Задача Коши для системы гиперболических уравнений, содержащей смешанную производную

Аннотация

Рассмотрена задача Коши для системы гиперболических уравнений, содержащей смешанную производную. Для различных случаев совершен переход от исходной системы уравнений к системе треугольного или диагонального вида, допускающей расщепление уравнений. Получены задачи Коши для отдельных уравнений, в том числе неоднородных.

Полный текст

Рассматривается система уравнений (1) utt + 2Buxt + Cuxx = 0, где B, C — постоянные коммутативные матрицы второго порядка; u(x, t) — двумерная вектор-функция. Для обеспечения гиперболичности [1] системы (1) для собственных значений матриц B и C полагается, что b2 − ci > 0, i = 1, 2. i Для системы (1) ставится задача Коши с начальными условиями: u(x,0) = ϕ0 (x), ut (x,0) = ψ 0 (x), 0 x l. Здесь ϕ0 (x), ψ 0 (x) — двумерные вектор-функции. Известно [2], что структуры двух коммутирующих матриц связаны. Поэтому для каждой матрицы можно найти все коммутирующие с ней матрицы (задача Фробениуса). Далее этот факт используется для преобразования системы (1). Рассмотрим случай, когда матрица B имеет различные собственные значения b1 = b2 . В этом случае матрица C является простой и приводится к диагональному виду тем же преобразованием подобия, что и B: S −1 BS = JB = diag{b1 , b2 }, S −1 CS = JC = diag{c1 , c2 }, где det S = 0. Замена u = Sw в (1) приводит к системе уравнений wtt + 2JB wxt + JC wxx = 0 и условиям при 0 x l: w(x,0) = S −1 ϕ0 (x) = ϕ0 (x), ˜ ˜ wt (x,0) = S −1 ψ 0 (x) = ψ 0 (x). (2) В этом случае система распадается на два уравнения и для k-той компоненты вектор-функции w(x, t) получаем задачу Коши вида (wk )tt + 2bk (wk )xx + ck (wk )xx = 0, k = 1, 2, ˜0 wk (x,0) = ϕ0 (x), (wk )t (x,0) = ψk (x), 0 x l. ˜k Прямые x − pk t = C1 , x − qk t = C2 — характеристики приведённого уравнения (pk = = bk − ((bk )2 − ck )1/2 , qk = bk + ((bk )2 − ck )1/2 ∈ R). 218 Задача Коши для системы гиперболических уравнений, содержащей смешанную производную Решение полученной начальной задачи в треугольнике ∆k = {qk t x pk t + l, 0 t lγk }, где γk = (qk − pk )−1 , строится аналогично решению задачи Коши для волнового уравнения [3]: x−pk t ˜k ˜k wk (x, t) = γk qk ϕ0 (x − pk t) − pk ϕ0 (x − qk t) + x−qk t ˜0 ψk (z)dz . Возвращаясь к исходной функции u(x, t) с помощью обратной замены u = Sw, можно получить искомое решение начальной задачи для системы (1) в области ∆1 ∆2 . Рассмотрим теперь случай, когда матрица B имеет одно собственное значение b алгебраической кратности 2, его геометрическая кратность — 2 или 1 [2]. Если нормальная жорданова форма матрицы B имеет вид JB = bE, то любая матрица, подобная B, будет диагональной. Выберем матрицу перехода S (det S = 0) так, чтобы она приводила C к нормальной жордановой форме JC . Если матрица C — простая, то JC является диагональной и решение задачи Коши полностью аналогично предыдущему случаю. Если же JC = cE +H — жорданова клетка порядка 2, 0 0 где H = , то получаем систему 1 0 (w1 )tt + 2b(w1 )xt + c(w1 )xx = 0, (w2 )tt + 2b(w2 )xt + c(w2 )xx = −(w1 )xx (3) с начальными условиями (2), p1 = p2 = p, q1 = q2 = q, γ1 = γ2 = γ. Для первого уравнения системы (3) решение задачи Коши имеет тот же вид, что и в предыдущем случае. Правая часть второго уравнения системы (3) известна и зависит от w1 . Уравнения системы (3) имеют одинаковые области построения решений (∆1 = ∆2 ). Поэтому необходимо найти в этой области w2 в виде суммы решения однородного уравнения, удовлетворяющего неоднородным условиям, и частного решения соответствующего неоднородного уравнения с однородными условиями. Формула решения задачи Коши для неоднородного уравнения wtt + 2bwxt + cwxx = f (x, t) имеет такой вид: x−pt w(x, t) = γ q ϕ0 (x − pt) − pϕ0 (x − qt) + ˜ ˜ ˜ ψ 0 (z)dz+ x−qt x−p(t−τ ) t + f (s, τ )ds . dτ x−q(t−τ ) 0 Вычислим w1 (x, t) и подставим её в правую часть второго уравнения системы: w2 (x, t) = γ q ϕ0 (x − pt) − pϕ0 (x − qt) + ˜2 ˜2 x−pt x−qt ˜0 ψ2 (z)dz + + γ 3 (p + q) ϕ0 (x − pt) − ϕ0 (x − qt) + 2γ 3 ˜1 ˜1 x−pt x−qt ˜0 ψ1 (z)dz− ˜0 ˜0 − γ 2 t q ϕ0 (x − pt) + pϕ0 (x − qt) + ψ1 (x − pt) + ψ1 (x − qt) ˜1 ˜1 и вернёмся к функции u(x, t). Теперь предположим, что нормальная жорданова форма матрицы B имеет вид JB = bE + H. Матрица перехода S (det S = 0) должна приводить B к нормальной 219 К о з л о в а Е. А. жордановой форме JB = S −1 BS. Обозначим JC = S −1 CS. Так как B, C — коммутативные матрицы, то и JB , JC — коммутативные, причём [2] JC = cE + αH. Здесь α в зависимости от структуры C может быть равным нулю или отличным от нуля. Тогда исследуемая система перейдет в систему (w1 )tt + 2b(w1 )xt + c(w1 )xx = 0, (w2 )tt + 2b(w2 )xt + c(w2 )xx = −2(w1 )xt − α(w1 )xx . Воспользовавшись формулой для решения задачи Коши для неоднородного уравнения и подставив в правую часть w1 (x, t), получим выражение для w2 (x, t): w2 (x, t) = γ q ϕ0 (x − pt) − pϕ0 (x − qt) + ˜2 ˜2 x−pt x−qt ˜0 ψ2 (z)dz + + αγ 3 (p + q) ϕ0 (x − pt) − ϕ0 (x − qt) + 2αγ 3 ˜1 ˜1 x−pt x−qt ˜0 ψ1 (z)dz− ˜0 ˜0 − αγ 2 t q ϕ0 (x − pt) + pϕ0 (x − qt) + ψ1 (x − pt) + ψ1 (x − qt) − ˜1 ˜1 − 4γ 3 pq ϕ0 (x − pt) − ϕ0 (x − qt) − 2γ 3 (p + q) ˜1 ˜1 x−pt x−qt ˜0 ψ1 (z)dz+ ˜0 ˜0 + 2γ 2 t pq ϕ0 (x − pt) + pq ϕ0 (x − qt) + pψ1 (x − p1 t) + q ψ1 (x − qt) . ˜1 ˜1 Возврат к u(x, t) осуществляется с помощью замены u = Sw. Отметим, что коммутирующие матрицы B и C третьего и выше порядков не всегда возможно привести к жордановой форме одним преобразованием подобия. В этом случае следует приводить матрицы к треугольному виду (см., например, [4]). Рассмотренное здесь уравнение, содержащее смешанную производную, возникает при описании малых колебаний движущегося гибкого стержня [5, 6].