Rolling regime in the Higgs model with friction

Abstract

The Higgs model with friction is considered. The hyperbolic analog of the KrylovBogoliubov averaging method is used to obtain an approximate solution. The obtained solution is compared to a numerical solution of the considered equation.

Full Text

Для уравнения Хиггса в теории поля [1], уравнения Фридмана в космологии [2, 3] и ряда других задач нелинейной динамики интерес представляет не только режим малых колебаний, но и режим скатывания [4, 5]. В работах [6, 7] предложен метод решения уравнения Хиггса, являющийся гиперболическим аналогом метода усреднения Крылова—Боголюбова. Метод был применен к исследованию режима скатывания в модели ангармонического осциллятора с мнимой частотой (уравнения Хиггса): q (t) − µ2 q(t) = −εq 3 (t) ∈ R, ¨ µ > 0, (1) ε > 0. С использованием известного разложения точного решения уравнения (1) в терминах гиперболических функций [8], была доказана теорема об оценке погрешности приближения точного решения решением, полученным с помощью гиперболического аналога метода усреднения Крылова—Боголюбова (см. [7]). В настоящей статье рассмотрено применение гиперболического аналога метода усреднения Боголюбова—Крылова к решению уравнения Хиггса с трением [4]: q (t) + 2εhq(t) − µ2 q(t) = −εq 3 (t) ∈ R, ¨ ˙ h > 0, µ > 0, ε>0 (2) с начальными данными q(0) = 0, q(0) = const. ˙ 1. Гиперболический аналог метода усреднения Крылова—Боголюбова. В рамках рассматриваемого метода решение уравнения Хиггса с трением (2) представляется в виде (3) q = a sinh(ψ) + εu(a, ψ), где амплитуда a удовлетворяет уравнению a = εA1 + ε2 A2 + . . . , а мгновенная ˙ ˙ ˙ частота ψ даётся уравнением ψ = µ + εB1 . Коэффициенты A1 , B1 и функция u задают первое приближение к решению уравнения согласно методу: q = εA1 sinh(ψ) + a(µ + εB1 ) cosh(ψ) + εµ ˙ ∂u , ∂ψ (4) 127 Е. В. П и с к о в с к и й q = 2εA1 µ cosh(ψ) + a(µ2 + 2µεB1 ) sinh(ψ) + εµ2 ¨ ∂2u . ∂ψ 2 (5) Из уравнений (2), (4), (5) получены выражения для амплитуды и первой поправки к мгновенной частоте: a = a0 e−εht , a0 = const, B1 = 3 2 −2εht a e . 8µ 0 Константа a0 определяется из начальных условий. Далее, принимая во внимание начальное условие q(0) = 0, запишем ψ = µt − 3a2 −2εht 0 (e − 1). 16µh Первая поправка u имеет следующий вид: u=− a3 sinh(3ψ). 32µ2 Решение уравнения (2) с точностью до ε даётся выражением q(t) = a0 e−εht sinh µt − 3a2 −2εht 0 (e − 1) − 16µh 3a2 −2εht a3 e−3εht 0 (e − 1) − ε 0 2 sinh 3 µt − 32µ 16µh . (6) Замечание. Рассмотрим уравнение x + 2εhx + ω 2 x + εx3 = 0, ¨ ˙ x(t) ∈ R, ω > 0, ε>0 с начальными условиями x(0) = 0, x(0) = 0. Решение такого уравнения даётся ˙ выражением [9, 10]: x(t) = ae−εh t sin ωt + a2 (e−2εh t − 1) . 16ωh (7) В [6, 7] отмечено, что представленное решение (6) формально может быть получено из разложения метода усреднения (7) заменами ω → iµ и a → −ia0 . 2. Численное решение. Сравнение с полученным приближением. Оценка погрешности приближения точного решения уравнения (2) первым приближением (6) в данной работе не представлена. Чтобы получить представление о погрешности приближения решения уравнения (2), в настоящем разделе сравниваются численное решение уравнения (2), приближенное решение, полученное в виде (3), и решение уравнения, полученное линеаризацией уравнения (2): q + 2εhq − µ2 q = 0, q(0) = 0, q(0) = 0. ¨ ˙ ˙ (8) 128 Режим скатывания в модели Хиггса с трением Решение последнего уравнения даётся выражением q(t) = C1 sinh( µ2 + ε2 h2 t)e−εht . Чтобы получить численное решение, были взяты следующие значения коэффициентов уравнения (2): ε = 0,25, h = 0,1, µ = 3,0 и заданы начальные условия q(0) = 0, q(0) = 5,6, T = 2π/µ ≈ 2,0944. ˙ На рис. 1 представлены графики численного решения уравнения (2), первого приближения, полученного выше. Заметим, что решение линеаризованного уравнения (8) существенно отличается от численного решения уравнения (2) уже при t = 0,3T ≈ 0,6283, а первое приближение (6) с хорошей точностью совпадает с численным до t = 0,6T ≈ 1,2566. На рис. 2 представлены фрагменты фазовых кривых, полученных на основе численного решения (линия 1), приближённого решения уравнения (2) (линия 2), решения линеаризованного уравнения (8) (линия 3). Параметр t изменяется в тех же пределах, что и на рис. 1. Видно, что существенное отклонение решения линеаризованного уравнения (8) от приближенного и численного решений уравнения (2) не позволяет использовать решение линеаризованного уравнения (8) в качестве приближения решения уравнения Хиггса с трением, а первое приближение обеспечивает хорошее приближение как обобщённой координаты, так и обобщённой скорости частицы, t 0,6T . Рис. 1. Решения уравнения (2), полученные численно (линия 1), аналитически (линия 2), и точное решение уравнения (8) (линия 3) Рис. 2. Фрагмент фазовой кривой, заданной параметрическими уравнениями x = q(t), y = q(t): линия 1 — численное ˙ решение системы, соответствующей (2); линия 2 иллюстрирует аналитическое решение; линия 3 иллюстрирует поведение системы, соответствующей (8) Автор благодарен И. Я. Арефьевой и И. В. Воловичу за постановку задачи и руководство в написании настоящей работы. Работа частично поддержана РФФИ (грант 11–01–00828-а) и Программой поддержки ведущих научных школ (грант НШ-2928.2012.1).