Условия существования и единственности решения задачи Гурса для системы уравнений с доминирующими частными производными
- Авторы: Созонтова Е.А.1
-
Учреждения:
- Елабужский институт (филиала) ФГАОУ ВО «Казанский (Приволжский) Федеральный университет»
- Выпуск: Том 27, № 2 (2023)
- Страницы: 375-383
- Раздел: Краткие сообщения
- Статья получена: 21.03.2023
- Статья одобрена: 18.05.2023
- Статья опубликована: 01.07.2023
- URL: https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/321540
- DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu2012
- ID: 321540
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Изучается n-мерная система уравнений с доминирующими частными производными n-го порядка. Признаком, отличающим рассматриваемую систему от других систем с частными производными, является наличие первого слагаемого в уравнениях правой части системы, представляющего собой доминирующую производную, при этом все остальные входящие в уравнения системы производные получаются из нее отбрасыванием по крайней мере одного дифференцирования по какой-либо из независимых переменных. Целью исследования является отыскание условий однозначной разрешимости задачи Гурса для рассматриваемой системы. Основная задача редуцируется к системе интегральных уравнений, решение которой существует и единственно при выполнении требований непрерывности ядер и правых частей этой системы в соответствующих замкнутых параллелепипедах изменения своих переменных. Получены условия, при которых основная задача однозначно разрешима. Окончательный результат в терминах коэффициентов исходной системы формулируется в виде теоремы.
Полный текст
Рассматривается система уравнений с доминирующими частными производными
\[ \begin{equation}
\frac{\partial^{m_{i}} u_{i}(x)}{\partial x_{1}^{m_{i_{1}}} \cdots \partial x_{n}^{m_{i_{n}}}}+\sum\limits_{j=1}^{n}\mathop{\sum\limits_{k_{j}<m_{i},}}\limits_{k_{{j}_{s}}\leq m_{{j}_{s}}}a_{jk_{j_{1}}\ldots k_{j_{n}}}(x)\frac{\partial^{k_{j}} u_{j}(x)}{\partial x_{1}^{k_{j_{1}}}\cdots\partial x_{n}^{k_{j_{n}}}} =f_{i}(x), \; i=\overline{1,n},
\end{equation} \tag{1} \]
в области $\Omega=\{x_{10}<x_{1}<x_{11},\ x_{20}<x_{2}<x_{21},\ \ldots,\ x_{n0}<x_{n}<x_{n1}\}$. Здесь $x=(x_{1},\ldots,x_{n})$, $m_{i}=m_{i_{1}}+\cdots+m_{i_{n}}$, $k_{j}=k_{j_{1}}+\cdots+k_{j_{n}}$, $m_{s}$, $k_{s}$, $s=\overline{1,n}$ — целые неотрицательные числа. Гладкость коэффициентов системы (1) определяется включениями
\[ \begin{equation*}
a_{jk_{j_{1}}\ldots k_{j_{n}}}\in C^{(k_{j_{1}},\ k_{j_{2}},\ldots,\ k_{j_{n}})}(\overline{\Omega}),\quad f_{i}\in C^{(0, 0, \ldots, 0)}(\overline{\Omega}).
\end{equation*} \]
Класс $C^{(k_{j_{1}},k_{j_{2}},\ldots,k_{j_{n}})}(\overline{\Omega})$ означает существование и непрерывность в $\overline{\Omega}$ всех производных $\partial^{l_{j_{1}}+l_{j_{2}}+\cdots+l_{j_{n}}}/\partial x_{1}^{l_{j_{1}}}\partial x_{2}^{l_{j_{2}}}\cdots \partial x_{n}^{l_{j_{n}}}$, $l_{j_{p}}=\overline{0,k_{j_{p}}}$, $p=\overline{1,n}$. Грани параллелепипеда $\Omega$ при $x_{1}=x_{10}$, $x_{2}=x_{20}$, $\ldots$, $x_{n}=x_{n0}$ обозначим соответственно $X_{1}, X_{2},\ldots, X_{n}$.
Частные случаи системы (1) с различных точек зрения изучались многими авторами. Для $m_{i}=1$ можно указать, например, публикации [1–6]. Так, в [1] при $n=2$ исследованы задачи Коши и Гурса, получены формулы интегрального представления решения этих задач, позволяющие установить их структурные свойства. В [2, 3] изучены задачи с нормальными производными первого и второго порядка в граничных условиях, в [4] с помощью решения задачи Гурса, полученного методом Римана, исследована задача Дарбу. При $n=3$ в [5] исследована задача Гурса и получены условия ее разрешимости в квадратурах. В [6] для той же системы доказаны существование и единственность решения задачи Дарбу.
В [7, с. 62] были изложены решения задачи Коши и Гурса для системы (1) при $m_{i}=2$, $m_{i_{1}}=m_{i_{2}}=1$, полученные методом Римана. Та же система с различных точек зрения изучалась и в [8–11]. Так, в [10] исследована задача Гурса и получены условия ее разрешимости в квадратурах, в [11] исследованы характеристические задачи с условиями на трех и четырех сторонах характеристического прямоугольника. Аналогичная система (но с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа) рассматривалась в [12]. Для систем с кратными доминирующими частными производными при $m_{i}=2$, $n=2$ был разработан векторно-матричный аналог метода Римана, изучены задачи Коши и Гурса, а также поставлен ряд новых характеристических задач и исследован характер их разрешимости [13]. При $m_{i}=2$, $n=3$ для систем с кратными частными производными доказаны существование и единственность решений задачи Коши [14]. Частные случаи системы (1) более высокого порядка рассматривались, например, в [15, 16] и др. работах.
Таким образом, изучение различных особых случаев системы (1) и граничных условий для них является важным направлением в теории дифференциальных уравнений. Целью данного исследования является получение условий, при которых решение задачи Гурса для системы (1) при произвольном $n$ существует и единственно (указаний на этот вопрос в литературе автору обнаружить не удалось).
Задача. В области $\Omega$ найти регулярное решение системы (1), удовлетворяющее непрерывно дифференцируемым граничным значениям
\[ \begin{equation}
\begin{array}{ll}
\cfrac{\partial^{i_{1}}u_{i}}{\partial x_{1}^{i_{1}}}\Bigr|_{x_1=x_{10}}=
\varphi_{1ii_{1}}(x_{2}, x_{3},\ldots, x_{n}),& i_{1}=\overline{0,\ m_{i_{1}}-1}, \;
i=\overline{1,n};
\\
\cfrac{\partial^{i_{2}}u_{i}}{\partial x_{2}^{i_{2}}}\Bigr|_{x_2=x_{20}}=\varphi_{2ii_{2}}(x_{1}, x_{3}, \ldots, x_{n}), & i_{2}=\overline{0,\ m_{i_{2}}-1}, \;
i=\overline{1,n};
\\
~~~~~~~~~~~~~~~~\vdots \\
\cfrac{\partial^{i_{n}}u_{i}}{\partial x_{n}^{i_{n}}}\Bigr|_{x_n=x_{n0}}\!\!\!=\varphi_{nii_{n}}(x_{1}, x_2, \ldots, x_{n-1}), & i_{n}=\overline{0, m_{i_{n}}-1}, \;
i=\overline{1,n}.
\end{array}
\end{equation} \tag{2} \]
При этом предполагается, что $\varphi_{1ii_{1}}\in C^{(0,m_{i_{2}},m_{i_{3}},\ldots,m_{i_{n}})}(\overline{X_{1}})$,
\[ \begin{equation*}
\varphi_{2ii_{2}}\in C^{(m_{i_{1}},0,m_{i_{3}},\ldots,m_{i_{n}})}(\overline{X_{2}}),\quad\ldots,\quad
\varphi_{nii_{n}}\in C^{(m_{i_{1}},m_{i_{2}},\ldots,m_{i_{n-1}},0)}(\overline{X_{n}})
\end{equation*} \]
и выполняются условия согласования
\[ \begin{equation*}
\frac{\partial^{i_{2}}\varphi_{1ii_{1}}}{\partial x_{2}^{i_{2}}}\Bigr|_{x_2=x_{20}}
= \frac{\partial^{i_{1}}\varphi_{2ii_{2}}}{\partial x_{1}^{i_{1}}}\Bigr|_{x_1=x_{10}},
\quad
\frac{\partial^{i_{3}}\varphi_{1ii_{1}}}{\partial x_{3}^{i_{3}}}\Bigr|_{x_3=x_{30}}
= \frac{\partial^{i_{1}}\varphi_{3ii_{3}}}{\partial x_{1}^{i_{1}}}\Bigr|_{x_1=x_{10}}, \quad \ldots,
\frac{\partial^{i_{n}}\varphi_{1ii_{1}}}{\partial x_{n}^{i_{n}}}\Bigr|_{x_n=x_{n0}}
= \frac{\partial^{i_{1}}\varphi_{nii_{n}}}{\partial x_{1}^{i_{1}}}\Bigr|_{x_1=x_{10}};
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\frac{\partial^{i_{3}}\varphi_{2ii_{2}}}{\partial x_{3}^{i_{3}}}\Bigr|_{x_3=x_{30}}
=\frac{\partial^{i_{2}}\varphi_{3ii_{3}}}{\partial x_{2}^{i_{2}}}\Bigr|_{x_2=x_{20}}, \quad\ldots,
\quad
\frac{\partial^{i_{n}}\varphi_{2ii_{2}}}{\partial x_{n}^{i_{n}}}\Bigr|_{x_n=x_{n0}}
= \frac{\partial^{i_{2}}\varphi_{nii_{n}}}{\partial x_{2}^{i_{2}}}\Bigr|_{x_2=x_{20}};
\ldots; \qquad
\frac{\partial^{i_{n}}\varphi_{n-1ii_{n-1}}}{\partial x_{n}^{i_{n}}}\Bigr|_{x_n=x_{n0}}
=\frac{\partial^{i_{n-1}}\varphi_{nii_{n}}}{\partial x_{n-1}^{i_{n-1}}}\Bigr|_{x_{n-1}=x_{(n-1)0}}.
\end{equation*} \]
Решению основной задачи предпошлем следующую лемму.
Лемма. Имеет место равенство
\[ \begin{equation}
\frac{\partial^{m_{i}} u_{i}(x)}{\partial x_{1}^{m_{i_{1}}} \cdots \partial x_{n}^{m_{i_{n}}}}+\sum\limits_{j=1}^{n}\mathop{\sum\limits_{k_{j}<m_{i},}}\limits_{k_{{j}_{s}}\leq m_{{j}_{s}}}a_{jk_{j_{1}}\ldots k_{j_{n}}}\frac{\partial^{k_{j}} u_{j}(x)}{\partial x_{1}^{k_{j_{1}}}\cdots\partial x_{n}^{k_{j_{n}}}} = \frac{\partial^{m_{i}} u_{i}(x)}{\partial x_{1}^{m_{i_{1}}} \cdots \partial x_{n}^{m_{i_{n}}}}+\sum\limits_{j=1}^{n}\mathop{\sum\limits_{k_{j}<m_{i},}}\limits_{k_{{j}_{s}}\leq m_{{j}_{s}}}\frac{\partial^{k_{j}}( b_{jk_{j_{1}}\cdots k_{j_{n}}}u_{j}(x))}{\partial x_{1}^{k_{j_{1}}}\cdots\partial x_{n}^{k_{j_{n}}}},
\end{equation} \tag{3} \]
где
\[ \begin{equation}
\begin{array}{r}
b_{jk_{j_{1}}\ldots k_{j_{n}}}\!=\!\!\mathop{\sum\limits_{s_{j_{1}}=k_{j_{1}}}^{m_{i_{1}}}\!\!\!\cdots\!\!\!\sum\limits_{s_{j_{n}}=k_{j_{n}}}^{m_{i_{n}}}}\limits_{s_{j_{1}}+\cdots+s_{s_{j_{n}}}<m_{i}}
\prod\limits_{p=1}^{n}C_{s_{j_{p}}}^{k_{j_{p}}}(-1)^{\sum\limits_{p=1}^{n}(s_{j_{p}}+k_{j_{p}})}\cfrac{\partial^{\sum\limits_{p=1}^{n}(s_{j_{p}}-k_{j_{p}})} a_{js_{j_{1}}\ldots s_{j_{n}}}}{\partial x_{1}^{s_{j_{1}}-k_{j_{1}}}\cdots\partial x_{n}^{s_{j_{n}}-k_{j_{n}}}},
\\
i,j=\overline{1,n}.
\end{array}
\end{equation} \tag{4} \]
Доказательство. Рассмотрим правую часть равенства (3). Применяя формулу Лейбница, получим
\[ \begin{equation}
\frac{\partial^{m_{i}} u_{i}(x)}{\partial x_{1}^{m_{i_{1}}} \cdots \partial x_{n}^{m_{i_{n}}}}+\sum\limits_{j=1}^{n}\mathop{\sum\limits_{k_{j}<m_{i},}}\limits_{k_{{j}_{s}}\leq m_{{j}_{s}}}\mathop{\sum\limits_{l_{1}=0}^{k_{j_{1}}}\cdots\sum\limits_{l_{n}=0}^{k_{j_{n}}}}\limits_{l_{1}+\cdots+l_{n}<m_{i}}\prod\limits_{p=1}^{n}C_{k_{j_{p}}}^{l_{p}}
\frac{\partial^{\sum\limits_{p=1}^{n}(k_{j_{p}}-l_{p})} b_{jk_{j_{1}}\ldots k_{j_{n}}}}{\partial x_{1}^{k_{j_{1}}-l_{1}}\ldots\partial x_{n}^{k_{j_{n}}-l_{n}}}\cdot\frac{\partial^{\sum\limits_{p=1}^{n}l_{p}}u_{j}}{\partial x_{1}^{l_{1}}\cdots\partial x_{n}^{l_{n}}}.
\end{equation} \tag{5} \]
Подставим в (5) значения из (4) и выделим слагаемые при $l_{p}=s_{j_{p}}\neq k_{j_{p}}$, $p=\overline{1,n}$:
\[ \begin{equation}
\frac{\partial^{m_{i}} u_{i}(x)}{\partial x_{1}^{m_{i_{1}}} \cdots \partial x_{n}^{m_{i_{n}}}}+\sum\limits_{j=1}^{n}\mathop{\sum\limits_{k_{j}<m_{i},}}\limits_{k_{{j}_{s}}\leq m_{{j}_{s}}}a_{jk_{j_{1}}\ldots k_{j_{n}}}\frac{\partial^{k_{j}} u_{j}(x)}{\partial x_{1}^{k_{j_{1}}}\cdots\partial x_{n}^{k_{j_{n}}}}
+\sum\limits_{j=1}^{n}\mathop{\sum\limits_{k_{j}<m_{i},}}\limits_{k_{{j}_{s}}\leq m_{{j}_{s}}}\mathop{\sum\limits_{l_{1}=0}^{k_{j_{1}}}\cdots
\sum\limits_{l_{n}=0}^{k_{j_{n}}}}
\mathop{\sum\limits_{s_{j_{1}}=k_{j_{1}}}^{m_{i_{1}}}\cdots\sum\limits_{s_{j_{n}}=k_{j_{n}}}^{m_{i_{n}}}}
\prod\limits_{p=1}^{n}C_{s_{j_{p}}}^{k_{j_{p}}}C_{k_{j_{p}}}^{l_{p}}(-1)^{\sum\limits_{p=1}^{n}(s_{j_{p}}+k_{j_{p}})} \cdot
\frac{\partial^{\sum\limits_{p=1}^{n}(s_{j_{p}}-l_{p})} a_{js_{j_{1}}\ldots s_{j_{n}}}}{\partial x_{1}^{s_{j_{1}}-l_{1}}\cdots\partial x_{n}^{s_{j_{n}}-l_{n}}}\cdot
\frac{\partial^{\sum\limits_{p=1}^{n}l_{p}}u_{j}}{\partial x_{1}^{l_{1}}\cdots\partial x_{n}^{l_{n}}},
\end{equation} \tag{6} \]
где $ l_{1}+\cdots+l_{n}<m_{i}$, $s_{j_{1}}+\cdots+s_{s_{j_{n}}}<m_{i}$, $l_{p}=s_{j_{p}}\neq k_{j_{p}}$. Подсчитаем в последней сумме из (6) количество слагаемых вида
\[ \begin{equation*}
\frac{\partial^{\sum\limits_{p=1}^{n}(s_{j_{p}}-l_{p})} a_{js_{j_{1}}\ldots s_{j_{n}}}}{\partial x_{1}^{s_{j_{1}}-l_{1}}\cdots \partial x_{n}^{s_{j_{n}}-l_{n}}}\cdot\frac{\partial^{\sum\limits_{p=1}^{n}l_{p}}u_{j}}{\partial x_{1}^{l_{1}} \cdots \partial x_{n}^{l_{n}}},
\end{equation*} \]
где $s_{j_{p}}$, $l_{p}$ — фиксированные значения, $k_{j_{p}}=s_{j_{p}},s_{j_{p}}-1,\ldots,l_{p}$, $p=\overline{1,n}$. Используя свойства сочетаний, получим
\[ \begin{equation*}
(-1)^{\sum\limits_{p=1}^{n}(2s_{j_{p}})}\prod\limits_{p=1}^{n}C_{s_{j_{p}}}^{s_{j_{p}}}C_{s_{j_{p}}}^{l_{p}}+(-1)^{\sum\limits_{p=1}^{n}(2s_{j_{p}}-1)}\prod\limits_{p=1}^{n}C_{s_{j_{p}}}^{s_{j_{p}}-1}C_{s_{j_{p}}-1}^{l_{p}}
+(-1)^{\sum\limits_{p=1}^{n}(2s_{j_{p}}-2)}\prod\limits_{p=1}^{n}C_{s_{j_{p}}}^{s_{j_{p}}-2}C_{s_{j_{p}}-2}^{l_{p}}+\cdots+(-1)^{\sum\limits_{p=1}^{n}(s_{j_{p}}+l_{p})}\prod\limits_{p=1}^{n}C_{s_{j_{p}}}^{l_{p}}C_{l_{p}}^{l_{p}}=0.
\end{equation*} \]
Таким образом, последняя сумма в (6) обращается в 0. Лемма доказана. $\square$
Согласно лемме, систему (1) можно записать в виде
\[ \begin{equation}
\frac{\partial^{m_{i}} u_{i}(x)}{\partial x_{1}^{m_{i_{1}}} \cdots \partial x_{n}^{m_{i_{n}}}}+\sum\limits_{j=1}^{n}\mathop{\sum\limits_{k_{j}<m_{i},}}\limits_{k_{{j}_{s}}\leq m_{{j}_{s}}}\frac{\partial^{k_{j}}( b_{jk_{j_{1}}\ldots k_{j_{n}}}u_{j}(x))}{\partial x_{1}^{k_{j_{1}}}\cdots\partial x_{n}^{k_{j_{n}}}}=f_{i}(x),\quad i=\overline{1,n},
\end{equation} \tag{7} \]
где коэффициенты $b_{jk_{j_{1}}\ldots k_{j_{n}}}$ вычисляются по формуле (4). Проинтегрируем систему (7) по области $\Omega$. Учитывая формулу
\[ \begin{equation*}
\underbrace{\int_{x_{j0}}^{x_{j}}\ldots \int_{x_{j0}}^{x_{j}}}_{l_{j}\, \text{раз}}u_{i}(x_{1},\dots,x_{n})d\alpha_{j} = \int_{x_{j0}}^{x_{j}}
\frac{(x_{j}-\alpha_{j})^{l_j-1}}{(l_j-1)!} u_{i}(x_1,\dots,x_{j-1},\alpha_{j},x_{j+1},x_n)d\alpha_{j},
\end{equation*} \]
получим
\[ \begin{multline}
u_{i}(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})+\sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\sum\limits_{Q_{k,n}}
\int_{x_{q_{1}0}}^{x_{q_1}} \int_{x_{q_{2}0}}^{x_{q_2}}\ldots\int_{x_{q_{k}0}}^{x_{q_{k}}} K^{i}_{jq_{1}q_{2}\dots q_{k}}(x_{1},\dots,x_{n},\alpha_{q_{1}},\dots,\alpha_{q_{k}})\times
\\
\times u_{j}(x_{1},x_{2},\dots,x_{q_{1}-1},\alpha_{q_{1}},x_{q_{1}+1},\dots,
x_{q_{k}-1},\alpha_{q_{k}},x_{q_{k}+1},\dots,x_{n}) \cdot d\alpha_{q_{k}}\cdots d\alpha_{q_{2}} d\alpha_{q_{1}}=F_{i}(x_{1},\dots,x_{n}),\quad i=\overline{1,n}.
\end{multline} \tag{8} \]
Здесь
\[ \begin{equation*}
K^{i}_{jq_{1}q_{2}\dots q_{k}}(x_{1},x_{2},\dots,x_{n},\alpha_{q_{1}},\alpha_{q_{2}},\dots,\alpha_{q_{k}})=\sum\limits_{p_{q_{1}}=0}^{m_{i_{1}}-1} \dots \sum\limits_{p_{q_{k}}=0}^{m_{i_{k}}-1} b_{jp_{1}p_{2}\dots p_{n}}(x_{1},\dots,x_{n}) \prod\limits_{j=1}^{k} \frac{(x_{q_{j}}-\alpha_{q_{j}})^{m_{i_{j}}-p_{q_{j}}-1} } {(m_{i_{j}}-p_{q_{j}}-1)!},
\end{equation*} \]
причем если $i\neq q_{j}$, то $p_{i}=m_{i_{j}}$, а~$b_{jp_{1}p_{2}\dots p_{n}}=0$, если выполняется хотя бы одно из неравенств $p_{k}>m_{j_{k}},$ $k=\overline{1,n}$; $Q_{k,n}=\{(q_{1},q_{2},\ldots,q_{n})\,:\,1\leqslant q_{1} <q_{2}<\cdots<q_{l}\leqslant n\}$. Функции $F_{i}$ в силу условий (2) являются известными непрерывными функциями.
Известно [13, с. 30], что решение системы (8) существует и единственно, если все ядра и правые части в (8) непрерывны в соответствующих замкнутых параллелепипедах изменения своих переменных. Из проведенных рассуждений следует
Теорема. Если в системе (8) $K^{i}_{jq_{1}q_{2}\dots q_{k}}$, $i, j, k=\overline{1,n}$, непрерывны в соответствующих замкнутых параллелепипедах изменения своих переменных, то решение задачи существует и единственно.
Заключение
В работе рассмотрена задача Гурса для $n$-мерной системы уравнений с доминирующими частными производными $n$-го порядка. С помощью вспомогательного утверждения относительно вида рассматриваемой системы и~на основании методов теории интегральных уравнений исходная задача редуцирована к системе интегральных уравнений, решение которой существует и единственно при выполнении требований непрерывности ядер и правых частей этой системы в соответствующих замкнутых параллелепипедах изменения своих переменных. Таким образом, в терминах коэффициентов исходной системы получены условия однозначной разрешимости рассматриваемой задачи. Результат сформулирован в виде теоремы.
Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею.
Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.
Финансирование. Работа выполнена за счет средств Программы стратегического академического лидерства Казанского (Приволжского) федерального университета.
Об авторах
Елена Александровна Созонтова
Елабужский институт (филиала) ФГАОУ ВО «Казанский (Приволжский) Федеральный университет»
Автор, ответственный за переписку.
Email: sozontova-elena@rambler.ru
ORCID iD: 0000-0003-4315-0669
SPIN-код: 4568-9733
Scopus Author ID: http://www.scopus.com/authid/detail.url?authorId=55885264300
ResearcherId: http://www.researcherid.com/rid/O-4039-2016
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и прикладной информатики
Россия, 423600, Елабуга, ул. Казанская, 89Список литературы
- Бицадзе А. В. О структурных свойствах решений гиперболических систем уравнений в частных производных первого порядка // Матем. моделирование, 1994. Т. 6, №6. С. 22–31.
- Жегалов В. И. Задача с нормальными производными в граничных условиях для системы дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Матем., 2008. №8. С. 70–72. EDN: JHCZWJ.
- Созонтова Е. А. О характеристических задачах с нормальными производными для системы гиперболического типа // Изв. вузов. Матем., 2013. №10. С. 43–54. EDN: QZPDWX.
- Mironova L. B. Boundary-value problems with data on characteristics for hyperbolic systems of equations // Lobachevskii J. Math., 2020. vol. 41, no. 3. pp. 400–406. EDN: ZPBRIK. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080220030130.
- Созонтова Е. А. К условиям разрешимости задачи Гурса в квадратурах для трехмерной системы первого порядка // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика. Математика, 2017. №2. С. 128–138. EDN: ZAERAX.
- Миронов А. Н., Миронова Л. Б. Метод Римана–Адамара для одной системы в трехмерном пространстве // Диффер. уравн., 2021. Т. 57, №8. С. 1063–1070. EDN: GWQQJD. DOI: https://doi.org/10.31857/S0374064121080070.
- Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.
- Жибер А. В., Старцев С. Я. Интегралы, решения и существование преобразований Лапласа линейной гиперболической системы уравнений // Матем. заметки, 2003. Т. 74, №6. С. 848–857. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm322.
- Старцев С. Я. Метод каскадного интегрирования Лапласа для линейных гиперболических систем уравнений // Матем. заметки, 2008. Т. 83, №1. С. 107–118. EDN: RLQXKH. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm4338.
- Созонтова Е. А. Об условиях разрешимости граничных задач в квадратурах для гиперболических систем второго порядка // Уфимск. матем. журн., 2016. Т. 8, №3. С. 135–140. EDN: WMAPYB.
- Созонтова Е. А. К условиям разрешимости характеристических задач для одной системы гиперболического типа // Вестн. Сыктывкар. ун-та. Сер. 1. Матем. Мех. Информ., 2020. №1(34). С. 22–28. EDN: BVIINY.
- Михайлова Ю. Г. О задаче Коши для линейных гиперболических систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа // Уфимск. матем. журн., 2010. Т. 2, №2. С. 20–26. EDN: MVUKRT.
- Миронова Л. Б. Линейные системы уравнений с кратными старшими частными производными: Дисс. . . . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Казань: Казан. гос. ун-т, 2005. 140 с. EDN: NNQRYV.
- Миронова Л. Б. Применение метода Римана к одной системе в трехмерном пространстве // Изв. вузов. Матем., 2019. №6. С. 48–57. EDN: KJXFEH DOI: https://doi.org/10.26907/0021-3446-2019-6-48-57.
- Джохадзе О. М. Функция Римана для гиперболических уравнений и систем высокого порядка с доминированными младшими членами // Диффер. уравн., 2003. Т. 39, №10. С. 1366–1378. EDN: OPFXSJ.
- Созонтова Е. А. К условиям разрешимости задачи Гурса в квадратурах для двумерной системы высокого порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, №1. С. 94–111. EDN: YPZFUZ. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1479.