On the character of nonlinearity discontinuities in eigenvalue problems for elliptic equations

Abstract

The eigenvalue problems for equations of elliptic type with discontinuous by the phase variable nonlinearities are considered. The character of nonlinearity discontinuities is investigated. In this paper the restrictions on discontinuity points of nonlinearity are weaker than in works of other authors.

Full Text

В течение ряда лет автор изучает основные краевые задачи для уравнений эллиптического типа со спектральным параметром и разрывной по фазовой переменной нелинейностью (см., например, работы [1–7]). В работах других отечественных математиков в последние годы нелинейные задачи на собственные значения для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями не рассматривались. В работах зарубежных математиков последних лет (см., например, работы [8–14]) на разрывы нелинейности g(x, u) по фазовой переменной u накладывается следующее достаточно жёсткое ограничение — существует множество Ω0 ⊂ Ω меры нуль, для которого объединение {u ∈ R : g(x, ·) разрывна в точке u} x∈Ω\Ω0 имеет меру нуль (Ω — область, в которой рассматривается краевая задача). По сравнению с работами [8–14] в работах автора ослаблены ограничения на точки разрыва нелинейности g(x, u) по u, а именно на разрывы функции g(x, ·) накладывается условие g(x, u−) < g(x, u+), где g(x, u±) = lims→u±0 g(x, s). Таким образом, в работах автора не предполагается, что проекция множества точек разрыва g(x, u) по u на ось фазовой переменной u имеет меру нуль в R, что достаточно существенно. Это важно и для ряда прикладных задач. Например, в задаче об отрывных течениях несжимаемой жидкости М. А. Гольдштика [15] отрывные течения формируются на множестве ненулевой меры, когда разрывы прыгающие [16, 17] (т. е. если u — точка разрыва функции g(x, ·), то g(x, u−) < g(x, u+)). Ограничение на множество точек разрыва нелинейности можно заменить на более общее — А-условие. Определение. Для дифференциального уравнения с дифференциальным оператором L выполнено А-условие, если найдётся не более чем счётное семейство по2 верхностей {Si , i ∈ I}, Si = {(x, u) ∈ Rn+1 : u = ϕi (x), x ∈ Ω}, ϕi ∈ W1,loc (Ω), для которых при почти всех x ∈ Ω неравенство g(x, u−) > g(x, u+) влечёт существование i ∈ I такого, что u = ϕi (x) и (Lϕi (x) − g(x, ϕi (x)−))(Lϕi (x) − g(x, ϕi (x)+)) > 0. Такое условие предполагалось, например, в работе [18]. Отметим, что А-условие запрещает при почти всех x выход решения u(x) краевой задачи на поверхности раз 188 О характере разрывов нелинейности в задачах . . . рывов нелинейности g(x, u) в точках так называемых падающих разрывов по фазовой переменной, т. е. точках, для которых g(x, u−) > g(x, u+). Таким образом, если для почти всех x ∈ Ω верно неравенство g(x, u−) < g(x, u+) ∀u ∈ R, т. е. все разрывы по фазовой переменной u — прыгающие, то А-условие для уравнения выполняется. Несложно привести достаточные и легко проверяемые признаки выполнимости Аусловия, выраженные в терминах коэффициентов дифференциального оператора и нелинейности, а также дать физическую трактовку этому условию.