Моделирование нелинейных крутильных колебаний усеченного конического стержня
- Авторы: Худойназаров Х.Х.1
-
Учреждения:
- Самаркандский государственный университет имени Шарофа Рашидова
- Выпуск: Том 27, № 4 (2023)
- Страницы: 704-722
- Раздел: Механика деформируемого твердого тела
- Статья получена: 02.03.2023
- Статья одобрена: 07.07.2023
- Статья опубликована: 09.04.2024
- URL: https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/303608
- DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu2002
- EDN: https://elibrary.ru/ICMOQO
- ID: 303608
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Разработана нелинейная математическая модель нестационарных крутильных колебаний усеченного конического стержня из упругого материала с учетом нелинейной связи между напряжениями и деформациями. Выведено нелинейное уравнение для крутильных колебаний усеченного конического стержня относительно главной части крутильного перемещения оси симметрии стержня. Показано, что полученное уравнение нелинейных крутильных колебаний усеченного конического упругого стрежня в частных случаях совпадает с известными уравнениями, полученными другими авторами. С помощью полученного уравнения можно однозначно определить напряженно-деформированное состояние произвольного сечения конического стержня по пространственной координате и времени. На основе построенной модели численно решена задача о нестационарных крутильных колебаниях усеченного конического стержня при действии торцевой и поверхностной динамических нагрузок в условиях, когда широкий конец стержня жестко заделан, а узкий является свободным.
Ключевые слова
Полный текст
Введение
Конические элементы, совершающие нестационарные колебания, встречаются в рамках крепления двигателей, в колоннах строительных сооружений, поддерживающих перекрытиях, на которых установлены неуравновешенные агрегаты, при устройстве подвесов и т.д. [1]. Они также являются важными конструктивными элементами аэрокосмических аппаратов и находят широкое применение в различных приложениях, начиная от лучевых куполов и заканчивая космическими ракетами-носителями с большими топливными баками [2]. Можно указать ещe целый ряд областей техники и строительства, где широко применяются конические оболочечные конструкции, которые обусловливают исследование их вибрационных характеристик из соображения обеспечения безопасности и устойчивости этих систем [4]. В частности конические участки встречаются на деталях гребных валов и валах мощных приводов, подверженных крутильным колебаниям. Обычно расчет крутильных колебаний вала с переменным сечением осуществляют приближенно, при этом вал заменяется системой элементов с конечным числом степеней свободы [3], что приводит к сложным и громоздким вычислениям.
В связи с этим разработка математических моделей, позволяющих более точно осуществлять расчеты крутильных колебаний усеченных конических оболочек и стержней, в частности валов конической формы, является актуальной задачей.
Отметим, что в случае малости деформаций оболочек и стержней расчет и анализ их напряженно-деформированного состояния проводится на основе линейной теории оболочек и стержней [5, 6]. В некоторых случаях практического приложения колеблющихся систем для достижения большей точности возникает необходимость использования нелинейной теории колебания.
В научной литературе геометрически и физически нелинейным колебаниям конических элементов уделено намного меньше внимания, нежели цилиндрическим оболочкам, пластинкам и стержням [7, 8]. В этом плане в статье [9] исследовано распределение напряжений в тонкой пластинке при ее нелинейных колебаниях.
Учитывались два типа нелинейности — геометрическая и физическая. Физическая нелинейность предполагалась малой, соответствующее уравнение для деформаций решалось методом малого параметра. Перемещения при нелинейных колебаниях раскладывались по собственным формам линейных колебаний. Следует подчеркнуть, что вращающиеся оболочки или стержни в форме усеченного конуса — важные конструкции, которые широко применяются во многих областях техники [10].
При решении нелинейных задач важную роль играют разрешающие уравнения состояния [11]. В работе [12] С. В. Бакушевым рассматривается построение разрешающих уравнений в перемещениях в цилиндрической системе координат для плоской деформации сплошных сред, механическое поведение которых описывается математическими моделями, в которых физические соотношения имеют форму произвольных перекрестных зависимостей между первыми инвариантами тензоров и вторыми инвариантами девиаторов напряжений и деформаций. В качестве примеров рассмотрены две модели: деформационная теория пластичности сыпучей среды и деформационная теория пластичности бетона. Полученные уравнения могут быть использованы при определении напряженно-деформированного состояния физически нелинейных массивных тел со сложной геометрией.
В статьях [13, 14] разработаны математические модели нестационарных крутильных колебаний круговых цилиндрических [13] и усеченных конических [14] упругих оболочек с учетом нелинейных соотношений между напряжениями и деформациями. Выведены уточненные физически нелинейные уравнения крутильных колебаний таких оболочек из однородного и изотропного материала, из которых в частном случае, можно получить некоторые известные уравнения колебания классического типа. Предложены алгоритмы, позволяющие по полю искомых функций однозначно определить напряженно-деформированное состояние произвольного сечения рассматриваемых систем по пространственной координате и времени. Проанализированы некоторые предельные и частные случаи, следующие из полученных результатов.
Отметим также, что выбор уравнений колебаний на основе конкретных физико-механических свойств материала является одной из основных проблем в исследовании динамического поведения оболочек и стержней. Поэтому во многих случаях исследователям приходится разработать надлежащие уравнения колебания. Естественно, при этом используются различные методы вывода уравнений колебания [5]. К одному из таких методов относится метод использования общих решений в преобразованиях трехмерных задач теории упругости [6]. В частности, этот метод в линейной постановке был успешно применен к задачам динамики пластин [15] и круговых цилиндрических оболочек и стержней в работах [16, 17]. Сущность метода сводится к изучению построенных решений при различных типах внешних воздействий и выявлению условий, при выполнении которых смещения или их «главные части» удовлетворяют несложным уравнениям колебания, и нахождению алгоритма, позволяющего по полю этих «главных частей» вычислять приближенные значения полей смещений и напряжений в любом сечении для произвольного момента времени [18].
В настоящей работе на базе методов статей [13, 14] получены физически нелинейные уравнения для крутильных колебаний оболочек и стержней, разработан алгоритм определения их напряженно-деформированных состояний, а также проведен анализ предельных и частных случаев полученных результатов.
1. Математическая постановка задачи и линеаризация уравнения движения
Рассмотрим задачу о физически нелинейных крутильных колебаниях усеченного конического стержня с углом наклона $\varphi$ образующей конуса к оси симметрии (угол атаки) конуса (рис. 1). Материал стержня полагается упругим, однородным и изотропным, а его длина — неограниченной. Стержень отнесен к цилиндрической системе координат $(r, \theta , z)$, начало которой помещено на левом конце стержня, а ось $Oz$ направлена по оси симметрии стержня. Радиус граничной поверхности стержня меняется по заданному закону в зависимости от продольной координаты $z$, т.е. $r=r_{0} +kz$, где $k=\operatorname{tg}\varphi$, $r_{0} =\rm const$ — радиус левого торца стержня при $z=0$.
При выводе уравнений колебания считается, что стержень как коническое трехмерное тело строго подчиняется математической теории упругости и описывается уравнениями ее движения. Известно, что при решении осесимметричных задач о нестационарных колебаниях круговых цилиндрических и конических тел их крутильные колебания можно рассматривать отдельно от задачи об их продольно-радиальных колебаний. В случае крутильных колебаний усеченного конического стержня из-за симметричности задачи относительно оси симметрии отличными от нуля будут компоненты напряжения $\tau _{r\theta }$, $\tau _{z\theta }$ и соответствующие компоненты деформации $\gamma _{r\theta }$, $\gamma _{z\theta }$. Отсюда следует, что крутильные колебания усеченного конического стержня описываются уравнением
\[ \begin{equation}
\frac{\partial \tau _{r\theta } }{\partial r} +\frac{\partial \tau _{z\theta } }{\partial z} +\frac{2\tau _{r\theta } }{r} =\rho \frac{\partial ^{2} V}{\partial t^{2} } , \quad 0\le r<\infty,
\end{equation} \tag{1} \]
где $V$ — перемещения точек стержня.
Рис. 1. Схема усеченного конического стержня
[Figure 1. Diagram of a truncated conical rod]
Для задания граничных условий на конической поверхности стержня в произвольной точке его поверхности введем ортогональную систему координат $(n, s_{1},s_{2})$ (см. рис. 1). Здесь $n$ — нормаль к поверхности оболочки; $s_{1}$, $s_{2}$ — ортогональные к нормали координаты в плоскости образующей стержня, проведенной к его поверхности в выбранной точке. При этом $s_{1}$ направлена в окружном направлении, а $s_{2}$ — в продольном. Касательные напряжения $\tau_{ns_{1}}$ и $\tau_{ns_{2} }$ в точках конической поверхности в ортогональной системе координат $(n, s_{1}, s_{2})$ выражаются через компоненты напряжений в цилиндрической системе координат $(r, \theta, z)$. Cчитается [6, 7], что крутильные колебания стержня возбуждаются внешним динамическим усилием $f_{ns_{1}}(z,t)$, действующим на поверхности стержня, т.е. граничное условие задачи в системе координат $(n,s_{1},s_{2})$ при $r=r_{0} +kz$ имеет вид
\[ \begin{equation}
\bigl[\tau _{r\theta } (r, z, t )-k\tau _{z\theta } (r, z, t )\bigr]_{r=r_{0} +kz}=\Delta _{0} f_{r\theta } (z, t ),
\quad \text{где $\Delta _{0} =\sqrt{1+k^2}$ }.
\end{equation} \tag{2} \]
При этом считается, что другая составляющая внешней нагрузки равна нулю, т.е. $f_{z\theta}(z,t)=0$. Начальные условия принимаются нулевыми.
Будем считать, что зависимости Коши между компонентами тензора деформации и вектора перемещения линейны, т.е. перемещения малы, а связь между напряжениями и деформациями является нелинейной. Принимая нелинейную связь в виде нелинейного закона упругости, для случая крутильных колебаний стержня можно записать [19]:
\[ \begin{equation}
\tau _{r\theta } =\mu \chi (\psi _{0}^{2} )\gamma _{r\theta } ,\quad
\tau _{z\theta } =\mu \chi (\psi _{0}^{2} )\gamma _{z\theta } ,
\end{equation} \tag{3} \]
где $\mu $ и $\chi (\psi_{0}^{2})$ — коэффициент и функция сдвига соответственно; ${\psi }_0$ — интенсивность деформации сдвига, которая в данном случае будет иметь вид
\[ \begin{equation}
\psi _{0}^{2} =\frac{2}{3} (\gamma _{r\theta }^{2} +\gamma _{z\theta }^{2} ).
\end{equation} \tag{4} \]
Раскладывая функцию сдвига $\chi (\psi _{0}^{2} )$ в степенной ряд по степеням $\psi _{0}^{2}$ и ограничиваясь первыми двумя членами разложения, получим, что
\[ \begin{equation}
\chi (\psi _{0}^{2} ) \cong 1+\gamma _{2} \psi _{0}^{2} .
\end{equation} \tag{5} \]
Коэффициент $\gamma _{2}$ при этом является величиной порядка $[\psi _{0}^{2} ]^{-1}$, поэтому $\gamma _{2} [\psi _{0}^{2} ]^{-1}$ — величина порядка единицы [14]. Выражения (3) с учетом (4), (5) принимают вид
\[ \begin{equation}
\tau _{r\theta } =\mu \Bigl[\gamma _{r\theta } +\frac{2}{3} \gamma _{2} (\gamma _{r\theta }^{3} +\gamma _{z\theta }^{2} \gamma _{r\theta } )\Bigr],
\quad
\tau _{z\theta } =\mu \Bigl[\gamma _{z\theta } +\frac{2}{3} \gamma _{2} (\gamma _{r\theta }^{2} \gamma _{z\theta } +\gamma _{z\theta }^{3} )\Bigr].
\end{equation} \tag{6} \]
При этом соотношения Коши связи между компонентами деформаций и перемещения линейны:
\[ \begin{equation}
\gamma _{r\theta } =\frac{\partial V}{\partial r} -\frac{V}{r},\quad
\gamma _{\theta z} =\frac{\partial V}{\partial z}.
\end{equation} \tag{7} \]
Таким образом, задача о нестационарных, физически нелинейных крутильных колебаниях усеченного конического стержня приводится к интегрированию уравнений движения (1) при нелинейном законе упругости (6) с динамическими граничными (2) и нулевыми начальными условиями.
Подстановка выражений (6) и (7) в уравнение движения (1) дает следующее дифференциальное уравнение:
\[ \begin{equation*}
\Delta V+\gamma _{2} \Bigl[
\psi _{0}^{2} \Delta V+\gamma _{r\theta } \frac{\partial \psi _{0}^{2} }{\partial r} +
\gamma _{z\theta } \frac{\partial \psi _{0}^{2} }{\partial z} \Bigr]=
\frac{1}{b^{2} } \frac{\partial ^{2} V}{\partial t^{2} } ,
\end{equation*} \]
где
\[ \begin{equation*}
\Delta =\frac{d^{2} }{dr^{2} } +\frac{1}{r} \frac{d}{dr} +\frac{d^{2} }{dz^{2} },\quad b^{2} =\frac{\mu }{\rho } .
\end{equation*} \]
Преобразовывая выражение, заключенное в квадратные скобки в последнем уравнении, с помощью формул (4) и (7) и пренебрегая при этом членами порядка $O(V^{4})$ и выше, получим нелинейное уравнение
\[ \begin{equation}
\Delta V+\frac{2}{3} \gamma _{2} F (V )=\frac{1}{b^{2} } \frac{\partial ^{2} V}{\partial t^{2} } ,
\end{equation} \tag{8} \]
где
\[ \begin{equation*}
F (V )=\frac{3V}{r^{2} } \Bigl(\frac{\partial V}{\partial r} \Bigr)^{2} -
\frac{3V^{2} }{r^{3} } \frac{\partial V}{\partial r} +
\frac{V^{3} }{r^{4} } +
\frac{V}{r^{2} } \Bigl(\frac{\partial V}{\partial z} \Bigr)^{2} -
\frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial r} \Bigl(\frac{\partial V}{\partial z} \Bigr)^{2}
+\frac{V^{2} }{r^{2} } \frac{\partial ^{2} V}{\partial r^{2} } +\frac{\partial ^{2} V}{\partial z^{2} } \Bigl(\frac{\partial V}{\partial z} \Bigr)^{2}.
\end{equation*} \]
Для решения полученного уравнения применим метод малого параметра. Разложение перемещения в степенные ряды по степеням малого параметра $\alpha$ ($0<\alpha \ll 1$) и пренебрежение членами, содержащими квадрат малого параметра и выше (с учетом малости перемещения и деформаций), дает возможность представить его в виде
\[ \begin{equation}
V(r,z,t)=V^{(0)} (r,z,t)+\alpha V^{(1)} (r,z,t).
\end{equation} \tag{9} \]
Подстановка (9) в (8) с последующим пренебрежением членами, содержащими малый параметр $\alpha$ во второй и более степенях, приводит к линейным уравнениям
\[ \begin{equation}
\Delta V^{(0)} =\frac{1}{b^{2} } \frac{\partial ^{2} V^{(0)} }{\partial t^{2} } ,
\end{equation} \tag{10} \]
\[ \begin{equation}
\Delta V^{(1)} +\frac{2}{3} \gamma _{2} F (V^{(0)} )=\frac{1}{b^{2} } \frac{\partial ^{2} V^{(1)} }{\partial t^{2} } .
\end{equation} \tag{11} \]
При этом неоднородная часть уравнения (11) зависит только от функции $V^{(0)}$, которая определяется как решение однородного уравнения (10).
2. Вывод уравнения крутильных колебаний
Для решения уравнений (10), (11) функцию внешнего воздействия $f_{ns_{1}}(z,t)$ в граничных условиях (2) будем считать принадлежащими к классу функций, представимых в виде [20]
\[ \begin{equation}
f_{ns_{1} } (z, t)=
\int _{0}^{\infty }\!\!\!\! \begin{array}{r} {\sin qz} \\ {-\cos qz} \end{array}\!\! \Bigr\} dq
\int _{\left(l\right)}\bar{f}_{ns_{1} } \left(k,p\right)e^{pt} dp ,
\end{equation} \tag{12} \]
где $(l)$ — разомкнутый контур в плоскости $p$, прилегающий справа к участку $(-i\omega _{0}, i\omega _{0})$ мнимой оси. Кроме того, функции $\bar{f}_{ns_{1} } (k, p)$ пренебрежимо малы вне области $q\leqslant q_{0}$, $ |\operatorname{Im} p |\leqslant \omega_{0}$, где $q_{0}$, $\omega _{0} $ — некоторые числа.
Представляя перемещение $V^{(0)}$ в виде, аналогичном (12) (обозначим при этом его изображение через $\bar{V}^{(0)} $), и подставляя полученное в уравнение (10), получим обыкновенное дифференциальное уравнение Бесселя
\[ \begin{equation}
\Delta _{\beta } \bar{V}^{(0)} =0, \quad
\Delta _{\beta } =\frac{d^{2} }{dr^{2} } +\frac{1}{r} \frac{d}{dr} -\Bigl(\beta ^{2} +\frac{1}{r^{2} } \Bigr),
\quad
\beta ^{2} = \frac{p^{2}}{b^{2}} +q^{2}, \quad
b^{2} = \frac{\mu}{\rho },
\end{equation} \tag{13} \]
общее решение которого c учетом ограниченности решений при $r=0$ имеет вид
\[ \begin{equation}
\bar{V}^{(0)} =C I_{1} (\beta r),
\end{equation} \tag{14} \]
где $C$ — постоянная интегрирования; $I_{1}({}\cdot{})$ — модифицированная функция Бесселя.
Воспользуемся стандартным разложением в степенной ряд функции Бесселя в общем решении (14). Ограничимся нулевым приближением в разложении и введем новую искомую функцию по формуле [17]
\[ \begin{equation*}
\bar{V}_{0}^{(0)} (q, p )= C \beta /2.
\end{equation*} \]
При этом преобразованное перемещение $\bar{V}^{(0)}$ легко выражается через введенную новую функцию $\bar{V}_{0}^{(0)}(q,p)$:
\[ \begin{equation}
\bar{V}^{(0)} (r, q, p )=
2\sum _{n=0}^{\infty }\beta ^{2n} \bar{V}_{0}^{(0)} (q, p)
\frac{( r/2 )^{2n+1} }{n! (n+1)!}.
\end{equation} \tag{15} \]
Вводя оператор [17]
\[ \begin{equation}
\lambda ^{n} (\zeta )=
\int _{0}^{\infty }\!\!\!\! \begin{array}{r} {\sin qz} \\ {-\cos qz} \end{array}\!\!\Bigr\}dq
\int _{(l)}\beta ^{2n} \bar{\zeta } (q, p )e^{pt} dp ,
\end{equation} \tag{16} \]
из выражения (15) для оригинала $V^{(0)}$ получаем решение уравнения (10):
\[ \begin{equation}
V^{(0)} (r, z, t )=
\Bigl(r+\frac{r^{3} }{8} \lambda \Bigr)
V_{0}^{(0)} (z, t )+\frac{r^{5} }{96} \lambda ^{2} V_{0}^{(0)} (z, t)+ \dots,
\end{equation} \tag{17} \]
где $V_{0}^{(0)} (z, t )$ — оригинал функции $\bar{V}_{0}^{(0)} (q, p)$.
Для решения неоднородного уравнения (11) выразим функцию $F(V^{(0)} )$, где $V^{(0)}$ определяется по (17). Для этого ограничимся первыми двумя членами в разложении (17) и подставим их в выражение (8) для $F(V^{(0)} )$. Далее, пренебрегая членами выше третьего порядка малости и подставляя полученное выражение в (11), будем иметь
\[ \begin{equation}
\Delta V^{(1)} +\frac{2}{3} \gamma _{2} \bigl[rf_{1} (V_{0}^{(0)} )+r^{3} f_{2} (V_{0}^{(0)} )\bigr]=0,
\end{equation} \tag{18} \]
где $f_{1}$, $f_{2}$ — функции главной части перемещения $V_{0}^{(0)} (z, t)$.
Представляя функции $V^{(1)}(r, z, t)$, $f_{1} (z,t)$ и $f_{2} (z,t)$ в виде, аналогичном (12), и подставляя их в уравнение (18), будем иметь следующее преобразованное уравнение:
\[ \begin{equation}
\Delta _{\beta } \bar{V}^{(1)} +\frac{2}{3} \gamma _{2}
\bigl[r\bar{f}_{1} (q, p)+r^{3} \bar{f}_{2} (q,p)\bigr]=0,
\end{equation} \tag{19} \]
где $\bar{V}^{(1)} (r, q, p)$, $\bar{f}_{1} (q,p)$, $\bar{f}_{2} (q, p)$ — изображения функций $V^{(1)} (r, z, t)$, $f_{1} (z,t)$ и $f_{2} (z, t)$ соответственно.
Для нахождения решения неоднородного уравнения (19) применим метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных). Общее решение соответствующего однородного уравнения $\Delta_{\beta}\bar{V}^{(1)}=0$ имеет вид
\[ \begin{equation*}
\bar{V}^{(1)} =D_{1} I_{1} (\beta r)+D_{2} K_{1} (\beta r).
\end{equation*} \]
Определяя методом Лагранжа выражения для $D_{1}$ и $D_{2}$ и ограничиваясь в них первыми членами степенных рядов Бесселя, получим приближенное частное решение неоднородного уравнения (19) в виде
\[ \begin{equation}
\bar{V}^{(1)} (r,q,p)=-\frac{r^{3} }{12} \gamma _{2}
\Bigl[\bar{f}_{1} (q,p)+\frac{r^{2} }{3} \bar{f}_{2} (q,p)\Bigr].
\end{equation} \tag{20} \]
Применяя к обеим частям решения (20) преобразования вида (12) для функций $\bar{V}^{(1)} (r, q, p)$, $\bar{f}_{1} (q,p)$ и $\bar{f}_{2} (q,p)$, получим решение уравнения (18) в виде
\[ \begin{equation}
V^{(1)} =-\frac{r^{3} }{12} \gamma _{2} \Bigl\{
\frac{9}{4} V^{(0)} \lambda V_{0}^{(0)} +\frac{r^{2} }{3}
\Bigl[
\frac{\partial ^{2} V_{0}^{(0)} }{\partial t^{2} } -\frac{3}{4} \lambda V_{0}^{(0)} \Bigr]
\Bigl(\frac{\partial V_{0}^{(0)} }{\partial z} \Bigr)^{2} \Bigr\}.
\end{equation} \tag{21} \]
Подставляя (21) и (17) в (9), получим
\[ \begin{equation}
V=\Big(r+\frac{r^{3} }{8} \lambda \Big)V_{0}^{(0)} +\frac{r^{5} }{96} \lambda ^{2} V_{0}^{(0)}
-\alpha \gamma _{2} \Bigl\{\frac{3r^{3} }{16} V_{0} \lambda V_{0}^{(0)} +\frac{r^{5} }{36}
\Bigl[
\frac{\partial ^{2} V_{0}^{(0)} }{\partial z^{2} } -\frac{3}{4} \lambda V_{0}^{(0)} \Bigr]
\Bigl(\frac{\partial V_{0}^{(0)} }{\partial z} \Bigr)^{2}
\Bigr\}.
\end{equation} \tag{22} \]
Удовлетворяя (22) граничному условию (2) и пренебрегая членами с производными выше четвертого порядка, получим следующее уравнение:
\[ \begin{multline}
-\frac{4k}{r} \frac{\partial V_{0}^{(0)} }{\partial z} +\lambda V_{0}^{(0)} -\frac{kr}{2} \lambda \frac{\partial V_{0}^{(0)} }{\partial z} +\frac{r^{2} }{6} \lambda ^{2} V_{0}^{(0)}
-\alpha \gamma _{2}
\Bigl[3 V_{0}^{(0)} \lambda V_{0}^{(0)} -\frac{3r}{4} k
\Bigl(\frac{\partial V_{0}^{(0)} }{\partial z} \lambda V_{0}^{(0)} +
V_{0}^{(0)} \lambda \frac{\partial V_{0}^{(0)} }{\partial z} \Bigr)+ {} \\
{}+ \frac{8r^{2} }{9} \Bigl(\frac{\partial ^{2} V_{0}^{(0)} }{\partial z^{2} } -\frac{3}{4} \lambda V_{0}^{(0)} \Bigr)
\Bigl(\frac{\partial V_{0}^{(0)} }{\partial z} \Bigr)^{2} \Bigr]+
\frac{8kr}{3} \gamma _{2} \Bigl(\frac{\partial V_{0}^{(0)} }{\partial z} \Bigr)^{3}
+\frac{2r^{2} }{3} \gamma _{2}
\Bigl(
\frac{\partial V_{0}^{(0)} }{\partial z} \Bigr)^{2} \lambda V_{0}^{(0)} =\frac{4(1+k^{2} )}{\mu r^{2} } f_{r\theta } (z,t),
\end{multline} \tag{23} \]
где $r=r_{0} +kz$.
Из представления (13) для $\beta ^{2}$ следует, что введенные выше операторы $\lambda ^{n}$ (см. формулу (16)) в переменных $(z,t)$ принимают вид [21]
\[ \begin{equation}
\lambda ^{n} =
\Bigl[\frac{1}{b^{2} } \frac{\partial ^{2} }{\partial t^{2} } -\frac{\partial ^{2} }{\partial z^{2} }
\Bigr]^{n} ,\quad b=\sqrt{ {\mu }/{\rho } } ,\quad
n=0, 1, 2,\dots .
\end{equation} \tag{24} \]
Отсюда следует, что $\lambda$, $\lambda ^{2}$, $\dots$ — дифференциальные операторы, а $\lambda ^{0}\equiv 1$.
Уравнение (23) в соответствии с выражением (24) для операторов $\lambda ^{n}$ является дифференциальным уравнением относительно главной части $V_{0}^{(0)}$ крутильного перемещения усеченного конического стержня $V^{(0)}$. Оно представляет собой общее уравнение физически нелинейных крутильных колебаний усеченного конического упругого стержня, которое зависит от операторов $\lambda ^{n}$ и главной части крутильного перемещения точек оси симметрии стержня. Это уравнение в своей правой части правильно учитывает силы, действующие на поверхность стержня.
Наряду с уравнением колебания аналогично выводятся формулы для ненулевых напряжений, выражающие их через искомую функцию $V_{0}^{(0)}$:
\[ \begin{equation}
\begin{split}
\sigma _{ns_{1} } (r,z,t)=\frac{1}{\Delta _{0} } \bigl[\tau _{r\theta } (r, z, t )-k\tau _{z\theta } (r, z, t )\bigr], \\
\sigma _{s_{1} s_{2} } (r,z,t)=\frac{1}{\Delta _{0} } \bigl[
\tau _{z\theta } (r, z, t )-k\tau _{r\theta } (r, z, t )\bigr],
\end{split}
\end{equation} \tag{25} \]
где
\[ \begin{equation}
\begin{array}{l}
\tau _{r\theta } =\mu L\Bigl\{\dfrac{r^{2} }{4} \lambda V_{0}^{(0)}+\dfrac{r^{4}}{24} \lambda^{2} V_{0}^{(0)}
- \dfrac{r^{2}}{4}\alpha\gamma_{2}\Bigl[\dfrac{3}{2} V_{0}\lambda V_{0}^{(0)}
+ \dfrac{4r^{4}}{9} \Bigl(\dfrac{\partial ^{2} V_{0}^{(0)}}{\partial z^{2}}-\dfrac{3}{4} \lambda V_{0}^{(0)} \Bigr)
\Bigl(
\dfrac{\partial V_{0}^{(0)}}{\partial z}\Bigr)^{2}\Bigr]\Bigr\},
\\
\tau _{z\theta } =\mu L\Bigl[\Bigl(r+\dfrac{r^{3} }{8} \lambda \Bigr)
\dfrac{\partial V_{0}^{(0)} }{\partial z} -
\dfrac{3r^{3} }{16} \alpha \gamma _{2} \Bigl(\dfrac{\partial V_{0}^{(0)} }{\partial z} \lambda V_{0}^{(0)} +V_{0} \lambda \dfrac{\partial V_{0}^{(0)} }{\partial z} \Bigr)\Bigr],
\\
L=1+\dfrac{2}{3} \gamma _{2} r^{2} \Bigl(\dfrac{\partial V_{0} }{\partial z} \Bigr)^{2} +\dfrac{1}{6} \gamma _{2} r^{4} \lambda \Bigl(\dfrac{\partial V_{0} }{\partial z} \Bigr)^{2} .
\end{array}
\end{equation} \tag{26} \]
При этом крутильное перемещение вычисляется по формуле (22).
Формулы для перемещения (22) и напряжений (25) дают возможность определить напряженно-деформированное состояние усеченного конического стержня в ее произвольном сечении по пространственным координатам и времени.
3. Частные случаи уравнения колебаний
Полученные результаты допускают некоторые предельные и частные случаи, следующие из выведенных уравнений физически нелинейных колебаний усеченного конического стержня и соответствующих формул для определения напряженно-деформированного состояния его произвольной точки.
Пренебрегая в уравнении (23) слагаемыми, заключенными в квадратные скобки, как малыми величинами1 более высокого порядка по сравнению с остальными членами уравнения, и учитывая, что $r=r_{0} +kz$, получим
\[ \begin{equation}
\lambda V_{0}^{(0)} +\frac{ (r_{0} +kz )^{2} }{6} \lambda ^{2} V_{0}^{(0)} -
k\Bigl(\frac{4}{r_{0} +kz} \frac{\partial V_{0}^{(0)} }{\partial z} +\frac{1}{2} \lambda \frac{\partial V_{0}^{(0)} }{\partial z} \Bigr)
+\frac{8k (r_{0} +kz )^{2} }{3} \gamma _{2} \Bigl(\frac{\partial V_{0}^{(0)} }{\partial z} \Bigr)^{3}+
\frac{2 (r_{0} +kz )^{2} }{3} \gamma _{2} \Bigl(\frac{\partial V_{0}^{(0)} }{\partial z} \Bigr)^{2}
\lambda V_{0}^{(0)} =\frac{4\Delta _{0} }{\mu (r_{0} +kz )^{2} } f_{r\theta } (z,t).
\end{equation} \tag{27} \]
В этом случае формулы для напряжений $\tau _{r\theta }(r, z, t)$, $\tau _{z\theta } (r, z, t)$ принимают вид
\[ \begin{equation*}
\begin{array}{l}
\tau _{r\theta } =
\mu L\Bigl[\dfrac{ (r_{0} +kz )^{2} }{4} \lambda V_{0}^{(0)} +
\dfrac{ (r_{0} +kz )^{4} }{24} \lambda ^{2} V_{0}^{(0)} \Bigr],
\\
\tau _{z\theta } =\mu L\Bigl(r_{0} +kz+\dfrac{ (r_{0} +kz )^{3} }{8} \lambda \Bigr)
\dfrac{\partial V_{0}^{(0)} }{\partial z},
\end{array}
\end{equation*} \]
а выражение дифференциального оператора $L$ будет по-прежнему определяться формулой (26).
Рассмотрим некоторые частные случаи, следующие из уравнения физически нелинейных крутильных колебаний усеченного конического стержня (27).
3.1. Допустим, что угол атаки конуса $\varphi$ равен нулю, следовательно, и ${k=0}$. Тогда уравнение (27) принимает вид
\[ \begin{equation}
\lambda V_{0}^{(0)} +\frac{r_{0} ^{2} }{6} \lambda ^{2} V_{0}^{(0)} +\frac{2r_{0} ^{2} }{3} \gamma _{2} \Bigl(\frac{\partial V_{0}^{(0)} }{\partial z} \Bigr)^{2} \lambda V_{0}^{(0)} =
\frac{4\Delta _{0} }{\mu r_{0} ^{2} } f_{r\theta } (z,t).
\end{equation} \tag{28} \]
В этом случае формулы для напряжений принимают вид
\[ \begin{equation*}
\begin{array}{l}
\sigma _{ns_{1} } (r,z,t)= \tau _{r\theta } (r,z,t )=
\mu L\Bigl[\dfrac{r_{0} ^{2} }{4} \lambda V_{0}^{(0)} (z, t) +
\dfrac{r_{0} ^{4} }{24} \lambda ^{2} V_{0}^{(0)} (z, t) \Bigr],
\\
\sigma _{s_{1} s_{2} } (r,z,t)=\tau _{z\theta } (r, z, t )=
\mu L\Bigl(r_{0} +\dfrac{r_{0} ^{3} }{8} \lambda \Bigr)
\dfrac{\partial V_{0}^{(0)}(z, t) }{\partial z} .
\end{array}
\end{equation*} \]
Уравнение (28) является уравнением физически нелинейных крутильных колебаний кругового цилиндрического стержня с радиусом поперечного сечения, равным $r_{0}$. В соответствии с видом (24) операторов $\lambda^{n}$ оно является дифференциальным уравнением четвертого порядка в частных производных. При этом легко показывается, что слагаемые с производными четвертого порядка учитывают эффекты инерции вращения и деформации поперечного сдвига [21]. Если в нем пренебречь членами с производными четвертого порядка, то это уравнение в точности совпадет с уравнением, рассмотренным в работе [13].
Для сравнения с другими известными уравнениями крутильных колебаний стержней перепишем уравнение (28) в следующем виде:
\[ \begin{equation}
\frac{1}{b^{2} } \frac{\partial ^{2} V_{0}^{(0)} }{\partial t^{2} } -
\frac{\partial ^{2} V_{0}^{(0)} }{\partial z^{2} } +
\frac{2r_{0} ^{2} }{3b^{2} } \gamma _{2} \frac{\partial ^{2} V_{0}^{(0)} }{\partial t^{2} }
\Bigl(\frac{\partial V_{0}^{(0)} }{\partial z} \Bigr)^{2}
- \frac{2r_{0} ^{2} }{3} \gamma _{2} \frac{\partial ^{2} V_{0}^{(0)} }{\partial z^{2} }
\Bigl(\frac{\partial V_{0}^{(0)} }{\partial z} \Bigr)^{2}=\frac{4}{\mu r_{0} ^{2} } f_{r\theta } (z,t).
\end{equation} \tag{29} \]
Уравнение (29) переходит в уравнение крутильных колебаний кругового цилиндрического стержня, предложенное профессором И. Г. Филипповым [20], если в нем пренебречь третьим членом, и переходит в классическое уравнение Г. Каудерера [19], если в нем еще занулить правую часть.
3.2. Рассмотрим линейный случай, т.е. $\gamma _{2} =0$. Тогда уравнение (27) принимает вид
\[ \begin{equation}
\lambda V_{0}^{(0)} +\frac{ (r_{0} +kz )^{2} }{6} \lambda ^{2} V_{0}^{(0)} -
k\Bigl(\frac{4}{r_{0} +kz} \frac{\partial V_{0}^{(0)} }{\partial z} +\frac{1}{2} \lambda \frac{\partial V_{0}^{(0)} }{\partial z} \Bigr)
=\frac{4\Delta _{0} }{\mu (r_{0} +kz )^{2} } f_{r\theta } (z,t).
\end{equation} \tag{30} \]
Уравнение (30) является уточненным уравнением нестационарных крутильных колебаний усеченного конического стержня с учетом инерции вращения и деформации поперечного сдвига. Из выражения крутильного перемещения (17) нетрудно заключить, что $V_{0}^{(0)} $ есть величина безразмерная и она может быть принята за угол поворота. С учетом этого обстоятельства и в частном случае равенства нулю правой части и отсутствия второго и четвертого слагаемых в левой части после некоторых несложных преобразований это уравнение в точности переходит в уравнение С. П. Беридзе [3].
3.3. Пусть $k=0$ и $\gamma _{2} =0$ одновременно. Тогда из (27) следует уравнение крутильных колебаний стержня кругового поперечного сечения:
\[ \begin{equation*}
\frac{1}{b^{2} } \frac{\partial ^{2} V_{0}^{(0)} }{\partial t^{2} } -\frac{\partial ^{2} V_{0}^{(0)} }{\partial z^{2} } +\frac{r_{0} ^{2} }{6}
\Bigl[
\frac{1}{b^{4} } \frac{\partial ^{4} V_{0}^{(0)} }{\partial t^{4} } -2\frac{1}{b^{4} } \frac{\partial ^{4} V_{0}^{(0)} }{\partial t^{2} \partial z^{2} } +\frac{\partial ^{4} V_{0}^{(0)} }{\partial z^{4} }
\Bigr]=\frac{4}{\mu r_{0} ^{2} } f_{r\theta } (z,t).
\end{equation*} \]
Это уравнение учитывает инерцию вращения и деформацию поперечного сдвига [21].
4. Физически нелинейные крутильные колебания конического стержня
В качестве примера рассмотрим задачу о нестационарных физически нелинейных крутильных колебаниях усеченного конического стержня с одним свободным и другим жестко заделанным концами. Колебания стержня возбуждаются поверхностной нагрузкой постоянной интенсивности $f_{r\theta } (z,t)=\rm const$ и заданным перемещением $g (t)$ на свободном конце. В начальный момент времени стержень находится в покое и начальная скорость колебаний равна нулю. Требуется определить напряженно-деформированное состояние поверхностных точек стержня в зависимости от продольной координаты и времени.
Для решения поставленной прикладной задачи применим уравнение (27) без учета инерции вращения и поперечного сдвига, т.е. ограничиваясь производными не выше третьего порядка и пренебрегая пятым слагаемым как малой величиной по сравнению с другими слагаемыми уравнения:
\[ \begin{equation}
\frac{1}{b^{2} } \frac{\partial ^{2} V_{0} }{\partial t^{2} } -
\frac{\partial ^{2} V_{0} }{\partial z^{2} } +
\frac{2\gamma _{2} (r_{0} +kz )^{2} }{3} \Bigl(\frac{\partial V_{0} }{\partial z} \Bigr)^{2}
\Bigl(\frac{1}{b^{2} } \frac{\partial ^{2} V_{0} }{\partial t^{2} } -\frac{\partial ^{2} V_{0} }{\partial z^{2} } \Bigr)
-\frac{4k}{ (r_{0} +kz )} \frac{\partial V_{0} }{\partial z} =
\frac{4\Delta _{0} }{\mu (r_{0} +kz )^{2} } f_{r\theta }(z,t),
\end{equation} \tag{31} \]
где через $V_{0}$ обозначена искомая в (27) функция $V_{0}^{(0)}$. На основании (22) $V_{0}$ является главной частью (углом поворота), поэтому крутильное перемещение $V$ в первом приближении выражается так:
\[ \begin{equation*}
V (r,z,t )= (r_{0} +kz )V_{0} (z, t ).
\end{equation*} \]
Переходя в (31) к безразмерным переменным по формулам
\[ \begin{equation*}
r_{0}^{*} = r_{0}/ l ,
\quad
t^{*} = bt/ l ,
\quad
z^{*} = z/ l,
\end{equation*} \]
где $l$ — длина стержня, и опуская звездочки для удобства записи, получим
\[ \begin{equation}
\Bigl(\frac{\partial ^{2} V_{0} }{\partial t^{2} } -\frac{\partial ^{2} V_{0} }{\partial z^{2} } \Bigr)
\Bigl\{1+\frac{2\gamma _{2} (r_{0} +kz )^{2} }{3} \Bigl(\frac{\partial V_{0} }{\partial z} \Bigr)^{2}
\Bigr\}-\frac{4k}{ (r_{0} +kz )}
\frac{\partial V_{0} }{\partial z} =
\frac{4\Delta _{0} }{\mu (r_{0} +kz )^{2} } f_{r\theta } (z,t).
\end{equation} \tag{32} \]
Функцию внешней поверхностной нагрузки согласно условию задачи примем в виде $f_{r\theta } (z,t)= P/ S_{b}$, где $P$ — постоянная внешняя сила; $S_{b} = \pi l {(2r_{0} +kl )} \times \sqrt{1+k^{2} }$ — площадь боковой поверхности конуса. Граничные и начальные условия запишутся в виде
\[ \begin{equation}
V_{0} (0, t) = r_{0}^{-1} g (t ), \quad V_{0} (1, t) =0, \quad 0\leqslant t\leqslant 1;
\end{equation} \tag{33} \]
\[ \begin{equation}
V_{0} (z, 0) = \frac{\partial V_{0} (z,t)}{\partial t} \Bigr|_{t=0} =0, \quad 0\leqslant z\leqslant 1.
\end{equation} \tag{34} \]
Задача (32)–(34) решена численно методом конечных разностей с соблюдением условий устойчивости и сходимости. Для расчетов функция торцевой нагрузки принималась в виде $g(t)=A\sin (\pi t)$, где $A$ — заданная амплитуда перемещения, при этом $T=l/b$ — время прохождения крутильной волной длины стержня. Расчеты проводились для следующих значений параметров: ${\varphi =1^{\circ }}$, $k=\operatorname{tg} 3^{\circ } =0.052$, $l=1$, $r_{0} =0.02$, $T=1$, ${P=5}$ кН, $A\approx 0.2\cdot 10^{-3}$. Физико-механические параметры модели соответствовали алюминиевому сплаву Д16Т [22, 23]: $\mu =27.7$ ГПа, $\rho =2780$ кг/м$^{3}$, $\gamma_{2} =-0.3878 \cdot 10^{6}$.
На рис. 2 приведены расчетные зависимости крутильного перемещения $V$ от безразмерного времени в различных поперечных сечениях стержня. Из представленных графиков видно, что колебания начинаются в тот момент, когда волна достигает того или иного сечения. Самые большие изменения претерпевают перемещения точек левого торца стержня, имея максимальное отклонение, равное 0.00036 при $t=0.5$. При этом чем дальше сечение от левого, подвергнутого кинематическому воздействию торца, тем меньше максимальное значение перемещения. Например, максимальные значения перемещений точек сечений $z=0$ и $z=0.3$ отличаются друг от друга на 33.3 %. Зависимости перемещения носят синусоидальный характер и являются затухающими при возрастании продольной координаты.
Рис. 2. Зависимость крутильного перемещения \(V\) от безразмерного времени \(t\) в различных поперечных сечениях усеченного конического стержня
[Figure 2. The torsional displacement $V$ vs. dimensionless time $t$ graph in various cross-sections a truncated conical rod]
На рис. 3 приведены расчетные зависимости касательного напряжения ${\sigma }_{ns_1}$ от безразмерного времени для поверхностных точек различных сечений усеченного конического стержня в системе координат $(n, s_{1} ,s_{2})$. Из представленных графиков следует, что касательное напряжение в любом сечении отрицательное и почти сразу достигает своего максимального значения, а потом медленно затухает по времени. Кроме того, видно, что по мере удаления от левого торца максимальные значения напряжения $\sigma _{ns_{1} } $ убывают, сохраняя при этом в каждом отдельном случае закономерности затухания по времени.
Рис. 3. Зависимость касательного напряжения \(\sigma_{ns_1}\) от безразмерного времени \(t\) в различных поперечных сечениях конического стержня
[Figure 3. The tangential stress ${\sigma }_{ns_1}$ vs. dimensionless time $t$ graph in various cross-sections of a truncated conical rod]
На рис. 4 приведены графики зависимости крутильного перемещения $V$ от продольной координаты $z$ усеченного конического стержня в различные моменты безразмерного времени $t$. В сечении $z=0$ при значениях времени $t\leqslant 0.6$ перемещения поверхностных точек достигают своего максимального значения и тут же начинают затухать, а к концу конического стержня во всех зафиксированных значениях времени ($t=0.2;\, 0.4;\, 0.6;\, 0.8$) уже полностью затухают.
Рис. 4. Зависимость крутильного перемещения \(V\) от продольной координаты \(z\) в различные моменты безразмерного времени \(t\) для усеченного конического стержня
[Figure 4. The torsional displacement $V$ vs. longitudinal coordinate $z$ graph at various moments of dimensionless time $t$ for a truncated conical rod]
Рис. 5. Зависимость касательного напряжения \(\sigma_{ns_1}\) от продольной координаты \(z\) в различные моменты безразмерного времени \(t\) для усеченного конического стержня
[Figure 5. The tangential stress ${\sigma }_{ns_1}$ vs. longitudinal coordinate $z$ graph at various moments of dimensionless time $t$ for a truncated conical rod]
Рис. 6. Зависимость крутильного перемещения \(V\) точек срединного сечения стержня от безразмерного времени \(t\) при различных углах атаки \(\varphi\)
[Figure 6. The torsional displacement $V$ of the rod middle section of the rod vs. dimensionless time $t$ graph at different angles of attack $\varphi$]
На рис. 5 приведены графики зависимости касательного напряжения $\sigma _{ns_{1} }$ от продольной координаты $z$ усеченного конического стержня в различные моменты безразмерного времени $t$. Из представленных графиков видно, что в точках левого торца стержня напряжение достигает максимального значения (по модулю) и сразу начинает убывать. С течением времени максимальное значение переходит с отрицательных значений при $t\leqslant 0.6$ на положительные при $t\geqslant 0.7$. С прохождением волны возмущения некоторого сечения за фиксированное время (например, сечения $z=0.23$ при $t=0.6$) касательное напряжение $\sigma _{ns_1 }$ можно считать равным нулю.
На рис. 6 приведены графики изменения крутильного перемещения точек срединного сечения стержня по безразмерному времени $t$ при различных значениях угла атаки $\varphi$. Из графиков видно, что при значениях угла атаки $0\leqslant \varphi <2^{\circ }$ перемещение $V$ точек срединного сечения стержня начинает расти с момента достижения возбуждением сечения $z=0.5$; полученные графики можно считать относительно плавными. При этом малым значениям угла атаки соответствуют большие значения перемещения, т.е. с ростом значения угла атаки перемещения уменьшаются.
При значениях угла атаки $\varphi \geqslant 2^{\circ}$ наблюдается скачкообразное изменение перемещений точек срединного сечения стержня с момента достижения возмущением сечения $z=0.5$. При этом графики имеют синусоидальный характер с относительными максимумами и минимумами. Расчеты показали, что данный эффект имеет место при любых значениях угла атаки $\varphi \geqslant 2^{\circ}$, что указывает на неправильность полученных результатов при $\varphi \geqslant 2^{\circ }$. Это объясняется тем, что в этих случаях усеченный конический стержень с ростом продольной координаты быстро превращается в «трехмерное тело».
Заключение
В настоящей работе поставлена и решена задача о крутильных колебаниях усеченного конического стержня с учетом физически нелинейной связи между компонентами тензоров напряжений и деформаций. Выведено нелинейное уравнение для крутильных колебаний усеченного конического стержня относительно главной части крутильного перемещения оси симметрии стержня. Показано, что полученное уравнение нелинейных крутильных колебаний усеченного конического упругого стрежня в частных случаях совпадает с известными уравнениями, полученными другими авторами.
Выполнен численный расчет для определения напряженно-деформированного состояния усеченного конического стержня при действии торцевой и поверхностной динамических нагрузок в условиях, когда правый (широкий) конец стержня жестко заделан, а левый (узкий) является свободным.
Расчеты крутильного перемещения и касательных напряжений показали, что предложенная теория, учитывающая физическую нелинейность материала, хорошо описывает колебательный процесс в усеченном коническом стержне при углах атаки $0\leqslant \varphi <2^{\circ }$.
Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею.
Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.
1За счет произведений малого параметра и главной части крутильного перемещения и его производных.
Об авторах
Хайрулла Худойназарович Худойназаров
Самаркандский государственный университет имени Шарофа Рашидова
Автор, ответственный за переписку.
Email: kh.khudoyn@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-8994-9738
Scopus Author ID: 57221229444
https://www.mathnet.ru/person120543
доктор технических наук, профессор; заведующий кафедрой; каф. теоретической и прикладной механики
Узбекистан, 140104, Самарканд, Университетский бульвар, 15Список литературы
- Кушнаренко В. М., Беридзе С. П. Cвободные продольные колебания конического стержня // Вестн. Оренбург. гос. унив., 2000. №3. С. 83–86. EDN: HVZBFP.
- Bakhtiari M., Lakis A. A., Kerboua Y. Nonlinear vibration of truncated conical shells: Donnell, Sanders and Nemeth theories: Rapport technique no. EPMRT-2018-01, 2018 (In French). https://publications.polymtl.ca/3011/.
- Беридзе С. П. Свободные крутильные колебания конического стержня // Вестн. Оренбург. гос. унив., 1999. №3. С. 104–107. EDN: HVHSMT.
- Sofiyev A. H. The non-linear vibration of FGM truncated conical shells // Compos. Struct., 2012. vol. 94, no. 7. pp. 2237–2245. DOI: https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2012.02.005.
- Худойназаров Х. Х., Халмурадов Р. И., Ялгашев Б. Ф. Продольно-радиальные колебания упругой цилиндрической оболочки с вязкой сжимаемой жидкостью // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех., 2021. №69. С. 139–154. EDN: FTGEQR. DOI: https://doi.org/10.17223/19988621/69/11.
- Khudoynazarov Kh. Kh. Transversal vibrations of thick and thin cylindrical shells, interacting with deformable medium/ Shell Structures Theory and Applications. London: Taylor & Francis Group. pp. 343–347.
- Alijani F., Amabili M. Non-linear vibrations of shells: A literature review from 2003 to 2013 // Int. J. Non-Linear Mech., 2014. vol. 58. pp. 233–257. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2013.09.012.
- Pellicano F. Vibrations of circular cylindrical shells: Theory and experiments // J. Sound Vibration, 2007. vol. 303, no. 1–2. pp. 154–170. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jsv.2007.01.022.
- Бреславский И. Д. Распределение напряжений по пластине при нелинейных колебаниях // Вiсн. Харкiв. нацiон. унiв. iм. В. Н. Каразiна. Сер. Мат. мод. Iнформ. техн. Автомат. сист. управл., 2010. №926. С. 75–84.
- Chen C. Nonlinear dynamic of a rotating truncated conical shell / L. Dai, R. Jazar (Eds.) Nonlinear Approaches in Engineering Applications. New York, NY: Springer, 2012. pp. 349–391. DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4614-1469-8_12.
- Ахмедов А. Б., Шешенин С. В. К построению нелинейных уравнений движения ортотропных пластин // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2012. №3. С. 36–39. EDN: PEEYGL.
- Бакушев С. В. Разрешающие уравнения плоской деформации в цилиндрических координатах для физически-нелинейной сплошной среды // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений, 2018. Т. 14, №1. С. 38–45. EDN: YOJIUV. DOI: https://doi.org/10.22363/1815-5235-2018-14-1-38-45.
- Khudoynazarov Kh., Abdurazakov J., Kholikov D. Nonlinear torsional vibrations of a circular cylindrical elastic shell // AIP Conf. Proc., 2022. vol. 2637, 020003. DOI: https://doi.org/10.1063/5.0118844.
- Khudoynazarov Kh., Kholikov D., Abdurazakov J. Torsional vibrations of a conical elastic shell // AIP Conf. Proc., 2022. vol. 2637, 030024. DOI: https://doi.org/10.1063/5.0118846.
- Khudoynazarov Kh., Khudoyberdiyev Z. B. Unsteady vibrations of a three-layer plate with an asymmetric structure // IOP Conf. Ser.: Earth Environ. Sci., 2020. vol. 614, 012061. DOI: https://doi.org/10.1088/1755-1315/614/1/012061.
- Khudoynazarov Kh., Yaxshiboyev Sh. R. The mathematical model of transverse vibrations of the three-layer plate // IOP Conf. Ser.: Earth Environ. Sci., 2020. vol. 614, 012062. DOI: https://doi.org/10.1088/1755-1315/614/1/012062.
- Khudoynazarov K., Yalgashev B. Longitudinal vibrations of a cylindrical shell filled with a viscous compressible liquid // E3S Web Conf., 2021. vol. 264, 02017. DOI: https://doi.org/10.1051/e3sconf/202126402017.
- Filippov I. G., Kudajnazarov K. Boundary value problems of longitudinal oscillations of the circular cylindrical shells // Industrial Construction, 1998. vol. 28, no. 12. pp. 34–40. EDN: RQIBJX.
- von Kauderer H. Nichtlineare Mechanik. Berlin: Springer-Verlag. 684 pp. (In German)
- Филиппов И. Г., Филиппов С. И. Колебательные и волновые процессы в сплошных сжимаемых средах. М., 2007. 429 c. EDN: QJRVVZ.
- Худойназаров Х. Х. Нестационарное взаимодействие цилиндрических оболочек и стержней с деформируемой средой. Ташкент, 2003. 326 с.
- Цурпал И. А. Расчет элементов конструкций из нелинейно-упругих материалов. Киев: Технiка, 1976. 176 с.
- Кудин А. В., Тамуров Ю. Н. Применение метода малого параметра при моделировании изгиба симметричных трехслойных пластин с нелинейноупругим заполнителем // Вiсн. Схiдноукр. нацiон. унiв. iм. В. Даля, 2011. №11. С. 32–40.
Дополнительные файлы
![](/img/style/loading.gif)