The method for solving the boundary value problem of the beam’s creep and creep rupture strength condition of the pure bending based on the rod type structural model

Full Text

Введение. Структурные математические модели [1–11] широко используются при моделировании сред со сложными реологическими свойствами, поскольку они позволяют описать многие нелинейные эффекты неупругого деформирования, которые с феноменологических позиций встречают наибольшие трудности, при этом локальные элементы структурной модели имеют простейшие свойства: линейную упругость, идеальную пластичность и нелинейную вязкость. Основными эффектами, хорошо описываемыми при помощи структурных моделей, являются следующие: изменение предела текучести при смене нагрузки (эффект Браушингера); изменение коэффициента Пуассона в процессе неупругого деформирования; описание обратной ползучести при полной или частичной разгрузке (за счёт релаксации остаточного поля микронапряжений); разупрочнение материала в процессе ползучести при изменении знака нагружения; описание ползучести материалов с затухающей памятью; независимость скорости установившейся ползучести от истории нагружения; влияние ползучести на кривую мгновенного упругопластического деформирования; упрочнение вследствие предварительной ползучести (ползучеть – наклёп); наследственный характер влияния пластической деформации на последующую ползучесть; возврат пластических свойств (изменение предела текучести упрочнённого материала в процессе высокотемпературной выдержки в результате релаксации поля остаточных микронапряжений); описание четвёртой («лавинной») стадия ползучести и другие. Естественным шагом в развитии структурных моделей является их применение при решении краевых задач, при этом вместо физических уравнений 87 Н е б о г и н а Е.В. состояния можно использовать структурную модель. Однако данная возможность в силу сложности вычислительных процедур в настоящее время не реализована. Целью данной работы является разработка метода решения краевой задачи именно в этом направлении для простейшего конструктивного элемента — балки в условиях чистого изгиба. 1. Основные соотношения для структурной модели стержневого типа. В данной работе ставится задача построения математической модели ползучести и разрушения балки при чистом изгибе на основе структурной модели стержневого типа [5]. Под разрушением балки будем понимать не только разделение ее на части, но и исчерпание несущей способности, происшедшее вследствие неограниченной интенсификации процесса ползучести в некоторой ее области. Поликристаллический материал моделируется системой хаотически ориентированных однородных стержней одинаковой длины, работающих на растяжение-сжатие. Каждый локальный элемент этой системы (стержень) наделяется простейшими деформационными свойствами: линейной упругостью, идеальной пластичностью и нелинейной вязкостью, которые, по-видимому, являются наиболее реальными свойствами монокристаллов. В таком случае деформацию i-того локального элемента можно представить в виде εi = ei + ep + pi , i где ei = σi /EM — упругая микродеформация; ep — пластическая микродефорi мация; pi — микродеформация ползучести, причем pi = Ψ(σi ) = a|σi |n−1 σi ; ˙ a, n — микроконстаны материала; EM — микромодуль Юнга. В дальнейшем будем рассматривать процесс ползучести в упругой области работы материала, т.е. полагаем ep = 0. i Ориентация локального элемента задается двумя сферическими углами θ и ϕ: 0 θ π/2, 0 ϕ 2π. В работе [1] для структурной модели в главных осях получены уравнения равновесия 2π 1 π/2 σ(θ, ϕ)dϕ; cos2 θ sin θdθ σx = π 0 0 σy = 1 π 1 π совместности деформации π/2 π/2 0 σ(θ, ϕ) cos2 ϕdϕ; (1) 0 0 σz = 2π sin3 θdθ 2π sin3 θdθ σ(θ, ϕ) sin2 ϕdϕ, 0 ε(θ, ϕ) = εx cos2 θ + εy sin2 θ cos2 ϕ + εz sin2 θ sin2 ϕ (2) и введена гипотеза однородности микродеформации по объёму макрообразца εx = ε(0, ϕ), εy = ε(π/2, 0), εz = ε(π/2, π/2). (3) В (1)–(3) через σ(θ, ϕ) обозначены напряжения, возникающие в локальном элементе (микронапряжения); ε(θ, ϕ) — деформация локального элемента (микродеформация); σx , σy , σz — макронапряжения (главные напряжения); εx , εy , εz — макродеформации (главные деформации). 88 Метод решения краевой задачи ползучести . . . При чистом изгибе в балке реализуется одноосное напряженное состояние. Тогда в одномерном случае для структурной модели (1)–(3) имеем σy = = σz = 0, εz = εy , в силу симметрии задачи поле микронапряжений не зависит от угла ϕ и соотношения (1)–(3) принимают вид π/2 σx = 2 π/2 σ(θ) cos2 θ sin θdθ, σ(θ) sin3 θdθ = 0, (4) 0 0 ε(θ) = εx cos2 θ + εy sin2 θ, εx = ε(0), εy = εz = ε(π/2). (5) (6) Согласно работе [5], для идентификации параметров a и n в законе вязкого течения локального элемента необходимо иметь лишь аппроксимацию установившегося участка кривой ползучести на макроуровне, которая принимается в виде px = A( σx )N , A, N — макроконстанты материала, при ˙ этом установлена связь между микро- и макропараметрами [5]: π/2 EM = 3 E , a=A 2 n C|C|1/n−1 cos2 θ sin θdθ , n = N, 0 n где C = cos2 θ − σ (π/2)/σ (0) sin2 θ, EM — макромодуль Юнга. Для описания процесса разрушения в материале используется гипотеза вязкого разрушения, базирующаяся на энергетическом подходе накопления поврежденности в локальном элементе. В качестве меры поврежденности локального элемента воспользуемся величиной [5] Ω(θ, t) = Ac (θ, t)/A∗ , c где (7) t σ(θ, ξ)p(θ, ξ)dξ Ac (θ, t) = 0 — текущая величина работы микронапряжения на микродеформации ползучести; A∗ — микроконстанта материала (критическая величина работы микc ронапряжений на микродеформации ползучести в локальном элементе, при достижении которой происходит разрушение материала). Величина угла θ в (7) играет роль параметра. При этом предполагается, что если Ω(θ, t) < 1, то локальный элемент находится в неразрушенном состоянии. Время разрушения элемента t = t∗ определяется из условия Ω(θ, t∗ ) =1. Разрушение элемента объёма материала происходит в результате разрушения всех локальных элементов. Для определения константы A∗ необходимо иметь серию кривых стациc онарной одноосной ползучести с начальным участком третьей стадии при нескольких значениях σx = const в упругой области работы материала ( σx < σпр ). На этих кривых определяются точки (p∗ , t∗ ), соответствующие границе между второй и третьей стадиями ползучести. Вводится гипотеза, согласно которой с этого момента времени начинается последовательное разрушение локальных элементов структурной модели, что и является причиной появления третьей стадии на кривой ползучести, при этом наиболее нагруженный элемент при θ = 0 первым выйдет из строя. Поэтому величина Ac , 89 Н е б о г и н а Е.В. накопленная в этом элементе к моменту времени t = t∗ , соответствующему началу третьей стадии ползучести, и принимается за критическую A∗ . c 2. Решение краевой задачи ползучести балки в условиях чистого изгиба. При чистом изгибе балки её поперечное сечение остаётся плоским, поэтому деформация εx является линейной функцией расстояния y от нейтральной оси OX, то есть в любой момент времени выполняется условие (8) εx (y, t) = yχ(t), где χ(t) — кривизна нейтральной оси. Представим макродеформацию в следующем виде: εx (y, t) = ex (y, t) + px (y, t) , ex (y, t) = σx (y, t) / E , (9) Уравнение равновесия для балки имеет вид (10) σx (y, t) y dF, M= F где M — приложенный к балке изгибающий момент, dF = b(y)dy — элемент площади поперечного сечения. С учётом принятых обозначений (10) запишется следующим образом: h/2 σx (y, t) yb(y) dy. M= −h/2 Расчёт ползучести балки при чистом изгибе выполняется численно «шагами» по времени. В момент времени t = 0 (упругая область) распределение нормальных макронапряжений по высоте балки определяется по формуле σx (y) = M y/Jx , где y 2 dF Jx = F — осевой момент инерции площади сечения относительно оси OX. Используя формулы (8)–(10), вычисляем значение радиуса кривизны балки в начальный момент времени t = 0 по формуле χ = εx (y,0) /y. Далее, используя (4)–(6), (9), для каждого значения макронапряжения находим упругое решение на микроуровне по формулам σ(θ,0) = 3 σx (y,0) cos2 θ − 0,25 sin2 θ , ε(θ,0) = σ(θ,0)/EM . Считается, что деформация ползучести в начальный момент времени t = 0 равна нулю. Производится дискретизация временного интервала точками 0 = t0 < t1 < t2 < . . . < tn < . . . с шагом ∆t, т.е. ti+1 = ti + ∆t и предполагается, что ползучесть при t ∈ [ti , ti+1 ] в каждом элементе при θ = θs идет при постоянном микронапряжении σ(θs , ti ), а в конце временного отрезка происходит ступенчатое приращение микронапряжения. 90 Метод решения краевой задачи ползучести . . . i Введём обозначения: σ(θs , ti ) = σs , ε(θs , ti ) = εi , p(θs , ti ) = pi . Здесь pi — s s s микродеформация ползучести в локальном элементе. Для приращения деформации ползучести за ∆t имеем i i ∆pi = a|σs |n−1 σs ∆t. s На шаге ti+1 микродеформации pi и εi вычисляются по формулам s s i+1 εi+1 = σs /EM + pi+1 , s s pi+1 = pi + ∆pi . s s s (11) Используя уравнение совместности деформаций (5) и гипотезу однородности (6), преобразуем первое уравнение (11): i+1 σs /EM + pi+1 = εx (y) s i+1 cos2 θs + εy (y) i+1 sin2 θs , откуда i+1 σs = EM εx (y) i+1 cos2 θs + εy (y) i+1 sin2 θs − pi+1 . s (12) Подставляя распределение микронапряжений (12) в уравнения равновесия для одноосного напряженного состояния (4), получим σx (y) i+1 π 2 =2 α0 π 2 i+1 σs cos2 θ sin θdθ, α0 i+1 σs sin3 θdθ = 0. (13) Подставляя (12) в (13) и вычисляя соответствующие интегралы, имеем σx (y) i+1 0 = EM = 2EM εx (y) i+1 εx (y) i+1 cos cos3 α0 3 5α 0 π/2 A1 = α0 cos3 α0 cos5 α0 − A1 , − 3 5 i+1 5 cos5 α0 + − 5 + εy (y) где + εy (y) i+1 pi+1 cos2 θ sin θdθ, s (14) cos α0 − 2 cos3 α0 cos5 α0 − B1 , + 3 5 π/2 B1 = α0 pi+1 sin3 θdθ, s а величина α0 = α0 (y) — граница разрушенных (0 < θ α0 ) и неразрушенных (α0 < θ < π/2) локальных элементов структурной модели в сечении с координатой y. До разрушения первого локального элемента α0 = 0. Выражая из системы (14) εx (y) i+1 , εy (y) i+1 , получим εx (y) i+1 = σx (y) i+1 + A1 (45 − 30 cos2 α0 + 9 cos4 α0 )− 2EM −B1 (15 cos2 α0 − 9 cos4 α0 ) (4 cos5 α0 )−1 , εy (y) i+1 =− (15) σx (y) i+1 + A1 (15 − 9 cos2 α0 ) − 9B1 cos2 α0 (4 cos3 α0 )−1 . 2EM 91 Н е б о г и н а Е.В. Используя найденные значения макродеформаций и распределение деформаций ползучести, по формуле (12) определяем распределение микронапряжений в данный момент времени t = ti+1 , вычисляем текущую величину работы микронапряжения на микродеформации ползучести по формуле ti+1 σ(θ, ξ)p(θ, ξ)dξ, Ac (θ, ti+1 ) = 0 затем находим меру повреждённости локального элемента (7) и проверяем критерий разрушения. Для определения макрохарактеристик также реализуется пошаговый метод расчёта ползучести. В конце временного промежутка вычисляем приращения макронапряжений, макродеформации ползучести и кривизны балки по формулам ∆px (y, t) = px (y, ti+1 ) − px (y, ti ) , h/2 h/2 ∆p(y, ti ) yb(y)dy ∆χ(ti ) = 0 −1 y 2 b(y)dy . (16) 0 Тогда ∆σx (y, ti ) = E (∆χ(ti )y − ∆px (y, ti ) ). На шаге t = ti+1 макровеличины определяются следующим образом: px (y, ti+1 ) = px (y, ti ) + ∆px (y, ti ) , χ(ti+1 ) = χ(ti ) + ∆χ(ti ), σx (y, ti+1 ) = σx (y, ti ) + ∆x σ(y, ti ) . (17) Вычислив все микро- и макровеличины в момент времени ti в каждом слое, переходим к следующему временному шагу. Расчёт на основании соотношений (16), (17), (15), (12) осуществляется до тех пор, пока ни один локальный элемент структурной модели не разрушен, при этом выполняется дискретизация области по переменным θ и y, а интегралы вычисляются численно. Если же присутствует процесс последовательного разрушения локальных элементов, то из области интегрирования удаляются области разрушенных элементов. 3. Результаты расчёта и сравнительный анализ. Для экспериментальной проверки разработанной методики были использованы опытные данные по ползучести при чистом изгибе балки прямоугольного сечения длиной 200 мм (b = 10 мм, h = 20 мм) из сплава Д16Т при температуре T = 250 ℃, приведённые в [12]. Исходной информацией для идентификации параметров структурной модели являлись усреднённые кривые стационарной одноосной ползучести при четырёх уровнях напряжений: σx = [68, 7; 78, 5; 88, 3; 98, 1] МПа [12], которые приведены на рис. 1 штриховыми линиями. Параметры аппроксимации скорости установившейся ползучести имеют следующие значения: A = 1,32 × × 10−13 МПа·ч−1 , N = 4,6. Макромодуль Юнга E = 5,5·104 МПа. С использованием этих значений макропараметров были определены микропараметры структурной модели: EM = 16,5·104 кг/мм2 , a = 6,5·10−15 МПа ·ч−1 , n = 4,6. 92 Метод решения краевой задачи ползучести . . . Согласно вышеприведенной методике, по точкам начала третьей стадии определялась для каждой реализаций величина A∗ и затем эти четыре значения c усреднялись. В результате получено A∗ = 2,81 МПа/мм2 . c На рис. 1 штриховыми линиями приведены экспериментальные данные, а сплошными линиями представлены рассчитанные по структурной модели кривые одноосной ползучести для сплава Д16Т (T = 250 ℃). Следует отметить, что различие в поведении рассчитанных по структурной модели кривых ползучести и экспериментальных данных можно объяснить тем, что в структурной модели третья стадия прогнозируется и описывается кинетикой разрушения локальных элементов. Далее осуществлялся расчёт кривизны балки на основании структурной модели по изложенной выше методике для двух значений изгибающего момента (с максимальными напряжениями в начальный момент t = 0 в упругой области σx (0) max = 105 МПа и σx (0) max = 120 МПа), при этом структурная модель заменяла собой феноменологическую модель ползучести материала. На рис. 2 приведены расчётные и экспериментальные значения кривизны балки в процессе ползучести. Для анализа решения выполнено сравнение данных расчёта значений кривизны балки по предложенной структурной модели не только с экспериментальными данными, но и данными расчёта для этой же балки по энергетическому варианту теории ползучести и длительной прочности [12] (см. рис. 2). На рис. 3 приведены графики распределения макронапряжений по высоте балки в различные моменты времени при σx (0) max = 105 МПа. Из рис. 3 следует, что происходит существенное перераспределение напряжений по высоте балки, причём на третьей стадии за счёт разрушения локальных элементов структурной модели в наиболее нагруженных областях величина макронапряжений при y = h/2 уменьшается практически до нуля. Поскольку в структурной модели третья стадия прогнозируется (в отличие от теории ползучести и длительной прочности [12], где при её построении используется вся кривая ползучести вплоть до разрушения), этим можно объяснить определённое отклонение расчётных значений кривизны χ = χ(t) по структурной модели от экспериментальных данных и данных расчёта по феноменологической модели [12]. Рис. 1. Экспериментальные (штриховые линии) и расчётные (сплошные линии) кривые ползучести сплава Д16Т при T = 250 ℃: 1 — σx = 70 МПа; 2 — σx = 80 МПа; 3 — σx = = 90 МПа; 4 — σx = 100 МПа 93 Н е б о г и н а Е.В. Рис. 2. Экспериментальные (точки), рассчитанные по структурной модели (штриховые линии), рассчитанные по энергетическому варианту (сплошные линии) значения кривизны балки из сплава Д16Т при T = 250 ℃: 1 — σx (0) max = 105 МПа; 2 — σx (0) max = 120 МПа Рис. 3. Распределение макронапряжений при σx (0) max = 105 МПа по высоте балки в различные моменты времени (рассчитанные по структурной модели): 1 — t = 0; 2 — t = = 11 час; 3 — t = 160 час; 4 — t = 340 час; 5 — t = 420 час Таким образом, в данной работе продемонстрирована возможность решения краевых задач ползучести и длительной прочности с использованием структурных моделей, которые заменяют собой физические уравнения состояния, при этом учитываются многие тонкие реологические эффекты, поскольку они фактически вложены в структурную модель.

About the authors

Elena V Nibogina

Samara State Technical University

Email: neboginaev@gmail.com
(Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

References

Supplementary files