On the question of optimization of the oil slick biodestruction in the bodies of water

Full Text

Введение. Сейчас как никогда актуальна проблема ликвидации последствий загрязнения водной среды углеводородами. Большинство рек России загрязнены нефтепродуктами и фенолами. В качестве примера можно привести данные о том, что воды Иртыша содержат нефтепродукты в количестве © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования А ф а н а с ь е в а О. С., Е г о р о в а Г. Ф., К а й д а л о в а Л. В. К вопросу оптимизации процесса биодеструкции нефтяных пятен в водоемах // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 4 (37). С. 133-143. doi: 10.14498/vsgtu1308. 133 А ф а н а с ь е в а О. С., Е г о р о в а Г. Ф., К а й д а л о в а Л. В. 11-50 ПДК (ПДК - предельно допустимые концентрации), фенолы - в количестве 6-17 ПДК [1]. С речным стоком в моря Северного Ледовитого океана ежегодно выносится несколько сотен тысяч тонн нефтепродуктов. Только в Обь (Западная Сибирь) ежегодно попадает около 100 тыс. тонн нефти. В результате на многих участках акватории Баренцева, Белого, Карского морей и моря Лаптевых концентрация загрязняющих веществ в 2-3 раза превышает ПДК. По разным оценкам, ежегодно в Мировой океан попадает от 4 до 10 млн тонн нефти [2-5]. Наряду с развитием практических методов очищения водных бассейнов от нефтяных загрязнений разнообразие последствий токсичного воздействия углеводородов на все формы жизни водной среды [6] требует фундаментальных исследований данной проблемы. Наименее затратным и вместе с тем информативным методом является моделирование процессов образования и деструкции нефтяных загрязнений. Согласно [7], в настоящее время существует немало математических моделей, описывающих динамику развития нефтяных разливов для различных водных территорий, в частности Принстонская модель (Princeton Ocean Model) разлива нефти компании Лукойл для Азербайджанского сектора Каспия; математическая модель по ликвидации разливов нефти для Сахалина (Дальневосточный региональный научно-исследовательский гидрометеорологический институт). Разработаны также модели, где особое внимание уделено моделированию физико-химических свойств нефтяного пятна (Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН) и др. [8-10]. 1. Трехмерная математическая модель, представляющая собой исходный прототип. Представляет интерес математическая модель, используемая в работах [7, 9, 10], в которой в качестве уравнения, описывающего распространение i-той, факторизованной по вязкости и плотности, фракции разлитой нефти с концентрацией Ci под влиянием турбулентной диффузии, полей ветров и течений с учетом биологической деструкции нефти R, принято следующее уравнение переноса и диффузии: ∂Ci ∂Ci ∂Ci ∂ 2 Ci ∂Ci +u +ν +w - Kx - ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x2 ∂ 2 Ci ∂ 2 Ci ∂ 2 Ci - Ky - Kz - Kz + F (Ci , R) = 0, (1) ∂y 2 ∂z 2 ∂z 2 где Ci (x, y, z, t) - концентрация загрязнения [мг/м2 ]; x, y, z - декартовые координаты текущей точки [м]; t - время [с]; u, v, w - компоненты вектора скорости поверхностного течения [м/с], удовлетворяющего уравнению неразрывности ∂u ∂v ∂w + + = 0; ∂x ∂y ∂z Kx , Ky - коэффициенты турбулентной диффузии в плоскости (x, y) [м2 /с]; Kz - коэффициенты вертикальной диффузии [м2 /с]; F (Ci , R) - функция, определяющая деструкцию i-той факторизованной фракции, подверженной бактериальному разложению. В этом случае оператор деструкции F (Ci , R) для 134 К вопросу об оптимизации процесса биодеструкции нефтяных пятен в водоемах i-той фракции имеет вид ∂Ci 1 µm Ci M, =- ∂t k Ci + K s где k - коэффициент пропорциональности между количеством бактерий и поглощённым субстратом; µm - максимальная скорость роста микроорганизмов; Ks - коэффициент насыщения; M - численность популяции бактерий. 2. Постановка задачи управления процессом биодеструкции. В настоящей работе рассматривается модель уничтожения углеводородного загрязнения с помощью бактерий, но в отличие от известных моделей влияние микроорганизмов учитывается не только в качестве членов уравнения (1), но и в виде отдельного уравнения, описывающего управляющее воздействие, реализуемое популяцией микроорганизмов. Так как влияние объёма разлитой нефти на толщину пленки такое, что при разливе и растекании нефти в количестве 20 л/км2 толщина образующейся пленки составляет 20 нм; при 300 л/км2 толщина пленки примерно 300 нм; при растекании 1000 л/км2 толщина пленки составляет 1.0 мкм, вполне оправданным представляется предположение, что покрытую нефтью область водной поверхности можно рассматривать в виде прямоугольного или круглого участка с симметричным и равномерным распределением концентрации загрязнения по всей площади без учета глубины проникновения нефтяного загрязнения, при этом можно рассматривать только одну лёгкую фракцию нефти. При подобном подходе модель, адекватно описывающую процессы деградации нефтяного пятна, можно редуцировать от пространственной до одномерной, а с учетом ограничения во времени любого разлива нефти в качестве области, описывающей пятно, рассматривать отрезок конечной длины. Биодеградацию нефтяного загрязнения можно описать функцией [11, c. 18] a0 Q . R(Q) = K +Q Эта зависимость была впервые выведена французским биохимиком Жаком Моно. Здесь Q = Q(x, t) - концентрация нефтяного загрязнения; a0 - коэффициент, характеризующий максимальную скорость поглощения нефти бактериями; K - константа, равная концентрации субстрата, при которой скорость роста равна половине максимальной; x - координаты текущей точки; t - время. Не ограничивая общности рассуждений, будем считать K = 0.5, а в качестве конечного отрезка, описывающего пятно, возьмём 0 x 1. В результате предлагаемая модель в области 0 x 1, t 0 представляет собой систему дифференциальных уравнений параболического типа  ∂ 2 Q(x, t) 2a0 Q(x, t)  ∂Q(x, t)   = D1 - a1 Q(x, t) - u(x, t), 2 ∂t ∂x 1 + 2Q(x, t) (2)  ∂u(x, t) ∂ 2 u(x, t)   = D2 + qu(x, t)(1 - u(x, t)), ∂t ∂x2 с граничными Q(0, t) = 0, ∂Q(1, t) = 0; ∂x u(0, t) = 0, ∂u(1, t) =0 ∂x (3) 135 А ф а н а с ь е в а О. С., Е г о р о в а Г. Ф., К а й д а л о в а Л. В. и начальными Q(x, 0) = Q0 (x), u(x, 0) = u0 (x) условиями. Здесь D1 - коэффициент диффузии нефти; a1 - коэффициент деструкции, характеризующий действие диспергаторов, которые позволяют растворять разлитую нефть без вреда для растительного и животного мира водной поверхности; u(x, t) - концентрация популяции микроорганизмов; D2 - коэффициент распространения (диффузии) этой популяции; q - коэффициент, характеризующий скорость роста популяции. Так как K = 0.5, скорость роста популяции q = 1. В отличие от большинства авторов, исследовавших проблему создания и решения математических моделей, описывающих физику переноса массы нефтепродуктов [8-10] или распространение популяций [11, 12], в представленной работе учитывается влияние микроорганизмов в виде отдельного уравнения. При заданных начальных распределениях нефти и популяции любое последующее распределение будет главным образом зависеть от длительности процесса t, коэффициентов диффузии D1 , D2 , параметров a0 и a1 . Управляющим параметром будет служить коэффициент a0 (в более общей постановке задачи - коэффициенты диффузии D1 , D2 ). Критерием оптимальности будет служить минимум времени t∗ уничтожения последствий загрязнения, определяемый из 1 Q(x, t∗ )dx → min . (4) 0 Количество бактерий и нефти измеряются их концентрациями, время - условными временными единицами (сек, час, день и т. д.), расстояние - условными единицами длины (мм, м, км). Целью поставленной задачи является вычисление значения параметров, обеспечивающих наискорейшее достижение состояния «чистой» водной поверхности без нефтяных пятен. Для решения задачи параметрической оптимизации модели деструкции нефтяного загрязнения рассматриваются следующие условия: 1 Q(x, 0)dx = Q0 = 0.038, u(x, 0) = u0 = 0.001. (5) 0 Эти условия выбраны на основе экспериментальных данных [13]. 3. Решение задачи оптимизации для линеаризованной модели и её анализ. С помощью замены нелинейных членов уравнения системы (2) их линейными аппроксимациями в окрестности выбранных распределений концентраций получим упрощенную систему следующего вида:  2 2a0 Q0  ∂Q(x, t) ∼ D ∂ Q(x, t) - a + 2a0 u0  Q(x, t) - u(x, t), = 1 1 2 2 ∂t ∂x (1 + 2Q0 ) 1 + 2Q0 (6)  ∂u(x, t) ∼ ∂ 2 u(x, t)  + (1 - 2u0 )u(x, t), = D2 ∂t ∂x2 рассматриваемую в области 0 x 1, t 0 с граничными условиями (3) и начальными условиями π Q(x, 0) = Q0 sin πx, 2 136 u(x, 0) = u0 , (7) К вопросу об оптимизации процесса биодеструкции нефтяных пятен в водоемах согласующимися с (5). Методом Фурье находим общее решение первого уравнения системы (6), считая u(x, t) = 0, то есть при отсутствии микроорганизмов: Q(x, t) = 8 Q0 π π αn = + πn 2 ∞ n=1 2 (-1)n+1 π exp(-αn t) sin + πn x, (2n - 1)(2n + 3) 2 2a0 u0 D1 + a1 + , (1 + 2Q0 )2 (8) n = 0, 1, 2, . . . , Метод Фурье для второго уравнения системы (6) даёт 4u0 u(x, t) = π ∞ 1 π exp(-βn t) sin + πn x, (2n + 1) 2 n=1 2 π βn = + πn 2 D2 - 1 + 2u0 , (9) n = 0, 1, 2, . . . . Для выбора значений управляющего параметра a0 , обеспечивающего решение задачи нахождения минимума функционала (4), в качестве определяющей возьмем первую гармонику ряда (8): Q(x, t) = 16 3π Q0 exp(-α0 t) sin x. 3π 2 Так как граничные условия для обоих уравнений однородны, оказывается возможным найти методом неопределенных коэффициентов частное решение первого уравнения системы (6), соответствующее возмущающему воздействию, полученному как решение второго уравнения системы (6). Найдем это приближенное частное решение, используя первую гармонику ряда (9) и ограничиваясь также первым членом ряда Фурье: u(x, t) = C exp(-β1 t) sin 3π x, 2 где C= A = β1 - B , A B= 8a0 u0 Q0 , (1 + 2Q0 )2 9π 2 2a0 u0 D1 - a1 - , 4 (1 + 2Q0 )2 β1 = 9π 2 D2 - 1 + 2u0 . 4 Решение первого уравнения системы (6) после этого будет иметь вид Q(x, t) = 16 3π 3π Q0 exp(-α0 t) sin x + C exp(-β1 t) sin x. 3π 2 2 (10) После интегрирования (10) по x в пределах от 0 до 1 получим 1 Q(x, t)dx = 0 2 16 Q0 exp(-α1 t) + C exp(-β1 t) . 3π 3π (11) 137 А ф а н а с ь е в а О. С., Е г о р о в а Г. Ф., К а й д а л о в а Л. В. С помощью приближенного решения (10) первого уравнения системы (6) получаем соотношение для выбора значений параметра a0 (в общем случае - для значений D1 , D2 ), позволяющее оценить временной промежуток, необходимый для деградации нефтяного пятна до уровня допустимой концентрации углеводородной загрязненности водной поверхности, то есть обеспечивающий определение минимального значения интеграла (4): t = (α1 - β1 )-1 ln -5πB . 16A (12) Так как значения кинематической вязкости, характеризующей диффузию нефти [14], в зависимости от месторождения различаются в сотни раз (от 0.002 до 0.13) и масса микроорганизмов перемещается вместе с нефтью, значения коэффициентов диффузии для численного эксперимента были выбраны произвольно: D1 = 0.0159 и D2 = 0.01. Значение параметра a0 , характеризующего максимальную скорость поглощения нефти бактериями [14], меняются в зависимости от вида бактерий от 0.005 до 0.9, поэтому для численного эксперимента берутся следующие значения параметра a0 : 0.01; 0.05 и 0.15. Деструкция, характеризующая действие диспергаторов, используемых для деградации тяжелых фракций нефти, в данном эксперименте не была основной, поэтому для численного эксперимента полагалось a1 = 0.1. Ниже приведены результаты расчета времени (в днях), необходимого для достижения требуемого уровня деструкции нефтяных пятен, полученного с помощью пакета MATLAB для исходной модели (2) по формуле 1 Q(x, tε )dx < ε (13) 0 при ε = 0.001, и для линеаризованной модели по формуле (4) для различных значениях параметра a0 : a0 : 0.01 0.05 0.15 t∗ : 21.3 19.2 17.8 tε : 22.0 19.5 17.0 Максимальная относительная погрешность разницы значений времени maxi |t∗ - tε |/tε · 100 %, полученных с помощью соотношений (12) и (13), i i i при заданных параметрах численного эксперимента равна 4.7 %. Исходя из этого соотношение (12), полученное с использованием линеаризованной модели (4), может применяться как для прогнозирования времени деструкции, так и для уточнения параметров модели (или идентификации параметров модели при известных экспериментальных данных). Расчеты биодеградации (убыли) нефти производились по формуле ¯ Q(t) = 1- 1 Q0 1 Q(x, t)dx · 100 %. (14) 0 Результаты расчетов по формуле (14) для линеаризованной модели (6) с начальными условиями (7) в зависимости от времени t (в сутках) при различных значениях параметра a0 представлены ниже: 138 К вопросу об оптимизации процесса биодеструкции нефтяных пятен в водоемах a0 : 0.01 0.05 0.15 ¯ Q(3), %: 47.7 47.7 47.7 ¯ Q(10), %: 80.2 81.0 82.6 ¯ Q(20), %: 95.0 96.6 98.5 ¯ Q(30), %: 98.8 99.4 99.9 Аналогичные расчеты были выполнены для исходной системы (2) с граничными (3) и начальными (7) условиями при a0 = 0.001 в зависимости от времени t (в сутках) в среде MATLAB: t, сутки : 3 10 20 30 ¯ Q(t), % : 48.54 80.0 95.0 98.7 ¯ Q∗ (t), % : 65.5 82.1 91.1 96.0 ¯ Здесь Q∗ (t) - экспериментальные данные биодеградации (убыли) нефти [13]. Приведенные данные хорошо согласуются не только с экспериментальными данными патента [13], но и с данными работ [14-18], в которых приведены результаты модельных и натурных экспериментов по биодеструкции пленочной нефти для различных видов используемых бактерий. Так, в серии экспериментов с использованием клеток бактерий Acinetobacter valentis в лабораторных условиях [14], было установлено, что значения биодеструкции нефти в первые пять суток были невысокими, затем с 5 по 20 сутки убыль нефтяного загрязнения достигла 80 %, за 30 дней экспозиции она составила 92 %. Анализ полученных результатов показывает, что наибольшая относительная погрешность расчётных значений от экспериментальных наблюдается при малых временах (в начале процесса), а модельные значения концентра¯ ции нефти Q(t) в конце периода выглядят более «оптимистично». Вместе с тем можно говорить о качественном соответствии экспериментальных и расчетных значений, что позволяет сделать вывод о возможности применения предложенной методики в практике прогнозирования времени, необходимого для уничтожения нефтяных пятен на водной поверхности различными видами микроорганизмов. Заключение. Предложенная авторами модель (2) описывает динамику нефтяного загрязнения и роста популяции бактерий, питающихся нефтью, но в отличие от известных моделей, учитывает влияние микроорганизмов в виде отдельного уравнения, описывающего управляющее воздействие. С помощью линеаризации правых частей уравнений исследуются способы параметрической оптимизации управления скоростью роста популяции бактерий, найденной из решения системы (2). Полученное с помощью линеаризации соотношение (11), связывающее время деградации нефтяного загрязнения со значениями параметров роста популяции микроорганизмов, может служить целям статистического анализа, системного обобщения и поиска корреляционных взаимосвязей по данным об изменениях параметров, характеризующих популяционные процессы. При этом, если известны экспериментальные данные, то оказывается возможным с помощью выведенного соотношения (11) решать обратную задачу идентификации параметров предложенной модели. Полученные с помощью системы (2) решения могут быть использованы при прогнозировании времени, необходимого для требуемого уровня деструкции нефтяного загрязнения с помощью бактерий. Предлагаемая авторами модель также может быть использована для исследования динамики роста популяций таких типов, как «паразит-хозяин», «хищник-жертва».

About the authors

Olga S Afanaseva

Samara State Technical University

Email: afanaseva.os@samgtu.ru
(Cand. Tehn. Sci; afanaseva.os@samgtu.ru), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Galina F Egorova

Samara State Technical University

Email: galahouse2009@mail.ru
(Cand. Tehn. Sci; galahouse2009@mail.ru; Corresponding Author), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Ludmila V Kaidalova

Samara State Transport University

Email: ludmila.kaid@gmail.com
(Cand. Phys. & Math. Sci; ludmila.kaid@gmail.com), Associate Professor, Dept. of Hight Mathematics 18, First Bezimyanniy per., Samara, 443066, Russian Federation

References

Supplementary files