Conditions for the existence and uniqueness of the solution of the Goursat problem for a system of equations with dominant partial derivatives

Full Text

Рассматривается система уравнений с доминирующими частными производными
\[ \begin{equation}
\frac{\partial^{m_{i}} u_{i}(x)}{\partial x_{1}^{m_{i_{1}}} \cdots \partial x_{n}^{m_{i_{n}}}}+\sum\limits_{j=1}^{n}\mathop{\sum\limits_{k_{j}<m_{i},}}\limits_{k_{{j}_{s}}\leq m_{{j}_{s}}}a_{jk_{j_{1}}\ldots  k_{j_{n}}}(x)\frac{\partial^{k_{j}} u_{j}(x)}{\partial x_{1}^{k_{j_{1}}}\cdots\partial x_{n}^{k_{j_{n}}}} =f_{i}(x), \; i=\overline{1,n},
\end{equation} \tag{1} \]
в области $\Omega=\{x_{10}<x_{1}<x_{11},\ x_{20}<x_{2}<x_{21},\ \ldots,\ x_{n0}<x_{n}<x_{n1}\}$. Здесь $x=(x_{1},\ldots,x_{n})$, $m_{i}=m_{i_{1}}+\cdots+m_{i_{n}}$, $k_{j}=k_{j_{1}}+\cdots+k_{j_{n}}$, $m_{s}$, $k_{s}$, $s=\overline{1,n}$ — целые неотрицательные числа. Гладкость коэффициентов системы (1) определяется включениями
\[ \begin{equation*}
a_{jk_{j_{1}}\ldots  k_{j_{n}}}\in C^{(k_{j_{1}},\ k_{j_{2}},\ldots,\ k_{j_{n}})}(\overline{\Omega}),\quad f_{i}\in C^{(0, 0, \ldots, 0)}(\overline{\Omega}).
\end{equation*} \]
Класс $C^{(k_{j_{1}},k_{j_{2}},\ldots,k_{j_{n}})}(\overline{\Omega})$ означает существование и непрерывность в $\overline{\Omega}$ всех производных $\partial^{l_{j_{1}}+l_{j_{2}}+\cdots+l_{j_{n}}}/\partial x_{1}^{l_{j_{1}}}\partial x_{2}^{l_{j_{2}}}\cdots \partial x_{n}^{l_{j_{n}}}$, $l_{j_{p}}=\overline{0,k_{j_{p}}}$, $p=\overline{1,n}$. Грани параллелепипеда $\Omega$ при $x_{1}=x_{10}$, $x_{2}=x_{20}$, $\ldots$, $x_{n}=x_{n0}$ обозначим соответственно $X_{1}, X_{2},\ldots, X_{n}$.

Частные  случаи системы (1) с различных точек зрения изучались многими авторами. Для $m_{i}=1$ можно указать, например, публикации [1–6]. Так, в [1] при $n=2$ исследованы задачи Коши и Гурса, получены формулы интегрального представления решения этих задач, позволяющие установить их структурные свойства. В [2, 3] изучены задачи с нормальными производными первого и второго порядка в граничных условиях, в [4] с помощью решения задачи Гурса, полученного методом Римана, исследована задача Дарбу. При $n=3$ в [5] исследована задача Гурса и получены условия ее разрешимости в квадратурах. В [6] для той же системы доказаны существование и единственность решения задачи Дарбу.

В [7, с. 62] были изложены решения задачи Коши и Гурса для системы (1) при $m_{i}=2$, $m_{i_{1}}=m_{i_{2}}=1$, полученные методом Римана. Та же система с различных точек зрения изучалась и в [8–11]. Так, в [10] исследована задача Гурса и получены условия ее разрешимости в квадратурах, в [11] исследованы характеристические задачи с условиями на трех и четырех сторонах характеристического прямоугольника. Аналогичная система (но с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа) рассматривалась в [12]. Для систем с кратными доминирующими частными производными при $m_{i}=2$, $n=2$ был разработан векторно-матричный аналог метода Римана, изучены задачи Коши и Гурса, а также поставлен ряд новых характеристических задач и исследован характер их разрешимости [13]. При $m_{i}=2$, $n=3$ для систем с кратными частными производными доказаны существование и единственность решений задачи Коши [14]. Частные случаи системы (1) более высокого порядка рассматривались, например,  в [15, 16] и др. работах.

Таким образом, изучение различных особых случаев системы (1) и граничных условий для них является важным направлением в теории дифференциальных уравнений. Целью данного исследования является получение условий, при которых решение задачи Гурса для системы (1) при произвольном $n$ существует и единственно (указаний на этот вопрос в литературе автору обнаружить не удалось).

Задача. В области $\Omega$ найти регулярное решение системы (1), удовлетворяющее непрерывно дифференцируемым граничным значениям
\[ \begin{equation}
\begin{array}{ll}
\cfrac{\partial^{i_{1}}u_{i}}{\partial x_{1}^{i_{1}}}\Bigr|_{x_1=x_{10}}=
\varphi_{1ii_{1}}(x_{2}, x_{3},\ldots, x_{n}),& i_{1}=\overline{0,\ m_{i_{1}}-1}, \;
i=\overline{1,n};
\\
\cfrac{\partial^{i_{2}}u_{i}}{\partial x_{2}^{i_{2}}}\Bigr|_{x_2=x_{20}}=\varphi_{2ii_{2}}(x_{1}, x_{3}, \ldots, x_{n}),  & i_{2}=\overline{0,\ m_{i_{2}}-1}, \;
i=\overline{1,n};
\\
~~~~~~~~~~~~~~~~\vdots \\
\cfrac{\partial^{i_{n}}u_{i}}{\partial x_{n}^{i_{n}}}\Bigr|_{x_n=x_{n0}}\!\!\!=\varphi_{nii_{n}}(x_{1}, x_2, \ldots, x_{n-1}),  & i_{n}=\overline{0, m_{i_{n}}-1}, \;
i=\overline{1,n}.
\end{array}
\end{equation} \tag{2} \]
При этом предполагается, что $\varphi_{1ii_{1}}\in C^{(0,m_{i_{2}},m_{i_{3}},\ldots,m_{i_{n}})}(\overline{X_{1}})$,
\[ \begin{equation*}
\varphi_{2ii_{2}}\in C^{(m_{i_{1}},0,m_{i_{3}},\ldots,m_{i_{n}})}(\overline{X_{2}}),\quad\ldots,\quad
\varphi_{nii_{n}}\in C^{(m_{i_{1}},m_{i_{2}},\ldots,m_{i_{n-1}},0)}(\overline{X_{n}})
\end{equation*} \]
и выполняются условия согласования
\[ \begin{equation*}
\frac{\partial^{i_{2}}\varphi_{1ii_{1}}}{\partial x_{2}^{i_{2}}}\Bigr|_{x_2=x_{20}}
= \frac{\partial^{i_{1}}\varphi_{2ii_{2}}}{\partial x_{1}^{i_{1}}}\Bigr|_{x_1=x_{10}},
\quad
\frac{\partial^{i_{3}}\varphi_{1ii_{1}}}{\partial x_{3}^{i_{3}}}\Bigr|_{x_3=x_{30}}
= \frac{\partial^{i_{1}}\varphi_{3ii_{3}}}{\partial x_{1}^{i_{1}}}\Bigr|_{x_1=x_{10}}, \quad \ldots,
\frac{\partial^{i_{n}}\varphi_{1ii_{1}}}{\partial x_{n}^{i_{n}}}\Bigr|_{x_n=x_{n0}}
= \frac{\partial^{i_{1}}\varphi_{nii_{n}}}{\partial x_{1}^{i_{1}}}\Bigr|_{x_1=x_{10}};
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\frac{\partial^{i_{3}}\varphi_{2ii_{2}}}{\partial x_{3}^{i_{3}}}\Bigr|_{x_3=x_{30}}
=\frac{\partial^{i_{2}}\varphi_{3ii_{3}}}{\partial x_{2}^{i_{2}}}\Bigr|_{x_2=x_{20}}, \quad\ldots, 
\quad
\frac{\partial^{i_{n}}\varphi_{2ii_{2}}}{\partial x_{n}^{i_{n}}}\Bigr|_{x_n=x_{n0}}
= \frac{\partial^{i_{2}}\varphi_{nii_{n}}}{\partial x_{2}^{i_{2}}}\Bigr|_{x_2=x_{20}};
\ldots; \qquad 
\frac{\partial^{i_{n}}\varphi_{n-1ii_{n-1}}}{\partial x_{n}^{i_{n}}}\Bigr|_{x_n=x_{n0}}
=\frac{\partial^{i_{n-1}}\varphi_{nii_{n}}}{\partial x_{n-1}^{i_{n-1}}}\Bigr|_{x_{n-1}=x_{(n-1)0}}.
\end{equation*} \]

Решению основной задачи предпошлем следующую лемму.

Лемма. Имеет место равенство
\[ \begin{equation}
\frac{\partial^{m_{i}} u_{i}(x)}{\partial x_{1}^{m_{i_{1}}} \cdots  \partial x_{n}^{m_{i_{n}}}}+\sum\limits_{j=1}^{n}\mathop{\sum\limits_{k_{j}<m_{i},}}\limits_{k_{{j}_{s}}\leq m_{{j}_{s}}}a_{jk_{j_{1}}\ldots  k_{j_{n}}}\frac{\partial^{k_{j}} u_{j}(x)}{\partial x_{1}^{k_{j_{1}}}\cdots\partial x_{n}^{k_{j_{n}}}} = \frac{\partial^{m_{i}} u_{i}(x)}{\partial x_{1}^{m_{i_{1}}} \cdots   \partial x_{n}^{m_{i_{n}}}}+\sum\limits_{j=1}^{n}\mathop{\sum\limits_{k_{j}<m_{i},}}\limits_{k_{{j}_{s}}\leq m_{{j}_{s}}}\frac{\partial^{k_{j}}( b_{jk_{j_{1}}\cdots  k_{j_{n}}}u_{j}(x))}{\partial x_{1}^{k_{j_{1}}}\cdots\partial x_{n}^{k_{j_{n}}}},
\end{equation} \tag{3} \]
где
\[ \begin{equation}
\begin{array}{r}
b_{jk_{j_{1}}\ldots  k_{j_{n}}}\!=\!\!\mathop{\sum\limits_{s_{j_{1}}=k_{j_{1}}}^{m_{i_{1}}}\!\!\!\cdots\!\!\!\sum\limits_{s_{j_{n}}=k_{j_{n}}}^{m_{i_{n}}}}\limits_{s_{j_{1}}+\cdots+s_{s_{j_{n}}}<m_{i}}
\prod\limits_{p=1}^{n}C_{s_{j_{p}}}^{k_{j_{p}}}(-1)^{\sum\limits_{p=1}^{n}(s_{j_{p}}+k_{j_{p}})}\cfrac{\partial^{\sum\limits_{p=1}^{n}(s_{j_{p}}-k_{j_{p}})} a_{js_{j_{1}}\ldots  s_{j_{n}}}}{\partial x_{1}^{s_{j_{1}}-k_{j_{1}}}\cdots\partial x_{n}^{s_{j_{n}}-k_{j_{n}}}},
\\
 i,j=\overline{1,n}.
\end{array}
\end{equation} \tag{4} \]

Доказательство. Рассмотрим правую часть равенства (3). Применяя формулу Лейбница, получим
\[ \begin{equation}
\frac{\partial^{m_{i}} u_{i}(x)}{\partial x_{1}^{m_{i_{1}}} \cdots \partial x_{n}^{m_{i_{n}}}}+\sum\limits_{j=1}^{n}\mathop{\sum\limits_{k_{j}<m_{i},}}\limits_{k_{{j}_{s}}\leq m_{{j}_{s}}}\mathop{\sum\limits_{l_{1}=0}^{k_{j_{1}}}\cdots\sum\limits_{l_{n}=0}^{k_{j_{n}}}}\limits_{l_{1}+\cdots+l_{n}<m_{i}}\prod\limits_{p=1}^{n}C_{k_{j_{p}}}^{l_{p}}
\frac{\partial^{\sum\limits_{p=1}^{n}(k_{j_{p}}-l_{p})} b_{jk_{j_{1}}\ldots  k_{j_{n}}}}{\partial x_{1}^{k_{j_{1}}-l_{1}}\ldots\partial x_{n}^{k_{j_{n}}-l_{n}}}\cdot\frac{\partial^{\sum\limits_{p=1}^{n}l_{p}}u_{j}}{\partial x_{1}^{l_{1}}\cdots\partial x_{n}^{l_{n}}}.
\end{equation} \tag{5} \]
Подставим в (5) значения из (4) и выделим слагаемые при $l_{p}=s_{j_{p}}\neq k_{j_{p}}$, $p=\overline{1,n}$:
\[ \begin{equation}
\frac{\partial^{m_{i}} u_{i}(x)}{\partial x_{1}^{m_{i_{1}}} \cdots \partial x_{n}^{m_{i_{n}}}}+\sum\limits_{j=1}^{n}\mathop{\sum\limits_{k_{j}<m_{i},}}\limits_{k_{{j}_{s}}\leq m_{{j}_{s}}}a_{jk_{j_{1}}\ldots  k_{j_{n}}}\frac{\partial^{k_{j}} u_{j}(x)}{\partial x_{1}^{k_{j_{1}}}\cdots\partial x_{n}^{k_{j_{n}}}}
+\sum\limits_{j=1}^{n}\mathop{\sum\limits_{k_{j}<m_{i},}}\limits_{k_{{j}_{s}}\leq m_{{j}_{s}}}\mathop{\sum\limits_{l_{1}=0}^{k_{j_{1}}}\cdots
\sum\limits_{l_{n}=0}^{k_{j_{n}}}}
\mathop{\sum\limits_{s_{j_{1}}=k_{j_{1}}}^{m_{i_{1}}}\cdots\sum\limits_{s_{j_{n}}=k_{j_{n}}}^{m_{i_{n}}}}
\prod\limits_{p=1}^{n}C_{s_{j_{p}}}^{k_{j_{p}}}C_{k_{j_{p}}}^{l_{p}}(-1)^{\sum\limits_{p=1}^{n}(s_{j_{p}}+k_{j_{p}})} \cdot
\frac{\partial^{\sum\limits_{p=1}^{n}(s_{j_{p}}-l_{p})} a_{js_{j_{1}}\ldots  s_{j_{n}}}}{\partial x_{1}^{s_{j_{1}}-l_{1}}\cdots\partial x_{n}^{s_{j_{n}}-l_{n}}}\cdot
\frac{\partial^{\sum\limits_{p=1}^{n}l_{p}}u_{j}}{\partial x_{1}^{l_{1}}\cdots\partial x_{n}^{l_{n}}},
\end{equation} \tag{6} \]
где $ l_{1}+\cdots+l_{n}<m_{i}$, $s_{j_{1}}+\cdots+s_{s_{j_{n}}}<m_{i}$, $l_{p}=s_{j_{p}}\neq k_{j_{p}}$. Подсчитаем в последней сумме из (6) количество слагаемых вида
\[ \begin{equation*}
\frac{\partial^{\sum\limits_{p=1}^{n}(s_{j_{p}}-l_{p})} a_{js_{j_{1}}\ldots  s_{j_{n}}}}{\partial x_{1}^{s_{j_{1}}-l_{1}}\cdots \partial x_{n}^{s_{j_{n}}-l_{n}}}\cdot\frac{\partial^{\sum\limits_{p=1}^{n}l_{p}}u_{j}}{\partial x_{1}^{l_{1}} \cdots \partial x_{n}^{l_{n}}},
\end{equation*} \]
где $s_{j_{p}}$, $l_{p}$ — фиксированные значения, $k_{j_{p}}=s_{j_{p}},s_{j_{p}}-1,\ldots,l_{p}$, $p=\overline{1,n}$. Используя свойства сочетаний, получим
\[ \begin{equation*}
(-1)^{\sum\limits_{p=1}^{n}(2s_{j_{p}})}\prod\limits_{p=1}^{n}C_{s_{j_{p}}}^{s_{j_{p}}}C_{s_{j_{p}}}^{l_{p}}+(-1)^{\sum\limits_{p=1}^{n}(2s_{j_{p}}-1)}\prod\limits_{p=1}^{n}C_{s_{j_{p}}}^{s_{j_{p}}-1}C_{s_{j_{p}}-1}^{l_{p}}
+(-1)^{\sum\limits_{p=1}^{n}(2s_{j_{p}}-2)}\prod\limits_{p=1}^{n}C_{s_{j_{p}}}^{s_{j_{p}}-2}C_{s_{j_{p}}-2}^{l_{p}}+\cdots+(-1)^{\sum\limits_{p=1}^{n}(s_{j_{p}}+l_{p})}\prod\limits_{p=1}^{n}C_{s_{j_{p}}}^{l_{p}}C_{l_{p}}^{l_{p}}=0.
\end{equation*} \]
Таким образом, последняя сумма в (6) обращается в 0. Лемма доказана. $\square$

Согласно лемме, систему (1) можно записать в виде
\[ \begin{equation}
\frac{\partial^{m_{i}} u_{i}(x)}{\partial x_{1}^{m_{i_{1}}}  \cdots  \partial x_{n}^{m_{i_{n}}}}+\sum\limits_{j=1}^{n}\mathop{\sum\limits_{k_{j}<m_{i},}}\limits_{k_{{j}_{s}}\leq m_{{j}_{s}}}\frac{\partial^{k_{j}}( b_{jk_{j_{1}}\ldots  k_{j_{n}}}u_{j}(x))}{\partial x_{1}^{k_{j_{1}}}\cdots\partial x_{n}^{k_{j_{n}}}}=f_{i}(x),\quad i=\overline{1,n},
\end{equation} \tag{7} \]
где коэффициенты $b_{jk_{j_{1}}\ldots k_{j_{n}}}$ вычисляются по формуле (4). Проинтегрируем систему (7) по области $\Omega$. Учитывая формулу
\[ \begin{equation*}
\underbrace{\int_{x_{j0}}^{x_{j}}\ldots \int_{x_{j0}}^{x_{j}}}_{l_{j}\, \text{раз}}u_{i}(x_{1},\dots,x_{n})d\alpha_{j} = \int_{x_{j0}}^{x_{j}}
\frac{(x_{j}-\alpha_{j})^{l_j-1}}{(l_j-1)!} u_{i}(x_1,\dots,x_{j-1},\alpha_{j},x_{j+1},x_n)d\alpha_{j},
\end{equation*} \]
получим
\[ \begin{multline}
u_{i}(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})+\sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\sum\limits_{Q_{k,n}}
\int_{x_{q_{1}0}}^{x_{q_1}} \int_{x_{q_{2}0}}^{x_{q_2}}\ldots\int_{x_{q_{k}0}}^{x_{q_{k}}} K^{i}_{jq_{1}q_{2}\dots q_{k}}(x_{1},\dots,x_{n},\alpha_{q_{1}},\dots,\alpha_{q_{k}})\times
\\ 
\times u_{j}(x_{1},x_{2},\dots,x_{q_{1}-1},\alpha_{q_{1}},x_{q_{1}+1},\dots,
x_{q_{k}-1},\alpha_{q_{k}},x_{q_{k}+1},\dots,x_{n}) \cdot d\alpha_{q_{k}}\cdots d\alpha_{q_{2}} d\alpha_{q_{1}}=F_{i}(x_{1},\dots,x_{n}),\quad i=\overline{1,n}.
\end{multline} \tag{8} \]
Здесь
\[ \begin{equation*}
K^{i}_{jq_{1}q_{2}\dots q_{k}}(x_{1},x_{2},\dots,x_{n},\alpha_{q_{1}},\alpha_{q_{2}},\dots,\alpha_{q_{k}})=\sum\limits_{p_{q_{1}}=0}^{m_{i_{1}}-1} \dots \sum\limits_{p_{q_{k}}=0}^{m_{i_{k}}-1} b_{jp_{1}p_{2}\dots p_{n}}(x_{1},\dots,x_{n})  \prod\limits_{j=1}^{k} \frac{(x_{q_{j}}-\alpha_{q_{j}})^{m_{i_{j}}-p_{q_{j}}-1} } {(m_{i_{j}}-p_{q_{j}}-1)!},
\end{equation*} \]
причем если $i\neq q_{j}$, то $p_{i}=m_{i_{j}}$,  а~$b_{jp_{1}p_{2}\dots p_{n}}=0$, если выполняется хотя бы одно из неравенств $p_{k}>m_{j_{k}},$ $k=\overline{1,n}$; $Q_{k,n}=\{(q_{1},q_{2},\ldots,q_{n})\,:\,1\leqslant q_{1} <q_{2}<\cdots<q_{l}\leqslant n\}$. Функции $F_{i}$ в силу условий (2) являются известными непрерывными функциями.

Известно [13, с. 30], что решение системы (8) существует и единственно, если все ядра и правые части в (8) непрерывны в соответствующих замкнутых параллелепипедах изменения своих переменных. Из проведенных рассуждений следует

Теорема. Если в системе (8) $K^{i}_{jq_{1}q_{2}\dots q_{k}}$, $i, j, k=\overline{1,n}$, непрерывны в соответствующих замкнутых параллелепипедах изменения своих переменных, то решение задачи существует и единственно. 

Заключение

В работе рассмотрена задача Гурса для $n$-мерной системы уравнений с доминирующими частными производными $n$-го порядка. С помощью вспомогательного утверждения относительно вида рассматриваемой системы и~на основании методов теории интегральных уравнений исходная задача редуцирована к системе интегральных уравнений, решение которой существует и единственно при выполнении требований непрерывности ядер и правых частей этой системы в соответствующих замкнутых параллелепипедах изменения своих переменных. Таким образом, в терминах коэффициентов исходной системы получены условия однозначной разрешимости рассматриваемой задачи. Результат сформулирован в виде теоремы.

Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею.
Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.
Финансирование. Работа выполнена за счет средств Программы стратегического академического лидерства Казанского (Приволжского) федерального университета.

About the authors

Elena A. Sozontova

Elabuga Institute of Kazan (Volga Region) Federal University

Author for correspondence.
Email: sozontova-elena@rambler.ru
ORCID iD: 0000-0003-4315-0669
SPIN-code: 4568-9733
Scopus Author ID: http://www.scopus.com/authid/detail.url?authorId=55885264300
ResearcherId: http://www.researcherid.com/rid/O-4039-2016

Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor, Dept. of Mathematics and Applied Computer Science

Russian Federation, 423600, Elabuga, Kazanskaya st., 89

References

Supplementary files