О характере разрывов нелинейности в задачах на собственные значения для уравнений эллиптического типа

Полный текст

В течение ряда лет автор изучает основные краевые задачи для уравнений эллиптического типа со спектральным параметром и разрывной по фазовой переменной нелинейностью (см., например, работы [1–7]). В работах других отечественных математиков в последние годы нелинейные задачи на собственные значения для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями не рассматривались. В работах зарубежных математиков последних лет (см., например, работы [8–14]) на разрывы нелинейности g(x, u) по фазовой переменной u накладывается следующее достаточно жёсткое ограничение — существует множество Ω0 ⊂ Ω меры нуль, для которого объединение {u ∈ R : g(x, ·) разрывна в точке u} x∈Ω\Ω0 имеет меру нуль (Ω — область, в которой рассматривается краевая задача). По сравнению с работами [8–14] в работах автора ослаблены ограничения на точки разрыва нелинейности g(x, u) по u, а именно на разрывы функции g(x, ·) накладывается условие g(x, u−) < g(x, u+), где g(x, u±) = lims→u±0 g(x, s). Таким образом, в работах автора не предполагается, что проекция множества точек разрыва g(x, u) по u на ось фазовой переменной u имеет меру нуль в R, что достаточно существенно. Это важно и для ряда прикладных задач. Например, в задаче об отрывных течениях несжимаемой жидкости М. А. Гольдштика [15] отрывные течения формируются на множестве ненулевой меры, когда разрывы прыгающие [16, 17] (т. е. если u — точка разрыва функции g(x, ·), то g(x, u−) < g(x, u+)). Ограничение на множество точек разрыва нелинейности можно заменить на более общее — А-условие. Определение. Для дифференциального уравнения с дифференциальным оператором L выполнено А-условие, если найдётся не более чем счётное семейство по2 верхностей {Si , i ∈ I}, Si = {(x, u) ∈ Rn+1 : u = ϕi (x), x ∈ Ω}, ϕi ∈ W1,loc (Ω), для которых при почти всех x ∈ Ω неравенство g(x, u−) > g(x, u+) влечёт существование i ∈ I такого, что u = ϕi (x) и (Lϕi (x) − g(x, ϕi (x)−))(Lϕi (x) − g(x, ϕi (x)+)) > 0. Такое условие предполагалось, например, в работе [18]. Отметим, что А-условие запрещает при почти всех x выход решения u(x) краевой задачи на поверхности раз 188 О характере разрывов нелинейности в задачах . . . рывов нелинейности g(x, u) в точках так называемых падающих разрывов по фазовой переменной, т. е. точках, для которых g(x, u−) > g(x, u+). Таким образом, если для почти всех x ∈ Ω верно неравенство g(x, u−) < g(x, u+) ∀u ∈ R, т. е. все разрывы по фазовой переменной u — прыгающие, то А-условие для уравнения выполняется. Несложно привести достаточные и легко проверяемые признаки выполнимости Аусловия, выраженные в терминах коэффициентов дифференциального оператора и нелинейности, а также дать физическую трактовку этому условию.

Об авторах

Дмитрий Константинович Потапов

Санкт-Петербургский государственный университет

Email: potapov@apmath.spbu.ru
(к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. высшей математики 198504, Россия, Санкт-Петербург, Университетский просп., 35

Список литературы

Дополнительные файлы