The uniqueness of solution in the small sense of tasks of equally-stressed reinforcement of composite metal plates in conditions of steady-state creep

Full Text

Введение. При создании изделий из композиционных материалов на этапе их проектирования целесообразно осуществлять оптимизацию не только их формы, но и структуры армирования [1]. Одним из естественных критериев рационального армирования (оптимизации по физическому критерию) композитных конструкций служит требование равнонапряженности волокон вдоль их траекторий, что позволяет наиболее полно использовать несущую способность высокопрочной и жесткой арматуры [1, 2 и др.]. При длительном стационарном термосиловом нагружении большую часть времени конструкции из металлокомпозитов, которые в последнее время находят все большее © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования Я н к о в с к и й А. П. Единственность решения в малом задачи равнонапряженного армирования металлокомпозитных пластин, работающих в условиях установившейся ползучести // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 4 (37). С. 121-132. doi: 10.14498/vsgtu1346. 121 Я н к о в с к и й А. П. применение в инженерной практике, работают в условиях установившейся ползучести [3], поэтому актуальной является проблема определения структур равнонапряженного армирования (РА) тонкостенных металлокомпозитных конструкций, работающих в условиях установившейся ползучести всех фаз композиции. Постановка задачи РА металлокомпозитных пластин, нагруженных в своей плоскости, армированных волокнами (проволоками) постоянного поперечного сечения и работающих в условиях установившейся ползучести, приведена в [4], а для поперечно изгибаемых пластин в [5]. Однако, как показано в [4-8], такие задачи РА с математической точки зрения обладают рядом специфических особенностей: 1) являются задачами с сингулярным возмущением [6, 8]; 2) в силу существенной нелинейности (как обратные задачи механики композитов) могут иметь несколько альтернативных решений [6-9]. Эти особенности предъявляют повышенные требования к исследованию вопросов, связанных с корректностью задач РА, а также к разработке методов их интегрирования, позволяющих надежно выделять конкретное решение из возможной их совокупности. Проблема корректности постановки краевых задач (в частности, вопросы, связанные с существованием и единственностью решения) актуальна не только для механики композитов, но и для механики деформируемого твердого тела в целом [1, 10 и др.], а также для физики [11, 12] и других естественнонаучных дисциплин [13, 14]. В связи с этим настоящее исследование посвящено изучению проблемы единственности решения задач РА металлокомпозитных пластин, работающих в условиях установившейся ползучести. 1. Система разрешающих уравнений и граничные условия в плоской задаче РА при установившейся ползучести фаз композиции. Полная система разрешающих уравнений, описывающая в декартовых координатах x1 , x2 механическое поведение металлокомпозитной пластины постоянной толщины h, нагруженной в своей плоскости и равнонапряженно-армированной N семействами волокон (проволок) постоянного поперечного сечения, при установившейся ползучести материалов всех фаз композиции имеет вид [4, 6]: (-1)i σk ωk lkj ∂k (ψk ) + Bi (v, θ, ω) = -Xi (x1 , x2 , ω), j = 3 - i, i = 1, 2;(1) k (ωk lk1 ),1 + (ωk lk2 ),2 = 0, k = 1, 2, . . . , N ; (2) ∂k (v1 ) cos ψk + ∂k (v2 ) sin ψk = ξk (θ) = Gk (σk , θ), σk = const, 1 k N ; (3) (Λ11 θ,1 + Λ12 θ,2 ),1 +(Λ21 θ,1 + Λ22 θ,2 ),2 +2µ(θ∞ - θ)/h= - Q(x1 , x2 , ω), (4) где Bi (v, θ, ω) = 2 [ag0 (H, θ)(2vi,i + vj ,j )],i + [ag0 (H, θ)(vi,j + vj ,i )],j , v = {v1 , v2 }, ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωN }, a = 1 - Ω, Ω = ωk , k lk1 122 2 2 H = 2 v1,1 + v1,1 v2,2 + v2,2 + 0.25(v1,2 + v2,1 )2 , = cos ψk , lk2 = sin ψk , ∂k ( · ) = ( · ),1 cos ψk + ( · ),2 sin ψk , j = 3 - i, i = 1, 2, 1 k N ; (5) Единственность решения в малом задачи равнонапряженного армирования. . . Λij = Ω-1 ωk [Ω(λk - λ0 ) + λ0 ]lki lkj + (-1)i+j lks lkr λk λ0 × k ×[Ω(λ0 - λk ) + λk ]-1 , s = 3 - i, r = 3 - j, i, j = 1, 2. (6) На одной части контура пластины (обозначим ее Γp ) могут быть заданы статические граничные условия [4, 6]: σk ωk cos2 (ψk - β) + Dn (v, θ, ω) = pn , k σk ωk sin 2(ψk - β) + Dτ (v, θ, ω) = 2pτ , (x1 , x2 ) ∈ Γp , (7) k на другой части контура (обозначим ее Γv ) - кинематические граничные условия vi (Γv ) = vi0 , i = 1, 2, (x1 , x2 ) ∈ Γv (8) и на всем контуре (Γ = Γp ∪ Γv ) - тепловые граничные условия χ0 [(Λ11 θ,1 + Λ12 θ,2 )n1 + (Λ21 θ,1 + Λ22 θ,2 )n2 + q0 ]+ + χ1 (θ - θ0 ) = 0, (x1 , x2 ) ∈ Γ, (9) где Dn (v, θ, ω)=2ag0 (H, θ) v1,1 (1 + n2 )+v2,2 (1 + n2 )+(v1,2 + v2,1 )n1 n2 , 1 2 Dτ (v, θ, ω)=2ag0 (H, θ) 2(v2,2 - v1,1 )n1 n2 + (v1,2 + v2,1 )(n2 - n2 ) , 1 2 n1 = cos β, n2 = sin β. (10) Каждое из условий (7), (8) также может быть задано на всем контуре Γ. Кроме того, возможно и задание смешанных из (7), (8) граничных условий. На части контура Γ (обозначим ее Γωk ), на которой волокна k-того семейства входят в пластину, необходимо задать краевые условия для плотностей армирования: ωk (Γωk ) = ω0k , k = 1, 2, . . . , N. (11) В уравнениях и соотношениях (1)-(11) приняты следующие обозначения: Xi , vi - компоненты векторов приведенных массовых сил (см. (1.1) в [4]) и скорости ползучести точек пластины по направлениям xi (i = 1, 2); σk , ξk - напряжение и скорость деформации ползучести в k-том семействе арматуры, связанные известной функциональной зависимостью ξk = Gk (σk , θ); θ, θ∞ , θ0 - отклонение температуры пластины t от температуры ее естественного состояния t∗ (θ = t - t∗ ), отклонение температуры окружающей среды t∞ на лицевых плоскостях конструкции от t∗ и отклонение температуры окружающей среды t0 на торцевой поверхности пластины от t∗ ; g0 (H, θ) - заданная функция, являющаяся коэффициентом пропорциональности между интенсивностью касательных напряжений T и интенсивностью скоростей деформаций H в связующем: T = g0 (H, θ)H; ωk , ψk - плотность и угол (отсчитываемый от направления x1 ) армирования волокнами k-того семейства, причем должны выполняться физические ограничения 0 ωk (k = 1, 2, . . . , N ), Ω ω∗ < 1; (12) 123 Я н к о в с к и й А. П. ω∗ - предельно допустимая суммарная плотность армирования; µ - коэффициент конвективного теплообмена между связующим и окружающей средой на лицевых плоскостях пластины; Q - приведенная плотность мощности внутренних источников тепла в композиции (см. (1.6) в [4]); λ0 , λk - коэффициенты теплопроводности связующего и арматуры k-того семейства; pn , pτ - нормальные и касательные контурные напряжения соответственно; vi0 - заданные на Γv компоненты скорости ползучести точек пластины; q0 - тепловой поток через торцевую поверхность конструкции; χ0 , χ1 - функции переключения, позволяющие задавать на Γ тепловые граничные условия разного рода; β - угол, задающий направление внешней нормали к Γ; ω0k - заданные на контуре Γωk значения функций ωk ; суммирование производится по указанному индексу от 1 до N ; нижний индекс после запятой означает частное дифференцирование по соответствующей переменной xi ; в качестве неизвестных выступают функции vi , θ, ωk , ψk (i = 1,2, 1 k N ). В работе [4] показано, что система (1)-(4) является системой квазилинейных уравнений смешанно-составного типа [15], причем траектории армирования совпадают с ее действительными характеристиками. Кроме того, если обезразмерить краевую задачу (1)-(11), то в уравнениях (1) и равенствах (7) при дифференциальных операторах Bi , Dn , Dτ (см. (5), (10)) можно выделить малый параметр [6]. При этом оказывается, что рассматриваемая краевая задача является задачей с сингулярным возмущением [6, 16, 17]. В настоящее время теория систем квазилинейных уравнений смешанносоставного типа развита недостаточно полно, что не позволяет надеяться на построение широкого круга аналитических решений рассматриваемой задачи РА, интересных с практической точки зрения, поэтому необходимо разрабатывать обоснованные методы ее интегрирования. Эти методы должны учитывать следующие особенности задачи РА: 1) в силу наличия сингулярного возмущения в системе разрешающих уравнений (1)-(4) и граничных условий (7) в окрестности кромки Γ градиенты напряжений в связующем могут достигать по модулю больших значений - краевой эффект; 2) аналитические решения, полученные для кольцевых и прямоугольных удлиненных пластин, а также асимптотический анализ, проведенный в [6], показывают, что задача РА в силу существенной нелинейности статических граничных условий (7) относительно углов армирования ψk может иметь несколько альтернативных решений (свойство, присущее многим обратным задачам механики композитных конструкций [1]). Эти особенности, с одной стороны, предъявляют высокие требования к устойчивости численных методов решения таких задач [9], а с другой стороны, порождают необходимость разработки алгоритмов, надежно выделяющих конкретные решения из их многообразия (иначе в процессе численного счета узловые значения неизвестных функций могут несанкционированно «перескакивать» с одного решения на другое, что, естественно, приводит к неустойчивости численной процедуры). Если вопрос о надежном отделении альтернативных решений друг от друга решен, например, в [6, 9] при помощи методов теории возмущений, то вопрос о корректности краевой задачи РА до настоящего времени остается открытым. И хотя теорему существования решения задачи РА металлоком124 Единственность решения в малом задачи равнонапряженного армирования. . . позитных пластин, работающих в условиях установившейся ползучести всех фаз композиции, в общем случае пока доказать не удалось, на то, что решения этой задачи при определенных условиях все же могут существовать, указывают полученные аналитические решения [4] и решения, найденные методами теории возмущений [6, 9]. Однако помимо вопроса существования решения для определения корректности задачи необходимо выяснить и вопрос о единственности ее решения. Изучению этой проблемы и посвящено дальнейшее исследование. 2. Доказательство единственности решения задачи РА в малом. Предположим, что каким-то образом получено некоторое решение vi , θ , ω k , ψ k (13) краевой задачи (1)-(11). Покажем, что не существует другого решения vi , θ , ω k , ψ k (i = 1,2), (14) удовлетворяющего тем же уравнениям (1)-(4), граничным и краевым условиям (7)-(9), (11) (с учетом (5), (6), (10)) и дополнительному условию ψk (Γωk ) = ψk (Γωk ) ≡ ψ0k , k = 1, 2, . . . , N. (15) Краевое условие (15) введено потому, что в общем случае задача РА может иметь несколько альтернативных решений, причем эта неединственность порождается тем, что на контуре пластины статические граничные условия могут быть тождественно удовлетворены при разных наборах углов армирования ψk , различающихся в этих решениях на конечные величины [6, 9]. (Эта неединственность в большом вытекает из того, что в (7) функции ψk являются аргументами периодических тригонометрических функций [6, 9].) Условие (15) как бы фиксирует один из таких наборов ψk , а именно ψ0k . Разность решений (13), (14) обозначим как V i = vi - vi , Θ=θ -θ , Ωk = ωk - ωk , Ψk = ψk - ψk , (16) тогда для функций Vi , Ωk , Ψk справедливы следующие граничные и краевые условия: Vi (Γu ) = 0, Ωk (Γωk ) = 0, Ψk (Γωk ) = 0, i = 1, 2, k = 1, 2, . . . , N, (17) получающиеся из (8), (11), (15). Доказательство проведем от противного. Будем считать, что решение (14), отличное от (13), при выполнении (15) все-таки существует, тогда функции ωk , ψk и ωk , ψk удовлетворяют одному и тому же условию постоянства поперечных сечений волокон (2) (см. (5)): (ωk cos ψk ),1 + (ωk sin ψk ),2 = 0; (18) (ωk cos ψk ),1 + (ωk sin ψk ),2 = 0 (19) и одним и тем же краевым условиям (11), (15): ωk (Γωk ) = ω0k , ψk (Γωk ) = ψ0k ; 125 Я н к о в с к и й А. П. ωk (Γωk ) = ω0k , ψk (Γωk ) = ψ0k , k = 1, 2, . . . , N. Вычтем из (18) уравнение (19) и используем преобразования вида (см. (5)) lki ωk,i - lki ωk,i = lki ωk,i - lki ωk,i + lki ωk,i - lki ωk,i = lki Ωk,i + ωk,i Jki Ψk ; (20) ωk lki,i - ωk lki,i = ωk lki,i - ωk lki,i + ωk lki,i - ωk lki,i = = Ωk lki,i + ωk (lki - lki ),i = Ωk lki,i + ωk (Jki Ψk ),i = = Ωk lki,i + ωk (Jki Ψk,i + Ψk Jki,i ), i = 1, 2, (21) где 1 sin(ψk + ξ(ψk - ψk ))dξΨk = cos ψk - cos ψk = lk1 - lk1 , Jk1 Ψk = - 0 (22) 1 cos(ψk + ξ(ψk - ψk ))dξΨk = sin ψk - sin ψk = lk2 - lk2 , Jk2 Ψk = 0 после чего получим уравнение lk1 Ωk,1 + lk2 Ωk,2 + ωk (Jk1 Ψk,1 + Jk2 Ψk,2 ) + Ωk (lk1,1 + lk2,2 )+ + Ψk [ωk,1 Jk1 + ωk,2 Jk2 + ωk (Jk1,1 + Jk2,2 )] = 0. (23) Вновь вычтем из (18) уравнение (19), но вместо (20), (21) применим другие преобразования: lki ωk,i - lki ωk,i = lki ωk,i - lki ωk,i + lki ωk,i - lki ωk,i = lki Ωk,i + ωk,i Jki Ψk , ωk lki,i - ωk lki,i = ωk lki,i - ωk lki,i + ωk lki,i - ωk lki,i = = Ωk lki,i + ωk (lki - lki ),i = Ωk lki,i + ωk (Jki Ψk,i + Ψk Jki,i ), i = 1, 2, тогда с учетом (22) вместо (23) получим уравнение lk1 Ωk,1 + lk2 Ωk,2 + ωk (Jk1 Ψk,1 + Jk2 Ψk,2 ) + Ωk (lk1,1 + lk2,2 )+ + Ψk [ωk,1 Jk1 + ωk,2 Jk2 + ωk (Jk1,,1 + Jk2,2 )] = 0. (24) Следовательно, для определения двух функций Ωk , Ψk (см. (16)) при каждом k имеем два линейных однородных уравнения (23), (24) с нулевыми краевыми условиями (17). Характеристическое уравнение системы (23), (24) имеет вид (Jk1 ϕ1 + Jk2 ϕ2 )[(ωk lk1 - ωk lk1 )ϕ1 + (ωk lk2 - ωk lk2 )ϕ2 ] = 0, (25) где ϕ1 , ϕ2 - параметры, задающие характеристическое направление (ϕ2 + 1 + ϕ2 = 1). 2 Уравнение (25) указывает на то, что система (23), (24) относительно функций Ωk , Ψk является линейной системой гиперболического типа. Задачи Коши, Гурса и Римана для таких систем уравнений имеют единственное решение [18], поэтому решением однородной системы (23), (24) при нулевых краевых условиях (17) являются функции Ωk = 0, 126 Ψk = 0, 1 k N. (26) Единственность решения в малом задачи равнонапряженного армирования. . . Таким образом, пришли к противоречию: уравнения (23), (24) получены в предположении, что функции ωk , ψk отличны от ωk , ψk , однако из этих уравнений вытекают равенства (26), т. е. разности ωk -ωk , ψk -ψk равны нулю. Следовательно, исходное допущение о том, что ωk = ωk , ψk = ψk является неверным, значит ωk = ωk , ψk = ψk , k = 1, 2, . . . , N. (27) Подставим в уравнение теплопроводности (4) и тепловые граничные условия (9) функции θ , ωk , ψk и θ , ωk , ψk , а затем вычтем из уравнения (4) и условия (9), содержащие функции (13), уравнение (4) и условие (9), содержащие функции (14), тогда с учетом (5), (6), (27) получим (Λ11 Θ,1 + Λ12 Θ,2 ),1 + (Λ21 Θ,1 + Λ22 Θ,2 ),2 = 0; (28) χ0 [(Λ11 Θ,1 + Λ12 Θ,2 )n1 + (Λ21 Θ,1 + Λ22 Θ,2 )n2 ] + χ1 Θ = 0. (29) В работе [4] показано, что при выполнении физических ограничений (12) уравнение (28) является эллиптическим уравнением второго порядка относительно Θ. Решение граничной задачи для такого уравнение единственно [19], поэтому решением однородного уравнения (28) при нулевых граничных условиях (29) является функция Θ ≡ 0, а значит θ =θ (30) во всей пластине. Подставим в уравнения равновесия (1) и граничные условия (7), (8) функции (13), (14) и учтем равенства (27), (30), тогда получим ¯ Bi (v , θ , ω ) = -Xi (x1 , x2 , ω , ψ ), i = 1, 2; Dn (v , θ , ω ) = pn (x1 , x2 , ω , ψ ), ¯ Dτ (v , θ , ω ) = 2¯τ (x1 , x2 , ω , ψ ), (x1 , x2 ) ∈ Γp , p vi (Γv ) = vi0 , i = 1, 2, (x1 , x2 ) ∈ Γv ; ¯ Bi (v , θ , ω ) = -Xi (x1 , x2 , ω , ψ ), i = 1, 2; Dn (v , θ , ω ) = pn (x1 , x2 , ω , ψ ), ¯ Dτ (v , θ , ω ) = 2¯τ (x1 , x2 , ω , ψ ), (x1 , x2 ) ∈ Γp , p vi (Γv ) = vi0 , i = 1, 2, (x1 , x2 ) ∈ Γv ; где (31) (32) (33) (34) ¯ ψ = {ψ1 , ψ2 , . . . , ψN }, Xi (x1 , x2 , ω , ψ ) = Xi (x1 , x2 , ω )+ + (-1)i σk ωk lkj ∂k (ψk ) (j = 3 - i, i = 1,2), k σk ωk cos2 (ψk - β), pn (x1 , x2 , ω , ψ ) = pn (x1 , x2 ) - ¯ (35) k pτ (x1 , x2 , ω , ψ ) = pτ (x1 , x2 ) - ¯ 1 2 σk ωk sin 2(ψk - β). k ¯ Функции Xi в (31), (33) формально можно рассматривать как фиктивные массовые нагрузки, а pn , pτ в (32), (34) - как фиктивные контурные нагрузки, ¯ ¯ определяемые формулами (35). 127 Я н к о в с к и й А. П. Правые части в равенствах (31), (32) полностью совпадают с правыми частями в (33), (34) соответственно, а левые части с учетом (5), (10) представляют собой операторы, описывающие механическое поведение неоднородной изотропной пластины, нагруженной в своей плоскости и работающей в условиях установившейся ползучести. Неоднородность такой пластины формально определяется множителем a = 1 - Ω, входящим в операторы Bi , Dn , Dτ (см. (5), (10)). Известно, что решение такой задачи является единственным в рамках используемой здесь теории течения установившейся ползучести [20], поэтому и граничные задачи (31), (32) и (33), (34) имеют одно и то же решение, т. е. vi = vi , i = 1, 2. (36) Если теперь подставить в условия равнонапряженности арматуры (3) функции (13), (14), а затем вычесть из уравнений (3), содержащих функции (13), уравнения (3), содержащие функции (14), то получающиеся в итоге уравнения с учетом равенств (27), (30), (36) будут тождественно удовлетворены (в смысле 0 ≡ 0.) Таким образом, доказано, что краевая задача (1)-(11) при дополнительном краевом условии (15) имеет единственное решение. Замечание. Аналогично доказывается единственность решения и задачи РА изгибаемых металлокомпозитных пластин, работающих в условиях установившейся ползучести [5, 7, 8], при наличии дополнительного краевого условия (15). Действительно, если такие пластины армированы проволоками постоянного поперечного сечения, то по-прежнему имеют место равенства (2), (11) и при дополнительном условии (15) справедливыми остаются соотношения (18)-(27). Далее вместо краевых задач (31)-(34) получаются аналогичные краевые задачи для скоростей прогиба w , w , правые части в кото˙ ˙ рых полностью совпадают. Эти краевые задачи формально описывают изгиб неоднородных изотропных пластин в условиях установившейся ползучести и имеют единственное решение [20], поэтому во всей пластине выполняется равенство w = w . ˙ ˙ Рассмотрим вместо равенства (15) следующие два условия: ψk (Γωk ) = ψ0k , ¯ ψk (Γωk ) = ψ0k + εψ0k , k = 1,2, . . . , N, (37) ¯ где ψ0k - некоторая функция, заданная на контуре Γωk ; ε - малый параметр. В случае ε → 0 равенства (37) вырождаются в одно условие (15), при наличии которого единственность решения задачи РА уже доказана. А значит, из (15), (37) следует, что не существует решения, отличного от vi , θ , ωk , ψk , но бесконечно близкого к нему на контуре Γωk по углам армирования ψk (или при достаточно малых ε). Заключение. Таким образом, доказана единственность решения в малом (в смысле малости параметра ε в (37)) краевой задачи РА пластин, работающих в условиях установившейся ползучести. В большом же (в смысле немалых значений ε в (37)) эта задача может иметь несколько отличных друг от друга альтернативных решений, что подтверждают аналитические решения и решения, полученные методами теории возмущений [4-9]. В работах [6, 8, 9] было показано, что предложенные там для решения соответствующих задач РА итерационные процессы, относящиеся к разряду 128 Единственность решения в малом задачи равнонапряженного армирования. . . методов теории возмущений, позволяют надежно разделять альтернативные решения задач РА, причем на контуре Γp эти итерационные методы как бы последовательно разрешают статические граничные условия относительно краевых значений углов РА ψk (Γp ) = ψ0k (при этом предполагается Γωk = = Γp ), уточняя их. Поэтому проведенное выше доказательство позволяет утверждать, что не существует другого решения задачи РА, отвечающего системе разрешающих уравнений, соответствующим ей граничным и краевым условиям, а также дополнительным краевым значениям ψk (Γp ) = ψ0k (полученным за счет последовательного обращения статических граничных условий), отличающегося от решения, построенного с помощью соответствующего итерационного процесса (см. [6, 8, 9]).

About the authors

Andrey P Yankovskii

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: lab4nemir@rambler.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.; lab4nemir@rambler.ru), Leading Research Scientist, Lab. of Fast Processes Physic 4/1, Institutskaya st., Novosibirsk, 630090, Russian Federation

References

Supplementary files