r , ] cos 2θ + dr 1 (1) εrθ = [R - R r-1 + 4Rr-2 ] sin 2θ. ˙ 2 (19) (20) Здесь и далее «штрих» означает дифференцирование по r. Полученные формулы для скоростей деформаций (19), (20) используются в соотношениях (9), (10): 4p 2pC -p (-R r-p+1 + Rr-p ) cos 2θ - r = ∆σ R cos 2θ + ∆σ ψ ,(21) L L 1 (1) R σrθ = R r-p+2 - R r-p+1 + 4Rr-p sin 2θ = σrθ sin 2θ. (22) 2L ∆σ (1) = 70 Приближенное аналитическое решение задачи о трубе. . . При составлении основного уравнения для нахождения функции R(r) необходимо предварительно найти смешанную производную второго порядка по θ и r от обеих частей равенства (21): ∂ 2 ∆σ (1) ∂∆σ R = -2 sin 2θ, ∂r∂θ ∂r и, применяя обозначения, введенные в (21), (22), определить производную по θ от обеих частей уравнения равновесия (4) для первого приближения: (1) (1) 1 ∂ 2 σrθ 1 ∂∆σ (1) 4 R 2 ∂ 2 σrr =- - = σrθ sin 2θ + ∆σ R sin 2θ, 2 ∂r∂θ r ∂θ r ∂θ r r а также определить производную по r от обеих частей уравнения равновесия (5) для первого приближения: (1) (1) (1) R ∂ 2 σθθ ∂ 2 σrθ ∂σ ∂ 2 σrθ ∂σ R = -r - 3 rθ = -r sin 2θ - 3 rθ sin 2θ. ∂θ∂r ∂r2 ∂r ∂r2 ∂r Разность продифференцированных уравнений равновесия представляет собой соотношение, тождественно равное продифференцированному соотношению (21). Приравнивая эти соотношения и сокращая на sin 2θ, приходим к уравнению R ∂ 2 σrθ ∂σ R σR ∂∆σ R ∆σ R r + 3 rθ + 2 + 4 rθ + 2 = 0. (23) ∂r2 ∂r ∂r r r Опираясь в уравнении (23) на обозначения, введенные в (21), (22), получаем линейное однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка для нахождения функции R(r): R(4) + (6 - 2p)R r-1 + (p2 - 20p + 11)R r-2 + + (15p2 - 20p + 5)R r-3 + (16 - 12p2 + 8p)Rr-4 = 0. (24) Использование степенного представления R(r) = rν позволяет получить характеристическое уравнение для нахождения собственных значений ν: ν 4 - 2pν 3 + (p2 - 14p + 4)ν 2 + (14p2 - 4p)ν + (16 - 12p2 + 8p) = 0, решением которого являются корни ν1,2,3,4 = p ± 2 p2 + 28p - 8 ± 4 61p2 - 36p - 12 2 . Уравнение имеет комплексные корни при 61p2 - 36p - 12 < 0, что выполняется при показателе нелинейности n = 2/p > 2.42. Следовательно, собственные значения при n > 2.42 представимы в виде ν1,2,3,4 = p l ± ± iy. 2 2 71 М о с к а л и к А. Д. Здесь l = l(p) и y = y(p) - известные значения для конкретного материала. Воспользуемся тригонометрическим представлением полученного решения согласно [25]: R(r) = C11 r(p+l)/2 cos(y ln r) + C12 r(p+l)/2 sin(y ln r)+ + C13 r(p-l)/2 cos(y ln r) + C14 r(p-l)/2 sin(y ln r), (25) где C11 ÷ C14 - константы интегрирования. Подставляя решения для функции R(r) (25) и для скорости деформаций ползучести εψ (18) с учетом (9) в уравнения равновесия (4), (5) и обозначая ˙rr ψ R dσrr 2p dσrr 1 -p+1 -p -p-1 = -R r + (4p + 1)R r - (4p + 4)Rr , = Cr-p-1 , dr L dr L получаем (1) ψ R dσrr dσrr ∂σrr = cos 2θ + . ∂r dr dr Интегрируя по r, приходим к выражению для радиальной составляющей тензора напряжений (1) R ψ σrr = (σrr + K R ) cos 2θ + (σrr + K ψ ), где K R и K ψ - константы интегрирования. (1) Составляющая тензора напряжений σrθ определяется по формуле (22). (1) (1) Подставляя полученное решение для σrr и σrθ в граничные условия (12), (13), определяем константы интегрирования C11 , C12 , C13 , C14 , C, K R , K ψ . (1) Поскольку уравнение для нахождения σrr распадается на два уравнения по признаку наличия зависимости от угла θ, получаем шесть уравнений и семь неизвестных констант интегрирования, что позволяет без нарушения общности решения положить K R = 0. В итоге формула для радиальных напряжений имеет вид (1) R Ψ σrr = σrr cos 2θ + σrr , (26) ψ Ψ где введено обозначение σrr = σrr + K ψ . Использование полученного решения (26) позволяет определить напряжения и скорости деформаций ползучести в трубе с учетом первого приближения. 3. Второе приближение метода малого параметра. Линеаризованное граничное условие для второго приближения при r = a согласно [15] зависит от нулевого и первого приближений: (2) σrθ 72 r=a = 1 (0) 1 R a d R ∆σ + ∆σ + ∆σ (0) - σrθ sin 4θ+ 2 2 4 dr r=a 1 ad R + ∆σ (0) + ∆σ Ψ - ∆σ (0) - σrθ 2 2 dr r=a sin 2θ, Приближенное аналитическое решение задачи о трубе. . . (0) (2) σrr r=a (0) R a dσrr a2 d2 σrr 3a dσrr 1 cos 4θ+ - - - ∆σ (0) 2 4 dr 16 dr 16 dr 2 r=a (0) R Ψ a dσrr a2 d2 σrr a dσrr + - cos 2θ+ + 2 dr 4 dr2 2 dr r=a (0) (0) Ψ R 1 (0) a dσrr 3a2 d2 σrr a dσrr 3a dσrr . (27) + + ∆σ - - + 2 dr 16 dr 2 4 dr 16 dr2 r=a R = σrθ - Приравнивая в соотношениях (9), (10) члены δ 2 , приходим к следующим выражениям: ∆σ (2) = 1 2p (2) n-1 2 (1) 2 εrr - ˙ ∆σ (1) + sσrθ = Lrs 2 ∆σ (0) 2p (2) = ε + A4 (r) cos 4θ + A2 (r) cos 2θ + A0 (r), ˙ Lrs rr (1) (2) σrθ (n - 1)∆σ (1) σrθ 1 (2) 1 (2) = εrθ - ˙ ε + B4 (r) sin 4θ + B2 (r) sin 2θ. ˙ = s (0) Lr Lrs rθ ∆σ Здесь s s [∆σ R ]2 R A2 (r) = + [σrθ ]2 , ∆σ R ∆σ Ψ , 2p 2∆σ (0) p∆σ (0) s s [∆σ R ]2 [∆σ Ψ ]2 R R + - [σrθ ]2 , B4 (r) = A0 (r) = ∆σ R σrθ , (0) 2p p 2∆σ 2p∆σ (0) s B2 (r) = ∆σ R ∆σ Ψ p∆σ (0) A4 (r) = - функции, зависящие от нулевого и первого приближений. С учетом вида уравнения внешнего контура (2) и вида граничных условий (27) вводится предположение, что радиальные напряжения состоят из суммы трех слагаемых, каждое из которых зависит от радиуса r, причем первое зависит также от угла 4θ, второе слагаемое зависит от 2θ, третье - не зависит от угла; касательные напряжения помимо зависимости от r зависят от величины 4θ и 2θ. Следовательно, можно сделать предположение, что скорость радиальных перемещений u(2) является суммой трех составляющих, одно из ˙r которых зависит от радиуса r и угла 4θ, а второе - от радиуса r и угла 2θ, (2) третье - только от радиуса r; скорость тангенциальных перемещений uθ яв˙ ляется суммой двух составляющих, одно из которых зависит от радиуса r и угла 4θ, а второе - от радиуса r и угла 2θ: (2) ur (r, θ) = uV (r, θ) + uW (r, θ) + uU (r) = uV (r) cos 4θ + uW (r) cos 2θ + uU (r), ˙ ˙r ˙r ˙r ˙r ˙r ˙r (2) V (r, θ) + uW (r, θ) = uV (r) sin 4θ + uW (r) sin 2θ, uθ (r, θ) = uθ ˙ ˙ ˙θ ˙θ ˙θ где uV = uV (r), uW = uW (r), uU = uU (r), uV = uV (r), uW = uW (r) - неиз˙r ˙r ˙r ˙r ˙r ˙r ˙θ ˙θ ˙θ ˙θ вестные подлежащие определению функции. 73 М о с к а л и к А. Д. Использование такого разложения в выражениях для скоростей деформаций ползучести (6) позволяет тождественно выполнить условие несжимаемости при соблюдении равенств duV ˙r 4 uV ˙ + uV + r = 0, ˙θ (28) dr r r duW ˙r 2 uW ˙ + uW + r = 0, ˙θ (29) dr r r duU ˙r uU ˙ + r = 0. (30) dr r Соотношение (28) выполняется при использовании функции скоростей перемещений ξ V (r, θ) = V (r) sin 4θ такой, что 4 ∂ξ V 1 ∂ξ V = - V cos 4θ, uV = ˙θ = V sin 4θ. r ∂θ r ∂r Условие (29) полностью совпадает с условием (15), применяемым в первом приближении, путем введения функции uV = - ˙r ξ W (r, θ) = W (r) sin 2θ такой, что 1 ∂ξ W 2 = - W cos 2θ, r ∂θ r Условие (30) выполняется при uW = - ˙r uU = ˙r KU , r uW = ˙θ εU = - ˙rr ∂ξ W = W sin 2θ. ∂r KU , r2 (31) где K U - константа интегрирования. Подставляя uV , uW , uU в условия совместности деформаций, а затем в ˙θ ˙θ ˙r соотношения (9), (10), аналогично случаю первого приближения имеем ∆σ (2) = + (2) σrθ = 74 8p (-V r-p+1 + V r-p ) + A4 (r) cos 4θ+ L 4p 2pK -p (-W r-p+1 + W r-p ) + A2 (r) cos 2θ + - r + A0 (r) = L L = ∆σ V cos 4θ + ∆σ W cos 2θ + ∆σ U , (32) 1 V r-p+2 - V r-p+1 + 16V r-p + B4 (r) sin 4θ+ 2L 1 W r-p+2 - W r-p+1 + 4W r-p + B2 (r) sin 2θ = + 2L V W = σrθ sin 4θ + σrθ sin 2θ. (33) Приближенное аналитическое решение задачи о трубе. . . Подставляя (32), (33) в уравнения равновесия и выполняя преобразования, аналогичные проведенным в первом приближении, приходим к основному уравнению для нахождения функций V (r) и W (r): r V ∂σ V ∂ 2 σrθ σV ∂∆σ V ∆σ V + 3 rθ + 4 + 16 rθ + 4 sin 4θ+ ∂r2 ∂r ∂r r r W ∂σ W ∂ 2 σrθ σW ∂∆σ W ∆σ W + 3 rθ + 2 + r + 4 rθ + 2 sin 2θ = 0. ∂r2 ∂r ∂r r r Данное уравнение должно выполняться при любых значениях угла θ. Следовательно, V ∂ 2 σrθ ∂σ V σV ∂∆σ V ∆σ V + 3 rθ + 4 + 16 rθ + 4 = 0, ∂r2 ∂r ∂r r r W ∂σ W σW ∂ 2 σrθ ∂∆σ W ∆σ W + 3 rθ + 2 + 4 rθ + 2 = 0. r ∂r2 ∂r ∂r r r r (34) (35) С использованием обозначений, введенных в (32), (33), дифференциальное уравнение (34) принимает вид V (4) + (6 - 2p)V r-1 + (p2 - 68p + 35)V r-2 + + (63p2 - 92p + 29)V r-3 + (256 - 48p2 + 17p)V r-4 = -2Lrp-3 Y (r), (36) где d2 B4 dB4 B4 dA4 A4 +3 + 16 +4 +4 . 2 dr dr r dr r Использование степенного представления V (r) = rµ позволяет получить характеристическое уравнение для нахождения собственных значений µ: Y (r) = r µ4 - 2pµ3 + (p2 - 62p + 28)µ2 + (62p2 - 28p)µ + (256 - 48p2 + 17p) = 0, решением которого являются корни µ1,2,3,4 = p ± 2 p2 + 124p - 56 ± 4 1009p2 - 885p - 60 2 . Уравнение имеет комплексные корни при 1009p2 - 885p - 60 < 0, что выполняется при показателе нелинейности n = 2/p > 2.13. Следовательно, собственные значения при n > 2.13 представимы в виде µ1,2,3,4 = p m ± ± it. 2 2 Здесь m = m(p) и t = t(p) - известные значения для конкретного материала. Воспользуемся тригонометрическим представлением полученного решения согласно [25]: 75 М о с к а л и к А. Д. V (r) = V1 r(p+m)/2 cos(t ln r) + V2 r(p+m)/2 sin(t ln r)+ + V3 r(p-m)/2 cos(t ln r) + V4 r(p-m)/2 sin(t ln r), где V1 ÷ V4 - константы интегрирования однородного дифференциального уравнения. Частное решение неоднородного дифференциального уравнения находится по методу неопределенных коэффициентов. В итоге полное решение неоднородного уравнения (36) представимо в виде V (r) = [V1 (r) + v1 ]r(p+m)/2 cos(t ln r) + [V2 (r) + v2 ]r(p+m)/2 sin(t ln r)+ + [V3 (r) + v3 ]r(p-m)/2 cos(t ln r) + [V4 (r) + v4 ]r(p-m)/2 sin(t ln r), (37) где v1 ÷ v4 - константы интегрирования неоднородного дифференциального уравнения. Подставляя в уравнение (35) обозначения, введенные в (32), (33) получаем неоднородное дифференциальное уравнение W (4) + (6 - 2p)W r-1 + (p2 - 20p + 11)W r-2 + + (15p2 - 20p + 5)W r-3 + (16 - 12p2 + 8p)W r-4 = -2Lrp-3 F (r), (38) где F (r) = r dB2 dA2 B2 A2 d2 B2 +3 +2 +4 +2 . 2 dr dr dr r r Вид однородного уравнения, соответствующего (38), полностью совпадает с однородным уравнением (24), что позволяет сразу выписать решение однородного уравнения W (r) = W1 r(p+l)/2 cos(y ln r) + W2 r(p+l)/2 sin(y ln r)+ + W3 r(p-l)/2 cos(y ln r) + W4 r(p-l)/2 sin(y ln r), где l = l(p) и y = y(p) - определены в первом приближении, W1 ÷ W4 - константы интегрирования однородного дифференциального уравнения. Частное решение неоднородного дифференциального уравнения (38) находится по методу неопределенных коэффициентов. В итоге полное решение неоднородного уравнения представимо в виде W (r) = [W1 (r) + w1 ]r(p+l)/2 cos(y ln r) + [W2 (r) + w2 ]r(p+l)/2 sin(y ln r)+ + [W3 (r) + w3 ]r(p-l)/2 cos(y ln r) + [W4 (r) + w4 ]r(p-l)/2 sin(y ln r), (39) где w1 ÷ w4 - константы интегрирования неоднородного дифференциального уравнения. Воспользуемся полученными решениями для функций V (r) из равенства (37), для функции W (r) из равенства (39) и для скорости деформаций ползучести εψ из соотношения (31) в выражениях для напряжений (32) и (33). ˙rr 76 Приближенное аналитическое решение задачи о трубе. . . Затем подставляем полученные соотношения в уравнение равновесия (4) и группируем члены, содержащие одинаковые функции угла θ: (2) ψ ∂σrr dσ V dσ W dσrr = rr cos 4θ + rr cos 2θ + . ∂r dr dr dr Интегрируя по r, приходим к выражению для радиальной составляющей тензора напряжений (2) V W U σrr = (σrr + K V ) cos 4θ + (σrr + K W ) cos 2θ + (σrr + K U ), где K V , K W и K U - константы интегрирования. (2) Составляющая тензора напряжений σrθ определяется по формуле (33). Анализ собственных значений характеристических уравнений для первого и второго приближений показывает, что найденное решение применимо при параметре нелинейности материала n > 2.42. Использование первого и второго приближений метода малого параметра позволяет определить напряжения и скорости деформаций ползучести в трубе с внешним эллиптическим контуром при величине сжатия δ = (a - b)/a, принимаемого в качестве малого параметра,что соответствует малой величине эксцентриситета. Необходимость построения третьего приближения требует дополнительных исследований. 4. Анализ приближенного аналитического решения. В качестве модельного примера рассмотрена труба с внутренним радиусом h = 0.115 м, внешней большой полуосью эллипса a = 0.15 м под действием внутреннего давления q = 22.07 МПа. В качестве примеров материалов рассмотрены углеродистая сталь [26] и жаропрочный сплав ХН73МБТЮ(ЭИ698) [27] с реологическими характеристиками: углеродистая сталь: n = 3.03, A = 9.04 · 10-9 ; ХН73МБТЮ (ЭИ698): n = 10.96, A = 4.57 · 10-33 . (0+1) (0) ∗ σθθ - при учете первого приВ таблице приведены значения σθθ = σθθ ∗∗ ближения на внешней границе трубы при r = a/h + δ · a(cos 2θ - 1)/2h; σθθ = (0) (0+1+2) σθθ - при учете второго приближения на внешней границе трубы = σθθ при r = a/h + δ · a(cos 2θ - 1)/2h + δ 2 · 3a(cos 4θ - 1)/16h, вычисленные с шагом 0.01 для величины сжатия δ при θ = π/2 для углеродистой стали [26] Значения тангенциального напряжения для трубы с эллиптическим внешним контуром [Values of tangential stresses for the tube with elliptic outer contour] δ, % 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 1.41 1.46 1.51 1.54 1.63 1.72 ´ ХН73МБТЮ (ЭИ698) [KHN73MBTYU (EI698) Alloy] 1.56 1.82 Углеродистая сталь [Carbon Steel] ∗ σθθ ∗∗ σθθ 1.0 1.0 ∗ σθθ ∗∗ σθθ 1.0 1.0 1.06 1.07 1.12 1.13 1.18 1.21 1.24 1.29 1.30 1.37 1.35 1.45 1.06 1.06 1.12 1.13 1.18 1.20 1.24 1.27 1.30 1.34 1.36 1.42 1.42 1.49 1.48 1.57 1.54 1.64 1.60 1.71 77 М о с к а л и к А. Д. a b Рис. 2. Радиальные напряжения для трубы с внешним эллиптическим контуром из угле(0) родистой стали (a) и сплава ХН73МБТЮ(ЭИ698) (b) при θ = π/2, δ = 0.04: 1 - σrr , 2 - (0+1) σrr (0+1+2) , 3 - σrr ´ [Figure 2. Radial stresses σrr for carbon steel (a) and KHN73MBTYU (EI698) Alloy (b) tube (0) (0+1) (0+1+2) with elliptic outer contour, when θ = π/2, δ = 0.04: 1 - σrr , 2 - σrr , 3 - σrr ] 78 Приближенное аналитическое решение задачи о трубе. . . a b Рис. 3. Тангенциальные напряжения для трубы с внешним эллиптическим контуром из (0) углеродистой стали (a) и сплава ХН73МБТЮ(ЭИ698) (b) при θ = π/2, δ = 0.04: 1 - σθθ , (0+1) 2 - σθθ (0+1+2) , 3 - σθθ ´ [Figure 3. Tangential stresses σθθ for carbon steel (a) and KHN73MBTYU (EI698) Alloy (b) (0) (0+1) (0+1+2) tube with elliptic outer contour, when θ = π/2, δ = 0.04: 1 - σθθ , 2 - σθθ , 3 - σθθ ] 79 М о с к а л и к А. Д. и жаропрочного сплава ХН73МБТЮ(ЭИ698) [27]. Графики на рис. 2 и 3 построены для радиальной и тангенциальной компонент (соответственно) тензора напряжений при δ = 0.04 и значении угла θ = π/2, соответствующего максимальным значениям тангенциального напряжения σθθ . Из данных, приведенных в таблице, можно сделать вывод, что при возрастании величины сжатия эллипса до 0.1 внешнего радиуса трубы тангенциальные напряжения в опасном сечении при θ = π/2 возрастают в 1.7-1.8 раза. Анализ графиков, представленных на рис. 2 и 3, позволяет сделать вывод о том, что решение задачи о трубе с эллиптическим внешним контуром имеет тенденцию к сходимости.

About the authors

Anna D Moskalik

Samara State Technical University

Email: annmoskalik1@gmail.com
Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files