The method of solution of the elastic-plastic boundary value problem of tension of strip with stress raisers with allowance for local domains of softening plasticity of material

Full Text

Метод решения краевой упругопластической задачи . . . Введение. Повышение несущей способности деталей и элементов конструкций при минимизации их материалоёмкости достигается, в том числе, более полным использованием ресурса материалов, который зачастую определяется их разупрочнением и процессами, связанными с накоплением повреждённости. Поэтому классические способы оценки прочности элементов конструкций из упругопластических материалов, ориентированные на определение напряжённо-деформированного состояния в наиболее нагруженных участках с последующей критериальной оценкой состояния материалов в этих областях, не могут учесть все внутренние ресурсы конструкции с зонами пластического разупрочнения. С точки зрения живучести элементов конструкций важным явлением механического поведения среды является закритическая стадия деформирования (стадия разупрочнения). Поэтому вопросы экспериментального [1-9 и др.] и теоретического [10-17 и др.] исследований закономерностей закритического неупругого деформирования в настоящее время привлекают повышенное внимание с целью более точного прогнозирования процессов разрушения и использования деформационных резервов материалов. Однако методы решения краевых задач для конструкций из пластически разупрочняющихся материалов предложены лишь в простейших случаях (растяжение, кручение, изгиб) [10-12, 15-17], поэтому, по всей видимости, отсутствует и соответствующее программное обеспечение даже в широко известных специализированных вычислительных комплексах для прочностных расчётов. В настоящей работе излагается способ решения краевых задач для растягиваемых пластин из пластически разупрочняющегося материала с концентраторами напряжений. 1. Метод решения краевой задачи пластического разупрочнения на основе концепции эквивалентной неповреждённой среды. Предлагается вариант решения связанной задачи неупругого деформирования твёрдого тела из пластически разупрочняющегося (вследствие накопления повреждённости) материала; суть данного метода состоит в следующем. На макроуровне разупрочняющейся реальной среде, описываемой при помощи тензора номиналь0 ных напряжений σij , ставится в соответствие псевдонеповреждённая среда, 0 где вместо классических переменных σij используются эффективные (истинные) напряжения σij . Определение эффективных переменных состояния основано на принципе эквивалентных деформаций [18-20]. В соответствии с [17] приведённое (истинное) напряжение σij связанно с обычным (номинальным 0 напряжением) σij зависимостью: 0 σij = σij (1 + ω) , p m ω = γ (E ) ˙ σij ep , ˙ ij (1) (2) где ω - параметр повреждённости; E p - интенсивность пластических деформаций; γ, m - параметры степенной аппроксимации; ep - компоненты тенij зора пластических деформаций; по повторяющимся индексам (i, j = 1, 2, 3) 99 Р а д ч е н к о В. П., Г о р б у н о в С. В. производится суммирование. Тогда уравнения равновесия для повреждённой среды 0 σij ,j + Xi = 0, i, j = 1, 2, 3, где Xi - объёмные силы, могут быть преобразованы к уравнениям равновесия для псевдонеповреждённой среды σij ,j - Yi = 0, i, j = 1, 2, 3, (3) где Yi - приведённые объёмные силы, которые имеют вид Yi = σij ω,j + Xi (1 + ω) . 1+ω (4) Таким образом, (3) и (4) являются уравнениями равновесия для эквивалентной среды без повреждений. Определение параметров γ и m в степенной аппроксимации осуществляется на основе одноосной модели, которая имеет вид (при σпр = 0, σпр - предел упругости) [17] σ + ep ; E λ (a(σ(t))n - ep (t)) , a(σ(t))n > ep (t), ep (t) = ˙ 0, a(σ(t))n ep (t); ε= σ(t) = σ 0 (1 + ω(t)) ; ω(t) = γ (ep (t))m σ(t)ep (t); ˙ ˙ p e (0) = 0, ω(0) = 0. (5) Здесь ε - полная деформация, ep - деформация пластичности, σ 0 , σ - номинальное и истинное напряжения (соответственно), ω - скалярный параметр повреждённости, E - модуль упругости, a, n, λ, γ, m - константы модели, t - параметр нагружения (внутреннее время). Отметим, что соотношения (5) в координатах σ 0 ∼ ε описывают полную диаграмму деформирования с учётом ниспадающей ветви, а в координатах σ ∼ ε диаграмма деформирования является строго монотонно возрастающей. Поэтому предлагается вести упругопластический расчёт в истинных напряжениях, используя любую теорию пластичности для упрочняющегося материала, а пересчёт напряжённо-деформированного состояния для номи0 нальных напряжений σij осуществлять на основе соотношений (1), (2). Другими словами, с помощью диаграммы σ ∼ ε задаются свойства материала в конечно-элементом пакете, в котором рассчитываются тензоры деформаций ep и напряжений σij условно неповреждённой конструкции, а тензор ij 0 напряжений σij реальной конструкции вычисляется следующим образом: 0 σij = σij , 1+ω параметр повреждённости ω определяется из соотношения (2). 100 (6) Метод решения краевой упругопластической задачи . . . 2. Численное решение и экспериментальная проверка метода. В качестве примера применения предложенного метода на практике решена задача об одноосном равномерном растяжении плоских прямоугольных пластин, ослабленных концентраторами напряжений: центральным круговым отверстием и полукруговыми вырезами. Соответствующие экспериментальные данные для образцов с концентраторами из технического алюминия АД1, изготовленных по ГОСТ 1497-84, были получены на машине Instron 5988 в лаборатории кафедры «Механика» СамГТУ. Фотографии образцов до и после растяжений представлены на рис. 1. Также были проведены испытания сплошного плоского образца, по их результатам построена экспериментальная кривая одноосного упругопластического деформирования материала (штрихпунктирная линия на рис. 2), на основании которой для модели (5) получены теоретические диаграммы одноосного деформирования в координатах σ ∼ ε и σ 0 ∼ ε (рис. 2). Параметры модели для описания упругопластической деформации сплава АД1 при T = 20 ℃ приведены ниже: E = 1.37 · 104 МПа; σпр = 55 МПа, n = 6.89; a = 2.09 · 10-15 (МПа)-n ; γ = 5.22 · 109 (МПа)-1 ; m = 14.33. Решение соответствующих краевых задач для пластин с концентраторами осуществлялось в программной системе конечно-элементного анализа Ansys на вычислительном кластере «Наука» СамГТУ. Упругие свойства рассматриваемого материала задавались посредством модуля Юнга E и коэффициента Пуассона µ = 0.3, пластическое поведение характеризовалось значениями логарифмических деформаций и истинных напряжений в модели не зависящего от скорости деформирования мультилинейного изотропного упрочнения с условием текучести Мизеса. Для построения сетки был выбран конечный элемент Solid183 для режима плоского напряжённого состояния с учётом толщины. В силу наличия у моделируемых образцов двух осей симметрии при решении задачи рассматривались только отсекаемые ими четвертины пластин. Их геометрия, а также схемы задания кинематических и силовых граничных условий представлены на рис. 3. На основе полученных в результате расчёта полей пластических деформаций и истинных напряжений по соотношениям (2), (6) были восстановлены поля номинальных напряжений реальной конструкции. Для этих целей на языке APDL (Ansys Parametric Design Language) была написана подпрограмма, в которой уравнение (2) решалось численно методом Эйлера. На торце S пластины, к которому приложены растягивающие усилия, по найденным номинальным напряжениям вычислялась обобщённая нагрузка 0 σy dS Q= S и строилась зависимость её от величины перемещений u этого торца в направлении оси y. Полученные расчётные диаграммы «обобщённое перемещение - осевая сила» проведены на рис. 4 (а), 5 (а) сплошными линиями, а штриховыми там же нанесены результаты эксперимента, точками отмечены моменты нагружения, для которых на рис. 4 (b1-b6 ), 5 (b1-b6 ) построены поля номинальных напряжений, а на рис. 4 (c1-c6 ), 5 (c1-c6 ) - зоны закритического деформирования для выделенных на схемах пластин (рис. 3) областей А и B. Вне их не было найдено конечных элементов, для которых 101 Р а д ч е н к о В. П., Г о р б у н о в С. В. Рис. 1. Фотографии образцов до и после испытаний [Figure 1. Photographs of the test specimens before and after mechanical testing] Рис. 2. Кривые упругопластического деформирования сплава АД1 при T = 20 ℃: расчётные в номинальных (сплошная линия) и истинных (штриховая линия) напряжениях, экспериментальная (штрих-пунктирная линия) [Figure 2. Elastic-plastic stress-strain curves for AD1 aluminum alloy at T = 20 ℃: calculated in engineering stress (continuous line) and true stress (dashed line), experimental (dot-and-dash line)] Рис. 3. Схемы образцов [Figure 3. Sketches of the test specimens] 102 Метод решения краевой упругопластической задачи . . . а b1 b3 c1 b4 c2 b2 b5 c3 c4 b6 c5 c6 Рис. 4. Расчётная (сплошная линия) и экспериментальная (штриховая линия) диаграммы «обобщённое перемещение - обобщённая нагрузка» для образца с центральным круговым 0 отверстием (а), моментам нагружения 1-6 отвечают поля номинальных напряжений σy (b1-b6, соответственно) и области пластического разупрочнения материала (c1-c6, соответственно) [Figure 4. Calculated (continuous line) and experimental (dashed line) curves “total displacement - axial force” for the specimen with centric circular hole (а); engineering 0 stress σy fields (b1-b6 ) and softening plasticity domains (c1-c6 ) correspond to the moments of loading 1-6 on the calculated curve respectively] 103 Р а д ч е н к о В. П., Г о р б у н о в С. В. а b1 b3 c1 b4 c2 b2 b5 c3 c4 b6 c5 c6 Рис. 5. Расчётная (сплошная линия) и экспериментальная (штриховая линия) диаграммы «обобщённое перемещение - обобщённая нагрузка» для образца с полукруговыми выреза0 ми (а), моментам нагружения 1-6 отвечают поля номинальных напряжений σy (b1-b6, соответственно) и области пластического разупрочнения материала (c1-c6, соответственно) [Figure 5. Calculated (continuous line) and experimental (dashed line) curves “total displacement - axial force” for the specimen with semicircular notches (а); engineering 0 stress σy fields (b1-b6 ) and softening plasticity domains (c1-c6 ) correspond to the moments of loading 1-6 on the calculated curve respectively] 104 Метод решения краевой упругопластической задачи . . . Рис. 6. Расчётные (сплошные линии) кривые зависимости интенсивности тензора номинальных напряжений от интенсивности тензора полных деформаций в точках пластины с центральным круговым отверстием и экспериментальная (штриховая линия) диаграмма одноосного упругопластического деформирования сплава АД1 при T = 20 ℃ (пояснения в тексте) [Figure 6. Calculated (continuous lines) curves of dependency between engineering stress tensor intensity and total strain tensor intensity at points of the plate with centric circular hole and experimental (dashed line) uniaxial elastic-plastic stress-strain curve for AD1 aluminum alloy at T = 20 ℃] Рис. 7. Расчётные (сплошные линии) кривые зависимости интенсивности тензора номинальных напряжений от интенсивности тензора полных деформаций в точках пластины с полукруговыми вырезами и экспериментальная (штриховая линия) диаграмма одноосного упругопластического деформирования сплава АД1 при T = 20 ℃ (пояснения в тексте) [Figure 7. Calculated (continuous lines) curves of dependency between engineering stress tensor intensity and total strain tensor intensity at points of the plate with semicircular notches and experimental (dashed line) uniaxial elastic-plastic stress-strain curve for AD1 aluminum alloy at T = 20 ℃] 105 Р а д ч е н к о В. П., Г о р б у н о в С. В. 0 диаграмма зависимости интенсивности тензора номинальных напряжений σi от интенсивности тензора полных деформаций εi имела бы соответствующий разупрочнению материала ниспадающий участок. На рис. 6, 7 упомянутая 0 связь σi (εi ) в нескольких обозначенных там же на схемах пластин точках представлена графически сплошными линиями, штриховыми же для сравнения приведены результаты одноосного эксперимента. Расчётные кривые зависимости интенсивностей напряжений и деформаций в силу однородности материала накладываются друг на друга, и каждая из них обрывается в момент нагружения, соответствующий последней сходящейся итерации численного решения методом конечных элементов (метка 6 на рис. 4 (а), 5 (а)). Точки обрыва подписаны так же, как они обозначены на схемах пластин. Выводы. Получена удовлетворительная корреляция расчётных и опытных данных зависимости «обобщённое перемещение - осевая сила» (рис. 4 (а), 5 (а)), а их незначительные расхождения могут быть следствием систематических ошибок как в методике эксперимента, так и в процедуре расчёта. Для выявления причин такого несоответствия необходимо проведение дополнительных испытаний реальных образцов. Несмотря на этот изъян, в работе показана возможность решения краевой задачи упругопластического деформирования в случае сложного напряжённого состояния с определением зон разупрочнения материала. Исходными данными при этом являются лишь одноосные диаграммы деформирования. На примере конкретных задач о растяжении ослабленных отверстием и вырезами пластин установлено, что в момент, предшествующий их разрушению, в области концентрации напряжений реализуется закритическая стадия деформирования (в окрестности вершины 0 концентратора интенсивность номинальных напряжений σi стремится к нулю при увеличении растягивающей силы), в то время как диаграмма «обобщённое перемещение - осевая нагрузка» соответствует стадии пластического упрочнения материала. Следует отметить, что аналогичный подход был применён к решению задачи о растяжении стержня кругового сечения с концентраторами типа выточек в [21], но там связь между эффективными и истинными напряжениями использована в форме Работнова-Качанова.

About the authors

Vladimir P Radchenko

Samara State Technical University

Email: radch@samgtu.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; radch@samgtu.ru; Corresponding Author), Head of Department, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Sergey V Gorbunov

Samara State Technical University

Email: 0gorbunov0@gmail.com
Assistant, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files