Second boundary-value problem for the generalized Aller–Lykov equation

Full Text

\Section[n]{Введение} Вопросы тепловлагопереноса в почвах являются фундаментальными при решении многих задач гидрологии, агрофизики, строительной физики и других областей науки. Исследователи при этом концентрируют свое внимание на возможности отражения в характере исходных уравнений специфических особенностей изучаемых массивов, их структуры, физических свойств, протекающих в них процессов [1, гл. 6]. В связи с этим возникает качественно новый класс дифференциальных уравнений состояния и переноса с дробной производной, являющихся основой большинства математических моделей, описывающих широкий класс физических и химических процессов в средах с фрактальной структурой и памятью [2, гл. 5]. В основе математических моделей, описывающих процессы переноса почвенной влаги в зоне аэрации с учетом ее движения против потенциала влажности, лежат уравнения в частных производных третьего порядка [3, §6.2.4, c. 261]. В данной работе рассмотрено уравнение вида \begin{equation} \label{KER1} A_{1} D_{0t}^{\alpha +1} w+D_{0t}^{\alpha } w=\frac{\partial}{\partial x} \Bigl(D(w)\frac{\partial w}{\partial x} \Bigr)+AD_{0t}^{\alpha } \frac{\partial ^{2} w}{\partial x^{2} } +f\left(x,t\right), \end{equation} где $D_{0t}^{\gamma }$ --- оператор дробного интегро=дифференцирования Римана--~Лиувилля [2, §0.1, c. 9], $0<\alpha <1$; $w(x,t)$ --- влажность почвы в~долях единицы на глубине $x$ в~момент времени $t$; коэффициент $A_{1}$ принимает значение $A_{1} =Cx^{2} $, где $C$ --- константа, зависящая от коэффициента диффузии, а также пористости тела, его капиллярных свойств и вязкости жидкости~[2, §5.9, с. 197]; $D (w )$ --- коэффициент диффузии; $A$ --- варьируемый коэффициент Аллера. Уравнение \eqref{KER1} при $\alpha =1$ совпадает с уравнением Аллера--~Лыкова, которое впервые было предложено В.~Я.~Куликом в~[4] для описания процессов испарения и~инфильтрации влаги в~почве. Такого рода уравнения в локальной постановке $\left(\alpha =1\right)$ рассматривались в работах многих авторов и решались методом разделения переменных, методом априорных оценок, а также численными методами. Среди последних отметим работы [5, 6], в которых получены априорные оценки для решения нелокальных задач для уравнения влагопереноса Аллера--~Лыкова в~дифференциальной и~разностной трактовках, а~также работы [7–9], в которых исследовано уравнение влагопереноса Аллера--~Лыкова с~дробной по времени производной. Исследование уравнения \eqref{KER1} будем проводить методом Фурье и методом априорных оценок. Ранее методом Фурье краевые задачи для уравнений с дробной производной исследовались в работах С. Х. Геккиевой [10], O. P. Agrawal [11], В. А. Нахушевой [12], Б. Х. Турметова [13], О. Х. Масаевой [14] и других авторов, в том числе методом априорных оценок в работах [15, 16]. \smallskip \Section{Постановка задачи} Рассмотрим соответствующее \eqref{KER1} однородное уравнение \begin{equation} \label{KERi2} A_{1} D_{0t}^{\alpha +1} w+ D_{0t}^{\alpha } w= \frac{\partial}{\partial x} \Bigl(D(w)\frac{\partial w}{\partial x} \Bigr)+AD_{0t}^{\alpha } \frac{\partial ^{2} w}{\partial x^{2} }. \end{equation} В целом ряде реальных ситуаций, как отмечает В.~Я.~Кулик в [4], зависимость $A_1$ и $D$ от координаты $x$ практически устраняется (например, когда влажность меняется в~небольшом диапазоне). В~дальнейшем будем предполагать, что $A_1=\rm const,$ $D(w)=D=\rm const.$ Определим распределение влаги $w(x,t)$ в среде $0\le x\le l$ для всех моментов времени $t\in \left[0,T\right]$, если в начальный момент выполняются условия \begin{equation} \label{KER2} \lim\limits_{t\to 0} D_{0t}^{\alpha -1} w(x,t)=\tau (x), \quad \lim\limits_{t\to 0} D_{0t}^{\alpha } w(x,t)=\nu (x), \end{equation} а распределение влаги на концах отрезка задается соотношениями \begin{equation} \label{KER3} \Bigl[D\frac{\partial w}{\partial x} +AD_{0t}^{\alpha } \frac{\partial w}{\partial x} \Bigr]_{x=0} =-\mu(t), \quad \frac{\partial w}{\partial x} \Bigr|_{x=l} =0. \end{equation} Второе условие \eqref{KER3} означает отсутствие потока влаги через границу \textit{$x=l$}. Что касается первого условия \eqref{KER3}, к нему приводят следующие соображения. Обозначим через \[ B(t)=\int _0^l w(x,t)dx \] влагосодержание слоя $[0,l]$ в момент времени $t$ [17]. Интегрируя уравнение \eqref{KERi2} в~пределах от $0$ до $l$ и меняя слева порядок интегрирования и дифференцирования, получим \[ A_{1} D_{0t}^{\alpha +1} B(t)+D_{0t}^{\alpha }B(t)=\Bigl[D\frac{\partial w}{\partial x}+AD_{0t}^{\alpha } \frac{\partial w}{\partial x}\Bigr]_{x=0}^{x=l}. \] Отсюда, учитывая второе условие \eqref{KER3}, имеем \begin{equation} \label{KERi5} A_{1} D_{0t}^{\alpha +1} B(t)+D_{0t}^{\alpha }B(t)=-\Bigl[D\frac{\partial w}{\partial x}+AD_{0t}^{\alpha } \frac{\partial w}{\partial x}\Bigr] _{x=0}. \end{equation} Из \eqref{KERi5} получаем \[ D_{0t}^{\alpha}\mu_1(t)+\frac{D}{A}\mu_1(t)=-\frac{1}{A}\mu(t), \] где \[ \mu_1(t)= \frac{\partial w}{\partial x}\Bigr|_{x=0}, \quad \mu(t)=A_1D_{0t}^{\alpha+1}B(t)+D_{0t}^{\alpha}B(t). \] В~этом случае первое условие \eqref{KER3} заменяется более простым: \begin{equation} \label{KERi6} \frac{\partial w}{\partial x}\Bigr|_{x=0}=\mu_1(t), \end{equation} где \begin{multline} \mu_1(t)=\tau'(0)t^{\alpha-1} \Bigl[ \frac{1}{\Gamma(\alpha)}-\frac{D}{A}t^\alpha E_{\frac{1}{\alpha}} \Bigl( -\frac{D}{A}t^{\alpha};2\alpha\Bigr)\Bigr]- -\frac{1}{A}D_{0t}^{-\alpha}\mu(t)+\frac{D}{A^2} \Gamma(2\alpha)D_{0t}^{-2\alpha}\left( E_{\frac{1}{\alpha}}\Bigl( -\frac{D}{A}t^{\alpha};2\alpha\Bigr)\mu(t) \right), \end{multline} а $\tau(x)$ определяется из первого условия [2, §2.2, с. 93]. Предположим, что выполнены условия непрерывности предельных соотношений \begin{equation} \label{KERi7} \lim \limits_{t\to 0} D_{0t}^{\alpha-1} \mu(t)=0,\quad \lim\limits_{t\to 0} D_{0t}^{\alpha } \mu(t)=0,\quad \tau'(0)=\nu'(0)=\tau'(l)=\nu'(l)=0. \end{equation} Тогда с помощью замены \[ w(x,t)=u(x,t)+\frac{t^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}\tau(x)+\frac{t^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}\nu(x)+ \mu_1(t)\Bigl(x-\frac{x^2}{2l}\Bigr) \] условия \eqref{KER2}, \eqref{KERi6} и второе условие \eqref{KER3} можно свести к~однородным. \smallskip Получим следующую постановку задачи: {\it в области $Q=\bigl\{ (x, t ) : {0<x<l},$ $ t>0\bigr\}$ рассматривается уравнение} \begin{equation} \label{KER4} A_{1} D_{0t}^{\alpha +1} u+D_{0t}^{\alpha } u=D\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2} } +AD_{0t}^{\alpha } \frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2} } +f\left(x,t\right),\; \; \; 0<x<1,\; \; \; t>0 , \end{equation} {\it где} $A_{1},$ $A,$ $D $ --- {\it положительные константы}, \begin{multline} f(x,t)=-A_1 \Bigl(x-\frac{x^2}{2l}\Bigr) D_{0t}^{\alpha+1}\mu_1(t)-\Bigl(x-\frac{x^2}{2l}-\frac{A}{l}\Bigr)D_{0t}^{\alpha}\mu_1(t)+ +D\frac{t^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}\tau''(x)+ D\frac{t^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}\nu''(x)-\frac{1}{l}\mu_1(t). \end{multline} \smallskip \begin{definition} {\it Регулярным решением уравнения \eqref{KER4} в области $Q$ назовем функцию $u=u\left(x,t\right)$ из класса $D_{0t}^{\alpha } u(x,t)\in C\left(\bar{Q}\right);$ $D_{0t}^{\alpha +1}u(x,t),$ $u_{xx}(x,t)$, $D_{0t}^{\alpha } u_{xx} (x,t)\in C\left(Q\right)$, которая удовлетворяет уравнению \eqref{KER4} во всех точках $\left(x,t\right)\in Q.$ } \end{definition} \smallskip Сформулируем вторую краевую задачу для уравнения \eqref{KER4}. \smallskip \hypertarget{ker:task:1}{} {\small \sc Задача 1.} {\it Найти регулярное решение $u(x,t)$ уравнения \eqref{KER4} в области $Q,$ удовлетворяющее краевым условиям \begin{equation} \label{KER5} u_{x} ( 0,t ) =u_{x} (l ,t ) =0,\quad t>0 \end{equation} и начальным условиям \begin{equation} \label{KER6} \lim \limits_{t\to 0} D_{0t}^{\alpha -1} u(x,t)=0, \quad \lim \limits_{t\to 0} D_{0t}^{\alpha } u(x,t)=0. \end{equation} } \smallskip Решение соответствующего \eqref{KER4} однородного уравнения \begin{equation} \label{KERi11} A_{1} D_{0t}^{\alpha +1} u+D_{0t}^{\alpha } u=D\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2} } +AD_{0t}^{\alpha } \frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2} } \end{equation} ищем в виде \begin{equation} \label{KER7} u(x,t)=X(x)T(t). \end{equation} Подставляя эту форму решения в \eqref{KERi11}, для определения $X(x)$ получим: \begin{equation} \label{KER8} X''+\lambda X=0,\quad X'(0)=0,\quad X'(l)=0, \end{equation} где $\lambda=\rm const.$ Как известно, решения спектральной задачи \eqref{KER8} имеют вид \begin{equation} \label{KER9} X_{0}(x)=\frac{1}{l}, \;\; \lambda _{0}=0; \;\; X_{k}(x)=\frac{2}{l}\cos\Bigl(\frac{\pi k}{l} x\Bigr), \;\; \lambda _{k} =\Bigl(\frac{\pi k}{l} \Bigr)^{2}, \;\; k=1, 2, \dots \;. \end{equation} Найдем решение неоднородного уравнения Аллера--~Лыкова \eqref{KER4} в виде разложения в ряд Фурье по собственным функциям $X_{k} (x )$ задачи \eqref{KER8}: \begin{equation} \label{KER10} u(x,t)=\sum\limits_{k=0}^{\infty }u_{k} (t)X_{k} (x). \end{equation} Предположим, что функцию $f(x,t)$ можно разложить в интервале $(0,l)$ в~ряд Фурье по косинусам: \[ f(x,t)=\frac{f_{0}(t)}{2} +\sum\limits_{k=1}^{\infty }f_{k}(t)\cos \Bigl(\frac{\pi k}{l} x\Bigr), \] \begin{equation} \label{KER11} f_{0} (t)=\frac{2}{l} \int _{0}^{l}f(\xi ,t) d\xi, \quad f_{k} (t)=\frac{2}{l} \int _{0}^{l}f(\xi,t)\cos\Bigl(\frac{\pi k}{l}\xi\Bigr)d\xi. \end{equation} В силу теоремы В. А. Стеклова [18, §22.3, c. 342] разложение (14) справедливо, если \begin{equation} \label{KER12} f(x,t)\in C^{2} \left(\bar{Q}\right),\quad f(0,t)=f(l,t)=0, \end{equation} и при любом фиксированном $t\ge 0$ функция $f(x,t)$ имеет кусочно=непрерывную производную по $x$ с точками разрыва первого рода. Подставляя предполагаемую форму решения \eqref{KER10} в уравнение \eqref{KER4} и начальные условия \eqref{KER6}, с учетом \eqref{KER9}, \eqref{KER11} будем иметь: \begin{multline} \frac{A_{1} }{l} D_{0t}^{\alpha +1} u_{0} (t)+ \frac{1}{l} D_{0t}^{\alpha } u_{0} (t)+ +\sum _{k=1}^{\infty }\cos \Bigl(\frac{\pi k}{l} x \Bigr) \Bigl \{ A_{1} D_{0t}^{\alpha +1} u_{k} (t)+ D_{0t}^{\alpha } u_{k} (t)+ D\Bigl(\frac{\pi k}{l} \Bigr)^{2} u_{k} (t)+ +A\Bigl(\frac{\pi k}{l} \Bigr)^{2} D_{0t}^{\alpha } u_{k} (t)\Bigr \} =\frac{f_{0} (t)}{2} + \sum _{k=1}^{\infty }f_{k} (t)\cos \Bigl(\frac{\pi k}{l} x\Bigr), \end{multline} \[ \sum _{k=0}^{\infty }X_{k} (x){\mathop{\lim }\limits_{t\to 0}} D_{0t}^{\alpha -1} u_{k} (t) =0, \quad \sum _{k=0}^{\infty }X_{k} (x){\mathop{\lim }\limits_{t\to 0}} D_{0t}^{\alpha } u_{k} (t) =0. \] Эти равенства возможны тогда и только тогда, когда \begin{gather} \label{KER13} D_{0t}^{\alpha +1} u_{0} (t)+\frac{1}{A_{1} } D_{0t}^{\alpha } u_{0} (t)=\frac{l}{2A_{1} } f_{0} (t), \label{KER14} {\mathop{\lim }\limits_{t\to 0}} D_{0t}^{\alpha -1} u_{0} (t)=0,\; \; \; {\mathop{\lim }\limits_{t\to 0}} D_{0t}^{\alpha } u_{0} (t)=0 \end{gather} и для всех $k=1,\; 2,\; \dots$ \begin{gather} \label{KER15} D_{0t}^{\alpha +1} u_{k} (t)+a_{k} D_{0t}^{\alpha } u_{k} (t)+b_{k} u_{k} (t)=\frac{f_{k}(t)}{A_1}, \label{KER16} {\mathop{\lim }\limits_{t\to 0}} D_{0t}^{\alpha -1} u_{k} (t)=0,\; \; \; {\mathop{\lim }\limits_{t\to 0}} D_{0t}^{\alpha } u_{k} (t)=0, \end{gather} где $a_{k} =\frac{1+A\lambda_k }{A_{1} } ,\quad b_{k} =\frac{\lambda_k D}{A_{1} } ,\quad \lambda _{k} =\Bigl(\frac{\pi k}{l} \Bigr)^{2}.$ Подействовав на уравнение \eqref{KER13} оператором дробного интегрирования порядка $\alpha $ с учетом обобщенной формулы Ньютона--~Лейбница [19, форм. (1.2.8), с. 15], получим \begin{multline} \frac{du_{0} }{dt} +\frac{1}{A_{1} } u_{0}(t)=\frac{l}{2A_{1} } D_{0t}^{-\alpha } f_{0} (t)+ \frac{t^{\alpha -1} }{\Gamma(\alpha)}\lim\limits_{t\to 0}D_{0t}^{\alpha } u_{0}(t)+ \label{KER17} +\left(\frac{t^{\alpha -2} }{\Gamma(\alpha -1)}+\frac{t^{\alpha -1} }{\Gamma(\alpha)}\right)\lim\limits_{t\to 0} D_{0t}^{\alpha -1}u_{0}(t). \end{multline} Проинтегрируем неоднородное уравнение \eqref{KER17} с учетом начальных условий \eqref{KER14}, в результате получим решение задачи \eqref{KER13}, \eqref{KER14}: \[ u_{0}(t)=\frac{l}{2A_{1} } \int_0^{t}e^{\frac{\xi -t}{A_{1} } } D_{0\xi }^{-\alpha } f_{0}(\xi) d\xi. \] Прежде чем выписывать решение задачи \eqref{KER15}, \eqref{KER16}, отметим, что обыкновенные дифференциальные уравнения дробного порядка с постоянными коэффициентами исследовались достаточно интенсивно. Для них найдены явные представления начальных и~краевых задач в~терминах обобщенных функций Миттаг--~Леффлера и~функций Райта. Подробное изложение этих результатов и~библиографию по теме можно найти в~работах~[20, 21]. Для нашей работы, чтобы избежать технически непростого аппарата теории специальных функций, возникающих при решении этих уравнений, позволим себе воспользоваться результатами работы [8], где решение однородного уравнения \eqref{KERi11} получено путем редукции его к~интегральному уравнению Вольтерра 2-го рода со степенным ядром и~последующим решением его методом последовательных приближений. Подействовав на уравнение \eqref{KER15} оператором дробного интегрирования порядка $\alpha +1$, получим \begin{equation} \label{KER18} u_{k}(t)+\int _{0}^{t}u_{k}(\tau)\Bigl[a_{k} +\frac{b_{k} }{\Gamma (\alpha +1)(t-\tau )^{-\alpha } } \Bigr]d\tau = F_{k} (t), \end{equation} где $F_{k} (t)=\frac{1}{A_1\Gamma (\alpha +1)} \int _{0}^{t}(t-\tau )^{\alpha } f_{k} (\tau )d\tau .$ Найдем решение интегрального уравнения \eqref{KER18} аналогично тому, как это было проделано в [8]: \begin{multline} \label{KER19} u_{k}(t)=F_{k} (t)+ \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1} \sum _{s=0}^{n+1} \Bigl(\!\!\begin{array}{c} {n+1} {s} \end{array} \!\!\Bigr) \frac{a_{k}^{n+1-s}b_{k}^{s}}{\Gamma(n+1+s\alpha)} \int _{0}^{t}\!(t-\tau )^{n+s\alpha }F_{k}(t)d\tau = =\frac{1}{A_1\Gamma (\alpha +1)} \int _{0}^{t}\frac{f_{k} (\tau )}{(t-\tau )^{-\alpha } } d\tau+ \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}\sum _{s=0}^{n+1} \Bigl(\!\!\begin{array}{c} {n+1} {s} \end{array} \!\!\Bigr) \times \times\frac{a_{k}^{n+1-s} b_{k}^{s} }{A_1\Gamma (\alpha+1)\Gamma(n+1+s\alpha)}\int _{0}^{t}\!\!\int _{0}^{\tau }\frac{(t-\tau)^{n+s\alpha}f_{k}(\tau_{1})}{(\tau -\tau _{1} )^{-\alpha } } d\tau _{1} d\tau, \end{multline} где $\Bigl(\!\!\begin{array}{c} {n+1} {s} \end{array} \!\!\Bigr) =\cfrac{(n+1)!}{s!(n+1-s)!} .$ \smallskip В правой части \eqref{KER19} рассмотрим двойной интеграл. Поменяв порядок интегрирования и сделав замену $\tau =\tau _{1} +z\left(t-\tau \right)$, находим \begin{multline} \int _{0}^{t}\!\!\int _{0}^{\tau }\frac{\left(t-\tau \right)^{n+s\alpha } f_{k} (\tau _{1} )}{(\tau -\tau _{1} )^{-\alpha } } d\tau _{1} d\tau= \int _{0}^{t}f_{k} (\tau _{1} )d\tau _{1} \int _{\tau _{1} }^{t}\left(t-\tau \right)^{n+s\alpha } (\tau -\tau _{1} )^{\alpha } d\tau= =\frac{\Gamma(\alpha +1)\Gamma(n+s\alpha +1)}{\Gamma(n+2+s\alpha +\alpha)}\int _{0}^{t}(t-\tau _{1} )^{n+s\alpha +\alpha +1} f_{k} (\tau _{1} )d\tau _{1}. \end{multline} Или окончательно \begin{multline} \label{KER20} u_{k}(t)= \frac{1}{A_1\Gamma (\alpha +1)} \int _{0}^{t}\frac{f_{k} (\tau )}{(t-\tau )^{-\alpha } } d\tau+ +\frac{1}{A_1}\sum\limits_{n=0}^{\infty }\left(-1\right)^{n+1} \sum\limits_{s=0}^{n+1} \Bigl(\!\!\begin{array}{c} {n+1} {s} \end{array} \!\!\Bigr) \frac{a_{k}^{n+1-s}b_{k}^{s}}{\Gamma (n+2+s\alpha +\alpha )}\int _{0}^{t}(t-\tau )^{n+s\alpha +\alpha +1} f_{k} (\tau )d\tau= =\frac{1}{A_1}\int _{0}^{t}\bigg [\frac{(t-\tau )^{\alpha } }{\Gamma (\alpha +1)}+ \hspace{9.5cm} +\sum _{n=0}^{\infty }\left(-1\right)^{n+1} \sum _{s=0}^{n+1} \Bigl(\!\!\begin{array}{c} {n+1} {s} \end{array} \!\!\Bigr) \frac{a_{k} {}^{n+1-s} b_{k} {}^{s} }{\Gamma (n+2+s\alpha +\alpha )} (t-\tau )^{n+s\alpha +\alpha +1} \bigg ]f_{k} (\tau )d\tau. \end{multline} Таким образом, согласно \eqref{KER10}, искомое решение задачи \eqref{KER4}, \eqref{KER6} запишется в виде \begin{multline} \label{KER21} u(x,t)=\frac{l}{2A_{1} } \int _{0}^{t}e^{\frac{1}{A_{1} } \left(\xi -t\right)} D_{0\xi }^{-\alpha } f_{0} \left(\xi \right) d\xi + +\frac{1}{A_1}\int _{0}^{t}\!\!\int _{0}^{l}G^{\alpha } \left(x,\xi ,t-\tau \right) f\left(\xi ,\tau \right)d\xi d\tau , \end{multline} где \[ G^{\alpha } \left(x,\xi ,t-\tau \right)=\frac{2}{l} \sum\limits _{k=1}^{\infty }E_{k} \left(t,\tau \right)\cos \Bigl(\frac{\pi k}{l} x \Bigr)\cos \Bigl(\frac{\pi k}{l} \xi\Bigr), \] \[E_{k} \left(t,\tau \right)=\frac{(t-\tau )^{\alpha } }{\Gamma (\alpha +1)} +\sum _{n=0}^{\infty }\left(-1\right)^{n+1} \sum _{s=0}^{n+1} \Bigl(\!\!\begin{array}{c} {n+1} {s} \end{array} \!\!\Bigr) \frac{a_{k} {}^{n+1-s} b_{k} {}^{s} (t-\tau )^{n+s\alpha +\alpha +1} }{\Gamma (n+2+s\alpha +\alpha )} .\] Сходимость ряда \eqref{KER21} и рядов производных $D_{0t}^{\alpha +1} u(x,t),$ $D_{0t}^{\alpha } u(x,t),$ $u_{xx} (x,t),$ $D_{0t}^{\alpha } u_{xx} (x,t)$ обеспечивается требованием соблюдения условий \eqref{KER12}. \smallskip Таким образом, имеет место следующая теорема. \smallskip \begin{newthm}{Теорема 1} Пусть $f\left(x,t\right)\in C^{2} \left(\overline{Q}\right),$ $\tau \in C^{3} [0,l],$ $\nu \in C^{2} [0,l]$ и выполнены условия \eqref{KERi7} и условия согласования $f\left(0,t\right)=f\left(l,t\right)=0.$ Тогда регулярное решение $u(x,t)$ задачи \hyperlink{ker:task:1}{\sl 1} представимо в виде \rm \eqref{KER21}. \end{newthm} \smallskip \Section{Единственность решения задачи для неоднородного уравнения Аллера--~Лыкова с дробной по времени производной} Обозначим $Q_T=\{(x,t):$ $0<x<l,$ $0<t<T\}.$ В~предположении, что $D(w)=k(x,t) $ --- известная функция координаты и времени, рассмотрим в области $Q_T$ вторую краевую задачу для неоднородного уравнения \eqref{KER1} с~начальными условиями \eqref{KER2} и~однородными краевыми условиями \begin{equation} \label{KERi26} w_x(0,t)=w_x(l,t)=0, \quad t>0. \end{equation} В дальнейшем будем предполагать существование регулярного решения задачи \eqref{KER1}, \eqref{KER2}, \eqref{KERi26} и будем использовать обозначения \[ \|w\|_0^2=\int _0^l w^2(x,t)dx, \quad D_{0t}^\alpha w(x,t)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{\partial}{\partial t}\int _0^t \frac{w(x,\tau)d\tau}{(t-\tau)^\alpha},\] \[\left\| D_{0t}^{\alpha } w\right\| _{2,Q_{t}}^{2}=\int _0^t\left\| D_{0t}^{\alpha } w(x,\tau)\right\| _{0}^{2}d\tau. \] \smallskip \begin{newthm}{Теорема 2} Пусть $k_{x}(x,t),$ $k_{t}(x,t),$ $f(x,t)\in C\left(\bar{Q}_{T} \right),$ $\nu (x)\in C[0,l],$ $\tau (x)\in C^{2}[0,l],$ $0<c_1\le k(x,t)\le c_2,$ $k_t(x,t)\le 0$ всюду на $\bar{Q}_{T} $ и выполнены условия $\tau (0)=\tau (l)=0,$ $\tau'(0)=\tau '(l)=0.$ Тогда для решения задачи {\rm \eqref{KER1}, \eqref{KER2}, \eqref{KERi26}} справедлива априорная оценка \begin{multline} \left\| D_{0t}^{\alpha } w\right\| _{0}^{2} + \left\| D_{0t}^{\alpha } w_{x} \right\| _{2,Q_{t} }^{2} + \left\| D_{0t}^{\alpha } w\right\| _{2,Q_{t} }^{2} \le \label{KER24} \le M_{1} (t)\left(\left\| f\right\| _{2,Q_{t} }^{2} +\left\| \tau '(x)\right\| _{0}^{2}+\left\| \tau ''(x)\right\| _{0}^{2} +\left\| \nu (x)\right\| _{0}^{2} \right). \end{multline} \end{newthm} \smallskip \begin{proof} Введем новую неизвестную функцию $v(x,t)$, полагая \[w(x,t)=v(x,t)+\frac{t^{\alpha -1} }{\Gamma (\alpha )} \tau (x) \] так, что $v(x,t)$ представляет собой отклонение функции $w(x,t)$ от известной функции $\frac{t^{\alpha -1} }{\Gamma (\alpha )} \tau (x)$. С~учетом $D_{0t}^{\alpha +1} t^{\alpha -1} =0$, $D_{0t}^{\alpha } t^{\alpha -1} =0$ [19, §1.2, с. 15] имеем, что функция $v(x,t)$ будет определяться как решение уравнения \begin{equation} \label{KER25} A_{1} D_{0t}^{\alpha +1} v+D_{0t}^{\alpha } v-\left(kv_{x} \right)_{x} -AD_{0t}^{\alpha } v_{xx} =F(x,t),\; \; \; 0<x<l,\; \; \; 0<t\le T, \end{equation} с начальными условиями \begin{multline} \label{KER26} \lim\limits_{t\to 0} D_{0t}^{\alpha -1} v(x,t)= \lim\limits_{t\to 0} D_{0t}^{\alpha -1} \Bigl(w(x,t)-\frac{t^{\alpha -1} }{\Gamma (\alpha )} \tau (x)\Bigr)= =\tau (x)-\frac{\tau (x)}{\Gamma (\alpha )}\lim\limits_{t\to 0} D_{0t}^{\alpha -1} t^{\alpha -1}=0, \end{multline} \[ \lim\limits_{t\to 0} D_{0t}^{\alpha } v(x,t)= \lim\limits_{t\to 0} D_{0t}^{\alpha } \Bigl(w(x,t)-\frac{t^{\alpha -1} }{\Gamma (\alpha )} \tau (x)\Bigr)= \nu (x)-\frac{\tau (x)}{\Gamma (\alpha )}\lim\limits_{t\to 0} D_{0t}^{\alpha } t^{\alpha -1}=\nu(x) \] и граничными условиями \begin{equation} \label{KER27} v_{x} (0,t)=v_{x} (l,t)=0,\quad 0\le t\le T, \end{equation} где $F(x,t)=f(x,t)+\frac{t^{\alpha -1} }{\Gamma (\alpha )} \left(k_{x} \tau '(x)+k\tau ''(x)\right).$ Получим априорную оценку в терминах дробной производной Римана--~Лиувилля, для этого умножим уравнение \eqref{KER25} скалярно на $D_{0t}^{\alpha } v$: \begin{multline} \label{KER28} A_1\left(D_{0t}^{\alpha +1} v,D_{0t}^{\alpha } v\right)+\left(D_{0t}^{\alpha } v,D_{0t}^{\alpha } v\right)- -\left(\left(kv_{x} \right)_{x} ,D_{0t}^{\alpha } v\right)-A\left(D_{0t}^{\alpha } v_{xx} ,D_{0t}^{\alpha } v\right)=\left(F,D_{0t}^{\alpha } v\right), \end{multline} где $(w,v)=\int _{0}^{l}wvdx ,\quad (w,w)=\left\| w\right\| _{0}^{2} .$ Преобразуем слагаемые тождества \eqref{KER28} с учетом \eqref{KER26}, \eqref{KER27}: \begin{multline} A_{1} \left(D_{0t}^{\alpha +1} v,D_{0t}^{\alpha } v\right)= =A_{1} \int _{0}^{l}\frac{1}{\Gamma (1-\alpha )} \frac{\partial ^{2} }{\partial t^{2} } \int _{0}^{t}\frac{v(x,\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha } } \frac{1}{\Gamma (1-\alpha )} \frac{\partial }{\partial t} \int _{0}^{t}\frac{v\left(x,\tau \right)d\tau }{\left(t-\tau \right)^{\alpha } } dx = =\frac{A_{1} }{2} \int _{0}^{l}\frac{\partial }{\partial t} \left(D_{0t}^{\alpha } v\right)^{2} dx =\frac{A_{1} }{{\rm 2}} \frac{\partial }{\partial t} \left\| D_{0t}^{\alpha } v\right\| _{0}^{2} , \end{multline} \[\left(D_{0t}^{\alpha } v,D_{0t}^{\alpha } v\right)=\left\| D_{0t}^{\alpha } v\right\| _{0}^{2} , \hspace{8.8cm} \] \begin{multline} \left(\left(kv_{x} \right)_{x} ,D_{0t}^{\alpha } v\right)=\frac{1}{\Gamma (1-\alpha )} \int _{0}^{l}\left(kv_{x} \right)_{x} \frac{\partial }{\partial t} \int _{0}^{t}\frac{v(x,\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha } } dx = =\frac{1}{\Gamma (1-\alpha )} \biggl\{ kv_{x} (x,t)\frac{\partial }{\partial t} \int _{0}^{t}\frac{v(x,\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha } } \bigg|_{0}^{l} -\int _{0}^{l}kv_{x} (x,t)\frac{\partial }{\partial t} \int _{0}^{t}\frac{v_{x} (x,\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha } } dx \biggr\}= =-\frac{1}{\Gamma (1-\alpha )} \int _{0}^{l}kv_{x} (x,t)\frac{\partial }{\partial t} \int _{0}^{t}\frac{v_{x} (x,\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha } } dx , \end{multline} \begin{multline} A\left(D_{0t}^{\alpha } v_{xx} ,D_{0t}^{\alpha } v\right)=\frac{A}{\Gamma ^{2} (1-\alpha )} \int _{0}^{l}\frac{\partial }{\partial t} \int _{0}^{t}\frac{v_{xx} (x,\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha } } \frac{\partial }{\partial t} \int _{0}^{t}\frac{v(x,\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha } } dx = =\frac{A}{\Gamma ^{2} (1-\alpha )} \biggl\{ \frac{\partial }{\partial t} \int _{0}^{t}\frac{v_{x} (x,\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha } } \frac{\partial }{\partial t} \int _{0}^{t}\frac{v(x,\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha } } \bigg|_{0}^{l} - \hspace{2cm} \hspace{2cm} - \int _{0}^{l}\frac{\partial }{\partial t} \int _{0}^{t}\frac{v_{x} (x,\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha } } \frac{\partial }{\partial t} \int _{0}^{t}\frac{v_{x} (x,\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha } }dx \biggr\}= =-A\int _{0}^{l}\biggl(\frac{1}{\Gamma (1-\alpha )} \frac{\partial }{\partial t} \int _{0}^{t}\frac{v_{x} (x,\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha } } \biggr)^{2} dx = -A\left\| D_{0t}^{\alpha } v_{x} \right\| _{0}^{2} . \end{multline} Для оценки правой части воспользуемся неравенством Коши--~Буняковского и $\varepsilon $-неравенством [22, §2.7, форм. (46), c. 86], которое справедливо для любого числа $\varepsilon >0$: \[ \left(F,D_{0t}^{\alpha } v\right)\le \frac{1}{4\varepsilon } \left\| F\right\| _{0}^{2} +\varepsilon \left\| D_{0t}^{\alpha } v\right\| _{0}^{2} . \] С учетом полученных неравенств из \eqref{KER28} получим \begin{multline} \frac{A_{1} }{2} \frac{\partial }{\partial t} \left\| D_{0t}^{\alpha } v\right\| _{0}^{2} +\left\| D_{0t}^{\alpha } v\right\| _{0}^{2} + +\frac{1}{\Gamma (1-\alpha )} \int _{0}^{l}kv_{x} (x,t)\frac{\partial }{\partial t} \int _{0}^{t}\frac{v_{x} (x,\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha } } dx \label{KER29} +A\left\| D_{0t}^{\alpha } v_{x} \right\| _{0}^{2} \le \le \frac{1}{4\varepsilon } \left\| F\right\| _{0}^{2} +\varepsilon \left\| D_{0t}^{\alpha } v\right\| _{0}^{2} . \end{multline} Проинтегрируем \eqref{KER29} по $\tau $ от $0$ до $t$: \begin{multline} \frac{A_{1} }{2} \left\| D_{0t}^{\alpha } v\right\| _{0}^{2} + \int _{0}^{t}\left\| D_{0t}^{\alpha } v(x,\tau )\right\| _{0}^{2} d\tau + +\frac{1}{\Gamma (1-\alpha )} \int _{0}^{t}d\tau \int _{0}^{l}kv_{x} (x,\tau )\frac{\partial }{\partial \tau } \int _{0}^{\tau }\frac{v_{x} \left(x,\tau _{1} \right)d\tau _{1} }{\left(\tau -\tau _{1} \right)^{\alpha } } dx + \hspace{6cm} +A\int _{0}^{t}\left\| D_{0t}^{\alpha } v_{x} (x,\tau )\right\| _{0}^{2} d\tau \le \le \frac{1}{4\varepsilon } \left\| F\right\| _{2,Q_{t} }^{2} +\varepsilon \int _{0}^{t}\left\| D_{0t}^{\alpha } v(x,\tau )\right\| _{0}^{2} d\tau + \frac{A_{1} }{2} \left\| D_{0t}^{\alpha } v(x,0)\right\| _{0}^{2} . \end{multline} Предположим, что $k_{t}\le 0,$ тогда неотрицательность тройного интеграла, стоящего в левой части последнего неравенства, доказывается так же, как в [2, §1.5, с. 43]. Усиливая последнее неравенство, получим \[ A_{1} \left\| D_{0t}^{\alpha } v\right\| _{0}^{2} +2A\left\| D_{0t}^{\alpha } v_{x} \right\| _{2,Q_{t} }^{2} +2\varepsilon _{1} \left\| D_{0t}^{\alpha } v\right\| _{2,Q_{t} }^{2} \le \frac{1}{2\varepsilon } \left\| F\right\| _{2,Q_{t} }^{2} +A_{1} \left\| \nu (x)\right\| _{0}^{2} , \] где $\varepsilon _{1} =1-\varepsilon $. Откуда следует оценка \[ \left\| D_{0t}^{\alpha } v\right\| _{0}^{2} +\left\| D_{0t}^{\alpha } v_{x} \right\| _{2,Q_{t} }^{2} +\left\| D_{0t}^{\alpha } v\right\| _{2,Q_{t} }^{2} \le M \bigl(\left\| F\right\| _{2,Q_{t} }^{2} +\left\| \nu (x)\right\| _{0}^{2} \bigr), \] или, возвращаясь к $w\left(x,t\right)$, получим \eqref{KER24}. Теорема доказана. \end{proof} \smallskip \begin{remark}[1]Из \eqref{KER24} следует единственность решения задачи \eqref{KER1}, \eqref{KER2}, \eqref{KERi26}. \end{remark} \smallskip Действительно, пусть $w$ --- решение однородной задачи, т. е. $f=\tau =\nu =0$. Тогда из \eqref{KER24} имеем \[ \left\| D_{0t}^{\alpha } w\right\| _{0}^{2} +\left\| D_{0t}^{\alpha } w_{x} \right\| _{2,Q_{t} }^{2} +\left\| D_{0t}^{\alpha } w\right\| _{2,Q_{t} }^{2} =0. \] Применяя обобщенную формулу Ньютона--~Лейбница \[ D_{0t}^{-\alpha } D_{0t}^{\alpha } w(x, t)=w(x, t)-\frac{t^{\alpha -1} }{\Gamma (\alpha)} {\mathop{\lim }\limits_{t\to 0}} D_{0t}^{\alpha -1} w (x, t ), \] в частности, получим \[ w(x, t)=\frac{t^{\alpha -1} }{\Gamma (\alpha)} {\mathop{\lim }\limits_{t\to 0}} D_{0t}^{\alpha -1} w(x, t)=\frac{t^{\alpha -1} }{\Gamma (\alpha)} \tau (x)=0 \text{ в } Q_{T}.\] Учитывая произвольность $T$, получаем, что $w\left(x,t\right)=0$ во всех точках $\left(x,t\right)\in Q.$ \smallskip \Section[N]{Заключение} В работе рассмотрены вопросы однозначной разрешимости второй краевой задачи для уравнения Аллера--~Лыкова с дробной производной Римана--~Лиувилля. Рассматриваемое уравнение является обобщением уравнения Аллера--~Лыкова посредством введения понятия фрактальной скорости изменения влажности, которая объясняет наличие потоков против потенциала влажности. С~помощью метода энергетических неравенств для решения задачи получена априорная оценка в терминах дробной производной Римана--~Лиувилля, из которой следует единственность решения. Существование решения второй краевой задачи для случая с постоянными коэффициентами доказано методом Фурье.

About the authors

Marat Aslanbievich Kerefov

Kabardino-Balkar State University

Author for correspondence.
Email: kerefov@mail.ru

Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

Sakinat Khasanovna Gekkieva

Institute of Applied Mathematics and Automation

Email: gekkieva_s@mail.ru

Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

Supplementary files