Second boundary-value problem for the generalized Aller–Lykov equation

Abstract


The equations that describe a new type of wave motion arise in the course of mathematical modeling for continuous media with memory. This refers to differential equations of fractional order, which form the basis for most mathematical models describing a wide class of physical and chemical processes in media with fractal geometry. The paper presents a qualitatively new equation of moisture transfer, which is a generalization of the Aller–Lykov equation, by introducing the concept of the fractal rate of change in humidity clarifying the presence of flows affecting the potential of humidity. We have studied the second boundary value problem for the Aller–Lykov equation with the fractional Riemann–Liouville derivative. The existence of a solution to the problem has been proved by the Fourier method. To prove the uniqueness of the solution we have obtained an a priori estimate, in terms of a fractional Riemann–Liouville using the energy inequality method.


Full Text

\Section[n]{Введение} Вопросы тепловлагопереноса в почвах являются фундаментальными при решении многих задач гидрологии, агрофизики, строительной физики и других областей науки. Исследователи при этом концентрируют свое внимание на возможности отражения в характере исходных уравнений специфических особенностей изучаемых массивов, их структуры, физических свойств, протекающих в них процессов [1, гл. 6]. В связи с этим возникает качественно новый класс дифференциальных уравнений состояния и переноса с дробной производной, являющихся основой большинства математических моделей, описывающих широкий класс физических и химических процессов в средах с фрактальной структурой и памятью [2, гл. 5]. В основе математических моделей, описывающих процессы переноса почвенной влаги в зоне аэрации с учетом ее движения против потенциала влажности, лежат уравнения в частных производных третьего порядка [3, §6.2.4, c. 261]. В данной работе рассмотрено уравнение вида \begin{equation} \label{KER1} A_{1} D_{0t}^{\alpha +1} w+D_{0t}^{\alpha } w=\frac{\partial}{\partial x} \Bigl(D(w)\frac{\partial w}{\partial x} \Bigr)+AD_{0t}^{\alpha } \frac{\partial ^{2} w}{\partial x^{2} } +f\left(x,t\right), \end{equation} где $D_{0t}^{\gamma }$ --- оператор дробного интегро=дифференцирования Римана--~Лиувилля [2, §0.1, c. 9], $0<\alpha <1$; $w(x,t)$ --- влажность почвы в~долях единицы на глубине $x$ в~момент времени $t$; коэффициент $A_{1}$ принимает значение $A_{1} =Cx^{2} $, где $C$ --- константа, зависящая от коэффициента диффузии, а также пористости тела, его капиллярных свойств и вязкости жидкости~[2, §5.9, с. 197]; $D (w )$ --- коэффициент диффузии; $A$ --- варьируемый коэффициент Аллера. Уравнение \eqref{KER1} при $\alpha =1$ совпадает с уравнением Аллера--~Лыкова, которое впервые было предложено В.~Я.~Куликом в~[4] для описания процессов испарения и~инфильтрации влаги в~почве. Такого рода уравнения в локальной постановке $\left(\alpha =1\right)$ рассматривались в работах многих авторов и решались методом разделения переменных, методом априорных оценок, а также численными методами. Среди последних отметим работы [5, 6], в которых получены априорные оценки для решения нелокальных задач для уравнения влагопереноса Аллера--~Лыкова в~дифференциальной и~разностной трактовках, а~также работы [7–9], в которых исследовано уравнение влагопереноса Аллера--~Лыкова с~дробной по времени производной. Исследование уравнения \eqref{KER1} будем проводить методом Фурье и методом априорных оценок. Ранее методом Фурье краевые задачи для уравнений с дробной производной исследовались в работах С. Х. Геккиевой [10], O. P. Agrawal [11], В. А. Нахушевой [12], Б. Х. Турметова [13], О. Х. Масаевой [14] и других авторов, в том числе методом априорных оценок в работах [15, 16]. \smallskip \Section{Постановка задачи} Рассмотрим соответствующее \eqref{KER1} однородное уравнение \begin{equation} \label{KERi2} A_{1} D_{0t}^{\alpha +1} w+ D_{0t}^{\alpha } w= \frac{\partial}{\partial x} \Bigl(D(w)\frac{\partial w}{\partial x} \Bigr)+AD_{0t}^{\alpha } \frac{\partial ^{2} w}{\partial x^{2} }. \end{equation} В целом ряде реальных ситуаций, как отмечает В.~Я.~Кулик в [4], зависимость $A_1$ и $D$ от координаты $x$ практически устраняется (например, когда влажность меняется в~небольшом диапазоне). В~дальнейшем будем предполагать, что $A_1=\rm const,$ $D(w)=D=\rm const.$ Определим распределение влаги $w(x,t)$ в среде $0\le x\le l$ для всех моментов времени $t\in \left[0,T\right]$, если в начальный момент выполняются условия \begin{equation} \label{KER2} \lim\limits_{t\to 0} D_{0t}^{\alpha -1} w(x,t)=\tau (x), \quad \lim\limits_{t\to 0} D_{0t}^{\alpha } w(x,t)=\nu (x), \end{equation} а распределение влаги на концах отрезка задается соотношениями \begin{equation} \label{KER3} \Bigl[D\frac{\partial w}{\partial x} +AD_{0t}^{\alpha } \frac{\partial w}{\partial x} \Bigr]_{x=0} =-\mu(t), \quad \frac{\partial w}{\partial x} \Bigr|_{x=l} =0. \end{equation} Второе условие \eqref{KER3} означает отсутствие потока влаги через границу \textit{$x=l$}. Что касается первого условия \eqref{KER3}, к нему приводят следующие соображения. Обозначим через \[ B(t)=\int _0^l w(x,t)dx \] влагосодержание слоя $[0,l]$ в момент времени $t$ [17]. Интегрируя уравнение \eqref{KERi2} в~пределах от $0$ до $l$ и меняя слева порядок интегрирования и дифференцирования, получим \[ A_{1} D_{0t}^{\alpha +1} B(t)+D_{0t}^{\alpha }B(t)=\Bigl[D\frac{\partial w}{\partial x}+AD_{0t}^{\alpha } \frac{\partial w}{\partial x}\Bigr]_{x=0}^{x=l}. \] Отсюда, учитывая второе условие \eqref{KER3}, имеем \begin{equation} \label{KERi5} A_{1} D_{0t}^{\alpha +1} B(t)+D_{0t}^{\alpha }B(t)=-\Bigl[D\frac{\partial w}{\partial x}+AD_{0t}^{\alpha } \frac{\partial w}{\partial x}\Bigr] _{x=0}. \end{equation} Из \eqref{KERi5} получаем \[ D_{0t}^{\alpha}\mu_1(t)+\frac{D}{A}\mu_1(t)=-\frac{1}{A}\mu(t), \] где \[ \mu_1(t)= \frac{\partial w}{\partial x}\Bigr|_{x=0}, \quad \mu(t)=A_1D_{0t}^{\alpha+1}B(t)+D_{0t}^{\alpha}B(t). \] В~этом случае первое условие \eqref{KER3} заменяется более простым: \begin{equation} \label{KERi6} \frac{\partial w}{\partial x}\Bigr|_{x=0}=\mu_1(t), \end{equation} где \begin{multline} \mu_1(t)=\tau'(0)t^{\alpha-1} \Bigl[ \frac{1}{\Gamma(\alpha)}-\frac{D}{A}t^\alpha E_{\frac{1}{\alpha}} \Bigl( -\frac{D}{A}t^{\alpha};2\alpha\Bigr)\Bigr]- -\frac{1}{A}D_{0t}^{-\alpha}\mu(t)+\frac{D}{A^2} \Gamma(2\alpha)D_{0t}^{-2\alpha}\left( E_{\frac{1}{\alpha}}\Bigl( -\frac{D}{A}t^{\alpha};2\alpha\Bigr)\mu(t) \right), \end{multline} а $\tau(x)$ определяется из первого условия [2, §2.2, с. 93]. Предположим, что выполнены условия непрерывности предельных соотношений \begin{equation} \label{KERi7} \lim \limits_{t\to 0} D_{0t}^{\alpha-1} \mu(t)=0,\quad \lim\limits_{t\to 0} D_{0t}^{\alpha } \mu(t)=0,\quad \tau'(0)=\nu'(0)=\tau'(l)=\nu'(l)=0. \end{equation} Тогда с помощью замены \[ w(x,t)=u(x,t)+\frac{t^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}\tau(x)+\frac{t^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}\nu(x)+ \mu_1(t)\Bigl(x-\frac{x^2}{2l}\Bigr) \] условия \eqref{KER2}, \eqref{KERi6} и второе условие \eqref{KER3} можно свести к~однородным. \smallskip Получим следующую постановку задачи: {\it в области $Q=\bigl\{ (x, t ) : {0<x<l},$ $ t>0\bigr\}$ рассматривается уравнение} \begin{equation} \label{KER4} A_{1} D_{0t}^{\alpha +1} u+D_{0t}^{\alpha } u=D\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2} } +AD_{0t}^{\alpha } \frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2} } +f\left(x,t\right),\; \; \; 0<x<1,\; \; \; t>0 , \end{equation} {\it где} $A_{1},$ $A,$ $D $ --- {\it положительные константы}, \begin{multline} f(x,t)=-A_1 \Bigl(x-\frac{x^2}{2l}\Bigr) D_{0t}^{\alpha+1}\mu_1(t)-\Bigl(x-\frac{x^2}{2l}-\frac{A}{l}\Bigr)D_{0t}^{\alpha}\mu_1(t)+ +D\frac{t^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}\tau''(x)+ D\frac{t^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}\nu''(x)-\frac{1}{l}\mu_1(t). \end{multline} \smallskip \begin{definition} {\it Регулярным решением уравнения \eqref{KER4} в области $Q$ назовем функцию $u=u\left(x,t\right)$ из класса $D_{0t}^{\alpha } u(x,t)\in C\left(\bar{Q}\right);$ $D_{0t}^{\alpha +1}u(x,t),$ $u_{xx}(x,t)$, $D_{0t}^{\alpha } u_{xx} (x,t)\in C\left(Q\right)$, которая удовлетворяет уравнению \eqref{KER4} во всех точках $\left(x,t\right)\in Q.$ } \end{definition} \smallskip Сформулируем вторую краевую задачу для уравнения \eqref{KER4}. \smallskip \hypertarget{ker:task:1}{} {\small \sc Задача 1.} {\it Найти регулярное решение $u(x,t)$ уравнения \eqref{KER4} в области $Q,$ удовлетворяющее краевым условиям \begin{equation} \label{KER5} u_{x} ( 0,t ) =u_{x} (l ,t ) =0,\quad t>0 \end{equation} и начальным условиям \begin{equation} \label{KER6} \lim \limits_{t\to 0} D_{0t}^{\alpha -1} u(x,t)=0, \quad \lim \limits_{t\to 0} D_{0t}^{\alpha } u(x,t)=0. \end{equation} } \smallskip Решение соответствующего \eqref{KER4} однородного уравнения \begin{equation} \label{KERi11} A_{1} D_{0t}^{\alpha +1} u+D_{0t}^{\alpha } u=D\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2} } +AD_{0t}^{\alpha } \frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2} } \end{equation} ищем в виде \begin{equation} \label{KER7} u(x,t)=X(x)T(t). \end{equation} Подставляя эту форму решения в \eqref{KERi11}, для определения $X(x)$ получим: \begin{equation} \label{KER8} X''+\lambda X=0,\quad X'(0)=0,\quad X'(l)=0, \end{equation} где $\lambda=\rm const.$ Как известно, решения спектральной задачи \eqref{KER8} имеют вид \begin{equation} \label{KER9} X_{0}(x)=\frac{1}{l}, \;\; \lambda _{0}=0; \;\; X_{k}(x)=\frac{2}{l}\cos\Bigl(\frac{\pi k}{l} x\Bigr), \;\; \lambda _{k} =\Bigl(\frac{\pi k}{l} \Bigr)^{2}, \;\; k=1, 2, \dots \;. \end{equation} Найдем решение неоднородного уравнения Аллера--~Лыкова \eqref{KER4} в виде разложения в ряд Фурье по собственным функциям $X_{k} (x )$ задачи \eqref{KER8}: \begin{equation} \label{KER10} u(x,t)=\sum\limits_{k=0}^{\infty }u_{k} (t)X_{k} (x). \end{equation} Предположим, что функцию $f(x,t)$ можно разложить в интервале $(0,l)$ в~ряд Фурье по косинусам: \[ f(x,t)=\frac{f_{0}(t)}{2} +\sum\limits_{k=1}^{\infty }f_{k}(t)\cos \Bigl(\frac{\pi k}{l} x\Bigr), \] \begin{equation} \label{KER11} f_{0} (t)=\frac{2}{l} \int _{0}^{l}f(\xi ,t) d\xi, \quad f_{k} (t)=\frac{2}{l} \int _{0}^{l}f(\xi,t)\cos\Bigl(\frac{\pi k}{l}\xi\Bigr)d\xi. \end{equation} В силу теоремы В. А. Стеклова [18, §22.3, c. 342] разложение (14) справедливо, если \begin{equation} \label{KER12} f(x,t)\in C^{2} \left(\bar{Q}\right),\quad f(0,t)=f(l,t)=0, \end{equation} и при любом фиксированном $t\ge 0$ функция $f(x,t)$ имеет кусочно=непрерывную производную по $x$ с точками разрыва первого рода. Подставляя предполагаемую форму решения \eqref{KER10} в уравнение \eqref{KER4} и начальные условия \eqref{KER6}, с учетом \eqref{KER9}, \eqref{KER11} будем иметь: \begin{multline} \frac{A_{1} }{l} D_{0t}^{\alpha +1} u_{0} (t)+ \frac{1}{l} D_{0t}^{\alpha } u_{0} (t)+ +\sum _{k=1}^{\infty }\cos \Bigl(\frac{\pi k}{l} x \Bigr) \Bigl \{ A_{1} D_{0t}^{\alpha +1} u_{k} (t)+ D_{0t}^{\alpha } u_{k} (t)+ D\Bigl(\frac{\pi k}{l} \Bigr)^{2} u_{k} (t)+ +A\Bigl(\frac{\pi k}{l} \Bigr)^{2} D_{0t}^{\alpha } u_{k} (t)\Bigr \} =\frac{f_{0} (t)}{2} + \sum _{k=1}^{\infty }f_{k} (t)\cos \Bigl(\frac{\pi k}{l} x\Bigr), \end{multline} \[ \sum _{k=0}^{\infty }X_{k} (x){\mathop{\lim }\limits_{t\to 0}} D_{0t}^{\alpha -1} u_{k} (t) =0, \quad \sum _{k=0}^{\infty }X_{k} (x){\mathop{\lim }\limits_{t\to 0}} D_{0t}^{\alpha } u_{k} (t) =0. \] Эти равенства возможны тогда и только тогда, когда \begin{gather} \label{KER13} D_{0t}^{\alpha +1} u_{0} (t)+\frac{1}{A_{1} } D_{0t}^{\alpha } u_{0} (t)=\frac{l}{2A_{1} } f_{0} (t), \label{KER14} {\mathop{\lim }\limits_{t\to 0}} D_{0t}^{\alpha -1} u_{0} (t)=0,\; \; \; {\mathop{\lim }\limits_{t\to 0}} D_{0t}^{\alpha } u_{0} (t)=0 \end{gather} и для всех $k=1,\; 2,\; \dots$ \begin{gather} \label{KER15} D_{0t}^{\alpha +1} u_{k} (t)+a_{k} D_{0t}^{\alpha } u_{k} (t)+b_{k} u_{k} (t)=\frac{f_{k}(t)}{A_1}, \label{KER16} {\mathop{\lim }\limits_{t\to 0}} D_{0t}^{\alpha -1} u_{k} (t)=0,\; \; \; {\mathop{\lim }\limits_{t\to 0}} D_{0t}^{\alpha } u_{k} (t)=0, \end{gather} где ak=1+AλkA1,  bk=λkDA1,  λk=\Bigl(πkl\Bigr)2. a_{k} =\frac{1+A\lambda_k }{A_{1} } ,\quad b_{k} =\frac{\lambda_k D}{A_{1} } ,\quad \lambda _{k} =\Bigl(\frac{\pi k}{l} \Bigr)^{2}. Подействовав на уравнение \eqref{KER13} оператором дробного интегрирования порядка $\alpha $ с учетом обобщенной формулы Ньютона--~Лейбница [19, форм. (1.2.8), с. 15], получим \begin{multline} \frac{du_{0} }{dt} +\frac{1}{A_{1} } u_{0}(t)=\frac{l}{2A_{1} } D_{0t}^{-\alpha } f_{0} (t)+ \frac{t^{\alpha -1} }{\Gamma(\alpha)}\lim\limits_{t\to 0}D_{0t}^{\alpha } u_{0}(t)+ \label{KER17} +\left(\frac{t^{\alpha -2} }{\Gamma(\alpha -1)}+\frac{t^{\alpha -1} }{\Gamma(\alpha)}\right)\lim\limits_{t\to 0} D_{0t}^{\alpha -1}u_{0}(t). \end{multline} Проинтегрируем неоднородное уравнение \eqref{KER17} с учетом начальных условий \eqref{KER14}, в результате получим решение задачи \eqref{KER13}, \eqref{KER14}: \[ u_{0}(t)=\frac{l}{2A_{1} } \int_0^{t}e^{\frac{\xi -t}{A_{1} } } D_{0\xi }^{-\alpha } f_{0}(\xi) d\xi. \] Прежде чем выписывать решение задачи \eqref{KER15}, \eqref{KER16}, отметим, что обыкновенные дифференциальные уравнения дробного порядка с постоянными коэффициентами исследовались достаточно интенсивно. Для них найдены явные представления начальных и~краевых задач в~терминах обобщенных функций Миттаг--~Леффлера и~функций Райта. Подробное изложение этих результатов и~библиографию по теме можно найти в~работах~[20, 21]. Для нашей работы, чтобы избежать технически непростого аппарата теории специальных функций, возникающих при решении этих уравнений, позволим себе воспользоваться результатами работы [8], где решение однородного уравнения \eqref{KERi11} получено путем редукции его к~интегральному уравнению Вольтерра 2-го рода со степенным ядром и~последующим решением его методом последовательных приближений. Подействовав на уравнение \eqref{KER15} оператором дробного интегрирования порядка $\alpha +1$, получим \begin{equation} \label{KER18} u_{k}(t)+\int _{0}^{t}u_{k}(\tau)\Bigl[a_{k} +\frac{b_{k} }{\Gamma (\alpha +1)(t-\tau )^{-\alpha } } \Bigr]d\tau = F_{k} (t), \end{equation} где Fk(t)=1A1Γ(α+1)0t(t-τ)αfk(τ)dτ. F_{k} (t)=\frac{1}{A_1\Gamma (\alpha +1)} \int _{0}^{t}(t-\tau )^{\alpha } f_{k} (\tau )d\tau . Найдем решение интегрального уравнения \eqref{KER18} аналогично тому, как это было проделано в [8]: \begin{multline} \label{KER19} u_{k}(t)=F_{k} (t)+ \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1} \sum _{s=0}^{n+1} \Bigl(\!\!\begin{array}{c} {n+1} {s} \end{array} \!\!\Bigr) \frac{a_{k}^{n+1-s}b_{k}^{s}}{\Gamma(n+1+s\alpha)} \int _{0}^{t}\!(t-\tau )^{n+s\alpha }F_{k}(t)d\tau = =\frac{1}{A_1\Gamma (\alpha +1)} \int _{0}^{t}\frac{f_{k} (\tau )}{(t-\tau )^{-\alpha } } d\tau+ \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}\sum _{s=0}^{n+1} \Bigl(\!\!\begin{array}{c} {n+1} {s} \end{array} \!\!\Bigr) \times \times\frac{a_{k}^{n+1-s} b_{k}^{s} }{A_1\Gamma (\alpha+1)\Gamma(n+1+s\alpha)}\int _{0}^{t}\!\!\int _{0}^{\tau }\frac{(t-\tau)^{n+s\alpha}f_{k}(\tau_{1})}{(\tau -\tau _{1} )^{-\alpha } } d\tau _{1} d\tau, \end{multline} где $\Bigl(\!\!\begin{array}{c} {n+1} {s} \end{array} \!\!\Bigr) =\cfrac{(n+1)!}{s!(n+1-s)!} .$ \smallskip В правой части \eqref{KER19} рассмотрим двойной интеграл. Поменяв порядок интегрирования и сделав замену $\tau =\tau _{1} +z\left(t-\tau \right)$, находим \begin{multline} \int _{0}^{t}\!\!\int _{0}^{\tau }\frac{\left(t-\tau \right)^{n+s\alpha } f_{k} (\tau _{1} )}{(\tau -\tau _{1} )^{-\alpha } } d\tau _{1} d\tau= \int _{0}^{t}f_{k} (\tau _{1} )d\tau _{1} \int _{\tau _{1} }^{t}\left(t-\tau \right)^{n+s\alpha } (\tau -\tau _{1} )^{\alpha } d\tau= =\frac{\Gamma(\alpha +1)\Gamma(n+s\alpha +1)}{\Gamma(n+2+s\alpha +\alpha)}\int _{0}^{t}(t-\tau _{1} )^{n+s\alpha +\alpha +1} f_{k} (\tau _{1} )d\tau _{1}. \end{multline} Или окончательно \begin{multline} \label{KER20} u_{k}(t)= \frac{1}{A_1\Gamma (\alpha +1)} \int _{0}^{t}\frac{f_{k} (\tau )}{(t-\tau )^{-\alpha } } d\tau+ +\frac{1}{A_1}\sum\limits_{n=0}^{\infty }\left(-1\right)^{n+1} \sum\limits_{s=0}^{n+1} \Bigl(\!\!\begin{array}{c} {n+1} {s} \end{array} \!\!\Bigr) \frac{a_{k}^{n+1-s}b_{k}^{s}}{\Gamma (n+2+s\alpha +\alpha )}\int _{0}^{t}(t-\tau )^{n+s\alpha +\alpha +1} f_{k} (\tau )d\tau= =\frac{1}{A_1}\int _{0}^{t}\bigg [\frac{(t-\tau )^{\alpha } }{\Gamma (\alpha +1)}+ \hspace{9.5cm} +\sum _{n=0}^{\infty }\left(-1\right)^{n+1} \sum _{s=0}^{n+1} \Bigl(\!\!\begin{array}{c} {n+1} {s} \end{array} \!\!\Bigr) \frac{a_{k} {}^{n+1-s} b_{k} {}^{s} }{\Gamma (n+2+s\alpha +\alpha )} (t-\tau )^{n+s\alpha +\alpha +1} \bigg ]f_{k} (\tau )d\tau. \end{multline} Таким образом, согласно \eqref{KER10}, искомое решение задачи \eqref{KER4}, \eqref{KER6} запишется в виде \begin{multline} \label{KER21} u(x,t)=\frac{l}{2A_{1} } \int _{0}^{t}e^{\frac{1}{A_{1} } \left(\xi -t\right)} D_{0\xi }^{-\alpha } f_{0} \left(\xi \right) d\xi + +\frac{1}{A_1}\int _{0}^{t}\!\!\int _{0}^{l}G^{\alpha } \left(x,\xi ,t-\tau \right) f\left(\xi ,\tau \right)d\xi d\tau , \end{multline} где \[ G^{\alpha } \left(x,\xi ,t-\tau \right)=\frac{2}{l} \sum\limits _{k=1}^{\infty }E_{k} \left(t,\tau \right)\cos \Bigl(\frac{\pi k}{l} x \Bigr)\cos \Bigl(\frac{\pi k}{l} \xi\Bigr), \] \[E_{k} \left(t,\tau \right)=\frac{(t-\tau )^{\alpha } }{\Gamma (\alpha +1)} +\sum _{n=0}^{\infty }\left(-1\right)^{n+1} \sum _{s=0}^{n+1} \Bigl(\!\!\begin{array}{c} {n+1} {s} \end{array} \!\!\Bigr) \frac{a_{k} {}^{n+1-s} b_{k} {}^{s} (t-\tau )^{n+s\alpha +\alpha +1} }{\Gamma (n+2+s\alpha +\alpha )} .\] Сходимость ряда \eqref{KER21} и рядов производных $D_{0t}^{\alpha +1} u(x,t),$ $D_{0t}^{\alpha } u(x,t),$ $u_{xx} (x,t),$ $D_{0t}^{\alpha } u_{xx} (x,t)$ обеспечивается требованием соблюдения условий \eqref{KER12}. \smallskip Таким образом, имеет место следующая теорема. \smallskip \begin{newthm}{Теорема 1} Пусть $f\left(x,t\right)\in C^{2} \left(\overline{Q}\right),$ $\tau \in C^{3} [0,l],$ $\nu \in C^{2} [0,l]$ и выполнены условия \eqref{KERi7} и условия согласования $f\left(0,t\right)=f\left(l,t\right)=0.$ Тогда регулярное решение $u(x,t)$ задачи \hyperlink{ker:task:1}{\sl 1} представимо в виде \rm \eqref{KER21}. \end{newthm} \smallskip \Section{Единственность решения задачи для неоднородного уравнения Аллера--~Лыкова с дробной по времени производной} Обозначим $Q_T=\{(x,t):$ $0<x<l,$ $0<t<T\}.$ В~предположении, что $D(w)=k(x,t) $ --- известная функция координаты и времени, рассмотрим в области $Q_T$ вторую краевую задачу для неоднородного уравнения \eqref{KER1} с~начальными условиями \eqref{KER2} и~однородными краевыми условиями \begin{equation} \label{KERi26} w_x(0,t)=w_x(l,t)=0, \quad t>0. \end{equation} В дальнейшем будем предполагать существование регулярного решения задачи \eqref{KER1}, \eqref{KER2}, \eqref{KERi26} и будем использовать обозначения \[ \|w\|_0^2=\int _0^l w^2(x,t)dx, \quad D_{0t}^\alpha w(x,t)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{\partial}{\partial t}\int _0^t \frac{w(x,\tau)d\tau}{(t-\tau)^\alpha},\] \[\left\| D_{0t}^{\alpha } w\right\| _{2,Q_{t}}^{2}=\int _0^t\left\| D_{0t}^{\alpha } w(x,\tau)\right\| _{0}^{2}d\tau. \] \smallskip \begin{newthm}{Теорема 2} Пусть $k_{x}(x,t),$ $k_{t}(x,t),$ $f(x,t)\in C\left(\bar{Q}_{T} \right),$ $\nu (x)\in C[0,l],$ $\tau (x)\in C^{2}[0,l],$ $0<c_1\le k(x,t)\le c_2,$ $k_t(x,t)\le 0$ всюду на $\bar{Q}_{T} $ и выполнены условия $\tau (0)=\tau (l)=0,$ $\tau'(0)=\tau '(l)=0.$ Тогда для решения задачи {\rm \eqref{KER1}, \eqref{KER2}, \eqref{KERi26}} справедлива априорная оценка \begin{multline} \left\| D_{0t}^{\alpha } w\right\| _{0}^{2} + \left\| D_{0t}^{\alpha } w_{x} \right\| _{2,Q_{t} }^{2} + \left\| D_{0t}^{\alpha } w\right\| _{2,Q_{t} }^{2} \le \label{KER24} \le M_{1} (t)\left(\left\| f\right\| _{2,Q_{t} }^{2} +\left\| \tau '(x)\right\| _{0}^{2}+\left\| \tau ''(x)\right\| _{0}^{2} +\left\| \nu (x)\right\| _{0}^{2} \right). \end{multline} \end{newthm} \smallskip \begin{proof} Введем новую неизвестную функцию $v(x,t)$, полагая \[w(x,t)=v(x,t)+\frac{t^{\alpha -1} }{\Gamma (\alpha )} \tau (x) \] так, что $v(x,t)$ представляет собой отклонение функции $w(x,t)$ от известной функции $\frac{t^{\alpha -1} }{\Gamma (\alpha )} \tau (x)$. С~учетом $D_{0t}^{\alpha +1} t^{\alpha -1} =0$, $D_{0t}^{\alpha } t^{\alpha -1} =0$ [19, §1.2, с. 15] имеем, что функция $v(x,t)$ будет определяться как решение уравнения \begin{equation} \label{KER25} A_{1} D_{0t}^{\alpha +1} v+D_{0t}^{\alpha } v-\left(kv_{x} \right)_{x} -AD_{0t}^{\alpha } v_{xx} =F(x,t),\; \; \; 0<x<l,\; \; \; 0<t\le T, \end{equation} с начальными условиями \begin{multline} \label{KER26} \lim\limits_{t\to 0} D_{0t}^{\alpha -1} v(x,t)= \lim\limits_{t\to 0} D_{0t}^{\alpha -1} \Bigl(w(x,t)-\frac{t^{\alpha -1} }{\Gamma (\alpha )} \tau (x)\Bigr)= =\tau (x)-\frac{\tau (x)}{\Gamma (\alpha )}\lim\limits_{t\to 0} D_{0t}^{\alpha -1} t^{\alpha -1}=0, \end{multline} \[ \lim\limits_{t\to 0} D_{0t}^{\alpha } v(x,t)= \lim\limits_{t\to 0} D_{0t}^{\alpha } \Bigl(w(x,t)-\frac{t^{\alpha -1} }{\Gamma (\alpha )} \tau (x)\Bigr)= \nu (x)-\frac{\tau (x)}{\Gamma (\alpha )}\lim\limits_{t\to 0} D_{0t}^{\alpha } t^{\alpha -1}=\nu(x) \] и граничными условиями \begin{equation} \label{KER27} v_{x} (0,t)=v_{x} (l,t)=0,\quad 0\le t\le T, \end{equation} где F(x,t)=f(x,t)+tα-1Γ(α)kxτ'(x)+kτ''(x). F(x,t)=f(x,t)+\frac{t^{\alpha -1} }{\Gamma (\alpha )} \left(k_{x} \tau '(x)+k\tau ''(x)\right). Получим априорную оценку в терминах дробной производной Римана--~Лиувилля, для этого умножим уравнение \eqref{KER25} скалярно на $D_{0t}^{\alpha } v$: \begin{multline} \label{KER28} A_1\left(D_{0t}^{\alpha +1} v,D_{0t}^{\alpha } v\right)+\left(D_{0t}^{\alpha } v,D_{0t}^{\alpha } v\right)- -\left(\left(kv_{x} \right)_{x} ,D_{0t}^{\alpha } v\right)-A\left(D_{0t}^{\alpha } v_{xx} ,D_{0t}^{\alpha } v\right)=\left(F,D_{0t}^{\alpha } v\right), \end{multline} где (w,v)=0lwvdx,  (w,w)=w02. (w,v)=\int _{0}^{l}wvdx ,\quad (w,w)=\left\| w\right\| _{0}^{2} . Преобразуем слагаемые тождества \eqref{KER28} с учетом \eqref{KER26}, \eqref{KER27}: \begin{multline} A_{1} \left(D_{0t}^{\alpha +1} v,D_{0t}^{\alpha } v\right)= =A_{1} \int _{0}^{l}\frac{1}{\Gamma (1-\alpha )} \frac{\partial ^{2} }{\partial t^{2} } \int _{0}^{t}\frac{v(x,\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha } } \frac{1}{\Gamma (1-\alpha )} \frac{\partial }{\partial t} \int _{0}^{t}\frac{v\left(x,\tau \right)d\tau }{\left(t-\tau \right)^{\alpha } } dx = =\frac{A_{1} }{2} \int _{0}^{l}\frac{\partial }{\partial t} \left(D_{0t}^{\alpha } v\right)^{2} dx =\frac{A_{1} }{{\rm 2}} \frac{\partial }{\partial t} \left\| D_{0t}^{\alpha } v\right\| _{0}^{2} , \end{multline} \[\left(D_{0t}^{\alpha } v,D_{0t}^{\alpha } v\right)=\left\| D_{0t}^{\alpha } v\right\| _{0}^{2} , \hspace{8.8cm} \] \begin{multline} \left(\left(kv_{x} \right)_{x} ,D_{0t}^{\alpha } v\right)=\frac{1}{\Gamma (1-\alpha )} \int _{0}^{l}\left(kv_{x} \right)_{x} \frac{\partial }{\partial t} \int _{0}^{t}\frac{v(x,\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha } } dx = =\frac{1}{\Gamma (1-\alpha )} \biggl\{ kv_{x} (x,t)\frac{\partial }{\partial t} \int _{0}^{t}\frac{v(x,\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha } } \bigg|_{0}^{l} -\int _{0}^{l}kv_{x} (x,t)\frac{\partial }{\partial t} \int _{0}^{t}\frac{v_{x} (x,\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha } } dx \biggr\}= =-\frac{1}{\Gamma (1-\alpha )} \int _{0}^{l}kv_{x} (x,t)\frac{\partial }{\partial t} \int _{0}^{t}\frac{v_{x} (x,\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha } } dx , \end{multline} \begin{multline} A\left(D_{0t}^{\alpha } v_{xx} ,D_{0t}^{\alpha } v\right)=\frac{A}{\Gamma ^{2} (1-\alpha )} \int _{0}^{l}\frac{\partial }{\partial t} \int _{0}^{t}\frac{v_{xx} (x,\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha } } \frac{\partial }{\partial t} \int _{0}^{t}\frac{v(x,\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha } } dx = =\frac{A}{\Gamma ^{2} (1-\alpha )} \biggl\{ \frac{\partial }{\partial t} \int _{0}^{t}\frac{v_{x} (x,\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha } } \frac{\partial }{\partial t} \int _{0}^{t}\frac{v(x,\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha } } \bigg|_{0}^{l} - \hspace{2cm} \hspace{2cm} - \int _{0}^{l}\frac{\partial }{\partial t} \int _{0}^{t}\frac{v_{x} (x,\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha } } \frac{\partial }{\partial t} \int _{0}^{t}\frac{v_{x} (x,\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha } }dx \biggr\}= =-A\int _{0}^{l}\biggl(\frac{1}{\Gamma (1-\alpha )} \frac{\partial }{\partial t} \int _{0}^{t}\frac{v_{x} (x,\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha } } \biggr)^{2} dx = -A\left\| D_{0t}^{\alpha } v_{x} \right\| _{0}^{2} . \end{multline} Для оценки правой части воспользуемся неравенством Коши--~Буняковского и $\varepsilon $-неравенством [22, §2.7, форм. (46), c. 86], которое справедливо для любого числа $\varepsilon >0$: \[ \left(F,D_{0t}^{\alpha } v\right)\le \frac{1}{4\varepsilon } \left\| F\right\| _{0}^{2} +\varepsilon \left\| D_{0t}^{\alpha } v\right\| _{0}^{2} . \] С учетом полученных неравенств из \eqref{KER28} получим \begin{multline} \frac{A_{1} }{2} \frac{\partial }{\partial t} \left\| D_{0t}^{\alpha } v\right\| _{0}^{2} +\left\| D_{0t}^{\alpha } v\right\| _{0}^{2} + +\frac{1}{\Gamma (1-\alpha )} \int _{0}^{l}kv_{x} (x,t)\frac{\partial }{\partial t} \int _{0}^{t}\frac{v_{x} (x,\tau )d\tau }{(t-\tau )^{\alpha } } dx \label{KER29} +A\left\| D_{0t}^{\alpha } v_{x} \right\| _{0}^{2} \le \le \frac{1}{4\varepsilon } \left\| F\right\| _{0}^{2} +\varepsilon \left\| D_{0t}^{\alpha } v\right\| _{0}^{2} . \end{multline} Проинтегрируем \eqref{KER29} по $\tau $ от $0$ до $t$: \begin{multline} \frac{A_{1} }{2} \left\| D_{0t}^{\alpha } v\right\| _{0}^{2} + \int _{0}^{t}\left\| D_{0t}^{\alpha } v(x,\tau )\right\| _{0}^{2} d\tau + +\frac{1}{\Gamma (1-\alpha )} \int _{0}^{t}d\tau \int _{0}^{l}kv_{x} (x,\tau )\frac{\partial }{\partial \tau } \int _{0}^{\tau }\frac{v_{x} \left(x,\tau _{1} \right)d\tau _{1} }{\left(\tau -\tau _{1} \right)^{\alpha } } dx + \hspace{6cm} +A\int _{0}^{t}\left\| D_{0t}^{\alpha } v_{x} (x,\tau )\right\| _{0}^{2} d\tau \le \le \frac{1}{4\varepsilon } \left\| F\right\| _{2,Q_{t} }^{2} +\varepsilon \int _{0}^{t}\left\| D_{0t}^{\alpha } v(x,\tau )\right\| _{0}^{2} d\tau + \frac{A_{1} }{2} \left\| D_{0t}^{\alpha } v(x,0)\right\| _{0}^{2} . \end{multline} Предположим, что $k_{t}\le 0,$ тогда неотрицательность тройного интеграла, стоящего в левой части последнего неравенства, доказывается так же, как в [2, §1.5, с. 43]. Усиливая последнее неравенство, получим \[ A_{1} \left\| D_{0t}^{\alpha } v\right\| _{0}^{2} +2A\left\| D_{0t}^{\alpha } v_{x} \right\| _{2,Q_{t} }^{2} +2\varepsilon _{1} \left\| D_{0t}^{\alpha } v\right\| _{2,Q_{t} }^{2} \le \frac{1}{2\varepsilon } \left\| F\right\| _{2,Q_{t} }^{2} +A_{1} \left\| \nu (x)\right\| _{0}^{2} , \] где $\varepsilon _{1} =1-\varepsilon $. Откуда следует оценка \[ \left\| D_{0t}^{\alpha } v\right\| _{0}^{2} +\left\| D_{0t}^{\alpha } v_{x} \right\| _{2,Q_{t} }^{2} +\left\| D_{0t}^{\alpha } v\right\| _{2,Q_{t} }^{2} \le M \bigl(\left\| F\right\| _{2,Q_{t} }^{2} +\left\| \nu (x)\right\| _{0}^{2} \bigr), \] или, возвращаясь к $w\left(x,t\right)$, получим \eqref{KER24}. Теорема доказана. \end{proof} \smallskip \begin{remark}[1]Из \eqref{KER24} следует единственность решения задачи \eqref{KER1}, \eqref{KER2}, \eqref{KERi26}. \end{remark} \smallskip Действительно, пусть $w$ --- решение однородной задачи, т. е. $f=\tau =\nu =0$. Тогда из \eqref{KER24} имеем \[ \left\| D_{0t}^{\alpha } w\right\| _{0}^{2} +\left\| D_{0t}^{\alpha } w_{x} \right\| _{2,Q_{t} }^{2} +\left\| D_{0t}^{\alpha } w\right\| _{2,Q_{t} }^{2} =0. \] Применяя обобщенную формулу Ньютона--~Лейбница \[ D_{0t}^{-\alpha } D_{0t}^{\alpha } w(x, t)=w(x, t)-\frac{t^{\alpha -1} }{\Gamma (\alpha)} {\mathop{\lim }\limits_{t\to 0}} D_{0t}^{\alpha -1} w (x, t ), \] в частности, получим \[ w(x, t)=\frac{t^{\alpha -1} }{\Gamma (\alpha)} {\mathop{\lim }\limits_{t\to 0}} D_{0t}^{\alpha -1} w(x, t)=\frac{t^{\alpha -1} }{\Gamma (\alpha)} \tau (x)=0 \text{ в } Q_{T}.\] Учитывая произвольность $T$, получаем, что $w\left(x,t\right)=0$ во всех точках $\left(x,t\right)\in Q.$ \smallskip \Section[N]{Заключение} В работе рассмотрены вопросы однозначной разрешимости второй краевой задачи для уравнения Аллера--~Лыкова с дробной производной Римана--~Лиувилля. Рассматриваемое уравнение является обобщением уравнения Аллера--~Лыкова посредством введения понятия фрактальной скорости изменения влажности, которая объясняет наличие потоков против потенциала влажности. С~помощью метода энергетических неравенств для решения задачи получена априорная оценка в терминах дробной производной Римана--~Лиувилля, из которой следует единственность решения. Существование решения второй краевой задачи для случая с постоянными коэффициентами доказано методом Фурье.

About the authors

Marat Aslanbievich Kerefov

Kabardino-Balkar State University

Author for correspondence.
Email: kerefov@mail.ru

Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

Sakinat Khasanovna Gekkieva

Institute of Applied Mathematics and Automation

Email: gekkieva_s@mail.ru

Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. Чудновский А. Ф., Теплофизика почв, Наука, М., 1976, 352 с.
  2. Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, М., 2003, 352 с.
  3. Нахушев А. М., Уравнения математической биологии, Высшая школа, М., 1995, 301 с.
  4. Кулик В. Я., "Исследование движения почвенной влаги с точки зрения инвариантности относительно непрерывных групп преобразований", Исследование процессов обмена энергией и веществом в системе почва-растение-воздух, Наука, Л., 1972
  5. Архестова С. М., Шхануков-Лафишев М. Х., "Разностные схемы для уравнения влагопереноса Аллера-Лыкова с нелокальным условием", Изв. КБНЦ РАН, 2012, № 3, 7-16
  6. Лафишева М. М., Керефов М. А., Дышекова Р. В., "Разностные схемы для уравнения влагопереноса Аллера-Лыкова с нелокальным условием", Владикавк. матем. журн., 19:1 (2017), 50-58
  7. Геккиева С. Х., "Первая краевая задач для уравнения влагопереноса Аллера-Лыкова с дробной по времени производной", Устойчивое развитие: проблемы, концепции, модели, Мат. Всерос. конф. с междун. участием, КБНЦ РАН, Нальчик, 2017, 99-102
  8. Геккиева С. Х., Керефов М. А., "Краевые задачи для обобщенного уравнения влагопереноса", Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2018, № 1(21), 21-31
  9. Геккиева С. Х., "Нелокальная краевая задача для обобщенного уравнения влагопереноса Аллера-Лыкова", Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2018, № 4(24), 19-28
  10. Геккиева С. Х., "Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной по времени", Докл. АМАН, 1:1 (1994), 17-18
  11. Agrawal O. P., "Solution for a fractional diffusion-wave equation defined in a bounded domain", Nonlinear Dynamics, 29:1 (2002), 145-155
  12. Нахушева В. А., Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов, Наука, М., 2006, 173 с.
  13. Turmetov B. Kh., Torebek B. T., "On solvability of some boundary value problems for a fractional analogue of the Helmholtz equation", New York J. Math., 20 (2014), 1237-1251
  14. Masaeva O. Kh., "Uniqueness of solutions to Dirichlet problems for generalized Lavrent'ev-Bitsadze equations with a fractional derivative", Electron. J. Differ. Equ., 2017 (2017), 1-8
  15. Шогенов В. Х., Кумыкова С. К., Шхануков-Лаффишев М. Х., "Обобщенное уравнение переноса и дробные производные", Докл. НАН Украины, 1997, № 12, 47-55
  16. Керефов М. А., Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной, Дисс. … канд. физ.-мат. наук, Нальчик, 2000, 175 с.
  17. Янгарбер В. А., "О смешанной задаче для модифицированного уравнения влагопереноса", ПМТФ, 1967, № 1, 247-254
  18. Владимиров В. С., Уравнения математической физики, Наука, М., 1981, 512 с.
  19. Псху А. В., Уравнения в частных производных дробного порядка, Наука, М., 2005, 199 с.
  20. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J., Theory and applications of fractional differential equations, North-Holland Mathematics Studies, 204, Elsevier, Amsterdam, 2006, xv+523 pp.
  21. Псху А. В., "Начальная задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка", Матем. сб., 202:4 (2011), 111-122
  22. Самарский А. А., Теория разностных схем, Наука, М., 1971, 552 с.

Statistics

Views

Abstract - 37

PDF (Russian) - 23

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2019 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies