On strong and weak discontinuities of the coupled thermomechanical field in micropolar thermoelastic type-II continua

Full Text

Вводные замечания. Исследование возможной волновой природы теплопередачи требует привлечения аппарата теории поля [2]. Впервые в полной мере теоретико-полевой подход к построению теории микрополярного континуума был применен в 1909 г. Э. и Ф. Коссера [3]. Впоследствии этот подход получил © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования М у р а ш к и н E. В., Р а д а е в Ю. Н. О сильных и слабых разрывах связанного термомеханического поля в термоупругих микрополярных континуумах второго типа // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 4 (37). С. 85-97. doi: 10.14498/vsgtu1331. ∗ Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). 85 М у р а ш к и н E. В., Р а д а е в Ю. Н. развитие в работе [4]. В монографии [2], терминология и обозначения которой будут использоваться в дальнейшем, развивается вариационный подход к исследованию динамических процессов в связанных микрополярных термоупругих континуумах, основанный на функционале действия. Привлечение подобного формализма при построении математических теорий неизотермического поведения континуумов объясняется невозможностью в рамках классической теории упругости (и пьезоэлектроупругости) объяснить, например, аномальный пьезоэффект в кварце, дисперсию упругих волн, эффект вто” рого звука“, а также ряд других экспериментально наблюдаемых упругих свойств чистых кристаллов. В настоящее время быстро развиваются математические модели термоупругого поведения твердых тел (GN-термоупругость), основанные на различных модификациях закона теплопроводности Фурье. При этом ставится цель получения связанных гиперболических уравнений термоупругости, которые гарантировали бы выполнение следующих условий: 1) конечность скорости распространения теплового сигнала; 2) возможность пространственного распространения теплового импульса без затухания; 3) отсутствие искажения волны в смысле получения решений классического даламберовского типа с сохраняющимся профилем. Одно из таких направлений связано с публикациями [5, 6]. 1. Функционал действия. Формализм теории поля предполагает использование для математического описания физических полей интегрального функционала действия. Для 4-пространства-времени с элементарным объемом d4 X = dX 1 dX 2 dX 3 dX 4 общую форму действия примем в форме = L(X β , ϕk , ∂α ϕk )d4 X, (1) где ϕk - массив физических полей, ∂α - оператор полного дифференцирования по пространственно-временной координате X α , α = 1, 2, 3, 4. Принцип наименьшего действия устанавливает, что действительное поле реализуется в 4-пространстве-времени таким образом, что действие (1) оказывается экстремальным, т.е. для всех допустимых вариаций физических полей ϕk и неварьируемых координат X α имеем δ = 0. Из принципа наименьшего действия получаются классические уравнения Эйлера-Лагранжа Ek (L) = ∂L ∂L - ∂α = 0. k ∂ϕ ∂(∂α ϕk ) В теории поля любой закон сохранения имеет вид ∂β J β = 0, где вектор J β называется вектором тока. Для него в конечных вариациях можно получить Jβ = 86 ∂L ∂L β δ ϕk + Lδα - (∂α ϕk ) δ X α. k) ∂(∂β ϕ ∂(∂β ϕk ) О сильных и слабых разрывах связанного термомеханического поля. . . Вариацию действия, отвечающую конечным вариациям пространственновременных координат и физических полей, можно представить в форме [2] δ (∂β J β )d4 X. = (2) Будем предполагать, что при переходе через некоторую двустороннюю поверхность Σ± , распространяющуюся в пространстве с нормальной скоростью G, с 4-вектором нормали Nβ в 4-пространстве-времени термоупругое поле непрерывно, а его первые градиенты по пространственно-временным переменным могут быть разрывными. Квадратными скобками будем обозначать скачки заключенных в них величин при переходе через поверхность Σ. 2. Условия совместности сильных разрывов. В формуле (2) заменим интеграл по 4-объёму на сумму поверхностных. Закрепляя вариации δϕk и δX β на внешней границе поля, можно сохранить лишь два поверхностных интеграла по дважды проходимой поверхности Σ: δ J β Nβ dΣ - = Σ+ Σ- J β Nβ dΣ. (3) Поскольку для действительного поля δ = 0, а вариации δϕk и δX β непрерывны при переходе через поверхность Σ, из уравнения (3) получаются следующие 4-ковариантные соотношения совместности сильных разрывов поля: Nβ - ∂L = 0, ∂(∂β ϕk ) β Nβ Lδα - (∂α ϕk ) ∂L = 0. ∂(∂β ϕk ) (4) Видно, что в уравнениях совместности (4) на поверхности сильного разрыва присутствуют скачки 4-тензора Пиола-Кирхгофа и 4-тензора энергииимпульса поля β· S ·k = - 4 ∂L , ∂(∂β ϕk ) β· β T·α = Lδα - (∂α ϕk ) ∂L . ∂(∂β ϕk ) Трехмерные формы условий на поверхности сильного разрыва поля находятся из полученной ковариантной четырехмерной формы: µ· 4· -G T·4 + nµ T·4 = 0, µ· 4· -G T·λ + nµ T·λ = 0, -G[S 4· ] + nµ [S µ· ] = 0, ·k ·k 4 λ, µ = 1, 2, 3; (5) µ = 1, 2, 3, 4 где nµ - единичный вектор 3-нормали. Условия совместности сильных разрывов дополняются известными [7] геометрическими и кинематическими условиями совместности Адамара-Томаса второго и первого порядка, справедливыми для произвольного поля ϕk и восходящими к Ренкину и Гюгонио [8, 9]: [∂i ∂j ϕk ] = C k ni nj + g αβ ∂α B k (ni ∂β xj + nj ∂β xi ) - g αβ g στ B k bασ ∂β xi ∂τ xj , [∂i ∂4 ϕk ] = (-C k G + δ4 B k )ni + g αβ ∂α (B k G)∂β xi , 87 М у р а ш к и н E. В., Р а д а е в Ю. Н. [∂4 ∂4 ϕk ] = (C k G - δ4 B k )G + B k δ4 G, [∂4 ϕk ] = -B k G, [∂i ϕk ] = B k ni , где i, j = 1, 2, 3; α, β, τ, σ = 1, 2); штрихом обозначены греческие индексы, относящиеся к поверхностным координатам; C k = [∂i ∂j ϕk ]ni nj ; g αβ и bαβ - компоненты первой и второй фундаментальной формы волновой поверхности соответственно; δ4 - оператор δ-дифференцирования. 3. Действия и условия на разрывах для MPTE-II континуума. Термодинамически корректной теорией, удовлетворяющей перечисленным в первом разделе работы условиям, является теория GNII; в этом случае действие с учетом микроструктуры можно принять в форме [2] L(X α , xj , dj , ϑ, ∂4 xj , ∂4 dj , ∂4 ϑ, ∂β xj , ∂β dj , ∂β ϑ)dX 1 dX 2 dX 3 dX 4 . = a a a Xα Здесь (α = 1, 2, 3) - лагранжевы координаты; xj (j = 1, 2, 3) - эйлеровы координаты; dj (a = 1, 2, 3) - директоры, связанные с микрообъемом; ϑ - a температурное смещение. Плотность действия (1) зададим в форме ab 1 1 L = ρR gkj ∂4 xk ∂4 xj + ρR gij I ∂4 di ∂4 dj - 2 2 a b - ψ(X α , xj , dj , ϑ, ∂4 ϑ, ∂α xj , ∂α dj , ∂α ϑ). a a ab Здесь I - тензор микроинерции, ρR - референциальная плотность, gij - метрический тензор пространства, ψ - плотность свободной энергии Гельмгольца. Уравнения поля в этом случае принимают следующий вид: ∂L , α = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3; ∂xj a a a ∂α Mα· + Aj - ∂4 (Qj ) = 0, a = 1, 2, 3; α = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3; ·j α + ∂ s = ∂L , ∂α jR α = 1, 2, 3 4 ∂ϑ α· ∂α S·j - ∂4 Pj = - и дополняются определяющими уравнениями a ∂L ∂L , Mα· = - , ·j ∂(∂α xj ) ∂(∂α dj ) a a ∂L ∂L , , Pj = Qj = ∂(∂4 xj ) ∂(∂4 dj ) a ∂L ∂L α = s= , jR . ∂(∂4 ϑ) ∂(∂α ϑ) α· S·j = - a Aj = ∂L , ∂ dj a Условия совместности на поверхности сильного разрыва поля в MPTE-II 88 О сильных и слабых разрывах связанного термомеханического поля. . . континууме, согласно (5), записываются в такой форме: a a µ µ· -G[L - Pl ∂4 xl - Ql ∂4 dl - s∂4 ϑ] + nµ [S·l ∂4 xl + Mµ· ∂4 dl - jR ∂4 ϑ] = 0, ·l a a a a µ µ µ· G[Pl ∂λ xl + Ql ∂λ dl + s∂λ ϑ] + nµ [Lδλ + S·l ∂λ xl + Mµ· ∂λ dl - jR ∂λ ϑ] = 0, ·l a a GρR gkl [∂4 G[s] = xk ] = µ nµ [jR ], µ· nµ [S·l ], ab k] GρR gkl I [∂4 d a = a nµ [Mµ· ], ·l l, λ, µ = 1, 2, 3. 4. Основные уравнения линейного MPTE-II континуума. Воспользуемся линейной моделью термоупругого микрополярного континуума второго типа (см., например [2, 6]). В этом случае векторы перемещений u и микровращений φ связаны с несимметричным тензором деформации e и тензором изгиба-кручения Γ соотношениями e= ⊗ u - · φ, Γ= ⊗ φ, где - кососимметричный тензор Леви-Чивита третьего ранга, - трехмерный оператор Гамильтона (набла Гамильтона). Несимметричный тензор силовых напряжений σ и тензор моментных напряжений m вычисляются согласно определяющему закону термоупругости σ = (µ + η)e + (µ - η)eT + (λ tr e - αθ)I, m = (γ + ε)Γ + (γ - ε)ΓT + (β tr Γ - ςθ)I. (6) Здесь I - единичный тензор; λ, µ, η, γ, β, ε - изотермические определяющие постоянные микрополярной термоупругой среды первого типа; α, ς - определяющие постоянные, обеспечивающие связанность уравнений движения и теплопроводности. Постоянные α, ς зависят не только от механических, но и от термических свойств среды. Уравнения движения микрополярной среды запишем в предположении отсутствия массовых сил и массовых моментов: · σ = ρ¨ , u · ·σ + ¨ · m = Jφ, (7) где ρ - плотность среды, J - мера микроинерции среды при вращении, точка над символом обозначает частное дифференцирование по времени при фиксированных пространственных координатах. Уравнения движения (7) следует дополнить уравнением теплопроводности. Его нетрудно получить, воспользовавшись законом распространения тепла. Теория Грина-Нахди второго типа [5, 6] устанавливает пропорциональ˙ ность вектора скорости потока тепла h и отрицательного градиента температуры θ: ˙ h = -Λ θ, где Λ - постоянная скорости теплопроводности, Λ > 0. В рамках гиперболической термоупругости преодолевается присущий теории теплопередачи Фурье парадокс о бесконечной скорости распространения тепла. Если подставить напряжения σ и m из формул (6) в уравнения движения (7) и выразить тензоры Γ и e через перемещения u и микровращения φ, то 89 М у р а ш к и н E. В., Р а д а е в Ю. Н. получим замкнутую систему связанных уравнений движения и теплопроводности для линейного изотропного центральносимметричного микрополярного термоупругого тела второго типа при условии отсутствия массовых сил, моментов и источников тепла:  · u + (µ + η) 2 u + 2η × φ - α θ - ρ¨ = 0, u  (λ + µ - η)  ¨ (β + γ - ε) · φ + (γ + ε) 2 φ - 4ηφ + 2η × u - ς θ - Jφ = 0, (8)  2 κ ¨ αθ0 ςθ0  ¨ ¨ θ- θ- ·u- · φ = 0. Λ Λ Λ Здесь 2 = · - трехмерный оператор Лапласа, θ - приращение температуры над отсчетной температурой, θ0 - отсчетная температура, Λ - коэффициент теплопроводности (коэффициент термической диффузии), κ - теплоемкость (на единицу объема) при постоянной деформации. Отметим, что система дифференциальных уравнений в частных производных (8) содержит частные производные третьего порядка от перемещений и микровращений. Можно получить более симметричную форму уравнений, если ввести вместо θ температуры температурное смещение ϑ: ˙ ϑ = θ. В результате замены переменных получим  · u + (µ + η)  (λ + µ - η)  (β + γ - ε) · φ + (γ + ε)  2 ςθ0 κ ¨ αθ0  ˙ ·u- ϑ- ϑ- Λ Λ Λ ˙ u + 2η × φ - α ϑ - ρ¨ = 0, u ˙ ¨ φ - 4ηφ + 2η × u - ς ϑ - Jφ = 0, ˙ · φ = 0. 2 2 (9) В этом представлении уравнения связанной гиперболической микрополярной термоупругости второго типа содержат частные производные не выше второго порядка. Как указывалось выше, отличные от нуля определяющие постоянные α, ς обеспечивают связанность уравнений микрополярной термоупругости. Обычно считается, что ς = 0 [10]. Ради полноты анализа мы сохраним эту определяющую постоянную во всех дальнейших рассуждениях. Скалярное уравнение в системе (9) называется обобщенным гиперболическим уравнением теплопроводности, сопряженным с уравнениями движения (первое и второе уравнения в системе (9)). 5. Слабые разрывы термомеханических полей в MPTE-II континууме. Исследуем сначала закономерности распространения слабых разрывов перемещений u, микровращений φ и температурного смещения ϑ в термоупругом микрополярном континууме второго типа. Отметим, что система дифференциальных уравнений в частных производных (9) содержит частные производные не выше второго порядка. Пусть в трехмерном пространстве с нормальной скоростью G распространяется фронт (волновая поверхность) слабых разрывов перемещений u, микровращений φ и температурного смещения ϑ. Обозначим через n единичный вектор нормали к указанной волновой поверхности. Тогда геометрические и кинематические условия совместности второго 90 О сильных и слабых разрывах связанного термомеханического поля. . . порядка Адамара-Томаса [7] будут иметь вид [ ⊗ ⊗ u] = n ⊗ n ⊗ A, ˙ [ ⊗ u] = -Gn ⊗ A, ¨ [ u ] = G2 A, [ ⊗ ϑ] = Bn ⊗ n, ˙ ⊗ ϑ = -GBn, [ ⊗ ⊗ φ] = n ⊗ n ⊗ S, ˙ [ ⊗ φ] = -Gn ⊗ S, ¨ = G2 S, [φ] ¨ [ϑ] = G2 B, (10) где квадратные скобки обозначают скачок при переходе через поверхность слабого разрыва. B, A, S - некоторые поля, определенные на этой поверхности, причем равенства B = 0, A = 0, S = 0 не могут выполняться одновременно ни в какой точке поверхности, если рассматриваемая поверхность действительно является поверхностью слабого разрыва. Уравнения (9) вместе с (10) дают следующие соотношения, связывающие скачки частных производных второго порядка от перемещений u, микровращений φ и температурного смещения ϑ при переходе через волновую поверхность:  2  (ρG - (µ + η))A - (λ + µ - η)n(n · A) - αGBn = 0,  (JG2 - (γ + ε))S - (β + γ - ε)n(n · S) - ςGBn = 0, (11)   B - κ G2 B + αG n · A + ςG n · S = 0. Λ Λ Λ Разложим векторы поляризации слабых разрывов на сумму проекций на касательное τ и нормальное n направления к волновой поверхности: A = A⊥ τ + A n, A⊥ = A · τ , S = S⊥ τ + S n, A = A · n, S⊥ = S · τ , S = S · n. (12) Тогда, учитывая (12), система (11) преобразуется к следующему виду:   (ρG2 - (µ + η))(A⊥ τ + A n) - (λ + µ - η)A n - αGBn = 0,    (JG2 - (γ + ε))(S⊥ τ + S n) - (β + γ - ε)S n - ςGBn = 0, (13)    B - κ G2 B + αG A + ςG S = 0.  Λ Λ Λ Первые два уравнения системы (13) будут справедливы только в случае выполнения следующих условий: (ρG2 - (µ + η))A⊥ = 0, (JG2 - (γ + ε))S⊥ = 0, (ρG2 - (λ + 2µ))A - αGB = 0, (JG2 - (γ + 2β))S - ςGB = 0. (14) Обратим внимание на то обстоятельство, что слабые разрывы температурного смещения никак не связаны с касательными проекциями векторов поляризации слабых разрывов A⊥ и S⊥ , что означает возможность распространения поперечных волн в MPTE-II континууме при отсутствии слабых разрывов температурного смещения, как и в аналогичных случаях для MPTE-I континуума [10]. При этом скорости распространения таких волновых поверхностей совпадают со скоростями распространения поперечных волн в MPTE-I континуумe [10, 11]. 91 М у р а ш к и н E. В., Р а д а е в Ю. Н. Анализ системы уравнений (15) показывает, что распространение продольных волн в MPTE-II континууме возможно в следующих четырех случаях: I случай - A⊥ = 0, S⊥ = 0; II случай - A⊥ = 0, S⊥ = 0; III случай - A⊥ = 0, S⊥ = 0; IV случай - A⊥ = 0, S⊥ = 0. В первом случае при наличии слабого разрыва трансляционных перемещений A⊥ = 0 выполнение первого уравнения в системе (14) возможно только на поверхности слабого разрыва, распространяющейся с нормальной скоростью G = cµ , ⊥ где cµ = ⊥ µ+η . ρ Заметим, что при равенстве нулю определяющей микрополярной постоянной η скорость G в точности совпадет со скоростью чисто упругой поперечной волны c⊥ = µ/ρ. Во втором случае S⊥ = 0, третье уравнение системы (14) позволяет определить скорость распространения слабого разрыва микровращений G = cµµ , ⊥ где cµµ = ⊥ γ+ε . J В случае одновременного выполнения условий A⊥ = 0 и S⊥ = 0 множители при A⊥ и S⊥ не могут одновременно обращаться в нуль, если cµ = cµµ . ⊥ ⊥ Если континуум допускает совпадение скоростей поперечных волн cµ = cµµ , ⊥ ⊥ то скорость распространения волновой поверхности оказывается равной G = cµ = cµµ . ⊥ ⊥ В четвертом случае распротранение волновой поверхности в MPTE-II континууме возможно только при наличии ненулевых нормальных составляющих векторов поляризации слабых разрывов. Проанализируем распространение волновых поверхностей слабых разрывов в MPTE-II континууме в отсутствие касательных составляющих векторов поляризации разрывов A и S. Для анализа воспользуемся системой линейных уравнений   ρG2 - (λ + 2µ) A - αGB = 0,    JG2 - (γ + 2β) S - ςGB = 0, (15)   ςG αG  -2 2  1-l G B+ A + S = 0, Λ Λ 92 О сильных и слабых разрывах связанного термомеханического поля. . . где введено обозначение l-2 = κ/Λ. Отметим, что при отсутствии нормальных проекций векторов поляризации слабых разрывов трансляционных перемещений и микровращений распротранение поверхности слабого разрыва температурного смещения невозможно в силу второго и четвертого уравнений системы (14). Анализ системы уравнений (15) показывает, что распространение продольных волн в MPTE-II континууме возможно в двух следующих случаях: I случай - A = 0, S = 0, B = 0; II случай - A = 0, S = 0, B = 0. Рассмотрим первый случай распространения поверхностей слабых разрывов трансляционных перемещений, микровращений и температурного смещения в MPTE-II континууме. Выразим из первых двух уравнений системы (15) нормальные проекции векторов поляризации разрывов и поставим результат в третье уравнение. Тогда, предполагая, что на волновой поверхности имеется слабый разрыв температурного смещения (B = 0), получим уравнение для скорости распространения волновой поверхность вдоль нормали n: 1 - l-2 G2 + s2 G 2 s 2 G2 µ + = 0, 2 - c2 2 - cµµ2 G G (16) Здесь приняты обозначения для скоростей продольных волн: cµµ = β + 2γ , J λ + 2µ ; ρ c = для постоянных, характеризующих связанность механических и тепловых эффектов, α2 ς2 s2 = , s2 = . µ ρΛ ρΛ Проведя несложные преобразования уравнения (16), можно получить бикубическое уравнение для определения скорости распространения поверхности слабых разрывов трансляционных перемещений, микровращений и температурного смещения: cµµ2 cµµ2 c2 G2 cµµ2 c2 c2 G4 G6 - s2 2 + s2 2 4 - s2 + s2 + 2 + 2 2 - 2 2 = 0. µ µ l6 l l l l l l l l (17) Введем следующие обозначения для упрощения анализа корней уравнения (17): 2 a4 = s cµµ2 l2 + c2 2 sµ 2 , l 2 a2 = s + s2 µ cµµ2 + l2 cµµ2 c2 c2 + l2 , a0 = l2 l2 . В итоге получим более компактную форму уравнения (16): G6 G4 G2 - a4 4 - a2 2 - a0 = 0. l6 l l 93 М у р а ш к и н E. В., Р а д а е в Ю. Н. Заменой G2 a4 =Y + l2 3 можно свести бикубическое уравнение (17) к неполному кубическому уравнению Y 3 + pY + q = 0, (18) где коэффициенты уравнения p и q определяются формулами p = - a2 + a2 4 , 3 q=- 2 3 1 a + a2 a4 + a0 . 27 4 9 Решение неполного кубического уравнения (18) можно найти согласно формулам Кардано. Приведем указанное решение в канонической алгебраической форме √ 3 1 (a - b), (19) Y1 = a + b, Y2,3 = - (a + b) ± i 2 2 где q √ q √ q2 p3 a = 3 - + D, b = 3 - - D, D = + . 2 2 4 27 В случае D > 0 уравнение будет иметь один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня, определяемых формулами (19). Вещественное положительное значение нормальной скорости G распространения волновой поверхности будет определятся формулой G = l Y1 + a4 . 3 Во втором случае множители при A и S должны одновременно обращаться в нуль, что невозможно, если c = cµµ . Ясно, что при этом рассматриваемая поверхность не будет волновой. Если континуум можно охарактеризовать определяющим равенством c = cµµ , то волновая поверхность будет волной, распространяющейся со скоростью G = c = cµµ , а нормальные проекции векторов поляризации разрывов, согласно третьему уравнению в системе (15), должны удовлетворять соотношению S α =- . ς A Отметим, что распространение продольных волн в MPTE-II континуумах возможно только при одновременном выполнении условий A = 0 и S = 0. В отличие от GNII/CTE возможен случай распространения таких возмущений в отсутствие слабого разрыва температурного смещения. 94 О сильных и слабых разрывах связанного термомеханического поля. . .

About the authors

Evgenii V Murashkin

A. Ishlinsky Institite for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences

Email: murashkin@ipmnet.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; murashkin@ipmnet.ru), Researcher, Lab. of Modeling in Solid Michanics 101, pr. Vernadskogo, Moscow, 119526, Russian Federation

Yuri N Radayev

A. Ishlinsky Institite for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences

Email: radayev@ipmnet.ru
Dr. Phys. & Math. Sci.; radayev@ipmnet.ru; Corresponding Author, Leader Researcher, Lab. of Modeling in Solid Michanics 101, pr. Vernadskogo, Moscow, 119526, Russian Federation

References

Supplementary files